第12讲 反比例函数的图像、性质及应用（讲义，3考点+4命题点18种题型（含4种解题技巧）)-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第三章 函数 第12讲 反比例函数的图像、性质及应用 （思维导图+3考点+4命题点18种题型（含4种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 反比例函数的图像与性质 考点二 反比例函数与一次函数 考点三 反比例函数的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数的图像与性质 ►题型01 反比例函数的定义 ►题型02 判断反比例函数的图像 ►题型03 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 ►题型04 根据反比例函数的图像确定其解析式 ►题型05 判断反比例函数所在象限 ►题型06 已知反比例函数经过象限求参数取值范围 ►题型07 由反比例函数增减性求值 ►题型08 由反比例函数的性质比较大小 ►题型09 求反比例函数解析式 ►题型10 与反比例函数有关的规律有关的探究问题 ►题型11 以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质 命题点二 反比例系数k的几何意义 ►题型01 已知反比例系数求图形面积 ►题型02 已知图形面积求反比例系数 命题点三 反比例函数与实际问题 ►题型01 反比例函数与实际问题 ►题型02 新考法：新考法问题 ►题型03 新考法：跨学科问题 命题点四 反比例函数与一次函数 ►题型01 一次函数与反比例函数综合 ►题型02 反比例函数与几何图形综合 01考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 反比例函数图像上点的坐标特征 ★ 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式； 能画反比例函数的图像，根据图像和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图像的变化情况. 反比例函数的增减性 ★★ 反比例函数的图像共存 ★★ 反比例函数解析式的确定 ★ 反比例函数中比例系数k的几何意义 ★★★ 反比例函数的实际应用 ★★ 能用反比例函数解决简单实际问题. 【考情分析1】对反比例函数的图像和性质的考查一般包含对反比例函数的增减性、中心对称性及系数k的几何意义的考查，难度中等，试题多以选择题、填空题的形式出现，当利用反比例函数的增减性比较函数值的大小时，应注意图像是否在同一象限内. 【考情分析2】反比例函数与一次函数综合是中考的常考内容，试题多以解答题形式出现，难度中等，一般情况下是两函数图像相交，通过交点坐标同时满足两函数解析式来确定函数的解析式及交点坐标，体现了函数与方程的关系. 【考情分析3】利用反比例函数解决实际问题考查较少，试题形式多样，难度不大，但较为典型，常结合物理、化学等科目内容进行考查，涉及密度、浓度等问题，故解题时除必须掌握的数学知识外，其他学科知识也要有所了解. 【备考建议】反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，考生在复习该考点时，需要掌握其各性质规律，并且多注意其与几何图形结合题的思考探究. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 反比例函数的图像与性质 1. 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 2 .双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 3. 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 4. 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 5. 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 1．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴A在第二象限，B，C在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 5．（2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． （1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式； （2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， ∴． 考点二 反比例函数与一次函数 1.一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 2. 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 2．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 3．（2023·浙江金华·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标． 4．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 5．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． （）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （）分别求出的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入得，， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 考点三 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）    A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】根据题意代入数据求得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，函数为反比例函数， 当时，， 即函数图象经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键． 2．（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 3．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）． 【答案】64 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值． 【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为， ∵过， ∴（V）， 故答案为：64． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴，即， 故答案为：． 5．（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．    (1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）； (2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎． 【答案】(1)气球的半径至少为时，气球不会爆炸； (2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【分析】（1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出； （2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【详解】（1）设函数关系式为， 根据图象可得：， ， 当时，， ， 解得：， ， 随的增大而减小， 要使气球不会爆炸，，此时， 气球的半径至少为时，气球不会爆炸； （2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数的图像与性质 ►题型01 反比例函数的定义 1．（2024·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 2．（2023·海南·中考真题）若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】把点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图像经过点，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】将点的坐标代入函数解析式即可． 【详解】解：将代入得： ， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数值求自变量是解题的关键． ►题型02 判断反比例函数的图像 1．（2023·江苏扬州·中考真题）函数的大致图像是(   ) A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数自变量的取值范围排除错误选项． 【详解】解：函数自变量的取值范围为． 对于B、C，函数图像可以取到的点，不符合题意； 对于D，函数图像只有的部分，没有的部分，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了根据函数表达式选函数图像，解题的关键是根据函数表达式分析出图像的特点，进而对错误选项进行排除． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，一次函数图象，反比例函数图象等知识．熟练掌握函数图象，一次函数图象，反比例函数图象是解题的关键． 由图象可知，当时，随着的增大先增大后减小，A中，由，可知当时，随着的增大而减小，进而可判断A的正误；B中为与的和，如图，由一次函数图象与反比例函数图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，进而可判断B的正误；C中当时，，的图象经过点，进而可判断C的正误；D中当，无意义，进而可判断D的正误． 【详解】解：由图象可知，当时，随着的增大先增大后减小， A中，由，可知当时，随着的增大而减小，故不符合要求； B中为与的和，如图， 由一次函数图象与反比例函数图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，故符合要求； C中当时，，的图象经过点，故不符合要求； D中当，无意义，故不符合要求； 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据列表、描点、连线画出的图象，即可解题． 【详解】解：列表： x … 1 2 3 … y … … 描点，连线，画出函数图象如图， 故选：C． 4．（2023·河北廊坊·三模）若函数和函数在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则坐标系的纵轴是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的取值分析即可得到答案． 【详解】解：， 的图象在第一象限，的图象在第二象限， ， 函数的图象更靠近坐标轴， 坐标系的纵轴是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5．（2023·河南信阳·一模）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 … … m 4 2 1 …    (1)__________________． (2)请画出函数的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 【答案】(1) (2)见解析 (3)①减小；②右；2；③ 【分析】（1）把代入函数即可解答； （2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴， 故答案为； （2）函数图象如图所示：    （3）解：①当时，随的增大而减小； ②的图象是由的图象向右平移2个单位长度而得到的； ③图象关于点中心对称； 故答案为：①减小；②右；2；③． 【点睛】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质． ►题型03 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 1）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上； 2）若（a，b）在反比例函数图像上，则（b，a）在也在该图像上. 1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 2．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是 ． 【答案】0 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得 【详解】一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 一次函数与反比例函数的图象关于原点对称， 故答案为：0 【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数图像的性质，掌握以上性质是解题的关键． 3．（2024·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键． 先根据点是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点是双曲线上的点， ， ∵直线与双曲线交于点两点， 即两点关于原点对称． ， ， 故答案为：10． 4．（2024·重庆·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的中心对称性，勾股定理，待定系数法求反比例函数的解析式，利用函数的对称性求得的长度是解题的关键．根据对称性可得，利用勾股定理求得，由此可求出点的坐标，然后运用待定系数法即可求得答案． 【详解】反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点 轴于点， 反比例函数的图象过点 ，即 故答案为：12． ►题型04 根据反比例函数的图像确定其解析式 1．（2023·贵州贵阳·一模）反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．5 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，当时，，则；当时，，则，所以，即可求解． 【详解】解：由图可知：当时，，即，则， 当时，，即，则， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质． 2．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义．设分别于x轴交于点E，G，与y轴交于点F，H，可得边形，均是矩形，从而得到 ，进而得到，再由反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，设分别于x轴交于点E，G，与y轴交于点F，H， ∵四边形是矩形，矩形的边分别平行于坐标轴， ∴，， ∴四边形是矩形， 同理四边形均是矩形， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上，点A的坐标为， ∴， 解得：． 故选：B 3．（2021·四川甘孜·中考真题）如图，点A，B在反比例函数（）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，通过证得△AOM∽△BAN，即可得到关于k的方程，解方程即可求得． 【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N， ∵∠OAB=90°， ∴∠OAM+∠BAN=90°， ∵∠AOM+∠OAM=90°， ∴∠BAN=∠AOM， ∴△AOM∽△BAN， ∴， ∵点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1， ∴A（2，），B（k，1）， ∴OM=2，AM=，AN=-1，BN=k-2， ∴， 解得k1=2（舍去），k2=8， ∴k的值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键． 4．（2023·浙江杭州·三模）两位同学在描述同一反比例函数的图象时，圆圆说：“这个反比例函数图象上任意一点到两坐标轴的距离之积是20．芳芳说：“这个反比例函数图象与直线有两个交点”．你认为这两个同学所描绘的反比例函数对应的表达式是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义及图象性质求解． 【详解】设反比例函数为， 则 ∵反比例函数图象与直线有两个交点 ∴反比例函数图象位于二、四象限，即 ∴ ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查反比例函数的定义、图象性质，掌握反比例函数的解析式及图象性质是解题的关键． ►题型05 判断反比例函数所在象限 1．（2023·湖南永州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M所在的象限，即可解答 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第一、三象限， 故点M可能在第一象限或者第三象限， 的横坐标大于0， 一定在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k值的关系是解题的关键． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质. 先利用一元二次方程无实数根得到，解得，则，根据反比例的图象和性质即可判断反比例函数的图象所在的象限. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限， 故选：C 3．（2024·安徽六安·模拟预测）直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象与系数的关系．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限均有随的增大而减小；当时，图象在二、四象限均有随的增大而增大．熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限， ∴，； ∴ ∴反比例函数的图象位于第二、四象限 故选：C 4．（2024·广东广州·一模）已知一次函数经过点，正比例函数不经过第三象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数、一次函数、反比例函数图象．熟练掌握正比例函数、一次函数、反比例函数的图象是解题的关键． 由正比例函数不经过第三象限，可得，由一次函数经过点，可知一次函数经过第二、三、四象限，即，进而可判断反比例函数的图象位于第二、四象限． 【详解】解：∵正比例函数不经过第三象限， ∴， 又∵一次函数经过点， ∴一次函数经过第二、三、四象限， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， 故选：D． ►题型06 已知反比例函数经过象限求参数取值范围 1．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象及其性质，完全平方公式．根据多项式是一个完全平方式得，再根据反比例函数的图象位于第二、四象限得，由此解得，据此可得出的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ， 故答案为：． 2．（2024·江苏南京·三模）如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系 ．（用“或”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数、的图象分布在第三象限， ∴，， 又∵反比例函数随的增大减小的更快， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第四象限， ∴， ∴． 3．（2024·河南商丘·模拟预测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，先根据反比例函数的图象位于第一、三象限求出k的取值范围，再求方程根的判别式并判断其符合，从而得解． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选C． 4．（2024·辽宁本溪·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点M，且，则k的值为（　　） A．4.5 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等．连接，根据反比例函数k的几何意义可得出， ，再结合，即可求出，最后根据反比例函数的图象在第四象限，即可求出结果． 【详解】解：如图，连接． ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ． ∵， ∴， ∴． ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴， ∴． 故选B． ►题型07 由反比例函数增减性求值 1) 当k＞0时，同象限：，整体：. 2) 当k＜0时，同象限：，整体： 1．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 2．（2024·江苏镇江·二模）反比例函数，当时，函数y的最大值与最小值之差为6， 则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，结合，函数y的最大值与最小值之差为6，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数 ∴反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小 ∵当时，函数y的最大值与最小值之差为6， ∴， 解得， 故答案为：9． 3．（2022·湖北武汉·中考真题）在反比例的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断可求出k的值，再根据反比例函数的性质即可确定k的值． 【详解】解：∵x2-kx+4是一个完全平方式， ∴-k=±4，即k=±4， ∵在反比例函数y=的图象的每一支上，y都随x的增大而减小， ∴k-1＞0， ∴k＞1． 解得：k=4， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，完全平方式，根据反比例函数的性质得出k-1＞0是解此题的关键． 4．（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数． (1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例的性质， 根据反比例函数得性质得，求解不等式即可； 将点A代入可求得，整体代入即可反比例函数解析式． 【详解】（1）解：∵该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小， ∴， 解得； （2）∵点在反比例函数图象上， ∴， 则， 故反比例函数解析式为． ►题型08 由反比例函数的性质比较大小 1．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 2．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 3．（2024·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ， ，， ． 故选：A． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）反比例函数的图象向右平移个单位长度得到一个新的函数，当自变量x取1，2，3，4，5，…，（正整数）时，新的函数值分别为，，，，，…，其中最小值和最大值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．图象向右平移个单位长度得到一个新的函，因为，结合图形可知：当时，，随的增大而减小，时，得到的最小值，当时，，随的增大而增大，时，得到的最大值； 【详解】解：图象向右平移个单位长度得到一个新的函， ， 当时，，随的增大而减小，时，得到的最小值， 当时，，随的增大而减小，时，得到的最大值， 故选：B ►题型09 求反比例函数解析式 由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 1．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵反比例函数的图象与交于两点，且 ∴ 设，则 ∵ ∴ 则 ∵点在第一象限 ∴ 把代入得 ∴ 经检验：都是原方程的解 ∵ ∴ 故答案为： 2．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，，与轴交于点，与轴交于点．若点，恰好是线段的三等分点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，相似三角形的性质与判定，先根据题意得到，，，再证明，利用相似三角形的性质得到，，则，据此得到，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵点，恰好是线段的三等分点， ∴， 如图，过点A作轴于E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 把代入中得： ∴， 故答案为：． 3．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上． (1)求k与m的值； (2)连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，确定反比例函数及一次函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握两个函数的基本性质是解题关键． （1）根据题意将点代入反比例函数即可求解； （2）根据题意及反比例函数的性质得出，设直线所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：两点在反比例函数的图象上． ∴， ∴， 将点代入得：，解得：； （2）∵连接，并延长交反比例函数的图象于点C， ∴， ∵， 设直线所在直线的解析式为，代入得：， 解得：， ∴． 4．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式； (2)点C坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 【详解】（1）解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； （2）解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C在第二象限， ，， 点C坐标为 ►题型10 与反比例函数有关的规律有关的探究问题 1．（2022·陕西渭南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点的应用，依次代入求出各个点的坐标事解此题的关键，此题是一个中档题目，难度适中．根据反比例函数图象上点的特点依次代入求出、、、的坐标，即可得出的纵坐标，代入即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 即， 所以点的纵坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是1， 把代入得：， 即， 故答案为：． 2．（2019·辽宁·一模）如图，点在直线上，过点作交直线于点，以为边在外侧作等边三角形，过的反比例函数为；再过点作，分别交直线和于两点，以为边在外侧作等边三角形，过的反比例函数为，…，按此规律进行下去，则第个反比例函数的 ．（用含的代数式表示）    【答案】或 【分析】与的夹角30°，利用直角三角形求出 的横坐标 的纵坐标 即可求解； 【详解】解：直线 与x轴夹角为30°， 直线与x轴夹角为60°， ∴ 与的夹角30°， ∵， ∴ ∵等边三角形， ∴⊥x轴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的横坐标 的纵坐标 ∴ ∴ 以此得到 的横坐标 的纵坐标 ∴    故答案为 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象及性质，锐角三角函数值，平面内点的坐标特点；能够通过直角三角形中30°的特点，求出边的关系是解题的关键． 3．（2021·山东威海·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点分别在轴，轴上，点在反比例函数图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为 ． 【答案】， 【分析】先根据题意得出点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点，的坐标，找出规律即可得出结论． 【详解】解：正方形的边长为1，点在反比例函数的图象上， ， ， 在反比例函数的解析式为：， 是的中点， ， ， ， 同理，， ，， ∴顶点的坐标为，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键． 4．（2024绵阳市模拟）如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上． （1）图1中的每一个小正方形的面积是 ； （2）按照图1→图2→图3→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是 ．（用含n的代数式表示）    【答案】 【分析】（1）作轴于点A，图中的“7”字形与坐标轴的交点分别为B、C、D，设每一个小正方形的边长为a，由正方形的性质可证，从而可求出．再结合勾股定理可求出，，即，从而可得出，即得出，即图1中的每一个小正方形的面积是； （2）由（1）同理求出图2，图3，图4中每一个小正方形的面积，然后总结规律求解即可． 【详解】解：作轴于点A，图中的“7”字形与坐标轴的交点分别为B、C、D，如图1，    设每一个小正方形的边长为a， 由正方形的性质可证， ∴，， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即图1中的每一个小正方形的面积是． 故答案为：； （2）如图2，    由（1）同理可证， ∴，， ∴． ∵，，， ∴． ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即此时每一个小正方形的面积是； 如图3，    由（1）同理可证， ∴，， ∴． 同理可求出，即此时每一个小正方形的面积是； 如图4，    同理可得； …； ∵第1个图形每个小正方形的面积； 第2个图形每个小正方形的面积； 第3个图形每个小正方形的面积； 第4个图形每个小正方形的面积； …； ∴第n图形每个小正方形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数的图象和性质，图形类规律探索．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其函数解析式，和利用数形结合的思想是解题关键． 5．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索： （1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可； （2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可得，，， ∴，， ， ∴，， …… 以此类推可得，； 故答案为：；；；； （2）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，， ∴，， ， 以此类推可得， ． ►题型11 以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质 1．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为：1（答案不唯一）． 2．（2023·河北·中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．    【答案】4（答案不唯一，满足均可） 【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可． 【详解】解：当反比例函数图像过时，； 当反比例函数图像过时，； ∴k的取值范围为 ∴k可以取4． 故答案为4（答案不唯一，满足均可）． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键． 3．（2023·山东日照·中考真题）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ． 【答案】（满足都可以） 【分析】先判断出一次函数的图象必定经过第二、四象限，再根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即，最终选取一个满足条件的值即可． 【详解】解： ， 一次函数的图象必定经过第二、四象限， ， 反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限， 反比例函数（且）的函数图象经过第一、三象限， ， ∴， ∵， ∴， ∴满足条件的k值可以为1.5， 故答案为：1.5（满足都可以）． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限． 4．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形面积为4，反比例函数与边、有交点，请写出一个符合条件的k的整数值 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先确定双曲线经过点B时的k值，再求符合条件的k即可 【详解】解：如图： 当双曲线经过点B时，． ∴当双曲线于边相交时，， 不妨取， 故答案为：1（答案不唯一）． 命题点二 反比例系数k的几何意义 ►题型01 已知反比例系数求图形面积 1．（2023·广西·中考真题）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 故， 又∵， 即， 故， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】作AD⊥x轴，BC⊥x轴，由即可求解； 【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴， ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识，结合图像进行求解是解题的关键． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    【答案】24 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 5．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ．    【答案】 2 【分析】根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过点B作轴于点D，交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 令， 则， 解得：（舍），， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：，2．      【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用面积关系建立方程． ►题型02 已知图形面积求反比例系数 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 2．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心M， ∴延长恰好经过点B，，    ∵点D在上，且， ∴， ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 4．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 【答案】 【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连结、，    ∵轴， ∴． ∴． ∵， ∵， ∴， ∵图象位于第一象限，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键． 5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，    故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 命题点三 反比例函数与实际问题 ►题型01 反比例函数与实际问题 1．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 【答案】(1)． (2)该液体的密度为． 【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可； （2）把代入（1）中的解析式，求解即可． 【详解】（1）解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． （2）解：把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解． 2．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）； (2)y＝（x≥3）； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析． 【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可； （2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可； （3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可． 【详解】（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ， 解得：k=﹣2.5，b=12 ∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12； （2）解：当x≥3时，设y=， 把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=， 解得k=13.5， ∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ； （3）解：能，理由如下： 当x=15时，y==0.9， 因为0.9＜1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键． 3．（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键． （1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式； （2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解． 【详解】（1）解：设的函数表达式为，则： ， ， 的函数表达式为， 当时，， 可设部分双曲线的函数表达式为， 由图象可知，当时，， ， 部分双曲线的函数表达式为； （2）解：在中，令， 可得：， 解之可得：， 晚上到第二天早上的时间间隔为，， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升）， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行． ►题型02 新考法：新考法问题 1．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 2．（2022·山东临沂·中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下： 第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩； 第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣． (1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出y关于x的函数解析式；若，求的取值范围． (2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象． …… 0.25 0.5 1 2 4 …… …… …… 【答案】(1)； (2)，表、图见解析 【分析】（1）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂解答即可； （2）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答． 【详解】（1）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴重物×OA=秤砣×OB． ∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg， ∴2x=0.5y， ∴； ∵4>0， ∴y随x的增大而增大， ∵当y=0时，x=0；当y=48时，x=12， ∴． （2）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴秤砣×OA=重物×OB． ∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg， ∴2×0.5=xy， ∴； 当x=0.25时，； 当x=0.5时，； 当x=1时，； 当x=2时，； 当x=4时，； 填表如下： …… 0.25 0.5 1 2 4 …… …… 4 2 1 …… 画图如下： 【点睛】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，以及列表、描点、连线画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键． 3．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得；    （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；    把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 4．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据题意可得，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出所在直线解析式为，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线关于直线轴对称，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：，，，为中点，， ， 设所在双曲线的表达式为， 将点坐标代入表达式中，得： 解得：， 抛物线表达式为； （2）解：根据题意得：点与点坐标分别为，， 设所在直线解析式为， 将、两点坐标代入得：， 解得，， 所在直线解析式为， 根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线关于直线轴对称， 联立， 解得， ∴， 联立， 解得：， ∴， ． 【点睛】本题主要查了反比例函数的实际应用，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． ►题型03 新考法：跨学科问题 跨学科的反比例函数应用问题一般要利用其他学科相关量之间的等量关系构建反比例函数模型，再利用反比例函数的相关知识解决问题. 1．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． (1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， (2)求电流关于电路中的电阻的函数关系； (3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 【答案】(1) (2) (3)接入电路的滑动变阻器的电阻为． 【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握串联电路的特点以及欧姆定理是解题关键． （1）根据串联电路的特点可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和，即可求解； （2）由欧姆定律可知，，进而得出电源的电压为，即可求解； （3）将代入（2）所求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和， 电路中的电阻； （2）解：由欧姆定律可知，， 由题意可知，小灯泡的电阻为，当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为， ，解得：， 即电源的电压为， 电流关于电路中的电阻的函数关系为； （3）解：电流表的读数为， ， 解得：， 答：接入电路的滑动变阻器的电阻为． 2．（2024·山西忻州·三模）阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日  星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表： 组别 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表的数据： 音调 频率 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器． 任务： (1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第 组． (2)根据小晋画出的图象，猜想是的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为 （系数保留整数）． (3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长度．（结果精确到） 【答案】(1) (2)反比例； (3)音调“”对应吸管的长度为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）根据表中数据，可与的乘积接近的定值，从而可得答案． （2）根据散点图判断，根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系，由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，故系数保留整数时，即可得到． （3）由题可得，音调“”对应频率为，即，将代入， 可得吸管的长度． 【详解】（1）根据表中数据，可发现吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，而第三组相差太多，故第三组数据错误． （2）根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系， 由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值， 故在反比例函数中（系数保留整数）， 故与的函数关系式为， 故答案为：反比例、． （3）由题可得，音调“”对应频率为，即， 将代入， 可得吸管的长度， 答：音调“”对应吸管的长度． 3．（2024·湖南长沙·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． (1)左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 【答案】(1)，． (2)空矿泉水瓶的重量为． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）根据天平的杠杆原理，可以列出可以列出与之间的关系式：．即可得到反比例函数的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围； （2）根据题意列出方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据链接中给的杠杆原理，可以列出与之间的关系式：． 将其化为关于的函数表达式：， 由于． ，即为． 的取值范围为． （2）解：根据素材2，设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为． 第一次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程：． 第二次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程： ． 可得方程组， 解得， 因此可得，空矿泉水瓶的重量为． 4．（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】 项目主题：学科融合－用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律： 物体到凸透镜距离 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒 大于2倍焦距 大于1倍焦距小于2倍焦距 缩小 倒立 2倍焦距 2倍焦距 等大 倒立 大于1倍焦距小于2倍焦距 大于2倍焦距 放大 倒立 小于焦距 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： 任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①______，②____； 任务二：凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心的距离是 时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出与的关系式： 任务三： （1）根据任务二的关系式得出下表： 物距 8 10 12 14 16 像高 12 6 4 2.4 其中______； （2）请在坐标系中画出它的图像： （3）根据函数关系式，结合图像写出1条你得到的结论： ____________________________________________________． 【答案】任务一：①；，任务二：，任务三：（1）3，（2）见解析，（3）当时，随着的增大而减小． 【分析】任务一：①由矩形，得到的长，由，得到，即：，设，用含的代数式，表示出、，由，得到，解出，即可求解，任务二：由，整理得到，代入，即可求解，任务三：（1）将代入，即可求解，（2）根据描点法，即可求解，（3）根据反比例函数的增减性，即可求解， 本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质，解题的关键是：读懂题意，列出关系式． 【详解】解：任务一：①根据题意得：矩形， ∴， 根据题意得：与平行， 则， ∴，即：， 设，则，， 由题意得， ∴， ∴，即：，解得：， ∴， ∵， ∴， 任务二：∵，即：，解得：， ∴， 任务三：（1）当时，， ∴， （2）作图如下： （3）当时，随着的增大而减小， 故答案为：任务一：①；，任务二：，任务三：（1）3，（2）见解析，（3）当时，随着的增大而减小． 5．（2023·广东深圳·三模）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … ③在直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①；②见解析；③见解析 (3)或 【分析】（1）根据公式进行计算即可； （2）①根据公式即可得到；②根据（2）①所求求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可； （3）先根据面积求出点Q的纵坐标，再根据反比例函数性质和平移的性质求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴重物B所受拉力为， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴，即， 故答案为：； ②由（2）①得， 填表如下： … 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … ③函数图象如下所示：    （3）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时， ∴在函数上满足题意的Q的坐标为， ∵将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L， ∴点，即也在L上，即满足题意的Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． 6．（2023·河南安阳·二模）寓言故事：青年用木柴烧水时，由于木柴不足，水没有烧开，重新找木柴的时间水已变凉，而新找的木柴也不够将水重新烧开，很是气馁．路过的智者提醒他，木柴不够，可以将水倒掉一部分．青年听后，茅塞顿开，把水烧开了． 智者的话蕴含一定道理，根据物理学公式（Q表示寓言故事中水吸收的总热量，c表示水的比热容为常数，m表示水的质量，表示水的温差），得．智者的话可解释为：当木柴质量确定时，提供给水吸收的总热量Q随之确定，为定值，水上升的温度（单位：）与水的质量m（单位：kg）成反比例． (1)若现有木柴可以将3kg温度为25℃的水加热到75℃，请求出这种情形下的值及关于m的反比例函数的表达式； (2)在（1）的情形下，现有的木柴可将多少千克温度为25℃的水加热到100℃． 【答案】(1)150， (2)2千克 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 即关于m的反比例函数的表达式为：． （2）解：把代入，得 ， ∴(千克)， 答：现有的木柴可将2千克温度为25℃的水加热到100℃． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 命题点四 反比例函数与一次函数 ►题型01 一次函数与反比例函数综合 1．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标； （2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可； 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． ∴， ∴, ∴， ∴反比例函数为：； ∴， 解得：，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，, ∴， ∴，， 如图，当时，最短； ∴； 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键. 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点坐标为 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为． (1)求，的值； (2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值； （2）根据直线向上平移m个单位长度，可得直线解析式为，根据三角形全等的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数图象上， ∴，解得， 将代入， ； （2）解：如图，过点C作轴于点F， ， ，， ， ， ，， ∵直线向上平移m个单位长度得到， 令，得，令，得， ，， ，， ， 双曲线过点C， ， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐标是解题的关键． 5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，根据平行四边形的性质，分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可； （3）设点，则，，利用相似三角形的性质得，进而解方程得，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，联立方程组得，根据题意，方程有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得，则， 将代入中，得，则， ∴， 将代入中，得，则； （2）解：设，由（1）知， 若，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况： 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，依题意，这种情况不存在， 综上所述，满足条件的点的坐标为或，； （3）解：如图，设点，则，， 若，则，即， ∴，即， 解得， ∵，∴，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，得， ∵有且只有一点， ∴方程有且只有一个实数根， ∴，解得； 由题意，不存在， 故满足条件的k值为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键． ►题型02 反比例函数与几何图形综合 1．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设， 由题意得：． ∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 故选：C 2．（2024·广东·中考真题）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解； （2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解； （3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围． 【详解】（1）设，则， ∵轴， ∴D点的纵坐标为， ∴将代入中得：得， ∴， ∴， ∴， ∴将代入中得出， ∴函数的图象必经过点C； （2）∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴， ∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴； （3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形，， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作，， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H， ∵, ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴当与的边有交点时，k的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 4．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1) (2)半径为2，圆心角为 (3) 【分析】（1）将代入中即可求解； （2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解； （3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得：； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图：   ， ， ， 半径为2； ， ∴， ， 由菱形的性质知：， ， 扇形的圆心角的度数：； （3）解：， ， ， 如下图：由菱形知，，   ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握的几何意义． 5．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； （2）∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．    证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．    (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出的值； (3)求直线的解析式． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可； （2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出； （3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可． 【详解】（1）将代入得，， ∴， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴设， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴解得，， ∵点A的横坐标要大于点B的横坐标， ∴应舍去， ∴， ∴， ∴将代入，解得； ∴反比例函数的解析式为； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴解得， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴将和代入得，， ∴解得， ∴直线的解析式为． 【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容． $$第三章 函数 第12讲 反比例函数的图像、性质及应用 （思维导图+3考点+4命题点18种题型（含4种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 反比例函数的图像与性质 考点二 反比例函数与一次函数 考点三 反比例函数的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数的图像与性质 ►题型01 反比例函数的定义 ►题型02 判断反比例函数的图像 ►题型03 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 ►题型04 根据反比例函数的图像确定其解析式 ►题型05 判断反比例函数所在象限 ►题型06 已知反比例函数经过象限求参数取值范围 ►题型07 由反比例函数增减性求值 ►题型08 由反比例函数的性质比较大小 ►题型09 求反比例函数解析式 ►题型10 与反比例函数有关的规律有关的探究问题 ►题型11 以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质 命题点二 反比例系数k的几何意义 ►题型01 已知反比例系数求图形面积 ►题型02 已知图形面积求反比例系数 命题点三 反比例函数与实际问题 ►题型01 反比例函数与实际问题 ►题型02 新考法：新考法问题 ►题型03 新考法：跨学科问题 命题点四 反比例函数与一次函数 ►题型01 一次函数与反比例函数综合 ►题型02 反比例函数与几何图形综合 01考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 反比例函数图像上点的坐标特征 ★ 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式； 能画反比例函数的图像，根据图像和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图像的变化情况. 反比例函数的增减性 ★★ 反比例函数的图像共存 ★★ 反比例函数解析式的确定 ★ 反比例函数中比例系数k的几何意义 ★★★ 反比例函数的实际应用 ★★ 能用反比例函数解决简单实际问题. 【考情分析1】对反比例函数的图像和性质的考查一般包含对反比例函数的增减性、中心对称性及系数k的几何意义的考查，难度中等，试题多以选择题、填空题的形式出现，当利用反比例函数的增减性比较函数值的大小时，应注意图像是否在同一象限内. 【考情分析2】反比例函数与一次函数综合是中考的常考内容，试题多以解答题形式出现，难度中等，一般情况下是两函数图像相交，通过交点坐标同时满足两函数解析式来确定函数的解析式及交点坐标，体现了函数与方程的关系. 【考情分析3】利用反比例函数解决实际问题考查较少，试题形式多样，难度不大，但较为典型，常结合物理、化学等科目内容进行考查，涉及密度、浓度等问题，故解题时除必须掌握的数学知识外，其他学科知识也要有所了解. 【备考建议】反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，考生在复习该考点时，需要掌握其各性质规律，并且多注意其与几何图形结合题的思考探究. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 反比例函数的图像与性质 1. 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 2 .双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 3. 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 4. 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 5. 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 1．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A．B．C． D． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 考点二 反比例函数与一次函数 1.一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 2. 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 2．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 3．（2023·浙江金华·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 4．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 5．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 考点三 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）    A．  B．  C．  D．   2．（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 3．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ． 5．（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．    (1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）； (2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数的图像与性质 ►题型01 反比例函数的定义 1．（2024·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·海南·中考真题）若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图像经过点，则a的值为 ． ►题型02 判断反比例函数的图像 1．（2023·江苏扬州·中考真题）函数的大致图像是(   ) A．   B．   C．   D．   2．（2024·江苏淮安·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）函数的图象为（　　） A．B．C．D． 4．（2023·河北廊坊·三模）若函数和函数在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则坐标系的纵轴是（    ）    A． B． C． D． 5．（2023·河南信阳·一模）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 … … m 4 2 1 …    (1)__________________． (2)请画出函数的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） ►题型03 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 1）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上； 2）若（a，b）在反比例函数图像上，则（b，a）在也在该图像上. 1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 2．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是 ． 3．（2024·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 4．（2024·重庆·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． ►题型04 根据反比例函数的图像确定其解析式 1．（2023·贵州贵阳·一模）反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．5 B．12 C． D． 2．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（2021·四川甘孜·中考真题）如图，点A，B在反比例函数（）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 ． 4．（2023·浙江杭州·三模）两位同学在描述同一反比例函数的图象时，圆圆说：“这个反比例函数图象上任意一点到两坐标轴的距离之积是20．芳芳说：“这个反比例函数图象与直线有两个交点”．你认为这两个同学所描绘的反比例函数对应的表达式是 ． ►题型05 判断反比例函数所在象限 1．（2023·湖南永州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 3．（2024·安徽六安·模拟预测）直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 4．（2024·广东广州·一模）已知一次函数经过点，正比例函数不经过第三象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 ►题型06 已知反比例函数经过象限求参数取值范围 1．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为 ． 2．（2024·江苏南京·三模）如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系 ．（用“或”连接） 3．（2024·河南商丘·模拟预测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 4．（2024·辽宁本溪·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点M，且，则k的值为（　　） A．4.5 B． C．7 D． ►题型07 由反比例函数增减性求值 1) 当k＞0时，同象限：，整体：. 2) 当k＜0时，同象限：，整体： 1．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（2024·江苏镇江·二模）反比例函数，当时，函数y的最大值与最小值之差为6， 则 ． 3．（2022·湖北武汉·中考真题）在反比例的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ． 4．（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数． (1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式． ►题型08 由反比例函数的性质比较大小 1．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）反比例函数的图象向右平移个单位长度得到一个新的函数，当自变量x取1，2，3，4，5，…，（正整数）时，新的函数值分别为，，，，，…，其中最小值和最大值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， ►题型09 求反比例函数解析式 由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 1．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ． 2．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，，与轴交于点，与轴交于点．若点，恰好是线段的三等分点，则 ． 3．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上． (1)求k与m的值； (2)连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式． 4．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式； (2)点C坐标． ►题型10 与反比例函数有关的规律有关的探究问题 1．（2022·陕西渭南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 2．（2019·辽宁·一模）如图，点在直线上，过点作交直线于点，以为边在外侧作等边三角形，过的反比例函数为；再过点作，分别交直线和于两点，以为边在外侧作等边三角形，过的反比例函数为，…，按此规律进行下去，则第个反比例函数的 ．（用含的代数式表示）    3．（2021·山东威海·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点分别在轴，轴上，点在反比例函数图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为 ． 4．（2024绵阳市模拟）如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上． （1）图1中的每一个小正方形的面积是 ； （2）按照图1→图2→图3→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是 ．（用含n的代数式表示）      5．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． ►题型11 以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质 1．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ． 2．（2023·河北·中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．    3．（2023·山东日照·中考真题）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ． 4．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形面积为4，反比例函数与边、有交点，请写出一个符合条件的k的整数值 ． 命题点二 反比例系数k的几何意义 ►题型01 已知反比例系数求图形面积 1．（2023·广西·中考真题）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    5．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ．    ►题型02 已知图形面积求反比例系数 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5   3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 4．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 命题点三 反比例函数与实际问题 ►题型01 反比例函数与实际问题 1．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 2．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 3．（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． ►题型02 新考法：新考法问题 1．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 2．（2022·山东临沂·中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下： 第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩； 第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣． (1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出y关于x的函数解析式；若，求的取值范围． (2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象． …… 0.25 0.5 1 2 4 …… …… …… 3．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 4．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ ►题型03 新考法：跨学科问题 跨学科的反比例函数应用问题一般要利用其他学科相关量之间的等量关系构建反比例函数模型，再利用反比例函数的相关知识解决问题. 1．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． (1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， (2)求电流关于电路中的电阻的函数关系； (3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 2．（2024·山西忻州·三模）阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日  星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表： 组别 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表的数据： 音调 频率 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器． 任务： (1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第 组． (2)根据小晋画出的图象，猜想是的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为 （系数保留整数）． (3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长度．（结果精确到） 3．（2024·湖南长沙·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． (1)左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 4．（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】 项目主题：学科融合－用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律： 物体到凸透镜距离 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒 大于2倍焦距 大于1倍焦距小于2倍焦距 缩小 倒立 2倍焦距 2倍焦距 等大 倒立 大于1倍焦距小于2倍焦距 大于2倍焦距 放大 倒立 小于焦距 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： 任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①______，②____； 任务二：凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心的距离是 时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出与的关系式： 任务三： （1）根据任务二的关系式得出下表： 物距 8 10 12 14 16 像高 12 6 4 2.4 其中______； （2）请在坐标系中画出它的图像： （3）根据函数关系式，结合图像写出1条你得到的结论： ____________________________________________________． 5．（2023·广东深圳·三模）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … ③在直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 6．（2023·河南安阳·二模）寓言故事：青年用木柴烧水时，由于木柴不足，水没有烧开，重新找木柴的时间水已变凉，而新找的木柴也不够将水重新烧开，很是气馁．路过的智者提醒他，木柴不够，可以将水倒掉一部分．青年听后，茅塞顿开，把水烧开了． 智者的话蕴含一定道理，根据物理学公式（Q表示寓言故事中水吸收的总热量，c表示水的比热容为常数，m表示水的质量，表示水的温差），得．智者的话可解释为：当木柴质量确定时，提供给水吸收的总热量Q随之确定，为定值，水上升的温度（单位：）与水的质量m（单位：kg）成反比例． (1)若现有木柴可以将3kg温度为25℃的水加热到75℃，请求出这种情形下的值及关于m的反比例函数的表达式； (2)在（1）的情形下，现有的木柴可将多少千克温度为25℃的水加热到100℃． 命题点四 反比例函数与一次函数 ►题型01 一次函数与反比例函数综合 1．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为． (1)求，的值； (2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． ►题型02 反比例函数与几何图形综合 1．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 2．（2024·广东·中考真题）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 4．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 5．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 6．（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．    证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．    (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出的值； (3)求直线的解析式． $$