精品解析：北京市第十四中学2024～2025学年上学期九年级数学12月月考试题

北京市第十四中学2024—2025学年度第一学期阶段检测 初三数学 测试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，共28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．答题不得使用任何涂改工具． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键． 根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转后与自身重合，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是180° B. 明天会下雪 C. 郑一枚骰子，向上一面的点数是7 D. 足球运动员射门一次，未射进 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故选项符合题意； B、明天会下雪是随机事件，故选项不符合题意； C、郑一枚骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故选项不符合题意； D、足球运动员射门一次，未射进是随机事件，故选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解题关键是熟记其有关概念． 3. 函数的最小值是（） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，掌握顶点式表达式的有关性质是解题关键．利用二次函数顶点式求函数的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，y的最小值是， 故选：D． 4. 不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，找出全部情况的总数和符合条件的个数是解题的关键． 根据概率的求法计算即可． 【详解】解：∵袋子中共有个小球，其中红球有个， ∴摸出一个球是红球的概率是．   故选：Ａ ． 5. 点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，在各象限内，随的增大而减小；当时，在各象限内，随的增大而增大；根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过一三象限，在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 6. 如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论以及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由，可求得的度数，再根据直角三角形的性质求出答案． 【详解】解∶ 是的直径， ． ， ． ． 故选：C． 7. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分情况讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：①当时，，解得：； ②当时，关于x的方程有实数根， ∴， ∴且， 综上所述，k的取值范围为：． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，又x2+bx+c=0时，△=0，列式求解即可． 【详解】抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴△=b2-4ac=0， ∴b2-4c=0， 设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3， (x1+x2)2−4x1x2＝(x1−x2)2 可得：b2-4（c-m）=9， 解得：m=． 故选B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接把点代入反比例函数，求出的值即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，解得． 故答案为：． 10. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．直接根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：， 解得： 故答案为：． 11. 如图，，是的切线，切点分别为A，B．若，，则的长为______ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，根据，是的切线，得出，进而得出，即可求证为等边三角形，即可解答． 【详解】解：∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：3． 12. 如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_____． 【答案】π 【解析】 【详解】由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长． 解：∵△ABC为正三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1， ∴==， 根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和， 即凸轮的周长==3×=π． 故答案为π 13. 如图，若点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，若矩形的面积为4，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义．反比例函数图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值．直接根据反比例函数k的几何意义即可求解． 【详解】∵矩形的面积为， ∴， ∴． ∵该反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x， 根据题意得：， 故答案为：． 15. 某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示： 移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 估计树苗移植成活的概率是________（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，即可求出． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴这种幼树移植成活率的概率约为； 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，，，有以下4种说法： ①一次函数的图象与线段无公共点； ②当时，一次函数的图象与线段无公共点； ③当时，反比例函数的图象与线段无公共点； ④当时，二次函数的图象与线段无公共点． 上述说法中正确的是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质逐条判断即可． 【详解】解：一次函数经过点，故①错误； 一次函数刚好经过点，向下平移直线，此时，直线与线段无公共点，故②正确； 反比例函数的图象刚好经过点，当时，反比例函数的图象沿着向远离原点的方向平移，与线段无公共点，故③正确； 二次函数的图象一定经过，故④错误； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握相关函数的性质，进行准确推理判断． 三、解答题（共68分，第17～20每题5分，第21题6分，第22～23每题5分，第24～25每题6分，第26～27题7分，第28题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题的关键． 由，变形为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ∴或 ∴，． 18. 已知关于的二次函数，该函数图象经过点． （1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标； （2）这个二次函数图象与轴的交点坐标是______； （3）将这个二次函数的图象沿轴平移，使其顶点恰好落在轴上，请直接写出平移后的函数表达式____________． 【答案】（1）； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数求解析式及二次函数的性质、利用函数与方程的关系解方程、配方法的应用、图形的平移等． （1）代入点的坐标可求，进而可求解析式及顶点坐标； （2）令，可求与轴交点坐标； （3）将二次函数转化为顶点式，依据其顶点恰好落在y轴上可得结果． 【小问1详解】 解：该二次函数图象经过点， ， 解得． 二次函数的表达式为． 二次函数顶点坐标为． 【小问2详解】 解：令，则． 解得，， 该二次函数图象与轴的交点坐标为，． 【小问3详解】 解：， 平移后要使其顶点恰好落在轴上， 则需将函数图像向左平移1个单位长度， 可得函数的表达式为：． 19. 已知：如图，在中，． 求作：射线，使得． 作法：①以点A为圆心，长为半径画圆； ②延长交于点D，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点P（点C，P在线段的同侧）； ③作射线． 射线即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明 证明：连接． ∵， ∴点C在上． ∵， ∴（____________）（填推理依据）． ∵， ∴______． ∴． 【答案】（1）见解析 （2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理： （1）按照所给作法利用尺规作图即可； （2）利用圆周角定理证明相关角的大小关系，通过等量代换可得结论． 【小问1详解】 解：画图． 【小问2详解】 解：补全后证明过程如下： 证明：连接． ∵， ∴点C在上． ∵， ∴（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）． ∵， ∴． ∴． 故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；． 20. 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 【答案】0.8m 【解析】 【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理得到，再在中，根据勾股定理可求出，进而即可求解． 【详解】解：如图，作于点，连接， ∵，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∴水的最大深度为0.8m． 【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 【答案】（1）m＜；（2）m=2． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围； （2）找出m取值范围中的正整数，然后分别代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的m的值． 【详解】（1）∵依题意，得△=（-4）2﹣4（2m﹣1）＞0， ∴m＜， 即m的取值范围是m＜； （2）∵m为正整数， ∴m=1或2， 当m=1时，方程为x2﹣4x+1=0的根不是整数； 当m=2时，方程为x2﹣4x+3=0的根x1=1，x2=3，都是整数， 综上所述，m=2． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 22. 2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国空间站再次进行太空授课，生动地演示了微重力环境下的四个实验现象（A．太空冰雪实验；B．液桥演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验），神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！为加深同学们的印象，某校团委组织了太空实验原理讲述的活动． （1）小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”的概率是___________； （2）若小南要从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据题意，列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：共有4个实验，小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有2种， 他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率为． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为：； （2）k的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比例函数的解析式； （2）解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案． 【小问1详解】 解：对于，当时，， ∴一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：解方程组，得或， 由题意得：， 解得：， 则k的取值范围是． 【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数图象与反比例函数图象交点的求法是解题的关键． 24. 某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为（单x位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度y/m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 … 请根据测得的数据，解决以下问题： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 m； （3）求所画图象对应的二次函数表达式； （4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素） 【答案】（1）见解析 （2）3.2 （3） （4）1或9 【解析】 【分析】（1）描点，连线即可； （2）观察函数图象可得答案； （3）用待定系数法可得解析式； （4）结合解析式，令可解得答案． 【小问1详解】 解：描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下： 【小问2详解】 解：由图象可得，水柱最高点距离地面的垂直高度为， 故答案为：3.2； 【小问3详解】 解：设二次函数表达式为将，，代入得： ， 解得： ∴二次函数表达式为； 【小问4详解】 解：在中，令得： ， 解得或， ∴石柱距喷水枪的水平距离为或． 故答案为：1或9． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法求出函数解析式． 25. 如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，，即可得出，进而证得，得到，即可证得结论； （2）根据勾股定理求得，得到，然后根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ， ， ∵， ，， ， 在和中， ， ， ． 与相切于点， ， 又是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：， ， 在中，，， ， ， ， 与和都相切， ， 在中，， 即：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系； （2）抛物线经过点． ①当时，若，则a的值为_______； ②若对于任意的都满足，求a的取值范围． 【答案】（1），； （2）①；②或． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得顶点坐标为，且开口向上，即可求解； （2）①根据，抛物线的对称轴为直线，即可求解；②分两种情况结合图形，即可求解． 【小问1详解】 解：当时， ，， ∴顶点坐标为，且开口向上， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 故答案为： ②对于任意的都满足， 点A、B、C存在如下情况： 情况1，如示意图，当时，有， ． 解得：． 情况2：如示意图；当时，可知， ， ，解得． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键． 27. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接． （1）求的度数； （2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明； （3）若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值． 【答案】（1）45° （2） 结论：， 证明：如图，作交的延长线于， ， 在正方形中，，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明和，可得； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明，得，从而得是等腰直角三角形，可得结论； （3）先作高线，确定的面积中底边为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当在上时，最大，其的面积最大，并求此时的面积． 【小问1详解】 解：由对称得：，， 在正方形中，，， ， 是的中点， ，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 理由如下：如图，过作于，则， 中，， ，即为定值， 当最大时，的面积最大， 连接，交于，当在上时，最大，此时与重合， ，， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28. 在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的二倍点． （1）当的半径为2时， ①在，，三个点中，是的二倍点的是______； ②已知一次函数与轴的交点是，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，则的取值范围是______． （2）已知点，，，的半径为2，若线段上存在点为的二倍点，则的取值范围是______． 【答案】（1）①，；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①的半径为时，的二倍点到的距离小于，且大于，根据圆的二倍点的含义，分别求得各点到圆心的距离即可求解； ②过作于，一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，，且且，用的代数式表示，列出不等式，即可解得的范围； （2）当且 或且时，才满足条件，由此可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：①∵，，但此时点在圆上，不合题意，故不是二倍点； ∵，，而，， ∴，是二倍点． 故答案为：， ②若，则在第二象限的图象是一条射线不含端点，不可能所有点都是的二倍点，故， 又时，，即直线过定点，过作于，如图： 由， 一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，一次函数与轴的交点是， 且 ． 【小问2详解】 ①当从左侧沿正方向移动时，线段上存在点为的二倍点，即且 如图 ∴ 解得： ②当移动到右侧，线段上存在点为的二倍点，即且时，如图： ∴， 解得：． 综上所述，线段上存在点为的二倍点时或． 【点睛】本题是一个新定义问题，涉及直线与圆的位置关系，一次函数的图象，解一元二次不等式组等知识，解题的关键是数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十四中学2024—2025学年度第一学期阶段检测 初三数学 测试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，共28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．答题不得使用任何涂改工具． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是180° B. 明天会下雪 C. 郑一枚骰子，向上一面的点数是7 D. 足球运动员射门一次，未射进 3. 函数的最小值是（） A. 1 B. C. 2 D. 4. 不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 1 5. 点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（　　） A. B. C. 2 D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为______． 10. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______． 11. 如图，，是的切线，切点分别为A，B．若，，则的长为______ ． 12. 如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_____． 13. 如图，若点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，若矩形的面积为4，则的值是______． 14. 杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为______． 15. 某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示： 移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 估计树苗移植成活的概率是________（结果保留小数点后一位）． 16. 在平面直角坐标系中，，，有以下4种说法： ①一次函数的图象与线段无公共点； ②当时，一次函数的图象与线段无公共点； ③当时，反比例函数的图象与线段无公共点； ④当时，二次函数的图象与线段无公共点． 上述说法中正确的是__________． 三、解答题（共68分，第17～20每题5分，第21题6分，第22～23每题5分，第24～25每题6分，第26～27题7分，第28题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 已知关于的二次函数，该函数图象经过点． （1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标； （2）这个二次函数图象与轴的交点坐标是______； （3）将这个二次函数的图象沿轴平移，使其顶点恰好落在轴上，请直接写出平移后的函数表达式____________． 19. 已知：如图，在中，． 求作：射线，使得． 作法：①以点A为圆心，长为半径画圆； ②延长交于点D，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点P（点C，P在线段的同侧）； ③作射线． 射线即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明 证明：连接． ∵， ∴点C在上． ∵， ∴（____________）（填推理依据）． ∵， ∴______． ∴． 20. 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 22. 2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国空间站再次进行太空授课，生动地演示了微重力环境下的四个实验现象（A．太空冰雪实验；B．液桥演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验），神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！为加深同学们的印象，某校团委组织了太空实验原理讲述的活动． （1）小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”的概率是___________； （2）若小南要从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率． 23. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出k的取值范围． 24. 某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为（单x位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度y/m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 … 请根据测得的数据，解决以下问题： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 m； （3）求所画图象对应的二次函数表达式； （4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素） 25. 如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系； （2）抛物线经过点． ①当时，若，则a的值为_______； ②若对于任意的都满足，求a的取值范围． 27. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接． （1）求的度数； （2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明； （3）若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值． 28. 在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的二倍点． （1）当的半径为2时， ①在，，三个点中，是的二倍点的是______； ②已知一次函数与轴的交点是，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，则的取值范围是______． （2）已知点，，，的半径为2，若线段上存在点为的二倍点，则的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $