精品解析：山东省聊城市临清市第一中学2024-2025学年高一上学期月考（二）（12月）数学试题

2024-2025学年度高一第一学期月考（二） 数学试题 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点为1，2，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为．年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国四川九寨沟县发生里氏级地震的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 7. 已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数当时，方程的根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数相等的是（ ） A. 函数与函数 B. 函数与函数 C. 函数与函数 D. 函数与函数 10. 记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ） A. 方程有三个根 B. 的单调减区间为和 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调增函数，记，若，则. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是______. 13. 已知函数的图像过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则__________. 14. 已知函数.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2）. 16. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.淮安市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与肥料费（单位：元）满足如下关系： 其它成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）. 已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，且函数在上最小值为，求实数的值. 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高一第一学期月考（二） 数学试题 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】. 故选：B 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数定义域以及根式和分母的限定条件得出不等式，可求出结果. 【详解】根据题意可知，解得. 因此该函数的定义域为. 故选：B 3. 函数的零点为1，2，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据三个二次的关系可得系数的值，进而可得一元二次不等式的解集. 【详解】因为函数的零点为1，2，所以方程的根为， 由根与系数关系得. 所以不等式即为，， 所以不等式的解集为或. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数运算规则和对数函数单调性求得的大小关系及其取值范围，再求得c的取值范围，进而得到三者之间的大小关系. 【详解】由题意得，， ， 由，可得，又， 则，故 又，则，则. 故选：D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】由，解得，所以函数的定义域为，显然关于原点对称， 因为，所以是偶函数， 函数图象关于轴对称，故排除选项AC， 当时，，则，排除选项B. 故选：D 6. 尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为．年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国四川九寨沟县发生里氏级地震的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】C 【解析】 【分析】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,可得出，利用对数的运算性质可求得的值，即可得解. 【详解】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和, 由已知可得， 则，故． 故选：C. 7. 已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得图象关于对称，且在上单调递减，据此可得答案. 【详解】令，则，因， 则，则图象关于对称； 又对任意，都有， 则在上单调递减，又图象关于对称， 则在上单调递增，在上单调递减. . 故选：A 8. 已知函数当时，方程的根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】结合分段函数、周期函数和函数零点的含义结合两个函数图像求解. 【详解】当时，即则的周期为 画出函数的图像， 令则又因为则 由图可知方程 的根的个数即为两个函数图像交点的个数， 由图像可知，当时，存在一个零点，因为时， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，恒成立，则两函数无零点. 综上所述，两函数有三个零点. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数相等的是（ ） A. 函数与函数 B. 函数与函数 C. 函数与函数 D. 函数与函数 【答案】AB 【解析】 【分析】利用函数相等的条件是定义域、解析式必须都相同，再来判断这两个要素即可得解. 【详解】因为函数，定义域为， 所以函数与函数是同一个函数，故A正确； 因为函数，定义域为， 所以函数与函数是同一个函数，故B正确； 因为函数，定义域为， 而函数的定义域为，这两个函数因为定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故C错误； 因为函数，定义域为， 而函数的定义域为或，这两个函数因为定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故D错误； 故选：AB. 10. 记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ） A. 方程有三个根 B. 的单调减区间为和 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由的定义可得图象，结合图象依次判断各个选项即可. 【详解】由的含义可得图象如下图所示， 由图象可知： 对于A，与有且仅有三个不同交点，即有三个根，A正确； 对于B，的单调递减区间为和，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，无最小值，D错误. 故选：AC. 11. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调增函数，记，若，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“倒函数”的定义判断A；举反例排除B；利用“倒函数”的定义求解析式可判断C；利用函数单调性与奇偶性的定义判断的性质，从而判断D. 【详解】对于A，对于，则， 所以， 则函数是“倒函数”，故A正确； 对于B，取，则， 所以， 此时在R上为“倒函数”，但，故B错误； 对于C，当时，则，所以，故C正确； 对于D，因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数， 所以， 任取、且，则，所以，， 所以 ， 所以函数为上的增函数， 因为，故函数为上的奇函数， 当时，即，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是______. 【答案】（也可以写作） 【解析】 【分析】利用复合型对数函数的定义域求得的定义域，再利用二次函数与复合函数的单调性即可得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 令，其图象开口向下，对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，则函数在其定义域内为减函数， 所以由复合函数单调性知，的单调递增区间是. 故答案为：. 13. 已知函数的图像过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得以及，即可解出，得到该函数的解析式，并由定义判断出该函数的奇偶性. 【详解】由题意，函数的图像过原点，则，即， 又的图象无限接近直线但又不与该直线相交， 由翻折变换和平移变换可得， 所以函数的解析式. 故答案为：. 14. 已知函数.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，需满足，继而结合函数单调性求出两函数的最小值，讨论的范围，并解不等式即可求得答案. 【详解】由题意知，对于任意的，存在，使得， 即需满足， 函数在上单调递减，所以， 当时，在区间上单调递增，则， 所以，解得，所以， 当时，在区间上单调递减，则， 所以，解得，所以， 当时，符合题意， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式以及分数指数幂的运算，即可求得答案. （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.淮安市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与肥料费（单位：元）满足如下关系： 其它成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）. 已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当投入的肥料费用为30元时，获得的利润最大，最大利润是270元. 【解析】 【分析】（1）由单株产量乘以售价减去肥料费和其它成本投入可得出的函数关系式； （2）利用二次函数的单调性求出当时，的最大值，由基本不等式求出当时，的最大值，即可得出答案. 【小问1详解】 （1）由题意可得. 故的函数关系式为. 【小问2详解】 （2）由（1）, 当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立． . 因为，所以当时，. 当投入的肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，最大利润是270元. 17. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：由得，即的定义域为， 所以的定义域关于原点对称. 又， 所以函数是奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇函数定义证明即可； （2）问题等价于，再转化为二次函数恒小于等于0解之即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为和在上分别是增函数和减函数， 所以在上为增函数， 所以在上的最小值为. 由题知对恒成立， 即对恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，且函数在上最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义和性质，可得所求值； （2）求得的单调性，参变分离转化为函数最值问题，即可得实数的取值范围； （3）求得，应用指数函数的单调性和换元法，可得所求值． 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数，所以， 所以，所以，经检验，当时，为上的奇函数. 【小问2详解】 由（1）知：， 因为，所以，又且，所以， 则函数与均为上的单调递减函数， 所以是上的单调递减函数， 又是定义域为的奇函数， 所以， ,， 令，又在区间上单调递减， 所以的最大值为， 所以. 【小问3详解】 由（1）知：， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以， 令，则， 因为在上为增函数，且，所以， 因为在上最小值为， 所以在上的最小值为， 因为的对称轴为， 所以当时，，解得或（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 综上可知：. 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由已知可得在上单调递增，列关于的方程组求解； （2）①利用换元法将问题化为，利用配方法求不等式右侧的最小值，从而得解； ②将问题转化为有两个，数形结合得到或，从而转化为关于的不等式组求解. 【小问1详解】 ， 在上单调递增， 故，解得； 【小问2详解】 ①由（1）知，， ， 不等式可化为， 即，令，则， ，原命题等价于， 记，则， 的取值范围是； ②方程可化为： ， 令，则方程化为， 方程有三个不同实数解， 由的图象知， 方程有两个， 且或， 记， 则或， 解得， 实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：关于方程根的个数问题的思路有： （1）对方程进行整体换元； （2）根据换元的对象，由图象变换，画出其图象； （3）根据方程根的个数，分析函数值的取值范围及二次方程根的个数； （4）利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $