第一章 三角形的证明重难点检测卷-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（北师大版）

第一章 三角形的证明重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，B是上的点，，则下列结论：①，②，③．④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质． 延长交于点F，延长交于点G，由，可证，，，证明，即可判断①；证明，即可判断②；由，，即可判断③；由，，即可判断④． 【详解】解：如图，延长交于点F，延长交于点G．   ， ，，． ∵点B在上， ， ， ． 在中，， ， ，即，故①正确； ， ， ， ， ，即，故②正确； ，， ，故③错误； ，， 且， ，故④正确． 故选B． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（   ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据题意，利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：因为若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平， 所以能解释这一现象的数学知识是等腰三角形“三线合一”． 故选：D． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（  ） A．9 B．18 C．4.5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，，由等角对等边得出，，再由，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键． 【详解】解：的平分线相交于点， ， ∵， ， ， ， ， 即， ， ． 故选：A． 4．（24-25八年级上·全国·期末）下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理：有两个角都是的三角形或有三边相等的三角形或有一个角是的等腰三角形是等边三角形，分析并作答即可． 【详解】解：①有两个角为的三角形是等边三角形，故①正确； ②∵三个外角都相等， ∴相邻的三个内角都相等， 又∵三角形的内角和为， ∴三个内角都是， ∴三个外角都相等的三角形是等边三角形，故②正确； ③一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故③错误； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故④正确， ∴能证得等边三角形的有①②④，共3个， 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了含角直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据角所对的直角边等于斜边的一半即可得到的的长． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故选：A 6．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，因为：，，垂足分别为、，且，所以与全等的理由是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据定理判定． 【详解】解：，， ， 在和中 ， ． 故选：D． 7．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 由题意可知是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，因而可得的周长，据此即可得出答案． 【详解】解：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，， 是线段的垂直平分线， ， 的周长 ， 故选：． 9．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，分别是，的平分线，相交于点F，且，的周长为21，关于甲、乙、丙三人的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙；点F到的距离为2；丙：连接，则平分 A．只有甲对 B．甲、乙、丙都对 C．乙错，丙对 D．甲错，乙对 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，连接，过点作，根据角平分线的性质，得到，进而得到平分，利用分割法求面积法，求出的的长，进行判断即可． 【详解】解：连接，过点作， ∵分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴平分，故丙说法正确； ∵， ∵的周长为21， ∴， ∴， ∴点F到的距离为4，故乙说法错误； 条件不足，无法得到，故甲说法错误； 故选C． 10．（23-24八年级上·湖北·周测）如图，有三条笔直的公路AB、AC、BC两两相交围成一个三角形的建筑工地．若现在要在建筑工地外建一个沙石周转站，使周转站到三条公路的距离相等，则周转站可供选择的位置有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质定理．根据角平分线上的点到角两边的距离相等，分别作三角形的内角平分线与外角平分线可得答案． 【详解】解：如图所示，作三角形的内角平分线与外角平分线，交点分别为，    根据角平分线的性质定理，可知到三条公路的距离相等， 所以符合条件的位置共有4个， 故选：D． 二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 11．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上，在网格中确定一个格点，使为等腰三角形，符合条件的格点有 个． 【答案】9 【分析】本题考查网格中作等腰三角形，根据等腰三角形的定义，在网格中作出符合条件的等腰三角形即可． 【详解】解：如图， 符合条件的格点共有9个； 故答案为：9． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，点D是的中点，点E是上一点，交于点F，，，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，准确证明是解题的关键． 延长到G，使，连结，证明，可得，从而得到，，即可得到结果； 【详解】解：如图，延长到G，使，连结． ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 13．（24-25八年级上·广东汕头·期中）已知等腰三角形的一边长为，一个内角为，则它的周长是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，根据题意可证明该三角形是等边三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵一个等腰三角形的一个内角为， ∴该等腰三角形是等边三角形， 又∵其一边长为， ∴它的周长是， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·河北唐山·期中）为测量一池塘两端点，间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．甲同学：如图1，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为点，间的距离；乙同学：如图2，过点作的垂线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交的延长线于点，则测出的长即为点，间的距离；下列判断正确的是 ．（填序号） ①只有甲同学的方案可行；②只有乙同学的方案可行；③甲、乙同学的方案均可行；④甲、乙同学的方案均不可行 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质（和），熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用和即可直接得出答案． 【详解】解：甲同学的方案： ，， ， 在和中， ， ， ， 甲同学的方案可行； 乙同学的方案： ， ， 在和中， ， ， ， 乙同学的方案可行； 综上所述，甲、乙同学的方案均可行， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，的周长是 ．    【答案】12 【分析】本题考查了作图-基本作图，垂直平分线的性质，掌握该性质是解题的关键．根据题意，得到是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，再利用线段的等量转换即可解答． 【详解】解：由题意得是的垂直平分线， ， ，， 的周长． 故答案为：12． 16．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 三、解答题（本题共9小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，在中，平分，平分，经过点O与，分别相交于点M，N，且 (1)若，请直接写出的度数； (2)已知，，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为13 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点． （1）先根据角平分线的定义求得的度数，据此求解即可； （2）先根据角平分线的定义和平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，，从而可得，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， 的周长是． 18．（22-23八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点D的横坐标为4，直线：经过点D，与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线：经过点、点D两点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)点P为线段AD上一动点，连接CP． ①求CP的最小值； ②当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)①；②（）或（）或（）或（，） 【分析】（1）把点D的横坐标代入直线：求出点D的纵坐标，可得出点D的坐标，再运用待定系数法可求出直线的函数表达式； （2）过点D作轴于点E，得DE=6，再求出点A的坐标，根据三角形面积公式可求解； （3）①根据勾股定理求出AD长，由三角形面积公式可得结论；②设点P（x，x+2）,分别表示出AP，AC，PC，再分AP=AC,AC=PC，AP=PC三种情况列方程求解即可 【详解】（1）将代入得： ∴点D的坐标为． 将，代入得 解得 ∴直线的表达式为． （2）过点D作轴于点E， ∵， ∴ 将代入得 ∴， ∴ ∴． （3）①由题可知：当时，CP的值最小， 由（2）可知， ∵点E坐标为， ∴ 在中，． ∴ ∵ ∴． ②∵点P在直线y=x+2上， ∴设点P（x，x+2）, ∵A(-2，0)，C(1，0) ∴，， （a）当时，即，则： 解得， 当时，；当时，； ∴点P的坐标为（）或（） （b）当时，即，则： 解得，x=1或x=-2（舍去） 当时，； ∴点P的坐标为（） （c）当时，即，则： 解得， ∴ ∴点P的坐标为（，） 综上，点P的坐标为：（）或（）或（）或（，） 【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法、面积问题模型、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 19．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，是等边三角形，是边上的高，延长到F，使，再延长与交于点E． (1)试说明与的位置关系； (2)若，求的长； (3)请猜想与间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的相关知识． （1）根据是等边三角形得到，再根据可得，再结合三角形外角的性质可得，则，利用三角形内角和定理求出即可得到结论； （2）根据是含角的直角三角形，得出，再根据等边三角形的性质可得，结合已知条件即可得到答案； （3）根据（2）的结论可得，结合等边三角形的性质可得，从而可以推算出． 【详解】（1）解：，理由如下： 是等边三角形， ， ， ∵， ， ， ， ∴； （2）在中， ，， ， 是等边三角形，是边上的高， ∴， ∴； （3），理由如下： 由（2）知：， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，为等边三角形，，A、相交于点，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质、含度角的直角三角形． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得；可得，所以由“度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 在与中， ， ； （2）解：由（1）知，，则， ， ； ， ， ， ， 又∵， ， ∵， ∴． 21．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，连接，由勾股定理可得，进而得到，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，最后根据计算即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 22．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点处开凿隧道修通一条公路到点处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上的另一停靠站的距离为，停靠站，之间的距离为，且． (1)判断是什么三角形？并说明理由； (2)求修通的公路的长． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析； (2)修通的公路的长是． 【分析】（）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形； （）利用的面积公式可得，从而求出的长； 本题考查了勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：直角三角形，理由， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（）得：是直角三角形； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴修通的公路的长是． 23．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，直角三角形特征，熟练掌握平行线的判定，同角的余角相等是解题的关键； （1）根据垂直的定义和直角三角形特征可得，再通过等量代换即可求出； （2）根据同角的余角相等可得，再通过等量代换可得，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． 24．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作出点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧交于两点，过两交点作直线交与点，即可获得答案； （2）由垂直平分线的性质可得，然后结合三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图，点即为所求作的点； （2）由题意可知， ∴的周长． 25．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等； (2)若，，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)到的距离为3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键； （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作出的角平分线与交于点P即可； （2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）过点作，垂足为． 由（1）得平分， 又， 即到的距离为3． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，B是上的点，，则下列结论：①，②，③．④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（   ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（  ） A．9 B．18 C．4.5 D．以上都不对 4．（24-25八年级上·全国·期末）下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 6．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，因为：，，垂足分别为、，且，所以与全等的理由是(    ) A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．11 D．12 9．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，分别是，的平分线，相交于点F，且，的周长为21，关于甲、乙、丙三人的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙；点F到的距离为2；丙：连接，则平分 A．只有甲对 B．甲、乙、丙都对 C．乙错，丙对 D．甲错，乙对 10．（23-24八年级上·湖北·周测）如图，有三条笔直的公路AB、AC、BC两两相交围成一个三角形的建筑工地．若现在要在建筑工地外建一个沙石周转站，使周转站到三条公路的距离相等，则周转站可供选择的位置有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4   二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 11．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上，在网格中确定一个格点，使为等腰三角形，符合条件的格点有 个． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，点D是的中点，点E是上一点，交于点F，，，，则 ． 13．（24-25八年级上·广东汕头·期中）已知等腰三角形的一边长为，一个内角为，则它的周长是 ； 14．（24-25八年级上·河北唐山·期中）为测量一池塘两端点，间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．甲同学：如图1，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为点，间的距离；乙同学：如图2，过点作的垂线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交的延长线于点，则测出的长即为点，间的距离；下列判断正确的是 ．（填序号） ①只有甲同学的方案可行；②只有乙同学的方案可行；③甲、乙同学的方案均可行；④甲、乙同学的方案均不可行 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，的周长是 ．    16．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 三、解答题（本题共9小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，在中，平分，平分，经过点O与，分别相交于点M，N，且 (1)若，请直接写出的度数； (2)已知，，求的周长． 18．（22-23八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点D的横坐标为4，直线：经过点D，与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线：经过点、点D两点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)点P为线段AD上一动点，连接CP． ①求CP的最小值； ②当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 19．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，是等边三角形，是边上的高，延长到F，使，再延长与交于点E． (1)试说明与的位置关系； (2)若，求的长； (3)请猜想与间的数量关系，并说明理由． 20．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，为等边三角形，，A、相交于点，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 22．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点处开凿隧道修通一条公路到点处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上的另一停靠站的距离为，停靠站，之间的距离为，且． (1)判断是什么三角形？并说明理由； (2)求修通的公路的长． 23．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 24．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作出点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的周长． 25．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等； (2)若，，，求点到的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$