精品解析：河北省衡水市河北冀州中学2024-2025学年高三上学期12月考试数学试题

2024-2025学年度高三年级上学期12月考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A 10 B. 2 C. D. 4 3. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，则实数值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7 6. 定义在上的函数满足且，有，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7 已知角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知等差数列的前项和为，且公差.则以下结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若成等比数列，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是 B. 当且时， C. 若满足，则 D. 若存在极值点，且，其中，则 11. 设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的一个周期是4 D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，，设的前项和为，则______. 13. 若函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间是______. 14. 若正实数满足，则最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若为边上一点，，求. 16. 已知函数. （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）若，求实数取值范围. 17. 已知数列，，且为等比数列. （1）求的值； （2）记数列的前项和为.若，求的值. 18. 已知函数，. （1）当时，讨论的零点个数； （2）当时，，求实数的取值范围. 19. 若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”. （1）判断函数是否是区间上的“利普希兹条件函数”？并说明理由； （2）已知函数是区间上的“利普希兹条件函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为连续函数，其导函数为，若，其中，且.定义数列：，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高三年级上学期12月考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式求出集合A，再根据交集运算求出. 【详解】由，解得或. 所以或， 又，所以. 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. 10 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出再求模长可得答案. 【详解】， 则. 故选：C. 3. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换底公式和对数的运算性质结合基本不等式比较的大小，再利用对数函数、指数函数的性质比较大小，即可求解. 【详解】， 因为， 所以，即， 所以，且， 所以， 又因为， 所以， 综上，， 故选：D. 4. 已知向量，，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，，根据垂直得到方程，求出实数的值. 【详解】由题意得，，则，， 因为，所以，解得. 故选：B 5. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】运用等比数列的通项公式计算公比，再求和即可. 【详解】设等比数列公比为，，依题意，，， 即，所以，即， 解得或，所以，，或，，， 所以. 故选：B. 6. 定义在上的函数满足且，有，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题设赋值可得，再根据函数的单调性以及定义域即可求解. 【详解】因为，所以，即， 因为， 所以，可转化为， 即，即. 因为满足且，有， 所以在区间上单调递增， 即，解得， 即不等式解集为. 故选：C. 7. 已知角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到，故，利用正切和角公式得到方程，求出. 【详解】因为， ， 所以， 即，则， 因为，所以， 其中， 故，解得. 故选：B. 8. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导分析单调性可得，选项A错误；把不等式等价转化，通过构造函数可得选项B正确；由条件得，根据可得，选项C错误；令可得选项D错误. 【详解】对于A选项：令，，， 令，，令，则， 当时，，单调递减，单调递减； 当时，，单调递增，单调递增， 所以有最小值， 所以在区间上单调递增，故，所以，即，故A选项错误； 对于B选项：由A可知，要证，即证， 即证，即证，即证. 令，则， 令，，令，则， 当时，，单调递减，单调递减； 当时，，单调递增，单调递增， 所以有最小值，由得， 所以在区间上单调递增，故， 所以成立，故B选项正确； 对于C选项：由得，因为，所以，所以，故C选项错误； 对于D选项：令，则，故D选项错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据选项合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知等差数列的前项和为，且公差.则以下结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若成等比数列，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得，故，所以，故A正确， 由可得，故，故B正确， 若，则，且单调递减，故的最大值为或，故C错误， 若成等比数列，则，即，解得或（舍去），D正确， 故选：ABD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是 B. 当且时， C. 若满足，则 D. 若存在极值点，且，其中，则 【答案】AD 【解析】 【分析】求函数的导函数，判断函数的单调性，求其极值点，由有三个零点列不等式求的取值范围，判断A，证明，结合单调性比较的大小，判断B，由条件可得关于点成中心对称，结合对称性性质判断C，由极值点的性质可得，，令，化简又，可证明判断D. 【详解】对于选项A，当时，，， 由，得到或，由，得到， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 故在处取到极大值，在处取到极小值， 若有三个零点，则解得，故选项A正确； 对于选项B，当时，，， 又，即， 由选项A知，在区间上单调递减， 所以，故选项B错误； 对于选项C，因，即， 所以关于点成中心对称，又的定义域为， 所以，整理得到，所以选项C错误； 对于选项D，因为，所以， 由题有，即， 由，得， 令，则，又， 所以， 得到， 整理得到， 又，代入化简得到， 又，， 所以，得到， 即，所以选项D正确. 故选：AD. 11. 设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的一个周期是4 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用抽象函数及导数的运算判断函数的图象关于点对称，从而可得的图象关于对称，所以是周期函数，4是一个周期，可判断A、B、C项；因为，且，所以，所以，可判断D项. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于中心对称， 两边求导得：， 所以的图象关于对称， 因为，所以； 所以，又，所以， 所以函数的图象关于点对称； 所以图象关于对称，故B正确； 所以，即， 又，所以，即， 所以，所以是周期函数，且4是一个周期， 又因为，所以， 所以是周期函数，且4是一个周期，故C正确； 因为为奇函数，所以过，所以， 令，代入，可得，故A错误； 令代入，可得， 令，代入，可得， 又因为的周期为4，所以，所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛： 1.若，则关于对称，两边同时求导得：，则关于中心对称； 2.若，则关于中心对称，两边同时求导得：，则关于对称； 3.若，则为周期函数且周期为； 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，，设的前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，利用等差中项性质判断数列为等差数列，设其公差为，首项为，由题设条件求得，，再运用等差数列求和公式计算即得. 【详解】由，得，所以数列为等差数列， 设其公差为，首项为，由，可得， 解得，又由，解得，， 故. 故答案为：. 13. 若函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据反函数的定义可得，进而结合复合函数的单调性求解即可. 【详解】由题意得，，在定义域上单调递增， 则， 由，解得， 所以函数定义域为，且在上单调递增， 所以其单调递增区间为. 故答案为：. 14. 若正实数满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】把不等式变形为，通过换元，根据不等式恒成立得出与的关系，从而把表示为关于的表达式，再通过构造函数求最值即可． 【详解】∵，∴， ∴，即， 令，则有， 设，则， 由得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴，即， ∵，∴，当且仅当时等号成立， ∴，即，∴， 设，则，由得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴，即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式变形为，通过换元得到，结合函数的单调性分析得，即（当且仅当时等号成立），由此得到，等式变形为，构造函数分析单调性即可得到的最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若为边上一点，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）等价变形已知条件，得到，结合余弦定理即可得解. （2）法①：由余弦定理求出，结合正弦定理即可求得，最后根据即可得解；法②：由法①得，在中由正弦定理得，又，从而得解；法③：由法①得，在直角中，由（1）问知，代入建立关于的方程，解方程得，从而得出；法④：由等面积法得，建立关于的方程，求得，代入求得，最后结合正弦定理即可得解. 【小问1详解】 ，则， 所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 法①：由（1）得，，因为，所以， 如图在中，由余弦定理 ，即， 在中由正弦定理，即，所以， 因为，故， 在中. 法②：同解法①，在中由正弦定理， 即，所以， 又因为，即，所以. 法③同上，在直角中，所以， 由（1）问知，所以，即，得即，所以，. 法④如图由（1）知，则， 因为，所以 ，即，解得，所以，即， 在中，由正弦定理，即，解得. 16. 已知函数. （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，然后计算的值即可确定函数的对称性，从而得结论； （2）求导，从而得的单调性，构造函数，判断函数的单调性与奇偶性，从而列不等式求解集. 【小问1详解】 证明：函数，则，解得， 即函数定义域为， 所以 . 所以曲线关于点对称，即曲线是中心对称图形. 【小问2详解】 ， 因为，，所以， 所以在区间上单调递增. 因为关于点对称， 所以是奇函数，且在区间上单调递增. 由，即， 即， 所以，所以， 解得. 所以实数的取值范围为. 17. 已知数列，，且为等比数列. （1）求的值； （2）记数列的前项和为.若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由求出，在为等比数列可得，由此解出即可得出答案. （2）分为偶数和为奇数，求出，再由，解方程即可得出答案. 【小问1详解】 因为，则，，，. 又，则，，. 因为为等比数列，则，所以， 整理得，解得或2. 因为，所以. 当时， . 则，故为等比数列，所以符合题意. 【小问2详解】 ， 当为偶数时， ； 当为奇数时， . 综上， 因为，又，所以，所以为偶数. 所以 整理得，解得或（舍去），所以. 18 已知函数，. （1）当时，讨论的零点个数； （2）当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而得到最小值，构造，，求导得到其单调性，结合，得到时，，则，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点. （2）变形得到，两边同时取自然对数得，，当时，成立，当时，参变分离得到，设，，多次求导，结合特殊点函数值，得到在区间上单调递增，又当趋近于0时，趋近于，所以，所以，得到答案. 【小问1详解】 ， ，令，得，其中，. 当时，，当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 设，，则. 因为，所以，所以在区间上单调递减， 又因为， 所以当时，，则，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，，又， 当趋近于时，趋近于1，有2个零点， 综上，当时，无零点；当时，有1个零点； 当时，有2个零点. 【小问2详解】 ，即， 即， 当时，，， 所以，可得，可得， 两边同时取自然对数得，， 当时，成立， 当时，，则，可得. 设，， 则， 设，， 则. 设， 则， 设，， 则，所以在区间上单调递增， 又，所以， 所以，则在区间上单调递增， 又，所以， 所以，则在区间上单调递增， 又，所以， 所以，则在区间上单调递增， 又当趋近于0时，趋近于，所以， 所以，所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方 19. 若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”. （1）判断函数是否是区间上的“利普希兹条件函数”？并说明理由； （2）已知函数是区间上的“利普希兹条件函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为连续函数，其导函数为，若，其中，且.定义数列：，，证明：. 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，，，结合定义判断结论； （2）由条件可得在单调递减，由此可得在恒成立，由此可求的取值范围； （3）由条件先证明函数单调递增，再证明函数单调递减，由此证明，再证明，结合绝对值不等式性质证明结论. 【小问1详解】 是，理由如下： 依题意，，，， 注意到，因此，从而， 故， 即是区间上的“利普希兹条件函数”. 【小问2详解】 依题意，，均有成立， 不妨设，则，即. 设，则在上单调递减， 故对恒成立， 即，因此. 【小问3详解】 证明：由， 设，则， 故为单调递增函数， 则，恒有， 即，得， 设，则， 故为单调递减函数， 则，恒有，即，得. 综上可知，， 又， ，， 则， 当时， ， 则 . 综上所述，. 【点睛】解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$