6.3.1平面向量基本定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019）必修第二册

6.3.1 平面向量基本定理 人教版（2019）必修第二册 素养目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，提高逻辑推理素养.(难点) 2.学会利用平面向量的基本定理解决有关的向量的问题，提高逻辑推理素养.（重点） 新课导入 我们知道, 已知两个力, 可以求出它们的合力; 反过来, 一个力可以分解为两个力. 如图, 我们可以根据解决实际问题的需要, 通过作平行四边形, 将力F分解为多组大小、方向不同的分力. 思考一下：由力的分解得到启发, 我们能否通过作平行四边形, 将向量a分解为两个向量, 使向量a是这两个向量的和呢? 探究一下 新课学习 O M N C 新课学习 不能 总结：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量. 新课学习 新课学习 是唯一的 新课学习 新课学习 平面向量基本定理 基底 对于基底的辨析 新课学习 1.基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的． 4.由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 新课学习 思考一下：平面向量基本定理有什么优点? 由平面向量基本定理可知, 任一向量都可以由同一个基底唯一表示, 这为我们研究问题带来了极大的方便. 平面向量基本定理是向量共线定理在平面内的推广，是由一维向二维的飞跃，二者反映的规律是一致的． 新课学习 解： 新课学习 新课学习 新课学习 证明： C A D B 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 C 课堂巩固 课堂巩固 C 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 0.5 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 总结一下 1.平面向量基本定理 2.基底的概念 感谢同学们观看 如图，设 ， 是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与 ， 都不共线的向量.在平面内任取一点O，作 ， ， .将a按 ， 的方向分解，你有什么发现？ 如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N 因为 与 共线， 与 共线可得，存在实数 ， ，使得 ， 所以 . 也就是说，与 ， 都不共线的向量a都可以表示成 的形式. 思考一下：如果给定的两向量 ， 共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？ 此时 与 ， 共线，当向量 与它们不共线时， 则无法表示. 思考一下：当a是与 或 共线的非零向量时，a也可以表示成 的形式；当a是零向量时，a为什么同样也可以表示成 的形式？ 当 与 共线时， （ ） 当 与 共线时， （ ） 当 时， （ ） 思考一下：平面内任一向量a都可以按 ， 的方向分解，表示成 的形式，这种表示形式是唯一的吗？ 我们假设a还可以表示成 的形式， 那么 ， 可得 假设 ， 不全为0，不妨假设 ， 则 ， 由此可得 ， 共线.这与已知 ， 不共线矛盾，由此可推出 ， 全为0，即 ， . 也就是说，有且只有一对实数 ， ，使 . 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 ， ，使 . 若 ， 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.基底给定时，分解形式唯一． ， 是被 ， ， 唯一确定的数值． 3. ， 是同一平面内所有向量的一组基底，则当 与 共线时， ；当 与 共线时， ；当 时， . 例1 如图， ， 不共线，且 ，用 ， 表示 . 因为 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 观察例1中的 ，你有什么发现？ 与 的系数和为1 一般地，A，B，P三点共线的充要条件是：存在唯一实数 ， ，满足 且 . 例2 如图，CD是 的中线， ，用向量方法证明 是直角三角形. 分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取 为基底，用它表示 ， .证明 ，可得 ，从而证得 是直角三角形. 如图，设 ， ，则 ， ，于是 ， . 因为 ，所以 ， 因为 ， ，所以 . 因此 . 于是 是直角三角形. 1.在 中，点M，N满足 ， ，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 解析：依题意， ，又 ，且 ， 不共线， 所以 ， ， . 故选:A 2.在正六边形ABCDEF中， ，则 ( ) A. B. C. D.1 解析： ，所以 ， 所以 ， ，所以 ， 故选：C. 3.已知正方体 中，点E为 的中点，若 ，（x， ）则x，y的值分别为( ) A.1，1 B.1， C. ， D. ，1 解析： 所以 .故选:C. 4.如图，在 中，E是 的中点， ， ， 与 交于点M，则 ( ) A. B. C. D. 解析：在 中，设 ，由 ，可得 ，故 . 又E是 的中点， ，所以 ， ，所以 . 由点E，M，F三点共线，可得 ，解得 ， 故 .故选：A. 5.如图，在 中， ，若 ，且 ，则 _____________. 解析：由已知可得 ， 所以， . 所以， ， ，则 . 6.在 中，过重心E任作一直线分别交 ， 于M，N两点，设 ， ，（ ， ），则 的最小值是________. 解析：在 中，点E为重心，则 ， 而点N，E，M共线，则 ， 因此 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值是 . $$