第10讲 一次函数的图象与性质（练习，16题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第三章 函数 第10讲 一次函数的图象与性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 103 / 103 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 一次函数的定义 👉题型02 判断一次函数的图像 👉题型03 正比例函数的性质 👉题型04 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 👉题型05 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 👉题型06 求一次函数解析式 👉题型07 一次函数与坐标轴交点问题 👉题型08 比较一次函数的大小 👉题型09 与一次函数有关的规律探究问题 👉题型10 与一次函数有关的新定义问题 👉题型11 以开放性试题的形式考查一次函数 👉题型12 求两直线与坐标轴围成的图形面积 👉题型13 探究一次函数与方程、不等式的关系 👉题型14 一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定 👉题型15 与一次函数有关的图形变化问题 👉题型16 与一次函数有关的动点问题 👉题型01 一次函数的定义 1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据形如的函数是正比例函数，以及当时，正比例函数的图象经过第一、三象限求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限， ∴，且， 解得，且， ∴， 故选：A． 2．（2024·北京·三模）已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 【答案】D 【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t与高度的函数关系是，这是一次函数关系； 故选：D． 3．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查根据一次函数的定义求参数，判断直线经过的象限，根据是y关于x的一次函数，得到，求出的值，进而判断直线经过的象限即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴直线解析式为：， ∴直线经过一、二、四象限，不经过第三象限； 故选C． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格： x … 0 1 2 y … 4 1 … 小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求出一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标（任取两个），利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即可得出结论． 【详解】解：设该一次函数的解析式为（）， 将，代入得，， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 当时，； 当时，； 当时，． 故选：B． 👉题型02 判断一次函数的图像 5．（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案． 【详解】解：，点， 与关于轴对称， 即这个函数图象关于轴对称，故选项A不符合题意； ，点， 当时，随的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． 6．（2023·浙江丽水·一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好离开水面，停止计时．用表示圆柱体运动时间，表示水面的高度，则与之间函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设刚开始时水高为，大水桶底面积为，圆柱体底面积为，速度为，当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，，当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，，整理得，，根据函数解析式确定函数图象即可． 【详解】解：设刚开始时水高为，大水桶底面积为，圆柱体底面积为，速度为， 当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，， 当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，，整理得，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴可知与之间函数关系的图象大致为先保持不变，然后随的增大而减小， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象．解题的关键在于正确的表示数量关系． 7．（2023·安徽滁州·一模）已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数的图象经过点，，进而推出一次函数的图象经过定点，则一次函数一定经过第二象限，同理得到一次函数的图象经过定点，则一次函数必定经过第三象限，再由，得到一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同，由此即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，， ∴一次函数的图象经过定点； ∴一次函数一定经过第二象限， 当时，即，在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，， ∴一次函数的图象经过定点， ∴一次函数必定经过第三象限， 又∵， ∴一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，正确判断出两个一次函数分别要经过第二象限，第三象限是解题的关键． 8．（2022·广西钦州·一模）定义一种运算：则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，分两种情况：当x≤4时和当x＞4时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论． 【详解】解：∵当x+2≥2（x-1）时，即x≤4， ∴当x≤4时，（x+2）（x-1）=（x+2）-（x-1）=x+2-x+1=3， 即：y=3， 当x+2<2（x-1）时，即x＞4时，（x+2）（x-1）=（x+2）+（x-1）-6=x+2+x-1-6=2x-5， 即：y=2x-5， ∵k=2＞0， ∴当x＞4时，y=2x-5，函数图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大， 综上所述，只A选项符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键． 👉题型03 正比例函数的性质 9．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的性质，根据题意求得k的范围，结合交点即可求得x，代入正比例函数即可求得对应y值，即可求得答案． 【详解】解：∵双曲线位于一、三象限，直线与双曲线交相交， ∴， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴和是方程的解，解得， 若，则，，则， ∴， 故答案为：． 10．（2023·江苏镇江·二模）正比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解题的关键．先根据判断出函数的增减性，再把与代入一次函数，由函数y的最大值和最小值之差为4求出k的值即可． 【详解】解：∵正比例函数， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∵当时，函数y的最大值和最小值之差为4， ∴，解得． 故答案为：． 11．（2023·甘肃平凉·三模）已知正比例函数，在平面直角坐标系中，它的图象中经过 象限． 【答案】第一和第三 【分析】由，可得正比例函数的图象经过第一和第三象限，然后作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴正比例函数的图象经过第一和第三象限， 故答案为：第一和第三． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 12．（2023·浙江·三模）点是正比例函数上一点，把点向右平移个单位，向下平移个单位后的点仍在正比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，把点向右平移个单位，向下平移个单位后的点的坐标为，代入，解方程即可求解． 【详解】解：设，把点向右平移个单位，向下平移个单位后的点的坐标为， ∵在正比例函数的图象上， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的平移，正比例函数的性质，根据题意得出平移后的坐标是解题的关键． 👉题型04 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 13．（2023·安徽合肥·二模）已知一次函数的图象经过点，则关于的一次函数的图象一定经过第 象限． 【答案】二 【分析】根据一次函数的图象经过点，得到，进而得到，即，推出图象必过点，即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴，即． ∴一次函数的图象必过点， ∵点在第二象限， ∴关于的一次函数的图象一定经过第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．解题的关键是确定出一次函数的图象必过点． 14．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点不可能在第 象限． 【答案】四 【分析】根据一次函数的性质确定两条直线所经过的象限可得结果． 【详解】解：直线过第一、二、三象限； 当时，直线过第一、二、四象限， 两直线交点可能在第一或第二象限； 当时，直线过第二、三、四象限， 两直线交点可能在第二或第三象限； 综上所述，直线与直线的交点不可能在第四象限， 故答案为：四． 【点睛】本题主要考查了两直线相交问题，熟记一次函数图象与系数的关系是解答此题的关键． 15．（2023·湖南永州·二模）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，得到关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象的性质，对于一次函数，，为常数），当，图象经过第一，三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二，四象限，随的增大而减小；当，图象与轴的交点在轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与轴的交点在轴的下方． 16．（2023·贵州贵阳·二模）已知点，，直线与线段相交，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】将点，分别代入直线的解析式求出的值，再结合函数图象进行分析即可得． 【详解】解：在中，当时，， 则直线恒过定点， 将点代入得：，解得， 将点代入得：，解得， 如图，要使直线与线段相交，    则或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键． 👉题型05 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 17．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数来说，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据直线中，得到随的增大而减小，由即可得到的取值范围． 【详解】解：对于直线来说， ∵， ∴随的增大而减小． ∵， ∴． 故选：A 18．（2023·安徽滁州·二模）已知，，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】先分析出一次函数的增减性，再根据不同情况进行分类讨论． 【详解】解：直线是一次函数， 是小于0的， 随的增大而减小． ， ． 若，则与同号， 但不能确定、的正负，故选项A不符合题意； 若，则与异号， 但不能确定、的正负，故选项B不符合题意； 若，则与异号，则与同时为负， 故、同时为正，故，选项C符合题意； 若，则与同号， 但不能确定、的正负，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查一次函数图象和性质，掌握一次函数的增减性性质是解题关键． 19．（2024·江苏苏州·一模）已知一次函数（，为常数，），当时，，则的值为 ． 【答案】2或/或2 【分析】由与的范围，确定出点坐标，代入一次函数解析式求出与的值，即可确定出所求．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ∵当时，， 一次函数图象上的点坐标为和， 代入得：， ②①得：， 解得：， 把代入①得：， 此时； 当时，随的增大而减小， 一次函数图象上的点坐标为和， 代入得：， 解得：， 此时， 故答案为：2或． 20．（2024·黑龙江大庆·二模）一次函数，当时，函数值y的范围是 ，那么代数式 的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，根据，确定函数值随自变量的增大而增大，从而当时，；当时，，从而可得，最后求得结果值． 【详解】解：， 函数的函数值随自变量的增大而增大， 当时，；当时，， 即， ， ， 故答案为：． 👉题型06 求一次函数解析式 21．（2024·贵州黔东南·一模）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久，如图所示是某次对弈的残图的一部分，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键． 利用待定系数法求解一次函数即可得解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得棋子“马”所在的点的坐标为， 设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为， ， 解得， ∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为． 故答案为： 22．（2024·山东济南·模拟预测）2024年五一期间，小亮一家驾车前往青岛旅游，在行驶过程中，汽车离青岛崂山景区的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，那么小亮从家到青岛崂山景区一共用了 小时． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及求一次函数自变量，根据函数图像设的解析式为：，用待定系数法求出函数解析式，再求出当时，x的值即可． 【详解】解：根据函数图像可知，为一次函数，且过点，， 设的解析式为：， 则， 解得：， ∴的解析式为：， 当时， 则， 解得：， ∴小亮从家到青岛崂山景区一共用了3个小时． 故答案为：3． 23．（2024·河北沧州·三模）在“探索一次函数的系数与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：，，．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，．则 ； ．（选填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是关键． 分别求出三条直线的解析式即可． 【详解】解：∵直线解析式为，过点，则代入有 ，将代入解析式得 ， ； ∵直线解析式为，根据题意得： ，解得， 直线解析式为， ， 设直线解析式为将，坐标代入得 ， 解得： ， ， ∴， 故答案为：，． 24．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，C为的中点，当的周长最小时，点P的横坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数解析式．由题意知，，如图，作关于轴的对称点，连接，，则，，由的周长为，可知当三点共线时，的周长最小，直线与轴的交点即为点P，待定系数法求直线的解析式为，当时，，计算求解即可得点P的横坐标． 【详解】解：由题意知，， 如图，作关于轴的对称点，连接，， ∴，， 的周长为， ∴当三点共线时，的周长最小，直线与轴的交点即为点P， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴点P的横坐标为， 故答案为：． 👉题型07 一次函数与坐标轴交点问题 25．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴于点C，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，依据题意列出周长的式子，从而找到使其最小的点P位置是解题关键．先根据一次函数列出周长的式子，再根据垂线段最短找到使周长最小时点P的位置，然后结合一次函数的性质、等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，可设点P的坐标为 ∴周长为 则求周长的最小值只要求出求的最小值即可， 如图，过点O作 则的最小值为，即此时点P与点D重合， 由直线的解析式得， 当时，， 当时，，解得， ∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，则 ∴是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形，， 解得， 则周长的最小值为， 故答案为：． 26．（2024·江苏镇江·二模）直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点B绕点A旋转60°后对应点的纵坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化旋转．根据题意画出示意图，结合所画图形对顺时针旋转和逆时针旋转进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：将代入一次函数解析式得， ， 所以点的坐标为． 将代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以点的坐标为． 当点绕点逆时针旋转时，如图所示， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 在中， ， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以点和点关于轴对称， 所以点的纵坐标为． 当点绕点顺时针旋转时，如图所示， 在中， ， 由旋转可知， ，， 所以， 即轴， 所以点的纵坐标为． 综上所述，点绕点旋转后对应点的纵坐标是或． 故答案为：或． 27．（2024·江苏泰州·二模）若点在直线上，点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点为象限内的符号，应先判断出点的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断具体坐标，熟知象限内的符号特征是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得直线经过第一、二、四象限，， ①当在第一象限时， 可得，解得， ，符合前提条件； ②当在第二象限时， 可得，解得，不符合前提条件； ③当在第四象限时， 可得，解得， ，符合前提条件， 故a的值为或， 故答案为：或． 28．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与轴，轴交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线上有一点使得的面积等于的面积，直接写出点的坐标． 【答案】(1)；直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算． （1）把代入，即可求出坐标，再根据点和用待定系数法即可求出函数解析式； （2）先求出，再根据图象即可求解； （3）设，根据或即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴将点代入得， ∴； ∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ， 解得：， 故直线的解析式为； （2）令，得， ∴， ∴． （3）根据题意得：， 设， 令，得， ∴， 如图： ， 解得：， 或， 解得：， 故或． 👉题型08 比较一次函数的大小 29．（2024·湖南株洲·模拟预测）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过点和点，则m、n的大小关系为m n（填“”“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据时，随增大而减小直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴随增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 30．（2024·四川成都·二模）若点，都在函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．先根据函数解析式判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【详解】解：函数中，， 随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 31．（2024·江苏南京·三模）已知一次函数与为常数），当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数的交点，以及一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想是解题的关键．联立两条直线的解析式求得交点坐标，由当时，，结合函数图象，可得，由此可得． 【详解】解：联立两个解析式得， 解得， 两条直线的交点坐标为， 当时，，结合图象可得， ， 解得． 故答案为：． 32．（2024·江苏泰州·一模）已知一次函数(是常数，且)，函数与自变量的部分对应值如下表： … … … … 则 ． (填“”、“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质和因式分解的应用，根据一次函数的性质进行判断即可，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 【详解】当时，， ∴， 则有随的增大而减小， ∴当时，，即， 故答案为：． 👉题型09 与一次函数有关的规律探究问题 33．（2024·吉林长春·模拟预测）设直线为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为，2，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出直线与坐标轴的两交点坐标分别为，；然后计算，再分别计算，，最后把它们相加即可．本题考查了一次函数，，为常数）与坐标轴所围成的三角形的面积计算．要学会计算一次函数与坐标轴的交点坐标．同时考查了运用为自然数）进行计算的方法． 【详解】解：令，则；令，则；所以直线与坐标轴的两交点坐标分别为，，． 所以，为自然数）， 当，； 当，； 当，； 则． 故答案为： 34．（2024·四川广安·模拟预测）在直角坐标系中，直线与x轴交于点，在直线上取点，使，过点作轴，交直线于点，接着在直线上点的上方取点，使，过点作轴，交直线于点．．．按此操作一直进行下去，则的纵坐标为 ．   【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，等边三角形的性质，解直角三角形等．过作于A，过作于B，过作于C，根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，可得的纵坐标为，的纵坐标为，进而可得的纵坐标为，由此可解． 【详解】解：如图所示，过作于A，令，则，解得，则，令，则，即，∴，∴，∵点在直线上，∴设，则，∴，∴，∵，∴是等边三角形，， 即的横坐标为，的纵坐标为， ∵， 轴， ∴，， ∴， ∴， 过作于B，则， 即的横坐标为，的纵坐标为， 过作于C， 同理可得，，， 即的横坐标为，的横坐标为， 同理可得，的纵坐标为， 由此可得的纵坐标为， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 35．（2024·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标规律探究，两直线的交点，一次函数图象性质．总结归纳出点A纵坐标变化规律是解题的关键． 联立直线与直线的表达式并解得：，，故，依次求出：点的纵坐标为、的纵坐标为，…，的纵坐标为即可求解． 【详解】解：联立直线与直线的表达式并解得：，，故； 则点，则直线的表达式为：， 将点坐标代入上式并解得：直线的表达式为：， 将表达式与直线的表达式联立并解得：，，即点的纵坐标为； 同理可得的纵坐标为， 的纵坐标为 按此规律，则点的纵坐标为， 故答案为：． 36．（2024·江苏盐城·二模）如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于推导一般性规律．根据菱形的性质，一次函数的性质，求出，，，推出的纵坐标为，即可． 【详解】解：如图， 当，，则， 当，，则， ∵菱形，菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为的中点，则， ∵菱形， ∴平分，， ∴，， 当，，则， 同理可求，， 当，，则， 同理可求，，…… ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是， 故答案为：． 37．（2024·山东临沂·一模）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，求得，于是得到结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确地作出规律是解题的关键． 【详解】解：点，在直线上， ， 轴， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，， ， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， ∴点的横坐标为 故答案为： 38．（2023·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x、y轴分别交于点A、B，在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线直线上被取，过点作y轴的垂线，垂足为点，得到；…；以此类推，第n个的面积是 （用含n的式子表示，n是正整数） 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．先求出A、B两点的坐标，再设设，，，再求出a、b、c的值，利用三角形的面积公式得出其面积，找出规律即可． 【详解】解：∵一次函数与x、y 轴分别交于点A、B， ∴，， ， 设，，， ， ， 解得∶，（舍去）， ， 同理可得，，， ，， ． 故答案为： 👉题型10 与一次函数有关的新定义问题 39．（2024·江苏徐州·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．在函数①，②，③，④，⑤，⑥的图象上，存在“平衡点”的函数是 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查函数图象上的点的特点．设平衡点的坐标为，将点分别代入到各个函数中，进行求解，判断即可．掌握“平衡点”的定义，是解题的关键． 【详解】解：设平衡点的坐标为， 把代入，得：，解得：， ∴的图象上存在“平衡点”； 把代入，得：，此方程无实数根， ∴的图象上不存在“平衡点”； 把代入，得：，解得：， ∴的图象上存在“平衡点”； 把代入，得：，此方程无实数根， ∴的图象上不存在“平衡点”； 把代入，得：，解得：， 经检验是原方程的解； ∴的图象上存在“平衡点”； 把代入，得：，此方程无解， ∴的图象上不存在“平衡点”； 故答案为：①③⑤． 40．（2024·山东枣庄·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论： ①点都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为； ③抛物线 上存在两个点是点的“倍增点”．其中，正确结论有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、一次函数图象上的点的坐标，解题时要熟练掌握并理解． 依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意得“倍增点”为，从而可以求得，进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”为，从而建立方程求得解，可以判断③． 【详解】解：①依据题意，由“倍增点”的意义， ∵，， ∴点，都是点的“倍增点”．故①正确． ②由题意，可设满足题意得“倍增点”A为， ∴． ∴． ∴．故②错误． ③可设抛物线上的“倍增点”为， ∴． ∴或2． ∴此时满足题意的“倍增点”有两个．故③正确． 故答案为：2． 41．（2024·浙江湖州·二模）在平面直角坐标系中，当点不在坐标轴上时，我们定义的影子点为．已知点的坐标为，且满足方程组（为常数），若点的影子点是，已知点正好落在一次函数的图象上，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了非负数性质和新定义运算，待定系数法求函数解析式．由题意得，继而求得，，得点的坐标为，根据定义知点的坐标为，再利用待定系数法即可求解．解题关键是利用方程变形和非负数性质得出，． 【详解】解：∵，即 ∴， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， ∴点的影子点的坐标为，即点的坐标为， 将点代入一次函数得：， 解得：， 故答案为：． 42．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设，得到，根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论即可． 【详解】 ，， ，， 设，则：， 点在直线上， 当是等腰三角形，分两种情况： ①当时，过点作，则：， ， 两点重合， ， ， ， ； ②当时，过点作，则：， ， ， ， ， ， 故答案为：或． 43．（2024·广东广州·二模）对于平面直角坐标系中的点 P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．当的半径为2时，在点 ，中，的关联点是 ；点P在直线上，若P为的关联点，则点 P 的横坐标x的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，两点间的距离公式，正确理解题目给出的定义是解答本题的关键．由题意得，只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由的值可知为的关联点；设点P的坐标为，求出点P到O点的距离，根据关联点的定义可知，，求解即可． 【详解】①，， 点与的最小距离为， 点与的最小距离为， ∴的关联点为． 设点P的横坐标为a， ∵点P在直线上， ∴， ， ∵P为的关联点， ∴， ∴，同时平方得：， 整理得：， 当时，解得：，， 当时，解得：，， 如图： ∴P横坐标范围是或． 故答案为：，或． 👉题型11 以开放性试题的形式考查一次函数 44．（2024·广东·模拟预测）已知y是关于x的一次函数，点在该一次函数的图象上，且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，开放性试题，答案不唯一，满足条件即可．设一次函数的表达式为，由随的增大而减小，则，图像经过点，可得的值，综合两者取值即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为， ∵图像经过点， ∴， ∵随的增大而减小， ∴， 即取负数，当时，函数解析式为． 故答案为：． 45．（2024·江苏泰州·三模）若y是x的函数，其图象过点、，写出一个符合此条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：当y是x的一次函数时，设函数解析式为， 得，， 解得， ∴该函数解析式为， 当y是x的反比例函数时，设函数解析式为， 得，， ∴该函数解析式为， 当y是x的二次函数，且顶点为时，设二次函数解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该函数解析式为， 故答案为：或或（答案不唯一）． 46．（2024·河南开封·二模）请写出一个与直线有公共点的函数解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一次函数值不等就有公共点，解答即可． 本题考查了一次函数的相交，熟练掌握一次函数值不相等的函数一定相交是解题的关键． 【详解】根据题意，得． 故答案为：． 47．（2024·江苏南京·一模）一次函数图象经过点，当时，，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】7（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查一次函数的性质，将代入得，可知当时，，由此可得，求解即可，根据一次函数的性质得是解决问题关键． 【详解】解：将代入得：，即， 亦即：， 当时，， ∵，即， ∴， 故答案为：7（答案不唯一，满足即可）． 48．（2024·山东济宁·二模）已知 （，2，…，），且满足条件，任取一个i值，则直线（，2，…，）经过一、二、四象限的概率为 ． 【答案】 【分析】由题意知，或，设中有x个1，y个，依题意得，，可求，即中有个正数，个负数，由时，直线（，2，…，）经过一、二、四象限，根据，计算概率即可． 【详解】解：由题意知，或， 设中有x个1，y个， 依题意得，， 解得， ∴中有个正数，个负数， 当时，直线（，2，…，）经过一、二、四象限， ∵， ∴直线（，2，…，）经过一、二、四象限的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了化简绝对值，一元二次方程组的应用，一次函数的图象，简单的概率计算．熟练掌握化简绝对值，一元二次方程组的应用，一次函数的图象，简单的概率计算是解题的关键． 👉题型12 求两直线与坐标轴围成的图形面积 49．（2024·黑龙江·二模）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点 B，与x轴交于点 C，线段的长是一元二次方程 的两个根，直线 交于点． (1)求点A的坐标； (2)在平面直角坐标系中有一点，求的面积S与m的函数关系式； (3)M为直线上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标为或或或 【分析】（1）通过解方程确定点，再用待定系数法求直线表达式为，最后联立，解二元一次方程组即可； （2）分类讨论，当点P在点E下方时，即，得到；当点P在点E上方时，即，得到，代入即可求解； （3）分类讨论，若，，则有，得到，若或，则，得到，分别求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得：或， ∴， 将代入 得：， 解得：， ∴直线表达式为， ∴联立得：， 解得， ∴点； （2）解：由题意得点P在直线上，设直线与直线交于点E，交x轴于点F， 将代入得，∴， ①当点P在点E下方时，即，如图： ； 当点P在点E上方时，即，如图： ， 综上所述：的面积S与m的函数关系式为：； （3）解：令直线为，直线为， ，则， ， ①如图1，若，， 过点Q作， ∴点G为中点， ∴， 则有， ， 或， ，或， ②如图2，图3，若或， 则， ， 或， ，或． 综上所述，M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，二元一次方程组，三角形的面积，等腰直角三角形的存在性问题，考查了分类讨论思想． 50．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点、，直线、交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)试问：在直线上是否存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求函数的解析式，函数图象与坐标轴交点坐标，两函数交点坐标，三角形面积公式，是解决问题的关键． （1）设直线的解析式是，根据过点和，列方程组，解方程组，即得直线的解析式是； （2）根据求得D的坐标，得到，根据，得到C的坐标，根据即得； （3）过点P作轴于点E，根据， ，得到，在中，根据得到，即得． 【详解】（1）设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：， 则直线的解析式是； （2）在中， 令，解得：． 则D的坐标是． ∴， 根据题意得：， 解得：， 则C的坐标是， ∴； （3）存在，理由： 过点P作轴于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 当时，， ∴． 51．（2024·山东潍坊·二模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于，两点，点是轴上一动点，连接，． (1)求一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求一次函数解析式，直线围成的三角形面积，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． （1）待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设点，直线与轴交于点，求出点的坐标为，根据的面积为12，得出，求出，解关于n的方程，得出或，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴， 解得： ∴一次函数的表达式为． （2）解：设点，直线与轴交于点， 把代入得：， ∴点的坐标为， ∴ ∵ ， 又∵的面积为12， ∴， ∴， ∴或， 综上所述，点的坐标为或． 52．（2023·河北沧州·一模）如图，直线l1的表达式为．且与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2经过点，且与直线l1交于点． (1)写出点D的坐标，并求出直线l2的表达式； (2)连接，求的面积； (3)直线上是否存在一点P，使得的周长最小？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)4 (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）把点代入即可求得点D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式； （2）由求得A、B的坐标，从而求得的长，然后根据三角形面积公式求得即可； （3）作点A关于直线l2的对称点，连接交直线 l2于P，连接，此时的值最小，即的周长最小，求出的坐标，然后求得直线的解析式，最后与直线的解析式联立，解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）由直线l1的表达式为可知，， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： 作点A关于直线的对称点，连接交直线 l2于P，连接，此时的值最小，即的周长最小， 由直线l2为可知，， 由轴对称的性质可知， ∴， ∵，， ∴ 设此时的解析式为，则有， 解得， ∴直线的解析式为， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式以及轴对称最短问题等，解题的关键是熟练掌握待定系数法、学会根据轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 53．（21-22八年级下·广西贵港·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，直线与x轴交于点，与直线交于点，动点M在直线上． (1)求m的值及直线的表达式； (2)若经过点M作y轴的平行线与直线相交于点N，当时，求此时点M的坐标； (3)在（2）的条件下，请直接给出以O，C，M，N为顶点的四边形的面积． 【答案】(1)，直线的表达式为 (2)点M的坐标为（-1，2）或（3，6） (3)所得四边形的面积为9或12 【分析】（1）直接利用待定系数法求解析式即可； （2）设，则，表示出的长，根据列方程，求解即可； （3）当点坐标为时，根据四边形的面积求解；当点坐标为时，根据四边形的面积求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线， 得， 设直线的表达式为， 将点，代入的表达式， 得， 解得， 直线的表达式为． （2）解：直线与轴交于点， ， 又， ， 设， 则， ， 解得或， 点的坐标为或． （3）解：点，点，点， 当点坐标为时， 四边形的面积 ； 当点坐标为时，此时点与点重合， 四边形的面积 ， 综上，以，，，为顶点的四边形的面积为9或12． 【点睛】本题考查了一次函数的综合，待定系数法求解析式，一次函数与动点的综合，三角形的面积，解题的关键是知道线段长度求点坐标，并且需要注意进行分情况讨论． 👉题型13 探究一次函数与方程、不等式的关系 54．（2022·贵州贵阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案． 【详解】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小； 故①不符合题意； 由图象可得方程组的解为，即方程组的解为； 故②符合题意； 由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意； 由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意； 综上：符合题意的有②③， 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 55．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)直接写出使函数的值大于函数的值的自变量的取值范围． 【答案】(1)，一次函数解析式为； (2)自变量x的取值范围是． 【分析】（1）先把代入正比例函数解析式可计算出，然后把代入计算出k的值，从而得到一次函数解析式为； （2）观察函数图象得到当时，直线都在的上方，即函数的值大于函数的值． 【详解】（1）解：把代入得， 则点A的坐标为， 把代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：观察函数图象得到当时，直线都在的上方，即函数的值大于函数的值． 所以自变量x的取值范围是． 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键． 56．（2023·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与x轴，y轴交于A，B两点直线的图像分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为中点，和是第一象限的两个点，连接．    (1)求直线的函数解析式 (2)将线段向左平移n个单位，若与直线，同时有公共点，求n的取值范围； (3)直线分别与直线，直线交于点E和点F，当时，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据直线的图像分别与x轴，y轴交于A，B两点，求出A，B两点的坐标，再根据C为中点，求出C点坐标代入即可求出，进而得出答案． （2）根据直线，同时有公共点，利用点坐标在一次函数上即可求解． （3）利用直线与轴平行，交点E和F分别在直线和直线上，根据坐标与坐标间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：对于，当，， ， 当，， ， 为中点， ，即， 将代入， 得出：， 所以， ． （2）向左平移n个单位后，， 与，同时有公共点， 则在上， 则在上， ． （3）与，交于点E、F， 则，， 当， 即， ， 则或， ，． 【点睛】本题考查了一次函数图像的综合问题，重点掌握求一次函数解析式的方法、坐标之间距离公式是解题的关键． 57．（2023·河北衡水·二模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为． (1)求所在直线的解析式； (2)某同学设计了一个动画； 在函数中，输入b的值，得到直线，其中点D在x轴上，点C在y轴上． ①在输入过程中，若的面积为5，直线就会发蓝光，求此时输入的b值； ②若直线与线段有交点，且交点的横坐标不大于纵坐标时，直线就会发红光，直接写出此时输入的b的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出，则，再由的面积为5，得到，即可建立方程，解方程即可得到答案；②先求出直线恰好经过A和恰好经过B时b的值，由此得到当时，直线与线段有交点，再求出直线与线段的交点坐标为，根据交点的横坐标不大于纵坐标，建立不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把代入中得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：①在中，当时，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， ∴， ∴或； ②当直线恰好经过时，则， ∴； 当直线恰好经过时，则， ∴， ∴当时，直线与线段有交点， 联立，解得， ∴直线与线段的交点坐标为， ∵交点的横坐标不大于纵坐标， ∴，即， 解得， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，解一元一次不等式，求两直线的交点坐标等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 58．（2023·河北石家庄·三模）如图，直线与坐标轴分别交于点A，C，直线与直线关于y轴对称．      (1)求直线的解析式． (2)若点在的内部，求m的取值范围． (3)若过点O的直线L将分成的两部分的面积比为，直接写出L的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，根据对称得到点的坐标，最后根据待定系数法即可求得直线的解析式； （2）将分别代入直线与直线的解析式，即可解答； （3）分类讨论，即直线L与直线相交或者直线L与直线相交，求出交点坐标，根据三角形面积比即可解答． 【详解】（1）解：由题意得， ∵直线与直线关于y轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入得， 解得， 所以直线BC的解析式为； （2）解：当点P在直线上时，可得，解得 当点P在直线上时，可得，解得 ∴当点P在的内部时，m的取值范围是； （3）解：如图，当直线L与直线相交时，设交点为，    设直线L的解析式为， 联立方程，解得， , 根据题意得， 可得方程， 解得，经检验，符合题意； 此时直线L的解析式为； 如图，当直线L与直线相交时，设交点为，    设直线L的解析式为， 同理可得， 此时直线L的解析式为， 综上所述，L的解析式为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数，一次函数的交点，根据题意进行分类讨论是解题的关键． 👉题型14 一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定 59．（21-22九年级上·广西柳州·期中）一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图像经过的象限得出、的符号，进而结合二次函数图像的性质得出答案．正确确定、的符号是解题关键． 【详解】解：∵一次函数的图像经过二、三、四象限， ∴，， ∴， 又∵当时，， ∴二次函数的图像开口方向向下，图像经过原点，对称轴在轴左侧． 故选：A． 60．（21-22九年级上·山东泰安·期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=（c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数（a≠0）的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0，然后对照四个选项中的图像判定即可． 【详解】解：因为二次函数的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0， 所以一次函数y=ax+b经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像等知识点，根据二次函数图像得到a＞0、b＜0、c＜0是解题的关键． 61．（2024·山东德州·二模）二次函数． 的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据二次函数的图象可以得到、的正负，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决． 【详解】解：由二次函数的图象开口向上，可得，， 又函数图象的对称轴在y轴右侧，则， ∴， 一次函数的图象经过第一、二、三象限， 故选：C． 62．（2024·安徽蚌埠·三模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象问题，求出交点坐标是解题的关键．先求出一次函数与轴交点排除A和D，再求出一次函数与二次函数的交点坐标排除B，最后得到正确答案． 【详解】解：令解得： 一次函数与轴交点为， 排除A和D， 令，解得， 二次函数与轴交点为和， 一次函数与二次函数的交点为， 排除B， 故选：C． 👉题型15 与一次函数有关的图形变化问题 63．（2024·北京·模拟预测）如图， (1)【提出问题】将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______； (2)【初步思考】将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为______，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为______； (3)【深度思考】已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ①将一次函数的图象关于轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 【答案】(1) (2)，， (3)①；②；③ 【分析】（1）由函数图象的平移法则求解即可得到答案； （2）利用点的平移法则得到、，利用待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案； （3）由对称性质、旋转性质，结合待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案． 【详解】（1）解：利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：，， 将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ，解得， 过点、的直线对应的函数表达式为； （3）解：，当时，，即点；当时，，，即点， ①如图， 一次函数的图象关于轴对称，， ∴点A关于x轴的对称点， 设将一次函数的图象关于轴对称所得到的图象对应的函数表达式为， 将代入得，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； ②设点绕点逆时针旋转到点，过点作轴于点，如图， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设将直线绕点逆时针旋转所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； ③过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，如图， 将直线绕点逆时针旋转， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设将直线绕点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象的平移、待定系数法确定一次函数表达式、点的对称、求一次函数图象关于坐标轴对称的函数图象表达式、旋转性质、求一次函数图象绕固定点旋转后的函数图象表达式等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 64．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，把沿着过点A的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 【分析】（1）直接利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）由折叠的性质可知，．可得，．求解，可得．设，则．再结合勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由折叠的性质可知，． ∴，． ∵，， ∴，． 在中，根据勾股定理，得， ∴． ∴ 设，则． 在中，根据勾股定理，， ∴， 解得， ∴． ∴点C的坐标为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理的应用，全等三角形的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 65．（2024·山西大同·三模）阅读与思考 下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 应用所学知识证明直线对称问题如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法： 设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为． 方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）． 点的纵坐标为． 设点的横坐标为， ．．． 将代入，得． 点在直线上． 直线和直线关于直线对称．        方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点． 点的纵坐标为． 将代入，得． ．． ． 点和点关于直线对称． 直线和直线关于直线对称． 任务： (1)小悦周记中得到，的依据是______； (2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______； A．公理化思想    B．数形结合思想    C．分类讨论思想 (3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称． 【答案】(1)轴对称的性质 (2)B (3)见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称的性质等等： （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据题意可知用了数形结合思想； （3）方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D，则点的横坐标为c，设点的纵坐标为，则，据此求出，在中，当时，，据此可证明结论；方法二：在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于，则点的横坐标为，求出，再证明，即可得到直线和直线关于直线对称． 【详解】（1）解：由题意得，小悦周记中得到，的依据是轴对称的性质， 故答案为：轴对称的性质； （2）解：由题意得，小悦所用方法主要运用的数学思想是数形结合思想， 故选：B． （3）解：方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D， ∴由轴对称的性质可得，点的横坐标为c， 设点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴在直线上， ∴直线和直线关于直线对称； 方法二：如图所示，在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于， ∴点的横坐标为， 把代入中得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴直线和直线关于直线对称． 👉题型16 与一次函数有关的动点问题 66．（2024·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线上一动点，连接．将线段绕点O顺时针旋转得线段，以，为一组邻边构造平行四边形．连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】“瓜豆模型”主要用于解决动点问题，在这个模型中，有两个动点，一个动点（母点）的运动轨迹是确定的，另一个动点（子点）的运动轨迹与母点的运动轨迹相关，且子点的运动轨迹是由母点的运动轨迹所确定的．本题母点为点P，在直线上移动，OP绕点O顺时针旋转90°得线段，所以点Q运动轨迹也是一条直线．然后根据A，B两点确定点Q运动轨迹的两点可得出该解析式，点H坐标．最后再根据勾股定理和一元二次方程的知识点求出最小值即可． 【详解】 始终为， 当点P移动到B点的位置时，点Q坐标为， 当点P移动到A点的位置时，点Q坐标为， 设点M坐标为，设点N坐标为， 连接，设该直线的解析式为：，代入点M、点N， 得：，解得， ． 设， 由平行四边形的性质可得：， 当时，的值最小， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式、勾股定理解直角三角形、一元二次方程、平行四边形的性质以及平面直角坐标系，掌握“瓜豆模型”找到点Q的运动轨迹是一条直线是解题关键． 67．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图矩形中，，点为边上的三等分点，动点从点出发，沿折线方向运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用描点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）结合图象列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵点为边上的三等分点（）， ∴，， 分两种情况：①当时，即点P在边上，则 ； ②当时，即点P在边上，则 ， ∴ ； 综上，关于的函数解析式为：； （2）解：用描点法作出函数图象即可， 当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：根据函数图象， 当，则，解得：， ； 当，则，解得：， ； 综上，时的取值范围为或． 【点睛】此题考查了求函数解析式，一次函数的图象和性质，矩形的性质，画一次函数图象，矩形的性质，三角形面积，求不等式解集．数形结合和分类讨论是解题的关键． 68．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，中，于点 D，动点P以每秒 个单位长度的速度从点B出发沿折线方向运动，到点C运动停止，过点 P作于点Q，设运动时间为t秒，点Q，D之间的距离为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，当正比例函数的图象与该函数图象有两个交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大 (3) 【分析】（1）由，可得，由题意知，当时，在上运动，则，证明，则，即，可求；当时，在上运动，，同理，，则，即，可求；进而可得y关于t的函数表达式； （2）描点连线作函数图象即可，根据函数图象确定性质即可； （3）如图2，当经过点时，，可求，然后数形结合可得，当正比例函数的图象与该函数图象有两个交点时，k的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意知，当时，在上运动， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，； 当时，在上运动， ∴， 同理，， ∴，即， 解得，； 综上所述，y关于t的函数表达式为； （2）解：作函数图象如图1；              由图象可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大； （3）解：如图2，           当经过点时，， 解得，， 由图象可知，当正比例函数的图象与该函数图象有两个交点时，k的取值范围为． 【点睛】本题考查了腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数的图象与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数的图象与性质是解题的关键． 69．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与 轴，轴分别相交于点 ，点 ，点 是线段的中点，动点 从点开始以每秒1个单位长度的速度沿路线 向终点 匀速运动，设运动的时间为 秒，连接． (1)求直线 的函数解析式． (2)请直接写出点 的坐标________________．（用含 的代数式表示） (3)①当 时，求 的值． ②将 沿翻折，使点落在点 ，当 平行于坐标轴时，请直接写出 的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 的值为 或 或 【分析】（1）利用待定系数法将，两点代入，建立二元一次方程组即可求出直线的解析式； （2）过作于，，利用，即可求出的长，即点的纵坐标即可求出，将纵坐标代入（1）中一次函数即可求出横坐标，从而得出的坐标． （3）①当，可得，根据三角形的面积公式即可求解； ②分平行于轴时，平行于轴时，画出图形，根据折叠的性质以及相似三角形的判定和性质即可求出的值． 【详解】（1）解：直线与轴，轴分别相交于点，点， ， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：过作于，则， ， ， ，，， ，， ， ， 点在直线上，直线的函数解析式为， ， 解得：， 点的坐标为：， 故答案为：； （3）解：①点是线段的中点，， ， 点的坐标为：，， ， ， ， ， ， ； ②平行于轴时， 平行于轴， ， 将沿翻折，使点落在点处， ， ， ， ； 平行于轴时，又分两种情况，如图： 平行于轴时，过点作轴交于， 轴， ，， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ， ， ， ， ， 点是线段的中点，，轴， ， ，， ， ， ， ，， ， ； 平行于轴时，过点作轴交于， 轴， ， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 点是线段的中点，，轴， ， ， ， ， ； 综上，的值为或或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，作辅助线构造相似三角形是解本题的关键． 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：点A在直线上，且点A的横坐标为4， 点A的坐标为， ， 当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点， 由对称性质可知，， 当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为， 由对称性质可知，， 作于点，有， 设，则， ， ， 解得， 经检验是方程的解， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况． 2．（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ． 【答案】2 【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2． 【详解】解：∵的图像经过第一、二、四象限， ∴，随的增大而减小， ∵过定点， ∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点， ∴r的临界点是2， ∴r的最小值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数图像，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在直线上，顶点B在x轴上，垂直轴，且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，……，则的面积是 ． 【答案】 【分析】解直角三角形得出，，求出，证明，，得出，，总结得出，从而得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵轴， ∴点A的横坐标为， ∵， ∴点A的纵坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵轴，轴， ∴，， ∵轴，轴，轴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平行线的判定和性质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出一般规律． 4．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可； （2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， 把代入， 得； （2）解：由（1）知： 设l与y轴相交于D，    ∵轴，轴轴， ∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 5．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法，可以探究的值，其中． 例求的值． 方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知 的结果等于该正方形的面积， 即． 方法2：借助函数和的图象，观察图②可知 的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和， 即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1， 所以，．    【实践应用】 任务一   完善的求值过程．    方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______， 所以，______． 任务二   参照上面的过程，选择合适的方法，求的值． 任务三   用方法2，求的值（结果用表示）． 【迁移拓展】 长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形． 观察图⑤，直接写出的值．    【答案】任务一，方法1：；方法2：，；任务二，；任务三，；[迁移拓展] 【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可； 任务二，借助函数和得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为2，即可得出结果； 任务三  参照方法2，借助函数和的图象，得出交点坐标，即可求解； [迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……进而得出则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为的正方形的面积，即可求解． 【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 故答案为：． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为， 所以， ． 故答案为：，． 任务二：参照方法2，借助函数和的图象，， 解得： ∴两个函数图象的交点的坐标为， ． 任务三  参照方法2，借助函数和的图象，两个函数图象的交点的坐标为， ∴ [迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，…… 则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为1的正方形的面积， 即 【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键． 1．（2022·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可． 【详解】解：∵由已知，得：， ∴图象经过第一、二、三象限， ∴图象不经过第四象限． 故选：D． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可． 【详解】解：由一次函数：的图象可得： ，， 由一次函数：的图象可得： ，， ∴，，，， 正确的结论是A，符合题意， 故选A． 3．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键． 先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可． 【详解】解：令，则， 解得：， 即点为， 则点A关于y轴的对称点是． 故选：A． 4．（2022·江苏连云港·二模）一次函数 ，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象当k＜0时，一定经过二、四象限且y随x的增大而减小，结合b=-1即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数 ，若y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴图象一定过第二、四象限， ∵b=-1， ∴该一次函数一定过第二、三、四象限，不过第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键． 5．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【详解】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 6．（2024·甘肃·中考真题）已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是 （写出一个合理的值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，选择，此时，解答即可．本题考查了函数值的计算，正确选择自变量进行计算是解题的关键． 【详解】根据，选择，此时， 故答案为：． 7．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶    设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线， ∴，， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长． 8．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． x … 1 2 3 4 … … 8 4 2 1 … 写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、画反比例函数的图象、一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）根据表格中的规律即可得函数表达式，再利用描点法画出函数图象即可； （3）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，则，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则一次函数的解析式． （2）解：由表格可知，， 画出函数图象如下： ． （3）解：联立，解得或， ∵一次函数的图象与函数的图象相交于，两点（点在点的左侧）， ∴， ∵点关于坐标原点的对称点为点， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为， 如图，过点作轴的垂线，交直线于点，则， ∴，点到的距离与点到的距离之和为， ∵的面积为15， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 所以点的坐标为． 9．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据直线的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①用含m的代数式表示出的长，再根据得出结论即可；②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式的出m的值． 【详解】（1）点在直线上， ， 一次函数的图象过点和点， ， 解得， 直线的解析式为； （2）①点在直线上，且的横坐标为， 的纵坐标为：， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 点，线段的长度为， ， ， ， 即； ②的面积为， ， 即， 解得， 由①知，， ， 解得， 即的值为或． 【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， 由题意得：， ∴同底等高， ． 11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题： (1)求点D的坐标； (2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值； (3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，12个， 【分析】（1）先解方程求出，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标； （2）过点E作于点H，求出，然后证明，即可得到，然后求出得正切值即可； （3）利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：解方程得，， ∴，即点A的坐标为， 把代入得， ∴，点D的坐标为； （2）解：过点E作于点H， ∵， ∴，， ∴， 又∵是平行四边形， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当时，有个， 解：∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴点N得坐标为； 当时，有个，如图， 当时，有个，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点与O重合， 故点得坐标为， 综上所述，点的个数为个，和点N的坐标为或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． $$第三章 函数 第10讲 一次函数的图象与性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 一次函数的定义 👉题型02 判断一次函数的图像 👉题型03 正比例函数的性质 👉题型04 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 👉题型05 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 👉题型06 求一次函数解析式 👉题型07 一次函数与坐标轴交点问题 👉题型08 比较一次函数的大小 👉题型09 与一次函数有关的规律探究问题 👉题型10 与一次函数有关的新定义问题 👉题型11 以开放性试题的形式考查一次函数 👉题型12 求两直线与坐标轴围成的图形面积 👉题型13 探究一次函数与方程、不等式的关系 👉题型14 一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定 👉题型15 与一次函数有关的图形变化问题 👉题型16 与一次函数有关的动点问题 👉题型01 一次函数的定义 1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则（　　） A．2 B． C． D．3 2．（2024·北京·三模）已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 3．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格： x … 0 1 2 y … 4 1 … 小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（   ） A．1 B． C． D． 👉题型02 判断一次函数的图像 5．（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江丽水·一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好离开水面，停止计时．用表示圆柱体运动时间，表示水面的高度，则与之间函数关系的图象大致是（    ） A．B．C．D． 7．（2023·安徽滁州·一模）已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A．B．C．D． 8．（2022·广西钦州·一模）定义一种运算：则函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 👉题型03 正比例函数的性质 9．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为 ． 10．（2023·江苏镇江·二模）正比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则 ． 11．（2023·甘肃平凉·三模）已知正比例函数，在平面直角坐标系中，它的图象中经过 象限． 12．（2023·浙江·三模）点是正比例函数上一点，把点向右平移个单位，向下平移个单位后的点仍在正比例函数的图象上，则的值为 ． 👉题型04 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 13．（2023·安徽合肥·二模）已知一次函数的图象经过点，则关于的一次函数的图象一定经过第 象限． 14．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点不可能在第 象限． 15．（2023·湖南永州·二模）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是 ． 16．（2023·贵州贵阳·二模）已知点，，直线与线段相交，则k的取值范围是 ． 👉题型05 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 17．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 18．（2023·安徽滁州·二模）已知，，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．（2024·江苏苏州·一模）已知一次函数（，为常数，），当时，，则的值为 ． 20．（2024·黑龙江大庆·二模）一次函数，当时，函数值y的范围是 ，那么代数式 的值是 ． 👉题型06 求一次函数解析式 21．（2024·贵州黔东南·一模）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久，如图所示是某次对弈的残图的一部分，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为 ． 22．（2024·山东济南·模拟预测）2024年五一期间，小亮一家驾车前往青岛旅游，在行驶过程中，汽车离青岛崂山景区的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，那么小亮从家到青岛崂山景区一共用了 小时． 23．（2024·河北沧州·三模）在“探索一次函数的系数与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：，，．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，．则 ； ．（选填“”“”或“”） 24．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，C为的中点，当的周长最小时，点P的横坐标为 ． 👉题型07 一次函数与坐标轴交点问题 25．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴于点C，则周长的最小值为 ． 26．（2024·江苏镇江·二模）直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点B绕点A旋转60°后对应点的纵坐标是 ． 27．（2024·江苏泰州·二模）若点在直线上，点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为 ． 28．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与轴，轴交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线上有一点使得的面积等于的面积，直接写出点的坐标． 👉题型08 比较一次函数的大小 29．（2024·湖南株洲·模拟预测）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过点和点，则m、n的大小关系为m n（填“”“=”或“<”）． 30．（2024·四川成都·二模）若点，都在函数的图象上，则 （填“”或“”）． 31．（2024·江苏南京·三模）已知一次函数与为常数），当时，，则的取值范围是 ． 32．（2024·江苏泰州·一模）已知一次函数(是常数，且)，函数与自变量的部分对应值如下表： … … … … 则 ． (填“”、“”或“”) 👉题型09 与一次函数有关的规律探究问题 33．（2024·吉林长春·模拟预测）设直线为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为，2，，则的值为 ． 当，； 则． 故答案为： 34．（2024·四川广安·模拟预测）在直角坐标系中，直线与x轴交于点，在直线上取点，使，过点作轴，交直线于点，接着在直线上点的上方取点，使，过点作轴，交直线于点．．．按此操作一直进行下去，则的纵坐标为 ．   35．（2024·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为 ． 36．（2024·江苏盐城·二模）如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是 ． 37．（2024·山东临沂·一模）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 38．（2023·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x、y轴分别交于点A、B，在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线直线上被取，过点作y轴的垂线，垂足为点，得到；…；以此类推，第n个的面积是 （用含n的式子表示，n是正整数） 👉题型10 与一次函数有关的新定义问题 39．（2024·江苏徐州·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．在函数①，②，③，④，⑤，⑥的图象上，存在“平衡点”的函数是 ．（填序号） 40．（2024·山东枣庄·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论： ①点都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为； ③抛物线 上存在两个点是点的“倍增点”．其中，正确结论有 个． 41．（2024·浙江湖州·二模）在平面直角坐标系中，当点不在坐标轴上时，我们定义的影子点为．已知点的坐标为，且满足方程组（为常数），若点的影子点是，已知点正好落在一次函数的图象上，则的值是 ． 42．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 43．（2024·广东广州·二模）对于平面直角坐标系中的点 P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．当的半径为2时，在点 ，中，的关联点是 ；点P在直线上，若P为的关联点，则点 P 的横坐标x的取值范围是 ． 👉题型11 以开放性试题的形式考查一次函数 44．（2024·广东·模拟预测）已知y是关于x的一次函数，点在该一次函数的图象上，且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数表达式： ． 45．（2024·江苏泰州·三模）若y是x的函数，其图象过点、，写出一个符合此条件的函数表达式： ． 46．（2024·河南开封·二模）请写出一个与直线有公共点的函数解析式： ． 47．（2024·江苏南京·一模）一次函数图象经过点，当时，，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 48．（2024·山东济宁·二模）已知 （，2，…，），且满足条件，任取一个i值，则直线（，2，…，）经过一、二、四象限的概率为 ． 👉题型12 求两直线与坐标轴围成的图形面积 49．（2024·黑龙江·二模）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点 B，与x轴交于点 C，线段的长是一元二次方程 的两个根，直线 交于点． (1)求点A的坐标； (2)在平面直角坐标系中有一点，求的面积S与m的函数关系式； (3)M为直线上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点、，直线、交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)试问：在直线上是否存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 51．（2024·山东潍坊·二模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于，两点，点是轴上一动点，连接，． (1)求一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点的坐标． 52．（2023·河北沧州·一模）如图，直线l1的表达式为．且与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2经过点，且与直线l1交于点． (1)写出点D的坐标，并求出直线l2的表达式； (2)连接，求的面积； (3)直线上是否存在一点P，使得的周长最小？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标． 53．（21-22八年级下·广西贵港·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，直线与x轴交于点，与直线交于点，动点M在直线上． (1)求m的值及直线的表达式； (2)若经过点M作y轴的平行线与直线相交于点N，当时，求此时点M的坐标； (3)在（2）的条件下，请直接给出以O，C，M，N为顶点的四边形的面积． 👉题型13 探究一次函数与方程、不等式的关系 54．（2022·贵州贵阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 55．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)直接写出使函数的值大于函数的值的自变量的取值范围． 56．（2023·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与x轴，y轴交于A，B两点直线的图像分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为中点，和是第一象限的两个点，连接．    (1)求直线的函数解析式 (2)将线段向左平移n个单位，若与直线，同时有公共点，求n的取值范围； (3)直线分别与直线，直线交于点E和点F，当时，求a的值． 57．（2023·河北衡水·二模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为． (1)求所在直线的解析式； (2)某同学设计了一个动画； 在函数中，输入b的值，得到直线，其中点D在x轴上，点C在y轴上． ①在输入过程中，若的面积为5，直线就会发蓝光，求此时输入的b值； ②若直线与线段有交点，且交点的横坐标不大于纵坐标时，直线就会发红光，直接写出此时输入的b的取值范围． 58．（2023·河北石家庄·三模）如图，直线与坐标轴分别交于点A，C，直线与直线关于y轴对称．      (1)求直线的解析式． (2)若点在的内部，求m的取值范围． (3)若过点O的直线L将分成的两部分的面积比为，直接写出L的解析式．    👉题型14 一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定 59．（21-22九年级上·广西柳州·期中）一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（    ） A．B．C．D． 60．（21-22九年级上·山东泰安·期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=（c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（　　） A．B．C．D． 61．（2024·山东德州·二模）二次函数． 的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ） A．B．C．D． 62．（2024·安徽蚌埠·三模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 👉题型15 与一次函数有关的图形变化问题 63．（2024·北京·模拟预测）如图， (1)【提出问题】将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______； (2)【初步思考】将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为______，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为______； (3)【深度思考】已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ①将一次函数的图象关于轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 64．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，把沿着过点A的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求点C的坐标． 65．（2024·山西大同·三模）阅读与思考 下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 应用所学知识证明直线对称问题如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法： 设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为． 方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）． 点的纵坐标为． 设点的横坐标为， ．．． 将代入，得． 点在直线上． 直线和直线关于直线对称．        方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点． 点的纵坐标为． 将代入，得． ．． ． 点和点关于直线对称． 直线和直线关于直线对称． 任务： (1)小悦周记中得到，的依据是______； (2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______； A．公理化思想    B．数形结合思想    C．分类讨论思想 (3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称． 👉题型16 与一次函数有关的动点问题 66．（2024·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线上一动点，连接．将线段绕点O顺时针旋转得线段，以，为一组邻边构造平行四边形．连接，则线段的最小值为 ． 67．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图矩形中，，点为边上的三等分点，动点从点出发，沿折线方向运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出时的取值范围． 68．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，中，于点 D，动点P以每秒 个单位长度的速度从点B出发沿折线方向运动，到点C运动停止，过点 P作于点Q，设运动时间为t秒，点Q，D之间的距离为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，当正比例函数的图象与该函数图象有两个交点时，请直接写出k的取值范围．              69．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与 轴，轴分别相交于点 ，点 ，点 是线段的中点，动点 从点开始以每秒1个单位长度的速度沿路线 向终点 匀速运动，设运动的时间为 秒，连接． (1)求直线 的函数解析式． (2)请直接写出点 的坐标________________．（用含 的代数式表示） (3)①当 时，求 的值． ②将 沿翻折，使点落在点 ，当 平行于坐标轴时，请直接写出 的值． 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 2．（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ． 3．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在直线上，顶点B在x轴上，垂直轴，且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，……，则的面积是 ． 4．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 5．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法，可以探究的值，其中． 例求的值． 方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知 的结果等于该正方形的面积， 即． 方法2：借助函数和的图象，观察图②可知 的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和， 即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1， 所以，．    【实践应用】 任务一   完善的求值过程．    方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______， 所以，______． 任务二   参照上面的过程，选择合适的方法，求的值． 任务三   用方法2，求的值（结果用表示）． 【迁移拓展】 长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形． 观察图⑤，直接写出的值．    1．（2022·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 4．（2022·江苏连云港·二模）一次函数 ，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 6．（2024·甘肃·中考真题）已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是 （写出一个合理的值即可）． 7．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 8．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． x … 1 2 3 4 … … 8 4 2 1 … 写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标． 9．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题： (1)求点D的坐标； (2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值； (3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由． $$