第六章 平面向量及其应用重难点检测卷 -（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，结合平面向量的概念即可求解. 【详解】因为为等腰直角三角形，，所以， 故向量与的夹角为． 故选：D 2．（2023·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系求解. 【详解】 如图，，所以M是AC的中点，； 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【详解】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据条件便有，再由便可得出，从而便可得到为等腰直角三角形． 【详解】解：如图，   ； ； 为等腰直角三角形． 故选：D． 5．（2024高三·全国·专题练习）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算即可. 【详解】由． 故选：A. 6．（2022·广东茂名·一模）已知向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】由，有，求出的值，得的坐标，可求. 【详解】向量，， 若，则，解得，所以， 可得，. 故选：D. 7．（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：. 8．（24-25高二上·重庆·开学考试）若满足的恰有一个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由只有一个三角形的条件可得或，再由题意可得的取值范围. 【详解】 因为的恰有一个， 所以或， 即则，或者， 所以可得； 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高三上·山西太原·期中）已知非零向量，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若则 C．向量与向量垂直 D．若，则 【答案】ABC 【分析】选项A，根据条件，利用数乘向量的定义得到，即可判断选项A的正误；选项B，根据条件，利用数量积的运算律及模的定义，即可判断选项B的正误；选项C，根据条件，利用数量积的定义，得到，即可求解；选项D，根据条件，结合数量积的运算律，得到，即可求解. 【详解】对于A：因为为非零向量，若，则，故，故A正确； 对于B：若，故，故В正确； 对于C：因为 ， 所以，故C正确； 对于D：若，则， 得到，不能确定，故D错误； 故选：ABC． 10．（2024高一下·全国·专题练习）下面几种说法中正确的有（　　） A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 【答案】ABD 【分析】根据向量的定义和坐标的定义，即可判断选项. 【详解】A.相等向量的坐标相同，故A正确； B.根据向量坐标的定义，可知平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标，故B正确； C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误； D. 平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应，故D正确. 故选：ABD 11．（22-23高一下·广东佛山·期中）一个平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设第四个顶点为，分三种情况讨论：四边形、、为平行四边形，分别转化为、、，利用向量的坐标运算求出点的坐标，即可得出答案. 【详解】设点、、，设第四个顶点为，分以下三种情况讨论： ①若四边形为平行四边形，则，即， 即，解得，此时，点的坐标为； ②若四边形是平行四边形，则，则， 即，解得，此时，点的坐标为； ③若四边形为平行四边形，则，即， 即，解得，此时，点的坐标为. 综上所述，第四个顶点的坐标为或或， 故选：ABC. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高三上·天津河北·期中）已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 【答案】 【分析】根据重心和外心性质，通过转化法利用数量积可得，再由三角形法则计算可求出的长为. 【详解】延长交于点，连接，作于点，则分别为的中点，如下图所示： 易知， 同理可得， 由重心性质可知； 所以； 又，即，可得； 所以，可得； 因此，即. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于要充分利用重心和外心的性质，将数量积通过转化得出三角形边长之间的关系，再由即可得出结果. 13．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）河中水流自西向东流速为，小船自南岸点出发，想要沿直线驶向正北岸的点，并使它的实际速度达到每小时，该小船行驶的方向为 ，小船在静水中的速度为 ． 【答案】 北偏西方向 【分析】利用平面向量来进行求解，结合特殊角的三角函数值得到答案. 【详解】如图所示，的方向代表水流方向，且， 的方向即为小船行驶的方向，且，，， 则，故， 故，小船行驶的方向为北偏西方向， 且，即小船在静水中的速度为. 故答案为：北偏西方向，. 14．（24-25高一下·全国·随堂练习）在中，若，则此三角形是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【分析】利用对数的运算性质得到，进而得到，再对其进行变形，然后利用正弦定理即可. 【详解】因为， 所以， 因为在定义域内单调递增， 所以 即, 所以， 即， 所以为直角三角形. 故答案为：直角. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 16．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】根据向量的加减法法则即可作图． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 17．（22-23高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量的加减法的法则求解即可. （2）直接利用向量的加减法、数乘运算化简即可得出答案. 【详解】（1） . （2）. 18．（21-22高一下·安徽六安·期末）已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据平面向量的运算律和数量积的定义计算即可求解； （2）根据平面向量的运算律计算直接得出结果. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 解得，由，得. （2）由（1）得， . 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？ 【答案】小时 【分析】令经过小时后甲、乙分别在两处，利用余弦定理可得到的表达式，再借助二次函数最小值求解即可. 【详解】如图，令经过小时后甲、乙分别在两处，甲、乙两船距离为s， 则在中，，，， 由余弦定理得， 即. 当时，最小，此时. 即经过小时，甲、乙两船相距最近. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（    ） A． B．1 C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 4．（24-25高一下·全国·课后作业）若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 5．（2024高三·全国·专题练习）化简：（   ） A． B． C． D． 6．（2022·广东茂名·一模）已知向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 7．（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·重庆·开学考试）若满足的恰有一个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高三上·山西太原·期中）已知非零向量，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若则 C．向量与向量垂直 D．若，则 10．（2024高一下·全国·专题练习）下面几种说法中正确的有（　　） A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 11．（22-23高一下·广东佛山·期中）一个平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高三上·天津河北·期中）已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 13．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）河中水流自西向东流速为，小船自南岸点出发，想要沿直线驶向正北岸的点，并使它的实际速度达到每小时，该小船行驶的方向为 ，小船在静水中的速度为 ． 14．（24-25高一下·全国·随堂练习）在中，若，则此三角形是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 16．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 17．（22-23高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； 18．（21-22高一下·安徽六安·期末）已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$