期末专项复习：专题02 有理数的运算- 2024-2025学年七年级上册数学人教（2024）版（原卷+解析版）

第2章 有理数的运算 （易错点、重难点、常考点专项练习） 经典题型一：有理数加法中符号问题 【经典例题1-1】（七年级上·陕西延安·期中）将式子改写成省略括号的形式为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用有理数的加减运算法则化简得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握去括号法则及正确去括号是解题关键． 【经典例题1-2】（七年级上·四川宜宾·期中）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加法交换律逐项判断即可． 【详解】A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加法运算律．注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动． 【经典例题1-3】（七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 【详解】解：原式 故选：A． 经典题型二：有理数加减混合运算（计算题专练） 【经典例题2-1】（七年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据有理数的加法交换律、结合律可进行求解； （2）根据有理数的加减法法则可进行求解； （3）根据有理数的加减运算律可进行求解； （4）先去绝对值，然后根据加法交换律、结合律可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【经典例题2-2】（七年级上·山西太原·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【分析】（）根据有理数的加法运算法则即可求解； （）根据有理数的加法运算法则即可求解； （）根据有理数的减法运算法则即可求解； （）根据有理数的加、减法运算法则即可求解； （）根据有理数的加法运算法则和运算律即可求解； （）根据有理数的加法运算法则和运算律即可求解； （）根据有理数的加、减运算法则和运算律即可求解； （）根据有理数的加、减运算法则和运算律即可求解； 本题考查了有理数的加减混合运算和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ． 【经典例题2-3】（七年级上·山东淄博·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （）根据有理数的加、减运算法则和运算律即可求解； （）根据有理数的加、减运算法则和运算律即可求解； （）根据有理数的加、减运算法则和运算律即可求解； （）根据有理数的加、减运算法则和运算律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 经典题型三：有理数加减混合运算之拆项法 【经典例题3-1】（七年级上·广东深圳·期中）阅读下面文字： 对于可以进行如下计算： 解：原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）参照（1）的解题思路按照有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式， ， ， ， 故答案为：；；． （2）解：原式， ， ． 【经典例题3-2】（七年级上·吉林长春·期中）阅读下列材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法，请仿照这种方法计算： (1)﹔ (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握拆项法是解题的关键： （1）利用拆项法进行计算即可； （2）利用拆项法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 【经典例题3-3】（七年级上·全国·期中）拆项法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，将带分数拆分，再利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键． 【详解】解：原式， ， ， ． 经典题型四：有理数加减混合运算的实际应用 【经典例题4-1】（七年级上·辽宁锦州·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：米）：，，，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后没能回到球门线上 (2)35米 (3)6次，理由见解析 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，即可作出判断； （2）求出每次离球门的距离，判断即可； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， 则守门员最后没能回到球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线米； 第三次跑距离开球门线米； 第四次跑距离开球门线米； 第五次跑距离开球门线米； 第六次跑距离开球门线米； 第七次跑距离开球门线米； 第八次跑距离开球门线米； 第九次跑距离开球门线米．                                则守门员离开球门线的最远距离为35米； （3）解：由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10，8，18，23，35，29，20，24，10，则符合题意的有：18，23，35，29，20，24． 故对方球员有6次挑射破门的机会． 【经典例题4-2】（七年级上·陕西西安·期中）陕北红枣“味夺石蜜甜偏永，红迈朱樱色莫论”，是驰名中外的陕西传统名优特产之一，某水果批发公司的仓库6天中陕北红枣进出库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，． (1)经过这6天，仓库里的陕北红枣是增多了还是减少了？ (2)经过这6天，仓库管理员结算发现仓库里还有陕北红枣，那么6天前仓库里有陕北红枣多少吨？ (3)如果进出库的装卸费都是每吨8元，那么这6天要付装卸费多少元？ 【答案】(1)经过这6天，库里的红枣是减少了 (2)6天前库里存粮425吨 (3)这6天要付1368元装卸费 【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用， （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可； （3）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解：（吨）， 即经过这6天，库里的红枣是减少了； （2）解：（吨）， 即6天前库里存粮425吨； （3）解： （元）， 即这6天要付1368元装卸费． 【经典例题4-3】（七年级上·陕西西安·期中）为了有效控制酒后驾驶，某市一辆警车在一条南北方向的大街上巡逻，规定向北为正方向，已知从出发地开始所行驶的路程如下（单位：千米）：，，，，，，． (1)这辆警车在巡逻的过程中，最远处距出发地多少千米？ (2)若此时遇到紧急情况要求这辆警车回到出发地，请问司机该如何行驶？ (3)在（2）的条件下，当这辆警车回到出发地时，一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)4千米 (2)向北行驶2千米 (3)16千米 【分析】本题主要考查了有理数加减法在生活中的应用， 绝对值的意义，相反数的实际应用等知识． （1）分别求出每段巡逻的距离，比较即可得出答案． （2）把每段的距离相加，得出终点的位置，再根据相反数的实际应用即可得出答案． （3）求出所有数据的绝对值之和最后再加上2千米即可． 【详解】（1）解：第一段：3千米， 第二段：（千米）， 第三段：（千米）， 第四段：（千米）， 第五段：（千米）， 第六段：（千米）， 第七段：（千米）， 所以最远处距出发地4千米； （2）解：因为（千米）， 所以此时警车在出发地的南方2千米处，所以司机应向北行驶2千米； （3）解：（千米）， 答：当这辆警车回到出发地时，一共行驶了16千米． 经典题型五：有理数乘除混合运算（计算专练） 【经典例题5-1】（七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的运算，乘法运算律，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． （1）先根据有理数的减法法则将减法变为加法，再利用加法交换律和结合律进行运算即可； （2）先将原式进行变形，再利用乘法分配律进行计算； （3）先算括号，再算除法即可； （4）先将原式进行整理，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【经典例题5-2】（七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的乘除法可以解答本题； （2）根据乘法分配律计算； （3）先算乘除，后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； （4）先将转化为，再计算除法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题5-3】（七年级上·山东青岛·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的混合运算． （1）变形为省略加号和括号的加法计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）除法变为乘法后利用多个因数相乘的法则计算即可； （4）把除法变为乘法，计算乘法后再计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 经典题型六：倒数的应用 【经典例题6-1】（七年级上·广东中山·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，丽丽用了如下方法：原式的倒数为，所以． (1)请你通过计算验证丽丽的解法的正确性； (2)请你运用丽丽的解法计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)根据运算顺序计算验证即可． (2)根据范例解法计算即可． 【详解】（1） ， 故丽丽的解法是正确的． （2） ， ． 【点睛】本题考查了倒数的应用，运算律的解题应用，熟练掌握倒数，运算律是解题的关键． 【经典例题6-2】（七年级上·广东茂名·期中）数学老师布置了一道思考题：，小明仔细思考了一番，用了一种不同方法解决了这个问题，小明解法如下：原式的倒数为，所以． (1)请你判断小明的解答是否正确 (2)请你运用小明的解法解答下面的问题 计算： 【答案】(1)小明的解答正确 (2) 【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：小明的解答正确， 理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； （2）解： ， ∴． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法和除法计算，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 【经典例题6-3】（七年级上·江西赣州·期中）计算：． 小华发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题． (1)先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分． (2)前后两部分之间存在着什么关系？直接写出另一部分的结果． (3)根据以上分析，求出原式的结果． 【答案】(1)先计算第二部分，计算结果为4； (2)互为倒数关系，另一部分的结果是； (3)． 【分析】（1）利用乘法分配律可先求第二部分； （2）根据倒数的定义可知，这两部分互为倒数，利用倒数的定义直接求解即可； （3）根据加法法则求解即可． 【详解】（1）解：先计算第二部分比较简便， ； （2）解：前后两部分互为倒数， 由（1）可知第二部分的结果为4， 则前部分的结果为； （3）解：根据以上分析，可知： 原式． 【点睛】本题考查的是有理数的乘除运算，解题的关键是能发现前后两部分互为倒数，从而达到简便运算． 经典题型七：有理数乘方比较大小 【经典例题7-1】（七年级上·浙江杭州·期中）若，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数大小比较，有理数乘方运算，先根据有理数的乘方计算各个数字，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， 而， ∴， 故选：B． 【经典例题7-2】（七年级上·全国·期中）将 按从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，有理数大小比较，绝对值意义，根据乘方运算法则，绝对值意义进行计算，然后再比较大小即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 【经典例题7-3】（七年级上·江苏宿迁·期中）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数数的比较大小，解题的关键是熟练运用赋值法解决问题．根据，利用赋值法，当时，分别求出它们的值，然后比较大小即可． 【详解】解：根据，令时， 有：，， ∵ ∴， 故选择：A． 经典题型八：乘方与绝对值相反数综合 【经典例题8-1】（七年级上·广东广州·期中）已知，，且．则的值为 ． 【答案】或18 【分析】本题考查有理数的加法，乘法，乘方，以及绝对值，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．根据题意得出a和b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴或， ∴或 故答案为：或18． 【点睛】本题考查有理数的加法，乘法，乘方，以及绝对值，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【经典例题8-2】（七年级上·江苏苏州·期中）已知与互为相反数，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查相反数的性质，有理数的加法法则，绝对值的非负性，有理数的乘方，掌握这些知识是解题的关键． 根据互为相反数的和为0，结合绝对值的非负性，求出，，再根据乘方的法则求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：8． 【经典例题8-3】（七年级上·浙江·期中）已知有理数，满足：，且，则 ． 【答案】或或 【分析】由已知，分别求出x、y，根据，可知|，据此讨论、的值，问题可解． 【详解】∵， ∴或， ∵， ∴或， 又∵， ∴， 当，时，； 当，时；； 当，时，； 综上所述：或或． 故答案为：或或． 经典题型九：乘方的应用 【经典例题9-1】（七年级上·全国·期中）将一张长方形纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到条折痕，那么对折次，可以得到 条折痕． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用和探索规律，通过第一次折，第二次折，第三次折，……可以发现折痕数是以为底，以折叠次数为指数的乘方再减去，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第次对折，把纸分成部分，条折痕， 第次对折，把纸分成部分，条折痕， 第次对折，把纸分成部分，条折痕， ， 依此类推，第次对折，把纸分成部分，条折痕， ∴对折次，可以得到折痕条， 故答案为：． 【经典例题9-2】（七年级上·陕西西安·期中）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用乘方的意义解答． 根据图形的规律和乘方的意义，可以得到阴影部分的面积． 【详解】解：部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，即为； 部分②的面积是部分①面积的一半，即为； 部分③的面积是部分②面积的一半，即为； 依次类推，阴影部分的面积为 【经典例题9-3】（七年级上·山东青岛·期中）我国古代典籍《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之框，日取其半，万世不竭”．现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方的应用，正确理解题意是解题的关键．根据每次截取剩余的长度都是前一次截取剩余长度的一半进行求解然后得出规律，然后代入99即可得出答案． 【详解】解：第1次截取后剩下的长度为尺， 第2次截取后剩下的长度为尺， 第3次截取后剩下的长度为尺， … ∴第n次截取后剩下的长度为尺， ∴第99次截取后，此木杆剩下的长度为， 故答案为： 经典题型十：有理数的四则混合运算（计算专练） 【经典例题10-1】（七年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）根据混合运算的法则和运算顺序进行计算即可； （2）根据混合运算的法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【经典例题10-2】（七年级上·四川眉山·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）把化为相反数的两数，分母相同的数先加，再合并即可； （2）把原式化为，再利用乘法的分配律进行简便运算即可； （3）先计算乘方，再计算乘除，绝对值，最后计算加减运算即可； （4）先处理积的符号，再逐步利用乘法的分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题10-3】（七年级上·湖南长沙·期中）计算（写出必要的计算过程，不能只有结果）友情提醒：计算要准确 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)5 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）利用混合混算法则和运算顺序进行计算即可； （2）利用加减混合运算的法则，进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）先乘除，再计算加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 经典题型十一：有理数的四则混合运算（应用题） 【经典例题11-1】（七年级上·广东深圳·期中）某一出租车一天下午以深圳市民中心为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，十名乘客行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车位于市民中心的方向为 ，离市民中心出发点 ． (2)出租车在行驶过程中，离市民中心最远的距离为　　　． (3)出租车在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油0.2升，则汽车共耗油多少升？ (4)出租车按物价部门规定，起步价（不超过2千米）为13元，超过2千米的部分每千米的价格为2.7元，第八位乘客应付多少元打车费？ 【答案】(1)东方；2 (2)10 (3)12升 (4)23.8元 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数混合运算的实际应用．熟练掌握有理数的计算是解题的关键． （1）将记录数据相加即可，若结果为负，在公司西方，否则在公司东方； （2）分别求出各次行程离公司距离，再进行比较即可； （3）将记录数据的绝对值相加，得出行驶路程，即可求解； （4）将2千米内和超过2千米部分的费用相加即可． 【详解】（1）解：（）， ∵， ∴在公司的东方， 答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离公司出发点2，在公司的东方． 故答案围为：东方；2． （2）解：第一次：9， 第二次：（）， 第三次：（）， 第四次：（）， 第五次：，（）， 第六次：（）， 第七次：（）， 第八次：（）， 第九次：，（）， 第十次：（）， ∵， ∴离公司最远的距离是10． 故答案为：10． （3）解：（升）， 答：这辆出租车共耗油12升． （4）解：（元）， 答：第八位乘客应付23.8元打车费． 【经典例题11-2】（七年级上·安徽六安·期中）刚刚过去的一年是中国新能源市场竞争最为激烈的一年，大量的低价新车扎堆上市，引发了一连串的官方降价，等等党绝对是赢麻了．如今的中国新能源市场，不仅价格持续走低，技术迭代周期也大幅缩短，还有众多传统汽车厂商、科技企业．某电车制造商为测试电车每公里的耗电量，现在一条南北方向的路上进行测试，从地出发，约定向南走为正，当天的行走记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，，，，． (1)测试结束时，该车在地的哪个方向？求此电车与地的距离； (2)若电车每千米耗电0.03度，求该车在测试过程中共耗电多少度． 【答案】(1)该车在地的南方，此电车与地的距离为2千米 (2)该车在测试过程中共耗电1.92度 【分析】本题考查正负数的实际应用和有理数运算的实际应用， （1）将所有数据相加后，根据和的情况以及正负进行判断即可； （2）用总路程乘以每千米的耗电，进行求解即可． 【详解】（1）解： （千米）， 答：测试结束时，该车在地的南方，此电车与地的距离为2千米； （2）解： （千米）， （度）， 答：该车在测试过程中共耗电1.92度． 【经典例题11-3】（七年级上·安徽蚌埠·期中）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费.一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米） 第1批 第2批 第3批 第4批 (1)送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； (2)若王师傅的车平均每千米消耗天然气0.3元，则送完第4批客人后，王师傅共消耗了多少元天然气？ (3)在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？ 【答案】(1)西，6 (2)送完第4批客人后，王师傅共消耗了4.8元天然气 (3)在整个过程中，王师傅共收到车费38元 【分析】本题主要考查了正数和负数的应用．熟练掌握正负数的作用，绝对值的意义，分段计费，是解答本题的关键． （1）将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答； （2）先计算出在整个过程的总路程，然后乘以单价即可解答； （3）根据表格中的数据是超过3千米的分段计费，取总和，可以计算出送完第4批客人后，王师傅共收到的车费． 【详解】（1）， 即送完第4批客人后，王师傅在公司的西边，距离公司6千米； 故答案为：西，6； （2）解： （元）， 答：送完第4批客人后，王师傅消耗了4.8元的天然气； （3）解： (元)， 故在整个过程中，王师傅共收到车费38元． 经典题型十二：程序流程图与有理数的计算 【经典例题12-1】（七年级上·全国·期中）如图，若输出的值为1，那么输入x的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数混合计算，根据乘除法互为逆运算，加减法互为逆运算，求出，再根据有理数的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴输入x的值为， 故答案为：． 【经典例题12-2】（七年级上·江苏宿迁·期中）按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂图表运算方法，准确列出算式是解题的关键．根据运算程序，把代入进行计算即可得解． 【详解】解：时，， 时， 时，； 则输出的值为63， 故答案为：63． 【经典例题12-3】（七年级上·山西吕梁·期中）如图，这是一个计算程序，若输入m的值为，按如图所示的程序运算，则输出的结果应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，根据程序流程图列出算式，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 经典题型十三：算“24”点 【经典例题13-1】（七年级上·福建龙岩·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有1，8，10，，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则列式即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：依题意可得：， 故答案为：（答案不唯一）． 【经典例题13-2】（七年级上·江苏镇江·期中）已知个有理数，，，，，在这个有理数之间用“+、﹣、×、÷”连接进行四则运算，每个数只用一次，使其结果等于，你的算法是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清“点”游戏规则是解题的关键．根据“点”游戏规则列出算式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为： 【经典例题13-3】（七年级上·江苏·期中）你会玩“二十四点”游戏吗？请你在“，，，”这四个数中利用有理数的混合运算，使四个数的运算结果为（每个数只能用一次），写出你的算式 ． 【答案】 【分析】认真读题，完全掌握，，，各数之间的相互计算的结果，培养学生的计算能力． 首先将12与相加得8，然后和2与1的和相乘，结果得24． 【详解】解：，， ． 故答案为： 经典题型十四：科学记数法 【经典例题14-1】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法的知识，正确确定和的值是解题关键．科学记数法的表示形式为,其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：亿． 故答案为：． 【经典例题14-2】（七年级上·安徽合肥·期中）用四舍五入法将数347825精确到千位，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法、近似数．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【经典例题14-3】一长方形长为，宽为，其面积用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．先算出面积，再表示即可作答． 【详解】解：∵一长方形长为，宽为， 其面积为：， 故选：B. 经典题型十五：求一个数的近似值 【经典例题15-1】（七年级上·宁夏固原·期中）截至2022年8月底，我国青少年上网人数约为60000000人，将该数字改成用“万”做单位的数（    ） A．六亿 B．六千万 C．六百万 D．六十万 【答案】B 【分析】本题考查的目的是掌握利用“四舍五入法”省略万位后面的尾数求近似数的方法．精确到万位就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字． 【详解】解：万，即六千万， 故选：B． 【经典例题15-2】（七年级上·江苏·期中）把一个整数精确到万位，所得的近似数是30万，原来的这个整数可能是（　　） A．294999 B．309111 C．304997 D．30511 【答案】C 【分析】本题考查的是近似数和有效数字，用“四舍五入”法改写成用“万”作单位的数，万的下一位（千位）是小于5的数舍去，大于或等于5的向前进一位． 省略“万”后面的尾数求它的近似数，要把万位的下一位千位上的数进行四舍五入，再在数的后面带上“万”字，把各数保留用“万”作单位的数，再进行选择． 【详解】解：万； 万； 万； 万． 故选：C． 【经典例题15-3】（七年级上·江苏·期中）用四舍五入方法，按下列要求对 分别取近似值： (1)精确到千万位； (2)精确到亿位； (3)精确到百亿位． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了近似数，科学记数法； （1）把百万位上的数字7进行四舍五入，并用科学记数法表示即可； （2）把千万位上的数字9进行四舍五入，并用科学记数法表示即可； （3）把十亿位上的数字9进行四舍五入，并用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：（精确到千万位）； （2）（精确到亿位）； （3）（精确到百亿位）． 经典题型十六：定义新运算 【经典例题16-1】（七年级上·江苏宿迁·期中）定义☆运算，观察下列运算： ， ， ， ， ， ． (1)两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把它们的绝对值______．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的______． (2)计算：______；______． (3)若，，且，求的值． 【答案】(1)得正，得负，相加，绝对值 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算以及化简绝对值，乘方运算，有理数的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据新定义的内容，即可作答． （2）结合新定义的运算法则，即可作答． （3）先由，，得，因为，所以或，再代入，然后结合新定义运算法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的绝对值； 故答案为：得正，得负，相加，绝对值； （2）解：依题意，：， ； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴或， 则或． 【经典例题16-2】（七年级上·广西防城港·期中）已知a，b均为有理数，现我们定义一种新运算，规定． 例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）先根据新定义求出，再计算出得结果即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解： ， ∴ ． 【经典例题16-3】（七年级上·浙江台州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)13 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数四则混合运算等知识点，将新定义运算转化成有理数四则混合运算成为解题的关键； （1）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可； （2）先分别根据新运算法则计算两个代数式，然后比较即可； （3）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：． （3）解： ． 经典题型十七：规律问题 【经典例题17-1】（七年级上·江苏盐城·期中）观察下列各式，回答问题 ，，…． 按上述规律填空： (1) × ． (2)计算： 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查数字变化类和有理数的混合运算，解题的关键是从最简单的情形入手，找出规律，利用规律简化计算的方法． （1）首先可以看出等号的左边是1减去几的平方分之一，计算的结果是1减去几分之一乘1加上几分之一，由此规律直接得出答案即可； （2）根据（1）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：由题中前几个式子的规律得：， 故答案为：，； （2）解：由题意， ． 【经典例题17-2】（七年级上·山东济南·期中）【妙填幻方】如图①，是一个的幻方，每行三个数，每列三个数、每斜对角三个数相加的和均相等． (1)将下列各数组上的9个数分别填入图②③④所示的方格中，使得每行的三个数，每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等． 第一组：6，5，4，3，2，1，0，，； 第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1； 第三组：，，，，0，2，4，6，8． (2)如图⑤，若要按照以上规律填成，则九个数字之和为_____________． 【答案】(1)见解析 (2)90 【分析】本题主要考查了的幻方．熟练掌握幻方的和的性质，是解决本题的关键． （１）根据幻方的和的性质，一一解答．先确定中央的数，再把第二个数与第四个数（或第六个数与第八个数）填在同侧的角里，而后根据幻方和的性质计算填写； （2）根据幻方性质先确定相对角上的数，再确定剩下的数． 【详解】（1）第一组：6，5，4，3，2，1，0，，； 幻和：， 每行、列、对角的数的和：， 中央数： 中央数两侧相对的数的和：； 1 6 0 2 4 5 3 第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1； 幻和：， 每行、列、对角的数的和：， 中央数： 中央数两侧相对的数的和：； 2 9 4 7 5 3 6 1 8 第三组：，，，，0，2，4，6，8． 幻和：， 每行、列、对角的数的和：， 中央数：， 中央数两侧相对的数的和：； 8 4 0 2 6 （2）∵中央的数是10， ∴左上角是：，右上角是：， 中列上面是：，下面是：， 中行左面是：，右面是：， ∴这九个数为：5，7，8，9，10，11，12，13，15， ∴幻和为：， 故答案为：90． 7 11 12 15 10 5 8 9 13 【经典例题17-3】（七年级上·江苏无锡·期中）仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求的值． 解：令，则． 所以，即 所以 仿照以上推理过程，计算下列式子的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了规律题——数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解题目中的运算方法是解题的关键. （1）根据材料中的方法，设原式，两边乘以5变形后，相减求出S即可； （2）根据材料中的方法，设原式，两边乘以3变形后，相加求出S即可. 【详解】（1）解：设， 则， ∴， ∴， ∴； （2）设， 则， ∴， ∴， ∴. 1．（七年级上·湖北武汉·期中）已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方运算，有理数的大小比较，先根据有理数的乘方法则进行计算，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，判断大小即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选C． 2．（七年级上·河南郑州·期中）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第6次裁剪后剩下的长方形的面积， 故选：A． 3．（七年级上·河南郑州·期中）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， 故选：B． 4．（七年级上·河南安阳·期中）是由开发的一种基于深度学习的自然语言处理模型，它可以生成流畅的文本回复，并且具备广泛的应用领域，今年8月份，的全球独立访问者（），其中亿用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：亿即大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴亿用科学记数法表示为， 故选：B． 5．（七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把式子写成省略算式中的括号和加号的形式是 ． 【答案】 【分析】根据和式里可以把加号及加数的括号省略不写，进行作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数加法中的括号问题．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6．（七年级上·江西南昌·期中）将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 【答案】 【分析】根据去括号的法则：同号得正，异号得负，计算即可得到答案． 【详解】解：， 将式子写成省略括号和加号的形式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减—去括号，熟练掌握去括号的法则：同号得正，异号得负，是解此题的关键． 7．（七年级上·江苏镇江·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2024次输出的结果为 ． 【答案】3 【分析】根据流程图进行计算，再发现规律从第三次开始，第奇数次输出的结果是6，第偶数次输出的结果是3，即可求出答案．本题考查有理数与程序运算问题，从程序中找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 从第三次开始，第奇数次输出的结果是6，第偶数次输出的结果是3， 是偶数， 第2024次输出的结果为3． 故答案为：3． 8．（七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4)5 (5) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加法运算法则求解即可； （2）根据有理数的减法运算法则求解即可； （3）根据有理数的减法运算法则求解即可； （4）根据有理数的加法运算法则求解即可； （5）根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 9．（七年级上·福建龙岩·期中）【阅读理解】对于可以如下计算： 解：原式____________________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，解题的关键是理解题意． （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）， ， ， ， ， ． 10．（七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) (2)，过程见详解。 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）解：可以如下计算： 原式， 故答案为： （2）解： 11．（七年级上·全国·期中）在东西向的马路上有一个岗亭，巡岗员甲从岗亭出发以速度匀速来回巡逻，如果规定向东巡逻为正，向西巡逻为负，巡逻情况记录如下：（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求第六次结束时甲的位置． (2)在第几次结束时甲距岗亭最远？距离岗亭多远？ (3)甲巡逻了多久？ 【答案】(1)在岗亭东边处； (2)在第五次记录时距岗亭最远，距离； (3)甲巡逻了． 【分析】（）把前面次记录相加，根据和的情况判断第六次结束时甲的位置即可； （）求出每次记录时距岗亭的距离，数值最大的为最远的距离； （）求出所有记录的绝对值的和，再除以计算即可； 本题考查了正数与负数的应用，理解正负数的概念，把实际问题转化为数学是解题的关键． 【详解】（1）， 答：在岗亭东边处； （2）第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， 第五次：， 第六次：， 第七次：， 则在第五次记录时距岗亭最远，距离 ； （3）， ， 答：甲巡逻了． 12．（七年级上·福建龙岩·期中）武师傅将自己家种的苹果放到网上去卖，原计划每天卖150kg，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划相比有出入，下表是武师傅家某月一周内苹果的销售情况(超过为“+”，不足为“-”，单位：kg)． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额 0 (1)根据表格可知，销售量最多的一天销售了_____千克，最少的一天销售了_____千克，销售量最多的一天比最少的一天多销售了_____千克苹果． (2)本周的实际销售总量与原计划销售总量相比，具体是增加了还是减少了？增加或减少了多少千克苹果？ (3)若武师傅上周日卖了苹果150kg，销售量比前一天多的记为“+”，比前一天少的记为“-”，将下表的销售量的变化情况填写完整： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与前一天的变化量 【答案】(1)159，146，13 (2)增加了，增加了11kg (3)见解析 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数加减法的应用，对于（1），比较个差额的大小，即可得出答案； 对于（2），求出各差额的和，即可判断； 对于（3），先分别计算每天实际的销售量，再计算与前一天的变化量，然后填表即可． 【详解】（1）根据表格可知， 所以销售量最多的一天销售了（千克）， 最少的一天销售了（千克）， 由， 所以销售量最多的一天比最少的一天多销售了13千克苹果． 故答案为：159，146，13； （2）， 所以实际销售量是增加了，增加了11千克苹果； （3）星期一的销售量是（千克），星期二的销售量是（千克），星期三的销售量是，星期四的销售量是，星期五的销售量是，星期六的销售量是，星期日的销售量是 所以星期二比星期一的变化量，星期三比星期二的变化量，星期四比星期三的变化量，星期五比星期四的变化量，星期六比星期五的变化量，星期日比星期六的变化量． 填表为： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与前一天的变化量 13．（七年级上·陕西西安·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据有理数的加减法法则和加法运算律计算即可； （）根据有理数的加减法法则和加法运算律计算即可； （）根据有理数的乘法分配律计算即可； （）先化简绝对值，再根据有理数的乘除混合运算法则计算即可； 此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，熟练掌握有理数混合运算法则及运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 14．（七年级上·山东日照·期中）我们知道，显然与的结果互为倒数关系．小明利用这一思想方法计算的过程如下：因为 故原式． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】 【分析】根据题目所提供的的方法计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴原式=． 【点睛】本题考查了有理数的简便运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键． 15．（七年级上·云南红河·期末）观察下面的解题过程，并解决问题．求的值． ． ． ． ＝﹣2+1． ． ∴． 请用上述方法计算：． 【答案】 【分析】仿照阅读材料中的方法先求其倒数，然后根据倒数关系求解即可． 【详解】解：， =， =， =， =-2， ∴． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（七年级上·甘肃张掖·期中）2024年国庆节期间，若景区张掖七彩丹霞在9月30日的游客人数为3万人，下表为7天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 (1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了还是下降了？变化了多少？ (3)求这7天每天平均人数是多少万人？ 【答案】(1)游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差万人 (2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了万人 (3)这7天每天平均人数是万人 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加减混合运算的应用，有理数乘除法运算的应用，注意正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，根据题意列出算式是解题的关键． （1）由表知，从10月4日旅游的人数比前一天少，所以10月3日人数最多；10月7日人数最少；10月3日人数减去10月7日人数可得它们相差的人数； （2）由（1）的结论，根据正负数的意义即可求解； （3）分别计算这7天增加的人数，相加，再加上每天的3万人，可得总人数． 【详解】（1）解：10月1日至7日每天游客与9月30日相比的变化情况是： 1日：（万人） 2日：（万人） 3日：（万人） 4日：（万人） 5日：（万人） 6日：（万人） 7日：（万人） 所以游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差（万人）， 答：游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差万人； （2）解：由（1）可知，与9月30日相比，10月7日客流量是上升了，上升了万人 答：与9月30日相比，10月7日客流量是上升了万人； （3）解：这7天的游客总人数是（万人） 这7天每天平均人数：（万人） 答：这7天每天平均人数是万人． 17．（七年级上·江苏无锡·期中）若，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的逆运算，求一个数的绝对值，有理数的加法计算，先计算乘方和绝对值得到，，再由得到或，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， ∴的值为． 18．（七年级上·安徽合肥·期中）一根20米长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下的一半，第3次又剪去剩下的一半，如此剪下去，问第8次剪去后剩下的绳子有多长？ 【答案】米 【分析】表示出第一次，第二次剪去后剩下的长度，…，归纳总结得到第8次后剩下的长度即可． 【详解】解：∵第1次剪去后剩下的绳子的长度为米， ∴第2次剪去后剩下的绳子的长度为米； ∴第3次剪去后剩下的绳子的长度为米； 依此类推第8次剪去后剩下的绳子的长度为（米）． 故答案为：米． 【点睛】此题是规律类探索问题，主要考查了乘方的意义．由特殊出发探索得到规律是解题的关键． 19．（七年级上·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)259 (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算顺序以及运算法则是解题关键 （1）先去括号，再从左往右一次计算加减法即可； （2）先算乘除法再算加减法即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方再算乘法，最后算加法即可； （5）先将带分数化为假分数再约分即可； （6）先算乘方再算乘除，最后算加法即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） （5） （6） 20．（七年级上·浙江·期中）小明平时练习跳绳，每天跳绳10次，每次1分钟．下表记录他一天中10次，每次1分钟跳绳的数量（以160个为标准，超过标准的部分记为“＋”，少于标准的部分记为“－”）： 与标准的差值（单位：个） 次数 1 2 2 3 1 1 (1)小明这天跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？ (2)小明在这一天中，累计跳绳多少个？ 【答案】(1)这天跳绳个数最多的一次比最少的一次多25个 (2)这一天中，累计跳绳次数是1665个 【分析】本题主要考查了正数和负数和有理数的混合运算，明白题目中正数和负数的意义是解决问题的关键， （1）根据正数和负数的意义，算出跳的最多的一次和最少的一次，即可得到答案； （2）先按标准算出一共有1600个，再加上不足和超过 标准的一共多少个，得到答案即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可知：跳的最多的是（个），跳的最少的是（个）， ∴（个）． 答∶ 这天跳绳个数最多的一次比最少的一次多25个． （2）（个）． 答：这一天中，累计跳绳次数是1669个． 21．（七年级上·安徽淮北·期中）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 【答案】(1)输出的值为124 (2)5或 (3)6380 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算： （1）根据流程图可得算式，计算出该结果，若大于100，则输出，若不大于100，则计算的结果作为新输入的数，再计算，如此反复，直至能输出对应的结果即可； （2）根据输出的结果为380，得到平方后的结果为400，根据的平方为400，得到x乘以负4的结果为，据此求解即可； （3）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：）当时，，故输出的值为124． （2）解：，的平方为400， 或． （3）解：当时，，， 此时输出的值为6380． 22．（七年级上·全国·期中）笑笑从一副扑克牌中抽出如下四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，使得运算结果为24或，请你帮她写出两个符合要求的算式．    【答案】；（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键． 利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解：； ． 23．（七年级上·安徽合肥·期中）若有理数满足，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，绝对值的非负性，求一个数的绝对值和乘方计算，先根据乘方的逆运算法则和绝对值的意义得到，再由绝对值的非负性得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 综上所述， 的值为或． 24．（七年级上·江苏无锡·期中）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果： ______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ， ； （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 【答案】（1）；2；（2）；；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． （1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据（2）的计算结果得出规律即可； （4）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及除方的运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； ， 故答案为：，2； （2） ； 故答案为：，； （3） ， 故答案为：． （4） ． 25．（七年级上·广东深圳·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)17 (3) 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算． （1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据∶ ；，可得∶0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方； （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳*运算的法则∶ 两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ∴， 解得：， 26．（九年级上·广东湛江·期中）观察下列各式的计算结果： (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： × ； × ． (2)用你发现的规律计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中的规律解答即可； （2）根据题目中的规律解答即可； 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题． 【详解】（1）解：依题意，， ； 故答案为：； （2）解： ． 27．（七年级上·云南昆明·期中）观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ①________；②________． (2)根据规律计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的式子的结果； （2）根据题目中的式子和所求式子的特点，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数的运算 （易错点、重难点、常考点专项练习） 经典题型一：有理数加法中符号问题 【经典例题1-1】（七年级上·陕西延安·期中）将式子改写成省略括号的形式为(   ) A． B． C． D． 【经典例题1-2】（七年级上·四川宜宾·期中）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【经典例题1-3】（七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 经典题型二：有理数加减混合运算（计算题专练） 【经典例题2-1】（七年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题2-2】（七年级上·山西太原·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【经典例题2-3】（七年级上·山东淄博·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 经典题型三：有理数加减混合运算之拆项法 【经典例题3-1】（七年级上·广东深圳·期中）阅读下面文字： 对于可以进行如下计算： 解：原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【经典例题3-2】（七年级上·吉林长春·期中）阅读下列材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法，请仿照这种方法计算： (1)﹔ (2) 【经典例题3-3】（七年级上·全国·期中）拆项法计算： 经典题型四：有理数加减混合运算的实际应用 【经典例题4-1】（七年级上·辽宁锦州·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：米）：，，，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【经典例题4-2】（七年级上·陕西西安·期中）陕北红枣“味夺石蜜甜偏永，红迈朱樱色莫论”，是驰名中外的陕西传统名优特产之一，某水果批发公司的仓库6天中陕北红枣进出库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，． (1)经过这6天，仓库里的陕北红枣是增多了还是减少了？ (2)经过这6天，仓库管理员结算发现仓库里还有陕北红枣，那么6天前仓库里有陕北红枣多少吨？ (3)如果进出库的装卸费都是每吨8元，那么这6天要付装卸费多少元？ 【经典例题4-3】（七年级上·陕西西安·期中）为了有效控制酒后驾驶，某市一辆警车在一条南北方向的大街上巡逻，规定向北为正方向，已知从出发地开始所行驶的路程如下（单位：千米）：，，，，，，． (1)这辆警车在巡逻的过程中，最远处距出发地多少千米？ (2)若此时遇到紧急情况要求这辆警车回到出发地，请问司机该如何行驶？ (3)在（2）的条件下，当这辆警车回到出发地时，一共行驶了多少千米？ 经典题型五：有理数乘除混合运算（计算专练） 【经典例题5-1】（七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【经典例题5-2】（七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题5-3】（七年级上·山东青岛·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 经典题型六：倒数的应用 【经典例题6-1】（七年级上·广东中山·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，丽丽用了如下方法：原式的倒数为，所以． (1)请你通过计算验证丽丽的解法的正确性； (2)请你运用丽丽的解法计算：． 【经典例题6-2】（七年级上·广东茂名·期中）数学老师布置了一道思考题：，小明仔细思考了一番，用了一种不同方法解决了这个问题，小明解法如下：原式的倒数为，所以． (1)请你判断小明的解答是否正确 (2)请你运用小明的解法解答下面的问题 计算： 【经典例题6-3】（七年级上·江西赣州·期中）计算：． 小华发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题． (1)先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分． (2)前后两部分之间存在着什么关系？直接写出另一部分的结果． (3)根据以上分析，求出原式的结果． 经典题型七：有理数乘方比较大小 【经典例题7-1】（七年级上·浙江杭州·期中）若，，，，则（   ） A． B． C． D． 【经典例题7-2】（七年级上·全国·期中）将 按从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【经典例题7-3】（七年级上·江苏宿迁·期中）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 经典题型八：乘方与绝对值相反数综合 【经典例题8-1】（七年级上·广东广州·期中）已知，，且．则的值为 ． 【经典例题8-2】（七年级上·江苏苏州·期中）已知与互为相反数，则的值是 ． 【经典例题8-3】（七年级上·浙江·期中）已知有理数，满足：，且，则 ． 经典题型九：乘方的应用 【经典例题9-1】（七年级上·全国·期中）将一张长方形纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到条折痕，那么对折次，可以得到 条折痕． 【经典例题9-2】（七年级上·陕西西安·期中）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为 ． 【经典例题9-3】（七年级上·山东青岛·期中）我国古代典籍《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之框，日取其半，万世不竭”．现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为 ． 经典题型十：有理数的四则混合运算（计算专练） 【经典例题10-1】（七年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 【经典例题10-2】（七年级上·四川眉山·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题10-3】（七年级上·湖南长沙·期中）计算（写出必要的计算过程，不能只有结果）友情提醒：计算要准确 (1) (2) (3) (4) 经典题型十一：有理数的四则混合运算（应用题） 【经典例题11-1】（七年级上·广东深圳·期中）某一出租车一天下午以深圳市民中心为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，十名乘客行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车位于市民中心的方向为 ，离市民中心出发点 ． (2)出租车在行驶过程中，离市民中心最远的距离为　　　． (3)出租车在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油0.2升，则汽车共耗油多少升？ (4)出租车按物价部门规定，起步价（不超过2千米）为13元，超过2千米的部分每千米的价格为2.7元，第八位乘客应付多少元打车费？ 【经典例题11-2】（七年级上·安徽六安·期中）刚刚过去的一年是中国新能源市场竞争最为激烈的一年，大量的低价新车扎堆上市，引发了一连串的官方降价，等等党绝对是赢麻了．如今的中国新能源市场，不仅价格持续走低，技术迭代周期也大幅缩短，还有众多传统汽车厂商、科技企业．某电车制造商为测试电车每公里的耗电量，现在一条南北方向的路上进行测试，从地出发，约定向南走为正，当天的行走记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，，，，． (1)测试结束时，该车在地的哪个方向？求此电车与地的距离； (2)若电车每千米耗电0.03度，求该车在测试过程中共耗电多少度． 【经典例题11-3】（七年级上·安徽蚌埠·期中）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费.一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米） 第1批 第2批 第3批 第4批 (1)送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； (2)若王师傅的车平均每千米消耗天然气0.3元，则送完第4批客人后，王师傅共消耗了多少元天然气？ (3)在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？ 经典题型十二：程序流程图与有理数的计算 【经典例题12-1】（七年级上·全国·期中）如图，若输出的值为1，那么输入x的值为 ．    【经典例题12-2】（七年级上·江苏宿迁·期中）按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为 ． 【经典例题12-3】（七年级上·山西吕梁·期中）如图，这是一个计算程序，若输入m的值为，按如图所示的程序运算，则输出的结果应为 ． 经典题型十三：算“24”点 【经典例题13-1】（七年级上·福建龙岩·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有1，8，10，，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【经典例题13-2】（七年级上·江苏镇江·期中）已知个有理数，，，，，在这个有理数之间用“+、﹣、×、÷”连接进行四则运算，每个数只用一次，使其结果等于，你的算法是 ． 【经典例题13-3】（七年级上·江苏·期中）你会玩“二十四点”游戏吗？请你在“，，，”这四个数中利用有理数的混合运算，使四个数的运算结果为（每个数只能用一次），写出你的算式 ． 经典题型十四：科学记数法 【经典例题14-1】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为 ． 【经典例题14-2】（七年级上·安徽合肥·期中）用四舍五入法将数347825精确到千位，用科学记数法表示为 ． 【经典例题14-3】一长方形长为，宽为，其面积用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 经典题型十五：求一个数的近似值 【经典例题15-1】（七年级上·宁夏固原·期中）截至2022年8月底，我国青少年上网人数约为60000000人，将该数字改成用“万”做单位的数（    ） A．六亿 B．六千万 C．六百万 D．六十万 【经典例题15-2】（七年级上·江苏·期中）把一个整数精确到万位，所得的近似数是30万，原来的这个整数可能是（　　） A．294999 B．309111 C．304997 D．30511 【经典例题15-3】（七年级上·江苏·期中）用四舍五入方法，按下列要求对 分别取近似值： (1)精确到千万位； (2)精确到亿位； (3)精确到百亿位． 经典题型十六：定义新运算 【经典例题16-1】（七年级上·江苏宿迁·期中）定义☆运算，观察下列运算： ， ， ， ， ， ． (1)两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把它们的绝对值______．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的______． (2)计算：______；______． (3)若，，且，求的值． 【经典例题16-2】（七年级上·广西防城港·期中）已知a，b均为有理数，现我们定义一种新运算，规定． 例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【经典例题16-3】（七年级上·浙江台州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 经典题型十七：规律问题 【经典例题17-1】（七年级上·江苏盐城·期中）观察下列各式，回答问题 ，，…． 按上述规律填空： (1) × ． (2)计算： 【经典例题17-2】（七年级上·山东济南·期中）【妙填幻方】如图①，是一个的幻方，每行三个数，每列三个数、每斜对角三个数相加的和均相等． (1)将下列各数组上的9个数分别填入图②③④所示的方格中，使得每行的三个数，每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等． 第一组：6，5，4，3，2，1，0，，； 第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1； 第三组：，，，，0，2，4，6，8． (2)如图⑤，若要按照以上规律填成，则九个数字之和为_____________． 【经典例题17-3】（七年级上·江苏无锡·期中）仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求的值． 解：令，则． 所以，即 所以 仿照以上推理过程，计算下列式子的值： (1) (2) 1．（七年级上·湖北武汉·期中）已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（七年级上·河南郑州·期中）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（七年级上·河南郑州·期中）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（七年级上·河南安阳·期中）是由开发的一种基于深度学习的自然语言处理模型，它可以生成流畅的文本回复，并且具备广泛的应用领域，今年8月份，的全球独立访问者（），其中亿用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 5．（七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把式子写成省略算式中的括号和加号的形式是 ． 6．（七年级上·江西南昌·期中）将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 7．（七年级上·江苏镇江·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2024次输出的结果为 ． 8．（七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5) 9．（七年级上·福建龙岩·期中）【阅读理解】对于可以如下计算： 解：原式____________________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 10．（七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 11．（七年级上·全国·期中）在东西向的马路上有一个岗亭，巡岗员甲从岗亭出发以速度匀速来回巡逻，如果规定向东巡逻为正，向西巡逻为负，巡逻情况记录如下：（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求第六次结束时甲的位置． (2)在第几次结束时甲距岗亭最远？距离岗亭多远？ (3)甲巡逻了多久？ 12．（七年级上·福建龙岩·期中）武师傅将自己家种的苹果放到网上去卖，原计划每天卖150kg，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划相比有出入，下表是武师傅家某月一周内苹果的销售情况(超过为“+”，不足为“-”，单位：kg)． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额 0 (1)根据表格可知，销售量最多的一天销售了_____千克，最少的一天销售了_____千克，销售量最多的一天比最少的一天多销售了_____千克苹果． (2)本周的实际销售总量与原计划销售总量相比，具体是增加了还是减少了？增加或减少了多少千克苹果？ (3)若武师傅上周日卖了苹果150kg，销售量比前一天多的记为“+”，比前一天少的记为“-”，将下表的销售量的变化情况填写完整： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与前一天的变化量 13．（七年级上·陕西西安·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（七年级上·山东日照·期中）我们知道，显然与的结果互为倒数关系．小明利用这一思想方法计算的过程如下：因为 故原式． 请你仿照这种方法计算：． 15．（七年级上·云南红河·期末）观察下面的解题过程，并解决问题．求的值． ． ． ． ＝﹣2+1． ． ∴． 请用上述方法计算：． 16．（七年级上·甘肃张掖·期中）2024年国庆节期间，若景区张掖七彩丹霞在9月30日的游客人数为3万人，下表为7天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 (1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了还是下降了？变化了多少？ (3)求这7天每天平均人数是多少万人？ 17．（七年级上·江苏无锡·期中）若，，且，求的值． 18．（七年级上·安徽合肥·期中）一根20米长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下的一半，第3次又剪去剩下的一半，如此剪下去，问第8次剪去后剩下的绳子有多长？ 19．（七年级上·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．（七年级上·浙江·期中）小明平时练习跳绳，每天跳绳10次，每次1分钟．下表记录他一天中10次，每次1分钟跳绳的数量（以160个为标准，超过标准的部分记为“＋”，少于标准的部分记为“－”）： 与标准的差值（单位：个） 次数 1 2 2 3 1 1 (1)小明这天跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？ (2)小明在这一天中，累计跳绳多少个？ 21．（七年级上·安徽淮北·期中）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 22．（七年级上·全国·期中）笑笑从一副扑克牌中抽出如下四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，使得运算结果为24或，请你帮她写出两个符合要求的算式．    23．（七年级上·安徽合肥·期中）若有理数满足，且，求的值． 24．（七年级上·江苏无锡·期中）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果： ______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ， ； （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 25．（七年级上·广东深圳·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 26．（九年级上·广东湛江·期中）观察下列各式的计算结果： (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： × ； × ． (2)用你发现的规律计算： 27．（七年级上·云南昆明·期中）观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ①________；②________． (2)根据规律计算： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$