精品解析：山东省济宁市实验中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年度济宁市实验中学高一数学12月月考卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列说法中正确的个数是（ ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由象限角、任意角以及锐角的概念逐一判断即可. 【详解】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 故选：B． 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出指数函数、对数函数值域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】对数函数为增函数，当时，，则， 指数函数为减函数，当时，，则， 所以. 故选：B 3. 用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果. 【详解】因为， 由零点存在性知：零点， 根据二分法，第二次应计算，即. 故选：B. 4. 函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先验证函数是否满足奇偶性，由f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数f（x）为偶函数，，排除B,D ，再由函数的特殊值确定答案． 【详解】令f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C，A项满足. 【点睛】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法． 5. 设函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） A. (-∞，1] B. [1，+∞) C. (-∞，5] D. [5，+∞) 【答案】B 【解析】 【分析】分段函数中，根据对数函数分支y = log2x的值域在(1，+∞)，而函数的值域为R，可知二次函数y = -x2 + a的最大值大于等于1，即可求得a的范围 【详解】x > 2时，y = log2x > 1 ∴要使函数的值域为R，则y = -x2 + a在x ≤ 2上的最大值a大于等于1 即，a ≥ 1 故选：B 【点睛】本题考查了对数函数的值域，由函数的值域及所得对数函数的值域，判断二次函数的值域范围进而求参数范围 6. 函数为定义在上的奇函数，则等于（ ） A. B. -9 C. -8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，进而求出的值，由奇函数的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，为定义在上的奇函数， 则有，解可得：， 则， 则； 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数以及函数值的计算，在涉及奇函数求参数时，注意结论的应用，考查计算能力，属于基础题. 7. 设函数，若对任意实数，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】判断出函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的奇偶性、单调性脱去符号“”可得出结论． 【详解】， ，解得， 即函数定义域为， ∵， ∴是奇函数， ，是上的增函数， 在上单调递增， ∴. 故是的充要条件， 故选：C 8. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得，再比较的大小，根据函数的单调性，即可得答案. 【详解】依题意得，， 当时，， 因为，所以在上单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增， ，即， 故选：C. 【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性的应用，解题的关键是通过化简变形，得到括号内自变量的大小，考查分析计算的能力，属中档题. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（   ） A. 的解集为 B. 若，则的最小值为3 C. D. 角终边上一点P的坐标是，则 【答案】BC 【解析】 【分析】解指数不等式即可判断选项A，利用基本不等式即可判断选项B，由诱导公式计算求解即可判断选项C，由三角函数的定义分类讨论求解即可判断选项D. 【详解】对于A，，所以， 即，解得，故A错误； 对于B，因为，所以， 故， 当且仅当，即时等号成立.故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，角终边上一点P的坐标是，所以当时，， 当时，，故D错误； 故选：BC 10. (多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y=at.关于下列说法正确的是（ ） A. 浮萍每月的增长率为1 B. 第5个月时，浮萍面积就会超过30m2 C. 浮萍每月增加的面积都相等 D. 若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由图象过(1，2)点，可得函数关系式y=2t.再由，可判断A；当t=5时，计算函数值可判断B；计算第二个月比第一个月增加量，和第三个月比第二个月增加量，比较可判断C；运用指数与对数互化得t1，t2，t3，可判断D. 【详解】图象过(1，2)点，∴2=a1，即a=2，∴y=2t.∵，∴每月的增长率为1，A正确. 当t=5时，y=25=32>30，∴B正确. ∵第二个月比第一个月增加y2-y1=22-2=2(m2)，第三个月比第二个月增加y3-y2=23-22=4(m2)≠y2-y1，∴C不正确. ∵2=，3=，6=，∴t1=log22，t2=log23，t3=log26，∴t1+t2=log22+log23=log26=t3，D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查指数函数模型的实际应用，理解生活中的数据在数学的函数模型中的体现，属于中档题. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称 C. 的单调递增区间为 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据可判断A；利用奇函数的图象的对称性和函数图象的平移可判断B，根据复合函数的单调性可判断C；通过画函数图象可判断D. 【详解】对于A，当时，， 所以函数的图象恒过定点，故A正确； 对于B，因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称， 因为函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位得到， 所以函数的图像关于点对称，故B正确； 对于C，设，则， 由，得或， 因为在单调递增， 在单调递减，在单调递增， 所以的单调递增区间为，故C错误； 对于D，当时，函数的图象下图所示， 当时，函数的图象下图所示， 则当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 函数的定义域为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数及偶次根式有意义，列不等式求解即可. 【详解】由题可得， 解得. 故答案为： 13. 周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 14. 已知函数，方程有四个不同解，，，，则实数的取值范围是______；的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】画出的图象，再数形结合分析参数的的范围，再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简，再利用对勾函数的性质求范围即可. 【详解】画出的图象： 因为方程即有四个不同解，，，， 故的图象与有四个不同的交点， 由图可知，所以实数的取值范围是. 又，不妨假设， 由图可知. 又由图可知，故， 故且，所以. 所以，由对勾函数性质可知在单调递减， 所以，所以. 故答案为：； 四、解答题 15. 已知幂函数在上单调递增. （1）求解析式； （2）若在上的最小值为，求m的值. 【答案】（1） （2）或3 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得，进而求解即可； （2）根据二次函数的性质讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意得，，解得， 则. 【小问2详解】 由，对称轴为， 当时，，则，即； 当时，， 则，即（舍去）或（舍去）； 当时，，则，即. 综上所述，或3. 16. 计算： （1） （2） （3）已知，用a，b表示． 【答案】（1）；（2）0；（3）； 【解析】 【分析】 利用指数、对数的运算：、等运算性质应用并求值. 【详解】（1）； （2）； （3）由知：，，而，所以； 17. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据如图提供的信息， （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室. 【答案】（1） （2）0.5小时 【解析】 【分析】（1）由图可知在上是一条直线且过点，所以可知方程为；又因为点在曲线上，求得，曲线方程可得，最后综合可得答案. （2）分析可知只有当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，可出，解此不等式即可得解. 【小问1详解】 因为图中直线过点，所以图象中线段的方程为， 又点在曲线上，所以，所以， 所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的 函数关系式为. 【小问2详解】 因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室， 所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室， 即，所以，所以，解得， 所以从药物释放开始，至少需要经过0.5小时，学生才能回到教室. 18. 设为奇函数，为常数. （1）求的值； （2）证明在区间内单调递增； （3）若对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）由（1）可知， 证明：任取，即有， 即，即， 即有， 即， ∴在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得的值； （2）运用单调性的定义，结合对数函数的单调性即可得证； （3）由题意可得即恒成立.令.只需，由的单调性即可得到最小值. 【小问1详解】 ∵， ∴. ∴，即， 解得，检验（舍）， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 由（2）得在上为增函数，在上单调递减， 则在上为增函数， ， 又对恒成立， ， . 【点睛】本题考查函数的性质和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，属于中档题. 19. 已知函数，其反函数为． （1）定义在的函数，求的最小值； （2）设函数的定义域为，若有，且满足，我们称函数为“奇点函数”．已知函数为其定义域上的“奇点函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用反函数得到，进而得到，利用换元法求解即可． （2）分在，和利用“奇点函数”的性质求解. 【小问1详解】 由题意得，所以． 令，因为，所以， 令，则是开口向上，对称轴的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为， 所以的最小值为． 【小问2详解】 ①设在上存在满足“奇点函数”性质， 则．令，则， 当且仅当时取等号，又，所以，即， 所以， 所以，所以； ②设在存在满足“奇点函数”性质， 则，即有解， 因为在上单调递减，所以； 同理当在存在满足“奇点函数”性质时，解得； 所以实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度济宁市实验中学高一数学12月月考卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列说法中正确的个数是（ ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 3. 用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 5. 设函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） A. (-∞，1] B. [1，+∞) C. (-∞，5] D. [5，+∞) 6. 函数为定义在上的奇函数，则等于（ ） A. B. -9 C. -8 D. 7. 设函数，若对任意实数，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（   ） A. 的解集为 B. 若，则的最小值为3 C. D. 角终边上一点P的坐标是，则 10. (多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y=at.关于下列说法正确的是（ ） A. 浮萍每月的增长率为1 B. 第5个月时，浮萍面积就会超过30m2 C. 浮萍每月增加的面积都相等 D. 若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称 C. 的单调递增区间为 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 函数的定义域为____________． 13. 周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 14. 已知函数，方程有四个不同解，，，，则实数的取值范围是______；的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知幂函数在上单调递增. （1）求解析式； （2）若在上的最小值为，求m的值. 16. 计算： （1） （2） （3）已知，用a，b表示． 17. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据如图提供的信息， （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室. 18. 设为奇函数，为常数. （1）求的值； （2）证明在区间内单调递增； （3）若对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，其反函数为． （1）定义在的函数，求的最小值； （2）设函数的定义域为，若有，且满足，我们称函数为“奇点函数”．已知函数为其定义域上的“奇点函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $