精品解析：四川省宜宾市江安县2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题

二〇二四年秋期半期教学质量监测 九年级·数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上. 2.答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签宇笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无放. 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. （a、b、c为常数） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，只有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，（a、b、c为常数），不是一元二次方程，不符合题意； B、，整理得：，是一元二次方程，符合题意； C、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，不是整式方程，不符合题意； 故选B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算，熟练掌握二次根式的化简及加减运算法则是解题的关键．根据二次根式的化简及加减运算即可求解． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行运算，故A选项计算错误； B、，故B选项计算正确； C、，故C选项计算错误； D、，故D选项计算错误， 故选B． 3. 下列二次根式中，化简后与可以合并的二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式． B．与不是同类二次根式． C．与不是同类二次根式． D．与是同类二次根式． 故选：D． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 4. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据被开方数不含能开方开的尽的因式和因数，被开方数不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 7. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 8. 小明把一张边长为的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．如果这个无盖的长方体底面积为，那么剪去的正方形边长为( ) A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程应用. 解题关键点：理解题意列出方程. 设剪去的小正方形边长为，根据题意得，进而即可求解 【详解】设剪去的小正方形边长为， 根据题意得， 解这个方程得， 当时，， 所以不合题意舍去，只取． 故选C 9. 如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设出动点P，Q运动t秒，能使四边形的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：当运动时间为t秒时， 则． 依题意得：，即， 整理得：， 解得：． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 则当四边形的面积为时，点P运动的时间是2秒． 故选：A． 10. 有两人同时患了流感，经过两轮传染后共有200人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，并可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，注意要舍去不合题意的解．根据题意设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 第一轮过后有个人感染，第二轮过后有个人感染， 那么由题意可知， 整理得，， 解得或， 不符合题意，舍去． 那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人． 故选：B． 11. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. a C. D. b 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值性质和实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．直接利用数轴上，的位置，进而得出，，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由图可知：，， ． 故选：D 12. 已知关于的代数式，判断下列说法正确的有（ ） ①存在实数，使得； ②若，则； ③已知代数式、、满足，，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用、二次根式的混合运算等知识，掌握完全平方公式及整体代入法是解题的关键．． ①先把左边配方，再根据非负数的性质判断； ②根据的值得到，再将化为，最后整体代入求值即可； ③先把左边分解因式，再整体代入求值； 【详解】解：①∵， ∴不存在实数，使得， 故说法①不正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∴， 故说法②不正确； ③∵，， ∴， ∴ ， 故说法③不正确； ∴说法正确的有个， 故选：A． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）. 13. 比较大小：①______；②______（填“”，“”，“”号）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，理解并掌握实数比较大小的方法是解题关键． ①由，易得，然后根据“负数比较大小，绝对值大的反而小”即可获得答案；②首先由可知，进而可得，然后比较与大小即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：；． 14. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据未知数的最高次数是2，且二次项的系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， ∴． 故答案为：． 15. 已知x，y为实数，且，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的非负性和运算，被开方数非负得到，，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 已知、是方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根的定义得，根据根与系数的关系得，再利用整体代入的思想解决问题．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：如果的两个实数根是，，那么，．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小值，如：按照这个规定，方程的解为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 分类讨论1与x的大小，分别求出方程的解，检验即可． 【详解】解：当时，， ，即， 解得：，（舍去）， 当时，， ，即， 解得：，（舍去）， 综上所述，方程的解为或． 故答案为：或． 18. 在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，得到，解得，类比上述方法及思想则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：方程的思想的运用是解决问题的关键．也考查了规律性问题的解决方法．设，等式两边平方得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：设， 两边平方得， 整理得， 解得，（舍去）， 则． 故答案为：3． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列方程： （1） （2）（配方法） （3）（公式法） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问4详解】 解；∵， ∴， ∴或， 解得。 21. 已知，， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算． （1）先求出，，把变形为，利用整体代入求值即可； （2）把变为，利用整体代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 ． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【小问1详解】 解：由题意得 当时，原方程有实数根，即 ； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ， ， ， ， 解得，（舍去）， 实数的值是1． 23. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）售价应定为每个元． （2）这两周的平均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为每个元，则 ， 整理得：， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元． 【小问2详解】 解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个）， 设这两周的平均增长率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 24. 项目主题：课桌挂钩顶端到地面距离的计算． 项目背景：同学们利用课桌挂钩方便放置自己的物品，数学活动实践小组以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题展开项目化学习． 驱动任务：根据报告内容计算挂钩顶端到地面的距离． 研究步骤：（1）如图，这是某校新购进的一批课桌便携式挂钩，他们完成了如下实践探究，形成了如下实验报告： 调查主题 课桌挂钩顶端到地面距离的计算 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 元素 数据 （2）已知地面为水平面，桌面是水平面，，为课桌的高度，挂钩顶端到地面的距离为，最后通过勾股定理及二次根式的有关知识，计算后得出结论． （3）试验数据： 问题解决：请根据此项目实施的材料，求课桌挂钩顶端到地面的距离． 【答案】课桌挂钩顶端到地面的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．连接，交于点，首先确定，为等腰直角三角形，运用勾股定理解得的值，再在中，由勾股定理解得的值，然后求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， 设，在中，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：课桌挂钩顶端到地面的距离为． 25. 配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题： （3）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （4）已知实数、满足，求的最值． 【答案】（1）；（2）； （3）当时，为“完美数”，理由如下： ， ∵、是整数， ∴、也是整数， ∴当时，为“完美数”； （4）6 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）把10拆成两个整数的平方即可； （2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解； （3）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （4）首先表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）已知10是“完美数”， 将它写成（、是整数）的形式为． 故答案为：； （2）∵ ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴． 故答案为：； （3）略 （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二四年秋期半期教学质量监测 九年级·数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上. 2.答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签宇笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无放. 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. （a、b、c为常数） B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，化简后与可以合并的二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 8. 小明把一张边长为的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．如果这个无盖的长方体底面积为，那么剪去的正方形边长为( ) A. B. C. D. 或 9. 如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 有两人同时患了流感，经过两轮传染后共有200人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 11. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. a C. D. b 12. 已知关于的代数式，判断下列说法正确的有（ ） ①存在实数，使得； ②若，则； ③已知代数式、、满足，，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）. 13. 比较大小：①______；②______（填“”，“”，“”号）． 14. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为____________． 15. 已知x，y为实数，且，则______． 16. 已知、是方程的两个根，则______． 17. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小值，如：按照这个规定，方程的解为__________． 18. 在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，得到，解得，类比上述方法及思想则___________． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 计算： （1） （2） 20. 解下列方程： （1） （2）（配方法） （3）（公式法） （4） 21. 已知，， （1）求的值； （2）求的值． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值 23. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率． 24. 项目主题：课桌挂钩顶端到地面距离的计算． 项目背景：同学们利用课桌挂钩方便放置自己的物品，数学活动实践小组以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题展开项目化学习． 驱动任务：根据报告内容计算挂钩顶端到地面的距离． 研究步骤：（1）如图，这是某校新购进的一批课桌便携式挂钩，他们完成了如下实践探究，形成了如下实验报告： 调查主题 课桌挂钩顶端到地面距离的计算 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 元素 数据 （2）已知地面为水平面，桌面是水平面，，为课桌的高度，挂钩顶端到地面的距离为，最后通过勾股定理及二次根式的有关知识，计算后得出结论． （3）试验数据： 问题解决：请根据此项目实施的材料，求课桌挂钩顶端到地面的距离． 25. 配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题： （3）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （4）已知实数、满足，求的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $