精品解析：上海市大同初级中学2024-2025学年上学期12月月考八年级数学试卷

初二年级数学专项作业练习 2024．12 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 下列各组中，两个变量间成正比例关系的是（） A. 正方形的面积与边长 B. 从甲地到乙地，所用的时间和速度 C. 圆的周长和半径 D. 三角形面积一定时，它的一边长和这条边上的高 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键．根据正比例函数的定义解决此题． 【详解】解：A．设正方形的边长为，面积为，则，那么与不成正比例关系，故A不符合题意； B．设时间为，速度为，则，那么与成反比例关系，故B不符合题意； C．设圆的周长为，圆的半径为，则，那么与是正比例关系，故C符合题意 D．设三角形的面积为，它的一条边长与这条边上的高分别为与，则，那么与是反比例关系，故D不符合题意． 故选：C． 2. 已知反比例函数的图像经过点，则的值是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，将代入解析式，即可求解；掌握解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得： 故选：A． 3. 若点（，），（，），（，），都是反比例函数图像上的点，并且，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣1＜0， ∴此函数的图像在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵y1＜0＜y2＜y3， ∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x2，y2）两点均在第二象限， ∴x2＜x3＜x1． 故选D． 4. 下列命题中，逆命题是假命题的是（） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 全等三角形对应角相等 C. 全等三角形对应边相等 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．交换原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； B、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意； C、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意； D、逆命题为：如果，那么，正确，是真命题，不符合题意． 故选：B． 5. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质即可直接得出答案． 【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 6. 如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交于点，连结交于点，则下列结论中，不一定成立的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可判断，根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的判定可判断，进而可得出答案． 【详解】解：是边上的高， ， ， ， ，是的平分线， ，故A结论正确，不符合题意； ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ，， ， ，，故C、D结论正确，不符合题意； 假设， ， ， 等腰直角三角形， 但题目条件没有是等腰直角三角形，且推导不出其结论， 结论不一定正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形全等的判定于性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握相关判定和性质并灵活运用． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量取值范围及二次根式有意义的条件，由二次根式有意义的条件得，即可求解；理解有意义的条件为是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案：． 8. 已知，那么________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了求函数值，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 将代入，求解即可． 【详解】解：将代入可得： ． 故答案为：． 9. 已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义和反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图象分布得出m的值． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， 解得：， ∵它的两个分支分别在第一、三象限， ∴，即， 则． 故答案为：3． 10. 在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数比例系数的几何意义、反比例函数的性质，根据甲同学的说法确定，再根据乙同学的说法确定，继而得到反比例函数的解析式即可．掌握反比例函数比例系数的几何意义及反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 根据甲同学的说法可得：， ∴， 根据乙同学的说法可知：， ∴， ∴根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是满足甲乙两同学说法的反比例函数解析式是． 故答案为：． 11. 已知点是直线与双曲线图像的一个交点，那么这两个函数图像的另一个交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数交点问题及反比例函数与正比例函数图象的中心对称性，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：点是直线与双曲线图像的一个交点， ，解得：， 因为直线过原点，双曲线的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为，另一交点的坐标是． 故答案为：． 12. 如图，在中，为的垂直平分线，交于点，，，则________°． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．根据中垂直平分，可求出，再根据等腰三角形的性质求出，再由，根据三角形内角和定理可求的度数，即可解答． 【详解】解：垂直平分， 故答案为：50． 13. 经过定点，且半径为8厘米的圆的圆心轨迹是________． 【答案】以点A为圆心，8厘米长为半径的圆 【解析】 【分析】此题考查了点的运动轨迹问题和点和圆的位置关系与数量之间的联系．注意：点在圆上，即点到圆心的距离等于该圆的半径．要求作经过定点A，且半径为8厘米的圆的圆心，则圆心应满足到点A的距离恒等于8厘米，根据点和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析． 【详解】解：根据题意，得圆心应满足到点A的距离恒等于8厘米，即经过定点A，且半径为8厘米的圆的圆心轨迹是以点A为圆心，8厘米长为半径的圆． 故答案为以点A为圆心，8厘米长为半径的圆． 14. 如图，在中，，平分，与点，如果，，，那么的周长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解本题的关键是得出．先证明，可得，进而利用三角形的周长和等量代换即可得出结论． 【详解】解：∵是的角平分线， ， ， ， 又， ， ， ， ∴的周长为, 故答案为：6． 15. 如果一个三角形的两边的垂直平分线交点在第三边上，则这个三角形的最大角的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据垂直平分线的性质，AF=BF，BF=CF，再根据等边对等角的性质，得到，，然后利用三角形内角和定理，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，垂直平分，垂直平分，、交点在上， ，， ，， ， ， ， 这个三角形最大角的度数是， 故答案为：． 16. 如图，已知是的中线，点是上的一点，交于点，，，，的度数为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 点为反比例函数上一点，以为腰画等腰直角，若点在第三象限，则点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质；①当时，过作轴交于，过作轴交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求解； ②当时，同理可求； 等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，能根据等腰直角三角形的直角顶点不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ①当时， 如图，过作轴交于，过作轴交于， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ； ②当时， 如图，过作轴交于，过作轴交于，交的延长线于， ，， 轴， ， 同理可证：， ， ， ， ， ； 综上所述：的坐标为或； 故答案：或． 18. 如图，已知中的高恰好平分边，，点是延长线上一点，点是线段上一点，且，下面的结论：，，，是等边三角形．其中正确的为________．（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质直接判断即可；由于，据此即可判断本结论；连接，利用可证得，于是可得，，由等边对等角可得，然后根据已知条件即可判断本结论；由三角形的内角和定理可得，，进而可得，结合，，于是可得，再结合已知条件即可判断本结论；综上，即可得出答案． 【详解】解：中的高恰好平分边， 是线段的垂直平分线， ，故结论正确； 由图易知， 不正确，故结论不正确； 如图，连接， 中的高恰好平分边， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，故结论正确； 在中，， 在中，， ， ，， ， 又， 是等边三角形，故结论正确； 综上，正确的结论有：， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的内角和定理，等边三角形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 三、简答题（本大题共4题，共26分） 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，先利用二次根式乘法及完全平方式展开，再合并同类项，即可求解；掌握（，），是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，移项后，将（）看作整体进行因式分解为的形式可得或，即可求解；能根据方程的不同形式选择恰当的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 或， 或， ，． 21. 如图，已知， （1）根据要求作图，在边上求作一点D．使得点D到点AB、AC的距离相等，在边上求作一点E．使得点E到A、D的距离相等；（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论） （2）在第（1）小题所作的图中，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）到、的距离相等，则点D在的角平分线上，作的角平分线与的交点即为点D；到点A、的距离相等，则点E在的垂直平分线上，作的垂直平分线与的交点即为点E； （2）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得，再根据平行线的判定即可求解． 【小问1详解】 解：点D、E为所求作的点，如图所示： 【小问2详解】 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的尺规作图，角平分线的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的定义和性质、以及两条直线平行的判定定理，判定直线平行的常用方法有：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行． 22. 如图，、两地相距30千米，甲骑自行车在中午12点从地出发前往地，乙在甲出发1小时后骑电瓶车从地前往地．图中的线段和线段分别反映了甲和乙所行驶的路程（千米）与行驶时间（小时）的函数关系，请根据图像所提供的信息回答问题（其中点、、、均位于格点）． （1）乙行驶________小时后与甲相遇，两人的相遇地点距离地________千米； （2）写出甲所行驶的路程（千米）与行驶时间（小时）的函数关系式________； （3）乙的行驶速度比甲快________千米/时； （4）当甲乙两人相距5千米，此刻的时间是下午________（写出所有可能的时间点）． 【答案】（1）， （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在路程问题中的应用，待定系数法； （1）由图象得甲乙相遇的坐标为，即可求解； （2）设，将代入，即可求解； （3）由图象得（千米/小时），（千米/小时），即可求解； （4）由待定系数法得直线的解析式为，当时， 当时，即可求解； 理解图象的实际意义，掌握待定系数法是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象得，甲乙相遇的坐标为： ， 在甲出发小时后与乙相遇，此时甲行驶的路程为千米， （小时）， （千米）， 故答案：，； 【小问2详解】 解：设，图象经过， ， 解得：， ， 故答案：； 【小问3详解】 解：由图象得 （千米/小时）， （千米/小时）， （千米/小时）， 故答案：； 【小问4详解】 解：设直线的解析式为，图象经过，，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时， 解得：； 当时， 解得：； 故答案：或． 四、解答题（本大题共4题，共32分） 23. 如图，已知直线与双曲线交于、两点，且点的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点，过点作轴交直线于点． （1）直接写出的值及点的坐标； （2）求线段的长； （3）如果在直线上有一点，且满足的面积等于，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求一次函数与正比例函数解析式，三角形面积； （1）先求得点坐标，再代入直线解析式可求得的值，根据对称性可求得点坐标； （2）由反比例函数解析式可求得点坐标，由直线解析式可求得点坐标，可求得的长； （3）可设坐标为，分点在线段的延长线上和线段的延长线上两种情况，分别表示出的面积，可求得的值，可求得的坐标． 【小问1详解】 解：在双曲线上，且的纵坐标为， 坐标为， 代入直线，可得，解得， 又、关于原点对称， 点的坐标为． 【小问2详解】 点在双曲线上，代入，得 ，解得： 轴，且点在直线上， 可设点的坐标为．代入，得 解得： 点的坐标为． ． 【小问3详解】 ∵点在上，设点的坐标为，． ①当点在的延长线上时，， 解得： 点的坐标为． ②当点在的延长线上时，， 解得： 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为，． 24. 已知：如图，，，是的中点．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质；由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的“三线合一”，即可得证；掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 是的中点， ． 25. 已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，E、F为垂足，再过点D作，交于点G，且． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，先根据，且， 可知，再根据即可得出，进而可得出，由等角对等边可知； （2）先证明，再根据全等三角形的性质可得出，结合，故可得出垂直平分． 小问1详解】 证明：连接． ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，连接， ∵，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定及线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 26. 已知，是一条角平分线． （1）【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴________．（________） ∴________，又∵，∴． （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点． 求证：． （3）【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是________． 【答案】（1），角平分线的性质， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式以及角平分线的性质求解即可； （2）过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P，再利用角平分线的性质及等面积法证明即可； （3）在上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性质及前面的结论求解即可． 【小问1详解】 过点作于点， 于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴，（角平分线的性质） ∴， 又∵， ∴． 小问2详解】 如图，过点D作于N， 过点D作于M， 过点A作于点P， 是的外角平分线， 即平分， ， ， 又， ． 【小问3详解】 在上取点G，使得，连接， 、分别是、的角平分线且相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）可得，在中，为的角平分线， ， 设，则， ，， ． 【点睛】本题主要考查角平分线性质及全等三角形的判定和性质，三角形等面积法，根式的运算，理解题意，熟练掌握运算角平分线的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二年级数学专项作业练习 2024．12 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 下列各组中，两个变量间成正比例关系的是（） A. 正方形的面积与边长 B. 从甲地到乙地，所用的时间和速度 C. 圆的周长和半径 D. 三角形面积一定时，它的一边长和这条边上的高 2. 已知反比例函数的图像经过点，则的值是（ ） A. B. 6 C. D. 3. 若点（，），（，），（，），都是反比例函数图像上的点，并且，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，逆命题是假命题的是（） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 全等三角形对应角相等 C. 全等三角形对应边相等 D 如果，那么 5. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 6. 如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交于点，连结交于点，则下列结论中，不一定成立的是（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 函数的定义域是________． 8. 已知，那么________． 9. 已知反比例函数图像在第一、三象限，则的值为________． 10. 在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是______． 11. 已知点是直线与双曲线图像的一个交点，那么这两个函数图像的另一个交点坐标为________． 12. 如图，在中，为的垂直平分线，交于点，，，则________°． 13. 经过定点，且半径为8厘米的圆的圆心轨迹是________． 14. 如图，在中，，平分，与点，如果，，，那么的周长为________． 15. 如果一个三角形的两边的垂直平分线交点在第三边上，则这个三角形的最大角的度数是________． 16. 如图，已知是中线，点是上的一点，交于点，，，，的度数为________°． 17. 点为反比例函数上一点，以为腰画等腰直角，若点在第三象限，则点的坐标为________． 18. 如图，已知中的高恰好平分边，，点是延长线上一点，点是线段上一点，且，下面的结论：，，，是等边三角形．其中正确的为________．（填序号） 三、简答题（本大题共4题，共26分） 19. 化简：． 20. 解方程：． 21. 如图，已知， （1）根据要求作图，在边上求作一点D．使得点D到点AB、AC的距离相等，在边上求作一点E．使得点E到A、D的距离相等；（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论） （2）在第（1）小题所作图中，求证：． 22. 如图，、两地相距30千米，甲骑自行车在中午12点从地出发前往地，乙在甲出发1小时后骑电瓶车从地前往地．图中的线段和线段分别反映了甲和乙所行驶的路程（千米）与行驶时间（小时）的函数关系，请根据图像所提供的信息回答问题（其中点、、、均位于格点）． （1）乙行驶________小时后与甲相遇，两人的相遇地点距离地________千米； （2）写出甲所行驶路程（千米）与行驶时间（小时）的函数关系式________； （3）乙的行驶速度比甲快________千米/时； （4）当甲乙两人相距5千米，此刻的时间是下午________（写出所有可能的时间点）． 四、解答题（本大题共4题，共32分） 23. 如图，已知直线与双曲线交于、两点，且点的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点，过点作轴交直线于点． （1）直接写出的值及点的坐标； （2）求线段的长； （3）如果在直线上有一点，且满足的面积等于，求点的坐标． 24. 已知：如图，，，是的中点．求证：． 25. 已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，E、F为垂足，再过点D作，交于点G，且． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 26. 已知，是一条角平分线． （1）【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴________．（________） ∴________，又∵，∴． （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点． 求证：． （3）【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$