精品解析： 湖南省永州市第九中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

永州市第九中学2024年下期期中质量检测 九年级数学（试题卷） 满分：120分 考试时量：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1. 已知反比例函数的图象经过点，则等于（ ） A. 4 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将代入即可得出a的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：B． 2. 将一元二次方程化成（，为常数）的形式，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程的常数项移到等号右边，两边加上，再利用完全平方公式将等号左边变形即可得到结果． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 即， 故选：C． 3. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．黄金分割比是指将整体一分为二，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，其比值为 如图，P为线段AB的黄金分割点（），．如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， 故选A． 4. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式的值，即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程为， ， 该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 7. 观察下面的表格： 判断方程的其中一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．观察表格可以发现的值和最接近，再看对应的的值即可得． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，； 当时，， 故选：B． 8. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为米，宽为米，种植面积为平方米，设修建的路宽为米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．假设出修建的路宽为米，利用图形的平移法，将种植地平移拼接为长方形，即可列出方程． 【详解】解：设修建的路宽为米， 根据题意可列方程为， 故选：C． 9. 一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是数形结合．求的自变量的取值范围，从图上看就是一次函数图象在反比例函数图象上方时，横坐标的取值范围，据此结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知，当或时，， 故选：D． 10. 如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得，再由正方形的性质得由，得，推导出，进而证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点M，N分别是和的中点，若， ∴是的中位线， ∴， 四边形是边长为6的正方形， ，， ∵F为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，证明是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，正确将已知式子变形是解题的关键．根据，得到，再代入所求式子中计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 若关于x的方程有一个根为，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程得，然后解关于的方程． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：2． 13. 若点和点在反比例函数图象上，则与的大小关系是：__________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，可以用直接代入法，进行比较，也可以利用函数增减性进行比较．根据反比例函数在第二象限内的图象随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：，且， 函数的两个分支在第二、四象限内，且各象限内的随的增大而增大， 点和点，且， ， 故答案为：． 14. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，，若四边形的面积为，则四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据面积比等于位似比的平方，即可求解． 【详解】∵，，以点为位似中心，作四边形的位似图形， ∴， ∵四边形的面积为， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 15. 用因式分解法解一元二次方程，方程可化为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由因式分解法得出，，由根与系数的关系可得出，，代入代数式求解即可． 【详解】解： 或 ，， 方程可化为， ，， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，垂足为，若，，那么线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，首先证，然后根据相似三角形的对应边成比例求出的长即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 17. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于点N，若四边形的面积为2．则k的值是________．   【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，通过设点的坐标表示矩形的面积是解决本题的关键．设的坐标为，将点代入反比例函数，得出，然后用坐标表示矩形的面积，从而得出关系式，即可求出的值． 【详解】解：设的坐标为， 点在反比例函数上， ， 轴，轴， ， 四边形是矩形， ， ． 故答案为：2． 18. 如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为__________． 【答案】6或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 首先求出，，根据题意表示出，，然后分和两种情况讨论，分别根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒， ∴， ①当时， ∴，即 ∴； 当时， ∴，即 ∴ 综上所述，t的值为6或． 故答案为：6或． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ， 20. 近日，火爆全网的泰山“机器狗”搬运货物事件引发人们的热议，这不仅是一次科技现象，更是智能时代来临的信号．我们应当认识到，随着科技的发展，“机器狗”等智能设备即将融入我们的日常生活．若“机器狗”最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，即．已知一款“机器狗”载重后总质量时，它的最快移动速度． （1）求与的解析式； （2）若机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为多少？ 【答案】（1）与的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入反比例函数解析式中求出，即可求解． 【小问1详解】 解：总质量时，它的最快移动速度， ， 与的解析式为； 【小问2详解】 当时，， 机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为． 21. 已知：如图，是上一点，，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． （1）由垂直的定义可得，根据平行线的性质得到，即可证明； （2）先根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， ，， ， ． 22. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； 【小问2详解】 解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 23. 暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，某体育用品店开展乒乓球拍促销活动． （1）据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，8月共销售副，求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率； （2）已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降1元，则每天可多售4副，在每副降价幅度不超过元的情况下，如果每天要盈利元，则每副乒乓球拍应降价多少元？ 【答案】（1）该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为； （2）每副乒乓球拍应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每月增长率为x，利用8月销售量6月销售量增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用总利润每副的销售利润日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设平均每月增长率为x， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 答：该增长率为； 【小问2详解】 解：设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副， 根据题意得：， 即， 解得：或（舍去）， 答：每副乒乓球拍应降价元． 24. 阅读题：请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图（1），在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程：如图（2），过点C作，交的延长线于E， 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图（3），已知中，，，，平分，求的长．（请按照本题题干的定理进行解决） 【答案】（1） 证明：如图2：过C作．交的延长线于E， ∴，，， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线的定义等知识点，灵活应用相关性质定理成为解答本题关键． （1）如图2：过C作．交的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得，，由得，所以即可证明结论； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴． 25. 我们约定：在平面直角坐标系中，若点满足，我们就说点是该平面直角坐标系内的“大九中”点，若函数图象上存在一个或以上的“大九中”点的函数我们称之为“幸福函数”．根据约定请解决以下问题： （1）若反比例函数是“幸福函数”，请问是否是该函数图象上的“大九中”点？（填“是、否”即可） （2）若函数是“幸福函数”且函数图象上有两个“大九中”点，求的取值范围； （3）若反比例函数的图象上存在两个“大九中”点为，且，求的值． 【答案】（1）是函数图象上的“大九中”点 （2），且 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键掌握相关知识，并理解“幸福函数”和“大九中”点的定义． （1）根据“大九中”点的定义判断即可； （2）由函数是“幸福函数”，可得，整理可得，根据题意可得：，即可求解； （3）根据题意可得：，，整理得：，，推出，是方程的两个根，再根据根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：，， 是函数图象上的“大九中”点； 【小问2详解】 函数是“幸福函数”， ，即， 整理得：， 函数是“幸福函数”且函数图象上有两个“大九中”点， 关于的方程有两个不相等的实数根， 即， 解得：， ， ， ，且； 【小问3详解】 反比例函数的图象上存在两个“大九中”点为，， ，，，， ，， 整理得：，， ，是方程的两个根， ，， 整理得：， 解得：或， 当时，方程为， ，即方程有两个实数根，符合题意； 当时，方程为， ，即方程有两个实数根，符合题意； 综上，或． 26. 【问题呈现】阅读材料1：若四边形内存在一点到四个顶点的距离相等，我们把这个点叫做四边形的“开心点”． 阅读材料2：关于的一元二次方程，如果，，满足且，那么我们把这样的方程称为“2倍—勾系方程”． 【问题解决】（1）在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形这四种四边形中，一定存在“开心点”的四边形的是（ ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ （2）求证：关于的“2倍—勾系方程”必有实数根； 【问题应用】（3）如图，已知四边形存在“开心点”，且到四个顶点的距离为，，，，，且关于的方程是“2倍—勾系方程”． ①求证：； ②直接写出的长（用，的式子表示）． 【答案】（1）D；（2）见解析；（3）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与特殊四边形的性质，关于一元二次方程的新定义问题，熟练掌握特殊四边形的性质和一元二次方程根的判别是解题的关键， （1）根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质即可得到答案； （2）根据一元二次方程的判别式即可判断； （3）①作于，延长交于，连接，，根据， 可得，从而得到，再根据关于的方程是“2倍—勾系方程”，得到，由题意易证，可得到，进而得到．②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，所以，再由，可得，进而得到. 【详解】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，所以平行四边形内不一定存在到四个顶点的距离相等的点，故不一定存在“开心点”； ②矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的对角线交点到四个顶点的距离相等，存在“开心点”； ③菱形的对角线互相垂直且平分，但不一定相等，所以菱形内不一定存在到四个顶点的距离相等的点，故不一定存在“开心点”； ④正方形的对角线相等，且互相垂直平分，所以正方形的对角线交点到四个顶点的距离相等，存在“开心点”； 故选：； （2）是关于的“2倍—勾系方程， ， ，即， 关于的“2倍—勾系方程”必有实数根； （3）①作于，延长交于，连接，，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵关于的方程是“2倍—勾系方程”， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，如图， ∴， ∵， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州市第九中学2024年下期期中质量检测 九年级数学（试题卷） 满分：120分 考试时量：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1. 已知反比例函数的图象经过点，则等于（ ） A. 4 B. C. 16 D. 2. 将一元二次方程化成（，为常数）的形式，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．黄金分割比是指将整体一分为二，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，其比值为 如图，P为线段AB的黄金分割点（），．如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 7. 观察下面的表格： 判断方程的其中一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为米，宽为米，种植面积为平方米，设修建的路宽为米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 5 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若，则的值是__________． 12. 若关于x的方程有一个根为，则a的值为______． 13. 若点和点在反比例函数图象上，则与的大小关系是：__________（填“”、“”或“”）． 14. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，，若四边形的面积为，则四边形的面积为__________． 15. 用因式分解法解一元二次方程，方程可化为，则__________． 16. 如图，在中，，，垂足为，若，，那么线段的长为__________． 17. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于点N，若四边形的面积为2．则k的值是________．   18. 如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 近日，火爆全网的泰山“机器狗”搬运货物事件引发人们的热议，这不仅是一次科技现象，更是智能时代来临的信号．我们应当认识到，随着科技的发展，“机器狗”等智能设备即将融入我们的日常生活．若“机器狗”最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，即．已知一款“机器狗”载重后总质量时，它的最快移动速度． （1）求与的解析式； （2）若机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为多少？ 21. 已知：如图，是上一点，，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 23. 暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，某体育用品店开展乒乓球拍促销活动． （1）据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，8月共销售副，求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率； （2）已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降1元，则每天可多售4副，在每副降价幅度不超过元的情况下，如果每天要盈利元，则每副乒乓球拍应降价多少元？ 24. 阅读题：请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图（1），在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程：如图（2），过点C作，交的延长线于E， 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图（3），已知中，，，，平分，求的长．（请按照本题题干的定理进行解决） 25. 我们约定：在平面直角坐标系中，若点满足，我们就说点是该平面直角坐标系内的“大九中”点，若函数图象上存在一个或以上的“大九中”点的函数我们称之为“幸福函数”．根据约定请解决以下问题： （1）若反比例函数是“幸福函数”，请问是否是该函数图象上的“大九中”点？（填“是、否”即可） （2）若函数是“幸福函数”且函数图象上有两个“大九中”点，求的取值范围； （3）若反比例函数的图象上存在两个“大九中”点为，且，求的值． 26. 【问题呈现】阅读材料1：若四边形内存在一点到四个顶点的距离相等，我们把这个点叫做四边形的“开心点”． 阅读材料2：关于的一元二次方程，如果，，满足且，那么我们把这样的方程称为“2倍—勾系方程”． 【问题解决】（1）在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形这四种四边形中，一定存在“开心点”的四边形的是（ ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ （2）求证：关于的“2倍—勾系方程”必有实数根； 【问题应用】（3）如图，已知四边形存在“开心点”，且到四个顶点的距离为，，，，，且关于的方程是“2倍—勾系方程”． ①求证：； ②直接写出的长（用，的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $