精品解析：天津市南仓中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

天津市南仓中学 2024 至 2025 学年度第一学期 高三 年级 12月过程性检测 (数学 学科) 本试卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至2页，第I卷3至4页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第l卷 注意事项: 1.每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，共 45 分. 一、选择题(每小题5分，共45分) 1. 已知集合，集合，则等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意, , 则. 故选：B 2. 已知，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，结合特殊角正弦函数值，可得答案. 【详解】由，则可能取值为，故“”是“，”的不充分条件； 由，，则恒成立，故“”是“，”的必要条件. 所以“”是“，”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中间值，根据，，，比较的大小关系. 【详解】， ，，即， ， 所以， 故选：A. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再证明当时，，由此确定正确选项. 【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称， 因为， ， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，，，故， 选项ABD都不同时符合以上所有特征，选项C符合以上特征， 故函数的部分图象大致为选项C的图象. 故选：C. 5. 光明学校为了解男生身体发育情况，从2000名男生中抽查了100名男生的体重情况，根据数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示，下列说法中错误的是（ ） A. 样本的众数约为 B. 样本的中位数约为 C. 样本的平均值约为66 D. 体重超过75kg的学生频数约为200人 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合众数，中位数，平均值公式，分别求得众数，中位数，平均值，可判断A,B,C;根据频率与频数的关系，求得体重超过75kg的学生频数，判断D,即得答案． 【详解】对于，样本的众数为，故正确， 对于，设样本的中位数为，则， 解得，故正确， 对于，由直方图估计样本平均值可得： ，故错误， 对于，2000名男生中体重超过的人数大约为，故正确． 故选：． 6. 已知，，为球的球面上的三点，圆为△的外接圆，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理求△的外接圆半径，再根据外接球球心与截面圆心距离与截面圆半径、球体半径间的几何关系求球的半径，进而求球的表面积. 【详解】由正弦定理得：△的外接圆半径满足，解得． 设球的半径为，由平面，得， ∴球的表面积为． 故选：． 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的图象得出函数的解析式，再应用代入检验得出对称性判断①②，再根据单调性判断③，计算值域判断④. 【详解】由函数图象可知， ， 由图象可知，即 当时，，不关于点对称,①错误； 为，关于直线对称,②正确； 当时，单调递减，③正确； 当时，，，④错误. 故选：B. 8. 已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点的坐标，进而求出即可求解作答. 【详解】抛物线：的焦点为，准线为：，令交于点，即有， 由，直线的倾斜角为，得，则，， 又，则为正三角形，，因此点， 双曲线：过点的渐近线为，于是，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：B 9. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】最多有2个根，所以至少有4个根， 由可得， 由可得， （1）时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； （2）当时，， ， 当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，令，则，此时有2个零点； 所以若时，有1个零点. 综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足 或或， 则可解得a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况. 第Ⅱ卷 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在题纸上.注意事项: 2.本卷共 15 小题，共 105 分. 二、填空题 (每小题5分，共30分) 10. 复数满足，则的共轭复数________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出复数，进而求得其共轭复数． 【详解】解：， ． 故答案为：． 11. 在二项式的展开式中，常数项是___________，所有项的系数和为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入展开式通项可求得展开式的常数项，再令代入二项式可求得展开式所有项的系数和. 【详解】二项式的展开式通项为， 令，可得，所以，展开式的常数项为， 在二项式中，令，可得所有项的系数和为. 故答案为：；. 【点睛】求解二项式中所有项的系数和，一般在二项式中，令所有的变量均为计算即可. 12. 已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是______ 【答案】 【解析】 【详解】设圆心，则由题意得，即圆O的方程是(x＋2)2＋y2＝2 13. 两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为_________；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为_________． 【答案】 ①. ## ②. 0.42## 【解析】 【分析】先计算从6人中选2人的所有种数，再计算同一家庭的种数，求概率即可；由全概率公式计算即可得第二空. 【详解】由题意可知从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为； 而来自不同家庭的概率为， 则游戏成功的概率为. 故答案为：； 14. 若，且，则的最小值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据对数的换底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，所以，解得或， 因为，所以，则，即， 因为，所以，， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：5. 15. 如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则______________，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_________________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】 由利用数量积公式可求的值为1，设的长为，则，，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得，再利用配方法可得结果 【详解】，； 又因为且，为正三角形， ，，， 设的长为（），则，， 时取等号， 的最小值为. 故答案为：1，. 【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 三、解答题(本小题75分) 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，求的值； （3）若的面积为，，求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得，由为三角形内角，，解得，结合范围，即可求得的值． （2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角公式，两角差的正弦函数公式即可求解． （3）由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可求的值，即可得解的周长． 【小问1详解】 ． 由正弦定理可得， 则， 所以， 所以， 为三角形内角，，解得，， ． 【小问2详解】 由已知，，所以， ，， . 【小问3详解】 ， ， 由余弦定理得， 即，解得， 的周长为． 17. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求直线PB与平面所成角的正弦值； （3）求点到PD的距离. 【答案】（1） 如图，取中点，连接 因为为中点，，，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为为中点，为中点，则， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面，故平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由条件可得，， 则， 设平面的法向量为， 则，解得， 取，则，所以平面的一个法向量为， 设直线PB与平面所成角为， 则. 所以直线PB与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知，， 所以点到PD的距离为. 18. 已知椭圆： （）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点，且，直线： 与椭圆交于， 两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意，，又，求得椭圆方程；（2）联立方程组，得到韦达定理，，所以所以，解得. 试题解析： （1）联立解得，故 又，，联立三式，解得，，， 故椭圆的标准方程为. （2）设，，联立方程消元得， ， ∴，， 又是一个与无关的常数，∴，即， ∴，.∵，∴. 当时，，直线与椭圆交于两点，满足题意. 19. 设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1．已知，，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求的前项和； （3）设，求证：． 【答案】（1）， （2） （3） 证明：因为，所以， 所以， 所以 . 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意得到方程组，求出、，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得； （3）由（1）可得，即可得到，利用放缩法及等边数列求和公式计算可得. 【小问1详解】 依题意设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，， 又，，所以，解得或（舍去）， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可得， 设的前项和为， 所以 . 【小问3详解】 略 20. 已知函数.，其中. （1）求在处的切线方程，并判断零点个数. （2）讨论函数的单调性； （3）求证：； 【答案】（1）切线方程为，有2个零点； （2）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 证明：先证. 令， ，，故在R上单调递增， 因为，故在上单调递减，在上单调递增， 故，故成立； 再证. 令，，则， ①当时，，则单调递减； ②当时，，则单调递增。 故，所以，即成立. 【解析】 【分析】（1）根据求导公式，即可求出切线的点斜式方程，整理即可得到切线方程； 对再求导，并根据零点存在性定理，可得，即可得到零点个数； （2）求导，通过讨论的取值研究导函数符号的变化进而得到函数的单调性； （3）根据与切线得关系，先证，再证，用导数法即可完成证明. 【小问1详解】 由题意，，， 故在处的切线方程为. 设，则， 故在上单调递增， 因为，，故根据函数零点存在性定理知，存在唯一得，使得， 故在上单调递减，在上单调递增， 又因为，故在上存在一个零点；且， 又因为， 故存在唯一使得， 综上，有且仅有两个零点. 【小问2详解】 因为， 所以 ①当即时，在上单调递增，在上单调递减； ②当即时，在上单调递增； ③当即时，在上单调递增，在上单调递减； ④当时，即时，在上单调递增，在上单调递减。 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减。 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查导数的综合运用，涉及到导数得几何意义、函数的单调性、极值最值、不等式的证明、函数的零点，属于较难题目. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南仓中学 2024 至 2025 学年度第一学期 高三 年级 12月过程性检测 (数学 学科) 本试卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至2页，第I卷3至4页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第l卷 注意事项: 1.每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，共 45 分. 一、选择题(每小题5分，共45分) 1. 已知集合，集合，则等于 A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 光明学校为了解男生身体发育情况，从2000名男生中抽查了100名男生的体重情况，根据数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示，下列说法中错误的是（ ） A. 样本的众数约为 B. 样本的中位数约为 C. 样本的平均值约为66 D. 体重超过75kg的学生频数约为200人 6. 已知，，为球的球面上的三点，圆为△的外接圆，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 9. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在题纸上.注意事项: 2.本卷共 15 小题，共 105 分. 二、填空题 (每小题5分，共30分) 10. 复数满足，则的共轭复数________. 11. 在二项式的展开式中，常数项是___________，所有项的系数和为___________． 12. 已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是______ 13. 两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为_________；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为_________． 14. 若，且，则的最小值为______. 15. 如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则______________，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_________________. 三、解答题(本小题75分) 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，求的值； （3）若的面积为，，求的周长． 17. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求直线PB与平面所成角的正弦值； （3）求点到PD的距离. 18. 已知椭圆： （）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点，且，直线： 与椭圆交于， 两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值. 19. 设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1．已知，，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求的前项和； （3）设，求证：． 20. 已知函数.，其中. （1）求在处的切线方程，并判断零点个数. （2）讨论函数的单调性； （3）求证：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $