精品解析：天津市第五十五中学 2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试题

2024-2025（二）月练习（12月）九年级数学 总分：120分 注意：请在答题纸上作答 一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1. 如图所示的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. ，是上的两点，，劣弧的长是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点．若，，则的直径是（ ） A. B. C. 5 D. 7. 正方形内接于，其边长为，则的内接等边三角形的边长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且时，的最大值为9，则的值为（ ） A. 或1 B. 或 C. D. 1 9. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 10. 若点A(－5，y1)，B(－3，y2)，C(2，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A. y1＜y3＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3 11. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（ ） A. 9π﹣9 B. 9π﹣6 C. 9π﹣18 D. 9π﹣12 12. 如图，二次函数的图像与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且．则下列结论；①：②；③；④关于的方程有一个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 一个不透明的袋中装有除颜色外无其他任何差别的12个红球和个黄球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是，则_________． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为_______． 15. 如图所示是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，建立如图所示的平面直角坐标系，若水面下降时，则水面的宽度为_________． 16. 如图，边长为6的正方形的顶点、在一个半径为6的圆上，顶点、在圆内，将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点第一次落在圆上时，点运动的路径长为___________． 17. 如图，在中，，，的内切圆与边、、分别相切于点、、，则的度数为__________． 18. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是__________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 不透明的袋子中装有红色小球2个、绿色小球1个，除颜色外无其他差别． （1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两球都是红色”的概率． （2）随机摸出两个小球，直接写出“取出两球颜色不同”这一事件的概率是________． 20. 已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D． （1）如图①，若∠AOP=65°，求∠C的大小； （2）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小． 21. 如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长． 22. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． （1）求y与x的函数关系式． （2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？ （3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据已知条件，请直接写出不等式的解集； （3）过点作轴，垂足为，求的面积． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把ABO绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． （1）如图①，若α＝90°，求的长； （2）如图②，若α＝120°，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为，当P+B取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可） 25. 已知二次函数的图象经过点． 当，时，求二次函数的解析式及二次函数最小值； 二次函数的图象经过点，． ①求该二次函数图象的对称轴； ②若对任意实数，函数值都不小于，求此时二次函数的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025（二）月练习（12月）九年级数学 总分：120分 注意：请在答题纸上作答 一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1. 如图所示的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形是指将图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重叠；中心对称图形是指将图形围绕对称中心旋转180度之后能与原图形完全重叠． 【详解】解： A和D是轴对称图形；B是中心对称图形，C既是轴对称图形，也是中心图形图形． 故应选C 考点：轴对称图形与中心对称图形． 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、水涨船高，是必然事件，不符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，符合题意； D、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 故选：A． 4. ，是上的两点，，劣弧的长是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查弧长的计算，解题的关键是熟练的掌握弧长的计算．直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可． 【详解】，劣弧的长是， ， 解得， 故选：B． 5. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：，， ∴． 故选：B． 6. 如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点．若，，则的直径是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出是的垂直平分线是解答此题的关键．根据垂径定理求出的长，由勾股定理可得出的长． 【详解】是的中点，， ， 设的半径为， ， ， ， 即， 解得， 的直径是， 故选：D． 7. 正方形内接于，其边长为，则的内接等边三角形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、、，作于，先求出圆的半径，解即可解决问题． 【详解】解；如图，连接、、，作于， 四边形是正方形， ∴， 是直径，， ∴， ∵， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中， ∵，则 ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形与圆、垂径定理，等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 8. 已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且时，的最大值为9，则的值为（ ） A. 或1 B. 或 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，y的最大值为9，可得时，函数值为9，解方程即可求出a． 【详解】二次函数（其中是自变量）， 对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， 抛物线开口向上，， 当时，的最大值为9， 当时，取最大值为9， 即， 解得（不合题意，舍去）， ， 故选：D． 9. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 【答案】B 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故选：B． 10. 若点A(－5，y1)，B(－3，y2)，C(2，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A. y1＜y3＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案． 【详解】∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上， ∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个分支上y随x的增大减小， ∴y3一定最大，y1＞y2， ∴y2＜y1＜y3． 故选：D． 11. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（ ） A. 9π﹣9 B. 9π﹣6 C. 9π﹣18 D. 9π﹣12 【答案】D 【解析】 【分析】首先由折叠的性质判定△OBD是等边三角形，进而利用特殊角三角函数值得出OC，然后得出△OBC和△BDC的面积，从而得出阴影部分的面积. 【详解】连接OD， 由折叠的性质知：CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC， ∴OB=OD=BD， 即△OBD是等边三角形， ∴∠DBO=60°， ∴∠CBO=30°， ∴OC=OB=2， ∴S阴影=S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBC S△BDC=S△OBC=×OB×OC=×6×2=6， S扇形AOB==9π， ∴S阴影=S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBC =9π﹣6﹣6 =9π﹣12． 故选：D． 【点睛】此题主要考查三角形的折叠问题、等边三角形的性质、扇形面积以及特殊角三角函数值的运用，熟练掌握，即可解题. 12. 如图，二次函数的图像与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且．则下列结论；①：②；③；④关于的方程有一个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：由抛物线的开口可知：，由抛物线与轴的交点可知： 由抛物线的对称轴可知： ，故①正确 令， ，故②正确 ，故③正确 对称轴为直线 ． 当时， 设关于的方程有一个根为 ，故④正确 ，且 、两点分布在对称轴的两侧 即到对称轴的距离小于到对称轴的距离 ，故⑤正确 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 一个不透明的袋中装有除颜色外无其他任何差别的12个红球和个黄球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用红球的个数除以总球的个数得出红球的概率，从而求出n的值． 【详解】解：由题意得， 解得． 经检验，是方程的解，且符合题意， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为_______． 【答案】（1，-1） 【解析】 【分析】连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心． 【详解】解：直线MN的解析式为：x=1， ∵，C'， 所以CC'的中点坐标为，即， 设直线CC′的解析式为：y=kx+b， 由题意：， ∴， ∴直线CC′:， ∵直线EF⊥CC′，且经过CC′中点， 设直线EF的解析式为：， ∴， ∴ ∴直线EF:， 由得， ∴P点坐标为：． 15. 如图所示是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，建立如图所示的平面直角坐标系，若水面下降时，则水面的宽度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意确定抛物线的解析式成为解题的关键． 先求出函数的表达式为，设水面下降1米到D的位置，则D坐标为，然后代入函数解析式求得x，最后根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：从图象看，函数定点坐标C为，点B的坐标为， 则函数的表达式为：， 把点B坐标代入上式得：，解得：， ∴则函数的表达式为：， 设水面下降1米到D的位置，则D坐标为， 把D点坐标代入函数表达式得：，解得：， ∴； ∴由二次函数的对称性可得：水面的宽度为． 故答案为：． 16. 如图，边长为6的正方形的顶点、在一个半径为6的圆上，顶点、在圆内，将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点第一次落在圆上时，点运动的路径长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线，首先求出的大小，进而求出旋转的角度，再以点为圆心，使点落在圆上，则点C第一次落在圆上的点处，求出旋转角，利用弧长公式问题即可解决． 【详解】解：如图，分别连接， ∴是等边三角形， ∴； 同理可证：， ∴； ∵， ∴， 由旋转变换的性质可知； ∵四边形为正方形，且边长为6， ∴， ∴当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：， 再以点为圆心，使点落在圆上，则点C第一次落在圆上的点处， 同理可得， ∴点的运动路径长为：， ∴当点第一次落在圆上时，点运动的路径长为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质及其应用问题，弧长的计算公式，解题的关键是作辅助线，准确求出旋转角． 17. 如图，在中，，，的内切圆与边、、分别相切于点、、，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，等边对等角，根据切线长定理得出，，再根据等边对等角得出，，进而可得出答案． 【详解】解：∵的内切圆与边、、分别相切于点、、， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是__________． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】证明，即可判断①．证明，根据不一定是等边三角形，可得判断②．证明，即可判断③．证明，求出的面积即可判断④． 【详解】如图，连接． 四边形是正方形， ，， 由翻折可知：，，，， ，，， ， ，，设， ，故①正确， 在中， ， ， ， ， ， ， 不一定是等边三角形， ，故②错误， ， ， ， ，， ， ，故③正确， ，， ， ，故④错误， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 不透明的袋子中装有红色小球2个、绿色小球1个，除颜色外无其他差别． （1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两球都是红色”的概率． （2）随机摸出两个小球，直接写出“取出两球颜色不同”这一事件的概率是________． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析： （1）根据题意画出树形图，分析树形图中所得结果，即可求得“两球都是红球的概率”； （2）根据题意画出树形图，分析树形图中所得结果，即可求得“取出两球颜色不同”这一事件的概率. 试题解析： （1）画树形图如下： 由图可知，共有9种等可能结果，其中“两个都是红球”的有4种， ∴P（两球都是红色）=； （2）由题意画出树形图如下， 由图可知，随机摸出两个小球，共有6种等可能结果，其中“两球颜色不同”的有4种， ∴P（两球颜色不同）=. 20. 已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D． （1）如图①，若∠AOP=65°，求∠C的大小； （2）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小． 【答案】（1）40°；（2）30°． 【解析】 【分析】(1) 连接OB，根据切线长定理可知∠APO=∠BPO=25º，利用三角形的外角性质求出∠C. (2)连接OB，先利用BD∥AC，说明△OBD是等边三角形，得出∠BOP=∠AOP=60º，∠APO=30º，利用三角形的外角性质求出∠C. 【详解】解：（1）连接BO， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠APO=∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB， ∵∠AOP=65°， ∴∠APO=90°﹣65°=25°， ∴∠BPO=∠APO=25°， ∵∠AOP=∠BPO+∠C， ∴∠C=∠AOP﹣∠BPO=65°﹣25°=40°， （2）连接OB，设∠AOP=x， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠APO=∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB， ∴∠AOP=∠BOP，OA=OB=OD， ∵BD∥AC， ∴∠ODB=∠AOP， ∴∠ODB=∠BOP，即∠ODB=∠BOD， ∴BD=OB=OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BOP=∠AOP=60º， ∴∠BPO=30º， ∴∠C=∠AOP-∠BPO=30º. 故答案为（1）40°；（2）30°． 【点睛】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，解题(2)的关键是判断出△ODB是等边三角形. 21. 如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长． 【答案】（1）证明：连接OE、EC, ∵AC是⊙O的直径, ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D为BC的中点, ∴ED=DC=BD, ∠1=∠2, ∵OE=OC, ∴∠3=∠4, ∴∠1+∠3=∠2+∠4, 即∠OED=∠ACB, ∵∠ACB=90° ∴∠OED=90°, ∴DE是⊙O的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定得出即可； （2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可． 【详解】(1)略 (2)由(1)知:∠BEC=90° ∵在与Rt△BEC和Rt△BCA中, ∠B=∠B， ∠BEC=∠BCA， ∴△BEC∽△BCA， ∴ ， ∴ ， ∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x， ∵BC=6， ∴ ， 解得：x=（负值已舍去） 即AE=． 【点睛】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出∠OED=∠BCA和△BEC-△BCA是解此题的关键． 22. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． （1）求y与x的函数关系式． （2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？ （3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）；（2）10元；（3）x为12时，日销售利润最大，最大利润960元 【解析】 【分析】（1）根据题意得到函数解析式； （2）根据题意列方程，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）根据题意得，， 故y与x的函数关系式为； （2）根据题意得，，解得：，（不合题意舍去）， 答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元； （3）根据题意得，， ， ∴当时，w随x的增大而增大， 当时，， 答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元． 【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据已知条件，请直接写出不等式的解集； （3）过点作轴，垂足为，求的面积． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）将点B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再将点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出n的值，由点A，点B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）观察两函数图象，结合点A，点B的坐标，即可得出结论； （3）由BC⊥x轴结合点B的坐标可得出BC的长度，再根据点A的坐标利用三角形的面积公式即可得出结论. 【详解】将点代入反比例函数解析式中，得 ，解得 反比例函数解析式为 点A(n,3)在反比例函数的图像上 ，解得 即点的坐标为 将点，点，代入一次函数解析式中， 得， 解得 一次函数解析式为 观察函数图象发现：当x＜-1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方 ∴不等式的解集为x＜-1或0＜x＜3； 轴， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式及三角形的面积公式. 解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）结合函数图象解不等式；（3）利用三角形的面积公式求出面积. 解决该题型题目时，求出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键. 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把ABO绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． （1）如图①，若α＝90°，求的长； （2）如图②，若α＝120°，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为，当P+B取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可） 【答案】（1）5 （2）(，) （3）(，) 【解析】 【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出AB＝5，再根据旋转的性质得BA＝BA′，∠ABA′＝90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长； （2）作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°，则∠HBO′＝60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标； （3）由旋转的性质得BP＝BP′，则O′P+BP′＝O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP＝O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y＝x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′＝OP＝，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′＝30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D和DO′的长，从而可得到P′点的坐标． 【小问1详解】 如图①， ∵点A（4，0），点B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5， ∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′， ∴BA＝BA′，∠ABA′＝90°， ∴△ABA′为等腰直角三角形， ∴AA′＝BA＝5； 【小问2详解】 作O′H⊥y轴于H，如图②， ∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′， ∴BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°， ∴∠HBO′＝60°， 在Rt△BHO′中，∵∠BO′H＝90°﹣∠HBO′＝30°， ∴BH＝BO′＝，O′H＝BH＝， ∴OH＝OB+BH＝3+＝， ∴O′点的坐标为(，)； 【小问3详解】 ∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′， ∴BP＝BP′， ∴O′P+BP′＝O′P+BP， 作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②， 则O′P+BP＝O′P+PC＝O′C，此时O′P+BP的值最小， ∵点C与点B关于x轴对称， ∴C（0，﹣3）， 设直线O′C的解析式为y＝kx+b， 把O′（，），C（0，﹣3）代入得，解得， ∴直线O′C的解析式为y＝x﹣3， 当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝，则P（，0）， ∴OP＝， ∴O′P′＝OP＝， 作P′D⊥O′H于D， ∵∠BO′A′＝∠BOA＝90°，∠BO′H＝30°， ∴∠DP′O′＝30°， ∴O′D＝O′P′＝，P′D＝O′D＝， ∴DH＝O′H﹣O′D＝﹣＝， ∴P′点的坐标为(，)． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，解题的关键是，熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系． 25. 已知二次函数的图象经过点． 当，时，求二次函数的解析式及二次函数最小值； 二次函数的图象经过点，． ①求该二次函数图象的对称轴； ②若对任意实数，函数值都不小于，求此时二次函数的解析式． 【答案】（1）；当时，最小值为；（2）①x=；②y=x2-3x+2； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法以及配方法即可解决问题． （2）①根据对称性B、C关于对称轴对称，即可解决问题． ②首先求出b、c（用a表示），想办法列出不等式即可解决问题． 【详解】解：将，代入得：． 将，代入，， ∴． ∴， ∴当时，最小值为． ①由题意可知：对称轴． ②∵， ∴，又∵， ∴， ∴ 顶点纵坐标为， ∵函数值不小于， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴函数解析式为：y=x2-3x+2 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式, 二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $