精品解析：山东省日照市田家炳中学2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试卷

九年级成长进步之旅（四） 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知点在反比例函数上，则下列各点也在该反比例图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数图象过点求出k的值，再根据的特点进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数图象过点， ∴，即， A、，点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B、，在反比例函数的图象上，故本选项正确； C、∵，∴不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D、∵，∴不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选：B． 2. 如图，已知，下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据三角形的对应边成比例，找出对应边比则可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴选项C正确，其它三项均不正确． 故选：C． 3. 已知A（-1，），B（2，）两点在双曲线上，且，则m的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵A（，），B（2，）两点在双曲线上， ∴． ∵， ∴，解得． 故选D． 4. 下列说法中正确的有（ ） ①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形一定相似． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形或相似多边形的定义以及性质即可作出判断． 【详解】：①正确． ②两个等腰三角形一定相似，错误不一定相似． ③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81，错误周长比应该是2：3， ④不相似，三边不一定成比例． 故选A． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似三角形、相似多边形的定义和性质． 5. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致； 【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误； B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确； C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误； D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系． 6. 下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； C、如图所示，分别过点作轴，轴，则； D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以． ∵， ∴C中阴影部分的面积最小． 故选：C． 7. 某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强．当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．若要保证气球不会爆炸，则气球内气体的体积应满足（ ） A. 大于 B. 不小于 C. 小于 D. 不大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，由于当温度不变时，气球内的气体的气压P是气体体积V的反比例函数，可设，再根据气体的体积时，气球内气体的压强，运用待定系数法求出其解析式；故当时，． 【详解】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为． ∵当气体的体积时，气球内气体的压强， ∴， ∴， ∴， ∴当，即时， ， ∴要保证气球不会爆炸，则气球内气体的体积应满足不小于． 故选：B． 8. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点P．则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】连接格点，．根据题图和勾股定理先判断的形状，再求出的正切，利用平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，连接格点，． 由网格和勾股定理可求得； ，，， ∴， ∴是直角三角形． 在中，． ∵， ∴ ∴ 故选． 【点睛】本题考查了勾股定理和解直角三角形，作辅助线平移到直角中，是解决本题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数图象于点，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，反比例函数的性质等知识，根据，得到，是解答本题的关键．过B点作于E点，根据旋转的性质可得：，，即有是等边三角形，则有，，根据，可得，即可得，解方程可得（负值舍去），则有，问题随之得解． 【详解】解：过B点作于E点，如图， 根据旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 故选：D． 10. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明，通过等量转化即可求证，利用角平分线的性质和公共边即可证明，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明推出，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出和长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出的最小值，从而证明②不对. 【详解】解： 为正方形， ，， ， ， . , , ， ， . 平分， . ， . ， ， 垂直平分， 故①正确. 由①可知，，， ， ， ， 由①可知， . 故③正确. 为正方形，且边长为4， ， 在中，. 由①可知，， ， . 由图可知，和等高，设高为， ， ， ， . 故④不正确. 由①可知，， ， 关于线段的对称点为，过点作，交于，交于， 最小即为，如图所示， 由④可知的高即为图中的， . 故②不正确. 综上所述，正确的是①③. 故选：D. 【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，则cosA＝________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB是斜边，AB=10，BC=6， 由勾股定理得，AC==8， 则cosA=， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键． 12. 如图，点、点分别在反比例函数、的图象上，且，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，易证，利用反比例函数的几何意义求出，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出，然后根据反比例函数的图象即可确定的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 点、点分别在反比例函数、的图象上， ，， ， ， ， ， ， ， ， 反比例函数的图象在第四象限内， ， ， 故答案为：． 13. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝cm， 且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长_____cm． 【答案】36 【解析】 【分析】根据tan∠EFC的值，可设CE=3k，在Rt△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，根据∠BAF=∠EFC，利用三角函数的知识求出AF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案． 【详解】解： tan∠EFC＝， ∴设CE=3k，则CF=4k， 由勾股定理得EF=DE=5k， ∴DC=AB=8k， ∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∴tan∠BAF=tan∠EFC= ∴BF=6k，AF=BC=AD=10k， 在Rt△AFE中由勾股定理得AE= 解得：k=1， 故矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36cm， 故答案为：36． 【点睛】此题考查了矩形的性质以及翻折变换的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答． 14. 已知三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 对角线所分得的三个三角形相似， 根据相似的性质可知， 解得， 即阴影梯形的上底就是（）． 再根据相似的性质可知， 解得：， 所以梯形的下底就是， 所以阴影梯形的面积是． 故答案为． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例． 15. 如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果P、Q同时出发，用表示移动的时间，那么：当__________为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形．熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论，是解题的关键． 分时，得；时，得两种情况． 【详解】解；根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形中： ①当时，，那么有：，解得， 即当时，； ②当时，，那么有：，解得， 即当时，； 所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 16. 如图，的顶点在轴的负半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过，两点．已知的面积是，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合问题，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．根据题意首先求出反比例函数的解析式，以及直线OD的解析式，通过设B点的坐标推出C的坐标，然后利用的面积是，建立方程求出B点的坐标即可． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴，反比例函数解析式为：， ∵直线OD经过原点， ∴设直线OD的解析式为， 将代入得：， ∴直线OD的解析式为：， 由题意得：∥x轴， ∴B，C的纵坐标相等， 设，则C的纵坐标为， 代入反比例函数解析式得，C的横坐标为， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴，即：， 解得：， ∵B点在第二象限， ∴， 将代入B点坐标得， 故答案为：． 三．解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先将特殊角的三角形函数值代入，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，已知，，是直角坐标系平面上三点； （1）以原点为位似中心，在第四象限内画出将缩小为原来的一半后的，并直接写出的坐标__________，的坐标__________； （2）画出绕点顺时针旋转后的，并求出线段所扫过的图形面积． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求， ， （2） 解：如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图—位似变换以及旋转的变换，坐标两点的距离公式，旋转的性质，扇形面积公式． （1）根据位似的性质，得到各点在第四象限内的对应点、、，依次连接即可得到，再写出、的坐标即可； （2）根据旋转的性质，得到各点的对应点、、，依次连接即可得到，根据坐标两点的距离公式，求得，由旋转的性质可知，，再利用扇形面积公式，即可求出线段所扫过的图形面积． 【小问1详解】 略 的坐标为，的坐标， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 ∵，， ∴， 由旋转的性质可知，，， 则线段所扫过的图形是圆心角为，半径为的扇形， 所以，线段所扫过的面积为：， 即线段所扫过的面积为． 19. 如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点且与反比例函数的图象分别交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出的解集； （3）点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求点坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）的解集为或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解此题的关键． （1）先由正方形的性质结合点的坐标为，点的坐标为，得出点的坐标，再由待定系数法计算即可得出答案； （2）联立，求出，再结合图象即可得出答案； （3）设点的坐标为，根据的面积恰好等于正方形的面积，得出，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为， ， ， 的图象经过点， ， ， 反比例函数的解析式为：； 一次函数的图象经过点和点， ， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：或， ， 由图象可得：的解集为或； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 的面积恰好等于正方形的面积， ， 解得：， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 20. 如图，和是两等高的路灯，相距，身高的小明站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长，则路灯高度为___________． 【答案】##6米 【解析】 【分析】证得，那么可得，同理可得，根据，可求出，再代入相关数值，计算可得路灯高度． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即, 由得， ∴， 即路灯高． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用；利用线段相等得到相关比例式是解决本题的突破点． 21. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：；（2）若，求MN的长． 【答案】 （1）证明：∵DB平分， ，且， ， ， ； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明，可得，可得结论； （2）由平行线的性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长． 【详解】证明：（1）略 （2）， ， ，且， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， 且， ． 【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键． 22. 如图，为的切线，B为切点，直线交于点E，F，过点B作的垂线，垂足为点D，交于点A，延长与交于点C，连接． （1）求证：直线 为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的值和线段的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵为的切线， ∴， ∵，于D， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线为的切线； （2）证明：∵ ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； （3）， 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理的知识，得出，，继而证明，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论； （2）先证明，利用相似三角形的性质得出与的关系，然后将代入关系式即可； （3）根据题意可确定是的中位线，设，然后利用三角函数的知识表示出，在中，利用勾股定理解出x的值，继而能求出．进一步计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴（三角形中位线定理）， 设， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 解之得，，（不合题意，舍去）， ∴， ∵是直径， ∴， 又∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，综合考查的知识点较多，关键是熟练掌握一些基本性质和定理，在解答综合题目是能灵活运用． 23. 定义：有两个相邻内角互余的凸四边形称为互余四边形，这两个角的夹边称为互余线． （1）在ΔABC中，AB=AC，AD是ΔABC的角平分线，E、F分别是BD，AD上的点，求证：四边形ABEF是互余四边形； （2）如图2，在5×4的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的互余四边形ABEF，使AB是互余线，E、F在格点上； （3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N，若N为AC的中点，DE=2BE，如互余线AB=10，求BQ的长． 【答案】（1）证明：，是的角平分线， ， ， ， 与互余， 四边形是邻余四边形； （2）如图所示，四边形ABEF即为所求；（答案不唯一） （3）3 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得，则可得与互余，即与互余，从而可得答案； （2）画出图形即可； （3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得、，再判定，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3），是的角平分线， ， ， ， ， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ， AB=10， N为AC的中点， ， ． 【点睛】本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级成长进步之旅（四） 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知点在反比例函数上，则下列各点也在该反比例图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知A（-1，），B（2，）两点在双曲线上，且，则m的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的有（ ） ①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形一定相似． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ） A. B. C. D. 7. 某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强．当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．若要保证气球不会爆炸，则气球内气体的体积应满足（ ） A. 大于 B. 不小于 C. 小于 D. 不大于 8. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点P．则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 2.5 9. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数图象于点，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，则cosA＝________． 12. 如图，点、点分别在反比例函数、的图象上，且，，则__________． 13. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝cm， 且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长_____cm． 14. 已知三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果P、Q同时出发，用表示移动的时间，那么：当__________为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 16. 如图，的顶点在轴的负半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过，两点．已知的面积是，则点的坐标为__________． 三．解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，已知，，是直角坐标系平面上三点； （1）以原点为位似中心，在第四象限内画出将缩小为原来的一半后的，并直接写出的坐标__________，的坐标__________； （2）画出绕点顺时针旋转后的，并求出线段所扫过的图形面积． 19. 如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点且与反比例函数的图象分别交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出的解集； （3）点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求点坐标． 20. 如图，和是两等高的路灯，相距，身高的小明站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长，则路灯高度为___________． 21. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：；（2）若，求MN的长． 22. 如图，为的切线，B为切点，直线交于点E，F，过点B作的垂线，垂足为点D，交于点A，延长与交于点C，连接． （1）求证：直线 为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的值和线段的长． 23. 定义：有两个相邻内角互余的凸四边形称为互余四边形，这两个角的夹边称为互余线． （1）在ΔABC中，AB=AC，AD是ΔABC的角平分线，E、F分别是BD，AD上的点，求证：四边形ABEF是互余四边形； （2）如图2，在5×4的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的互余四边形ABEF，使AB是互余线，E、F在格点上； （3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N，若N为AC的中点，DE=2BE，如互余线AB=10，求BQ的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $