第2课时 运用平方差公式因式分解-【提优精练】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

智学酷提优精练 数学八年级上册(RJ) 第2课时 运用平方差公式因式分解 片基础培优题 花摇教材，高于教材 知识点三用平方差公式分解因式的应用 6.若a一b=5,则a2一b2-10b的值为( 一题两用（理解知识·激活思雏） A.5 B.10 C.15 D.25 1.分解因式：x2一36y 7.有一个圆形的花坛，其半径为4m,现要扩建 基础设问 这个花坛，将其半径增加2m,这样花坛的面 (1).x2-36y2=(x+6y)· 积将增加多少平方米？ (2)若x2-36y2=(x十my)(x一my),则 m的值为 延展设问 (3)若x2一Ny2可以分解因式为(x十 my)(x一my),m是非零整数.则N满足 的条件是 知识点一运用平方差公式分解因式 2.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是 片能力提升题 棕合应用，提升能力 8.对于多项式：(1)x2-y2:(2)-x2-y2; A.1-a3 B.x2-25 (3)4x2一y:(4)一4十x2,能用平方差公式分 C.a*b2-min2 D.-a2-9b 解因式的有 () 3.(教材P116例3(2)变式)将(.x+3)2一(x A.1个 B.2个 C.3个D.4个 1)2分解因式正确的是 9.现有一些式子：①552-452；②5552-4452： A.8(x-1) B.4(2x+2) ③55552一4445…则第8个式子的计算 C.4(.x+1) D.8(.x+1) 结果用科学记数法可表示为 () 4.请写出一个多项式，要求该多项式能利用平 A.1.1111111×10 B.1.1111111×10 方差公式进行因式分解，且有一项是4a2.符 C.1.111111×10% D.1.1111111×10 合要求的多项式可以是 5.分解因式： 10.已知x和y满足方程组 +w红则 (1)-16.x2+y2; 9x2一4y2的值为 (2)4(x+y)2-9(x-y)2 11.分解因式： (1)a(a2-1)-a2+1; (2)(a+1)(a-1)-8. ◆82 第十四章 整式的乘法与因式分解 12.下面是小淇同学把多项式一16my2+4m.x2 忧素养创新题 挑成创斯，素养发展 分解因式的具体步骤： 14.(开放题)老师在黑板上写出 -16my2+4m.x2 三个算式：52一32=8×2,92一 =4m.x2一16my2(加法交换律) 72=8×4.15-32=8×27.王 =m(4x2一16y2)(提取公因式m)》 华接着又写了两个具有同样 =m[(2.x)2一(4y)2门（逆用积的乘方公式） 规律的算式：112一5=8×12,15一72= =m(2x十4y)(2x一4y).(运用平方差公式) 8×22. (1)事实上，小淇的解法是错误的，造成错误 (1)请你再写出两个具有上述规律的算式 的原因是 (不同于上面算式)： (2)请给出这个问题的正确解法. (2)用文字写出反映上述算式的规律： (3)证明这个规律的正确性。 13.如图，定：上方相邻两整式 之和等于这两个整式下方箭 头共同指向的整式。 中数数字科 (1)求整式M,P; (2)将整式P分解因式： (3)求P的最小值 3x(x-3) M 3r2-4r-20 (x+2 P 中数存科技 中数数字科 w83看错了b,但a是正确的，他分解的结果为 一5，-2a=6,解得a=-3. (x十2)(x十4)=x+6.x十8，所以a=6.同 (2)9解析：因为(2x一1)(x十5)=2x”+ 理，乙看错了a,但b是正确的，分解结果为 9x-5=2x2+bx-5,所以b=9. (x十1)(x+9)=x2+10x十9.所以b=9.因 (3)解：设另一个因式为x十n,则2x+ 此a+b=15. 5.x-k=(2x-3)(x+n)=2x2+(2m- 2.C3.-54.A5.D6.A 3)x-3n, 7.解：(1)原式=-4x(6x-3x+7). 所以2m一3=5，k=3m,解得1=4，k=12. (2)原式=6(m一n)产(m一n一2). 故另一个因式为x十4，k的值为12. 8.B解析：(a一1)2-a+1=(a-1)-(a- 15.(1)提公因式法2 1)=(a-1)(a-1-1)=(a-1)(a-2). (2)2023(1+x)2e 【关健】特化找出多项式的公因式是关健 (3)解：原式=(1+x)[1+x+x(x+1)门+ 9.B解析：由题意，得2(a十b)=10,ab=6, x(x+1)2+十x(x+1)" 所以a十b=5,所以ab十ab=ab(a十b)= =(1+x)2(1+x)+x(x+1)3+…+ 6×5=30. x(x+1) 【技巧】提取公国式后，利用整体思想求解. =(1十x)3+x(x+1)++x(.x+1)" 102解析：设另一个因式为x十m,则x2一 =(x十1)"十x(x十1)" 3x十k=(x十m)(x-2). =(x十1)+1. 因为(.x十m)(x一2)=x十(m一2)x一2m, 第2课时运用平方差公式因式分解 所以m一2=一3，解得m=一1，所以k 1.(1)(.x-6y)(2)±6 一2n=2. (3)N是除0外整数的平方 11.2解析：(x-5)(.x+3)=x2+3.x-5.r一 2.D3.D 15=x2一2x-15,因为x-5与x+3都是 4.4a2一1（答案不唯一） 多项式x”一kx一15的因式，所以一k=一2， 5.解：(1)原式=(-4x+y)(4x十y). 解得k=2. (2)原式=[2(x+y)+3(x-y)][2(.x+ 12.一31解析：(2x-21)(3x一7)一(3x一 y)-3(x-y)]=(5x-y)(-x+5y). 7)(x-13)=(3x-7)(2x-21-x+13)= 6.D (3x-7)(.x-8). 7解：由题意，得扩建后的半径R一4十2 因为(2x一21)(3x-7)-(3x-7)(x-13) 6(m). 可分解因式为(3r+a)(r+b), 所以花坛增加的面积S增=r(R2一r2)=rX 所以(3x-7)(x-8)=(3x+a)(+b). (62-42)=20x(m2). 所以a=一7，b=一8， 【美键】增加的面积是则环的面积，即用大国 故a+36=-7+3×(-8)=-31. 的面积减去小国的面积， 13.解：(1)原式=(a一3)2+2(a-3) 8.B解析：(1)x2一y2=(x+y)(x一y),能用 =(a-3)(a-3+2) 平方差公式分解因式，故符合题意： =(a-3)(a-1). (2)一x2-y2=一(x2十y2),不能用平方差公 (2)原式=(x-2y)(2x+3y)+2(x-2y)· 式分解因式，故不符合题意： (5.x-y) (3)4x一y,不能用平方差公式分解因式，故 =(x-2y)[2x+3y+2(5.x-y)] 不符合题意： =(r-2y)(2x+3y+10.r-2y) (4)一4+x2=x2一4=(x+2)(x一2)，能用 =(x-2y)(12x+y). 平方差公式分解因式，故符合题意 14.(1)一3解析：因为(x一2)(x十a)=x2十 综上所迷，能用平方差公式分解因式的有(1)(4)， (a-2)x-2a=x2-5.x十6，所以a-2 共2个. ◆50 9D解析：根据题意，得第8个式子的计算结果 y=(r-y):. 为555555555-444444445=(555555555+ 7.A解析：x2+y2一4x一2y十8=x-4x1 444444445)×(555555555-444444445)= 4+y2-2y+1+3=(x-2)+(y-1)2+3. 1.1111111×10°. 因为(x一2)0，(y一1)≥0， 10.6解析：由6r一4y=3,得3x一2y=1.5, 所以(x一2)+(y-1)2+3≥3. 所以9.x”-4y2=(3.x+2y)(3.x-2y)=4× 所以不论x,y为任何实数，x2十y2一4x一 1.5=6. 2y十8的值总是正数. 11.解：(1)原式=a(a2-1)-(a2-1) 8.180解析：因为一个长方形的长与宽分别为 =a(a+1)(a-1)-(a+1)(a-1) a,b,周长为12，面积为5，所以ab=5,a十 =(a+1)(a-1). b=6,ab+2ub+a'b=ab (b*+2ab+ (2)原式=a2-1-8=a2-9=(a+3)(a-3). a*)=ab(a+b)2=5×6=180. 12.(1)公因式没有提取完 9.C解析：因为4x一(k十1)x十9能用完全 (2)解：原式=4m(x2一4y2)=4m(x+ 平方公式图式分解，所以k十1=士12，解得 2y)(x-2y). k=-13或11. 13.解：(1)根据题意，得M=(3x2一4x一20)一 10.(m十3)2解析：m(m十8)+9一2m=m2十 3.x(x-3)=3x2-4x-20-3x2+9.x 8m+9-2m=m2+6m+9=(m+3)2. 5.x-20: 11.3解析：图为1a一2|+b2一2b十1=0.所以 P=3.x-4x-20+(x+2)=3.x2-4x |a-2|+(b-1)=0.所以a-2=0.b 20+x2+4x+4=4x2-16. 1=0,所以a=2,b=1,所以a2一b=4一 (2)P=4x2-16=4(x2-4)=4(x+2)(x-2. 1=3. (3)因为P=4.x2-16,x2≥0， 12.解：(1)(x-6x)+18(x2-6.x)+81 所以P≥一16，即P的最小值为一16. =(x-6.x+9)=[(x-3)2]=(x-3). 14.(1)解：答案不唯一，例如： (2)(x2+16y2)2-64x2y 112-9=8×5.13-11=8×6. =(x2+16y2+8.xy)(.x2+16y2-8.xy) (2)解：任意两个奇数的平方差是8的倍数. =(.x+4y)2(x-4y)2 (3)证明：设m,!为整数，两个奇数可表示 13.解：由题意，得1m十4十(n一1)=0， 为2m+1和2n+1,则(2m+1)°一(2m十 所以十40·解得m=一· 1)2=4(m-n)(m十n十1). n一1=0. n=1. ①当m,n同是奇数或偶数时，m一一定为 所以(x2+4y2)-(m.xy+n)=x2+4y2+ 偶数，所以4(m一n)(m十n十1)一定是8的 4xy-1=(x+2y)2-1=(x+2y+1)(x+ 倍数： 2y-1). ②当m,n是一奇一偶时，m十n十1一定为 14.解：(1)该同学因式分解的结果不正确， 偶数，所以4(m一n)(m十n十1)一定是8的 设x2一4x=y,则原式=(y+2)(y+6)+ 倍数. 4=y2+8y+16=(y+4)2=(x2-4x+ 综上所述，任意两个奇数的平方差是8的 4)2=(.x-2)°. 倍数. (2)设a2-2a=m, 第3课时运用完全平方公式因式分解 则原式=m(m+2)十1=m2十2m十1 1.(1)8(2)-8(3)±8 (m+1)2=(a2-2a+1)2=(a-1) 2.B3.C4.B5.A 15.解：△ABC是等边三角形.理由如下： 6.解：(1)原式=9(x一y)2+6(x一y)+1 因为a2+b2+c2-ab一x-ac=0, =[3(x-y)+1]=(3.x-3y+1). 所以2(a2十b2十c-ab-x-ac)=0. (2)原式=x2+2xy+y2-4xy=x2-2.xy+ 所以2a+2b2+2c-2ab-2x-2ac=0. 51