精品解析：江苏省南通市海安市十三校联考2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024~2025学年度上学期第二次阶段性联合测试八年级数学 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，垂直平分 ，垂足为E，交 于D，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点、关于 轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则 长为（    ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 下列等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，， 是 的中点，于点 ，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段 上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 10. 已知，则代数式的值可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，第11~12题每题3分，第13~18题每题4分，共30分） 11. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为________________. 12. 若一个边形的每一个外角为，则边数的值是__________． 13. 若分式的值为零，则x的值是______． 14. 若，则的值为________． 15. 若关于 的分式方程的解是正数，则 的取值范围是_________． 16. 在平面直角坐标系中，，，，，如果存在E，使 与全等，那么符合条件的点E有_______个． 17. 如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______． 18. 如图，在中，， 为 的中点，点 为内一动点，点 为中点，，，当最小时，则的度数为______． 三、解答题（本大题共有8小题，共90分） 19. （1）计算：； （2）分解因式：． 20. （1）先化简：，再从、、中选择一个合适的数作为 的值代入计算； （2）解方程：． 21. 如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证． 22. 甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求甲、乙两人每小时加工零件各多少个？ 23. 利用所学的知识在下列网格中进行操作，要求：仅用无刻度的直尺和圆规、保留作图痕迹，如图点A、B、C在小正方形的顶点． （1）在图1中，作出的中线AD；确定一个格点P，使； （2）在图2中，作出的高线CE； （3）的面积是___________． 24. （1）如图，在中，，在线段 上方作等腰直角三角形，，，过点 作于 ，请直接写出线段、 的数量关系为__________； （2）如图，在中，，在线段 上方作等腰直角三角形，，；在线段 的下方作等腰直角三角形，，，过点 作于G，探究线段 、、 的数量关系，并说明理由． 25. 问题提出：如图1，在锐角等腰中，， ，K是动点，满足，将线段绕点A逆时针旋转至，连接并延长，交 于点M，探究点M的位置． 特例探究：（1）如图2，当点K在 上时，连接 ，求证：； （2）如图3，当点K在 上时，求证：M是 的中点． 问题解决：再探究一般化情形，如图1，求证：M是 的中点． 26. 如果两个实数使得关于 的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于 的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于 的分式方程的解是成立，所以数对就是关于 的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对为关于 的分式方程的“关联数对”的有________（填序号）； ；； （2）若数对是关于 的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于 的分式方程的“关联数对”，且关于 的方程有整数解，求整数 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度上学期第二次阶段性联合测试八年级数学 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查轴对称图形的定义，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，理解此定义是解题关键． 【详解】解：根据轴对称图形的定义， 只有选项C能找到一条直线使得折叠后可以重合，是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，负整数指数幂，同底数幂的乘除法，幂的乘方，根据合并同类项，负整数指数幂，同底数幂的乘除法，幂的乘方运算法则逐项排除即可，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算不正确，不符合题意； 、，原选项运算不正确，不符合题意； 、，原选项运算不正确，不符合题意； 故选：． 3. 如图，在 中，垂直平分，垂足为E，交 于D，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为DE垂直平分线段AB，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，由此得到△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC= AC+ BC，又因为AB=AC=20cm，BC=15cm，由此即可求出△DBC的周长． 【详解】解：DE垂直平分AB， AD= BD， △BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC= AC+ BC 又 AB=AC=20cm，BC=15cm， △BCD的周长= 20+ 15 = 35 (cm)． 故△BCD的周长为35cm． 故选 B． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和线段的垂直平分线的性质等几何知识，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 4. 已知点、关于 轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据关于 轴对称的点的坐标特征，即横坐标相同，纵坐标相反，列式分别求出 ， 即可求解，解题的关键是熟练掌握关于 轴对称的点的坐标特征． 【详解】解：∵点、关于 轴对称， ∴，， ∴， 故选：． 5. 如图，是 的角平分线，，垂足为E，，，，则 长为（    ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点D作于点F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式可求出的面积，即可求出 的面积，即可求出答案． 【详解】解：过D作于F， 是 的角平分线，，， ， ， 的面积为9， 的面积为， ， ， ， 故选：B． 6. 下列等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质：（1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：． 7. 如图，在 中，，， 是 的中点，于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含 角的直角三角形的性质、勾股定理，连接，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得，，，由含 角的直角三角形的性质可得，求出，，，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在 中，，， 是 的中点， ，，， ，，， ， ， ，， ，，，故A、D正确，不符合题意； ， ，故B错误，符合题意； ，故C正确，不符合题意； 故选：B． 8. 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据图1可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图2可得剩余部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此即可得． 【详解】解：由图1可知，剩余部分的面积为， 由图2可知，拼成的矩形的长为，宽为，则剩余部分的面积为， 所以能验证的等式是， 故选：B． 9. 如图1， 与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在 中，，点在线段 上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和 中，， 在中，， 在中，， 在中， 综上所述，共有4对“伪全等三角形”， 故选：D． 10. 已知，则代数式的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，先由，，得出，然后通过，求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴选项符合题意， 故选：． 二、填空题（本大题共有8小题，第11~12题每题3分，第13~18题每题4分，共30分） 11. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为________________. 【答案】2.5×10-6 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.0000025=2.5×10-6， 故答案为：2.5×10-6． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 若一个 边形的每一个外角为，则边数 的值是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角，根据多边形外角和定理进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ． 故答案为：8． 13. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 14. 若，则的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】将变形，用含b的式子表示a，将变形后的式子代入所求的代数式中进行化简即可． 【详解】解：由得， 将代入，得： ． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了代数式求值及合并同类项．解题的关键是利用了整体代入的思想，准确计算． 15. 若关于 的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， 关于 的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 16. 在平面直角坐标系中，，，，，如果存在E，使 与全等，那么符合条件的点E有_______个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，画出图形，根据可判断三角形全等，从而可解答本题． 【详解】解：如图， 由图可知，使 与全等符合条件的点E有4个， 故答案为：4． 17. 如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到 边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______ ． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换、三角形的内角和定理等知识点，设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 【详解】设，根据翻折不变性可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：72． 18. 如图，在 中，， 为 的中点，点为 内一动点，点为 中点，，，当最小时，则的度数为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，两点之间线段最短，找中点 ，连接，证明，则，故有，当点三点共线时最小，且为 的长，最后证明是等腰直角三角形即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点 ，连接， ∵ 为 的中点， ∴， ∴， ∵点为 中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时最小，且为 的长， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有8小题，共90分） 19. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】（）根据单项式乘以多项式运算法则计算，再合并同类项即可； （）先提出公因式，再用平方差公式进行求解即可； 本题考查了单项式乘以多项式，利用平方差公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 20. （1）先化简：，再从、、中选择一个合适的数作为的值代入计算； （2）解方程：． 【答案】（），；（） 【解析】 【分析】（）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法，最后将符合题意的的值代入计算即可； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； 本题考查了分式的化简求值和解分式方程，熟练掌握解分式方程和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（）解： ， ∵且， ∴， 原式； （）解： ， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 21. 如图，点D在 的边 上，经过边 的中点E，且．求证． 【答案】 证明：∵点E为边 的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论． 【详解】略 22. 甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求甲、乙两人每小时加工零件各多少个？ 【答案】甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意可以得到相等关系：乙用的时间-甲用的时间，据此列出方程，解方程，求出方程的解并检验即可得到答案． 【详解】解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工个零件，根据题意得 ， 解得， ， 经检验， 是原方程的根， ∴， 答：甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件． 23. 利用所学的知识在下列网格中进行操作，要求：仅用无刻度的直尺和圆规、保留作图痕迹，如图点A、B、C在小正方形的顶点． （1）在图1中，作出 的中线AD；确定一个格点P，使； （2）在图2中，作出 的高线CE； （3） 的面积是___________． 【答案】（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作BC的中垂线与BC交于点D，连接AD即可得中线，根据网格特点以及AB的位置即可确定出点P，使； （2）过点C作AB的垂线，交AB边于点E，则CE即为所求； （3）利用割补法即可求出 的面积. 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图 由图可知； 通过数格点可知AM=1，BM=3，AN=3，NC=2，CH=1； ∴； ； ； ； ∴. 即 的面积为. 【点睛】本题主要考查尺规作图，利用尺规作图找到线段的中点、三角形的高线、利用割补法在网格图中求三角形的面积.本题的关键在于利用垂直平分线找到中点，以及将三角形补为矩形后求解三角形的面积. 24. （1）如图，在 中，，在线段 上方作等腰直角三角形，，，过点 作于，请直接写出线段 、的数量关系为__________； （2）如图，在 中，，在线段 上方作等腰直角三角形，，；在线段 的下方作等腰直角三角形，，，过点作于G，探究线段、 、的数量关系，并说明理由． 【答案】（）；（），理由见解析． 【解析】 【分析】（）过 作于点 ，由同角的余角相等得，证明，则，然后由等腰三角形的性质得，从而求解； （）过 作于点，分别证明，，然后根据全等三角形的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）如图，过 作于点 ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （），理由， 如图，过 作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 问题提出：如图1，在锐角等腰 中，， ，K是动点，满足，将线段绕点A逆时针旋转至，连接并延长，交 于点M，探究点M的位置． 特例探究：（1）如图2，当点K在 上时，连接，求证：； （2）如图3，当点K在 上时，求证：M是 的中点． 问题解决：再探究一般化情形，如图1，求证：M是 的中点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质；熟练掌握各性质及判定是解题的关键． 特例探究：（1）根据旋转的性质证明，依据 为等腰三角形且，即可解答； （2）根据，表示出，依据线段绕点A逆时针旋转至，表示出，由证出，，即可得结论； 问题解决：连接，过点C作于E，过点B作，根据旋转性质得，在证，，即可的结论 【详解】解：特例探究 （1）证明：线段绕点A逆时针旋转至， ． 在和中， ， ， ． 又，， ， （2）在 中，， ， 线段绕点A逆时针旋转至， ， ， ， 所以， ， ，， ，即M是 的中点． 问题解决 如图，连接，过点C作于E，过点B作，交 的延长线于F． 线段绕点A逆时针旋转至， ∴同（1）可证得， ， ， ， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 即M是 的中点． 26. 如果两个实数使得关于 的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于 的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于 的分式方程的解是成立，所以数对就是关于 的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对为关于 的分式方程的“关联数对”的有________（填序号）； ；； （2）若数对是关于 的分式方程的“关联数对”，求 的值； （3）若数对（且，）是关于 的分式方程的“关联数对”，且关于 的方程有整数解，求整数 的值． 【答案】（1） （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义计算即可； （）根据“关联数对”定义计算即可； 本题考查了新定义，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：若，分式方程的解为无解，不符合“关联数对”的定义，故不正确； 若，，分式方程的解为，符合“关联数对”的定义，故正确； 若，，分式方程的解为不符合 “关联数对”的定义，故不正确. 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵数对是关于 的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； 【小问3详解】 解：∵数对（且，）是关于 的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵可化为， 解得：， ∵方程有整数解， ∴整数，，即 ，，，， 又∵，， ∴， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $