精品解析：辽宁省阜新市实验中学2024-2025学年九年级上学期限时作业（月考）数学试卷

九年级（上）第三次数学限时作业 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意： D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题义． 故选： B． 2. 如图，下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据题意得到几何体的左视图为，故选C． 考点：简单组合体的三视图． 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　 A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式进行求解即可得答案. 【详解】，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键. 一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 4. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的系数 的几何意义是解题的关键．根据反比例函数系数 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即，再根据图象所在象限求出 的值即可． 【详解】解：根据反比例函数系数 的几何意义可知， ， ∴， ∴ ∵函数图象位于第一、三象限， ∴， ∴ 故选C． 5. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据得出，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D ． 6. 为激发学生对化学学科的研究兴趣，王老师计划在“空气中氧气含量的测定”“高锰酸钾制氧气”“电解水”“木炭还原氧化铜”四个实验中随机选一个在课堂上给学生演示，则“电解水”实验被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率基本计算，熟练掌握概率计算方法是解题的关键．根据概率的计算方法：一般的，如果在一次试验中，有 种等可能的结果，事件 包含其中的有种结果，那么事件 发生的概率，即可得到答案． 【详解】解：从四个实验中随机选一个实验有4种等可能结果，其中“电解水”实验被选中的结果有1种， 所以“电解水”实验被选中的概率是：． 故选：C． 7. 如图，四边形 为正方形．为等边三角形， 于点F，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形 为正方形，为等边三角形， ，， ∴，，，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．利用二次函数的顶点坐标为，进行解答即可． 【详解】解： 二次函数， 二次函数图象的顶点坐标为． 故选：D． 9. 如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了网格作图．熟练掌握等腰直角三角形性质，正弦定义，是解题的关键． 取格点C、D，连接交于点E，得，，，即得． 【详解】如图，取格点C、D，连接，交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴． 故选：B． 10. 如图，在菱形 中， ，，，垂足为E，与交于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，求出的长度，再由勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出的长，根据三角函数的定义可求出结论． 【详解】解：设与相交于， ∵四边形 是菱形，， ∴， 由勾股定理得到：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ， 即， 解得：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、菱形面积的计算，角的正弦；根据菱形的面积求得的长度是解决问题的关键． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．直接开平方法解题即可． 【详解】解： ， 故答案为：，． 12. 如图，已知，且，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，找准相似三角形的对应边是解题的关键．根据题意得出与是对应边，与是对应边，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：或． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则实数 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．将点代入反比例函数，即可求出k的值． 【详解】解：将点代入反比例函数，得， ∴， ∴， 故答案为：  ． 14. 如图，将长度为10的线段先向左平移8个单位，再向下平移6个单位，得到线段，连接，，则______，四边形的周长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质得出，，即可求解． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长为： 故答案为：； ． 15. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交， 于点 ， ，再分别以 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含30度的特殊直角三角形，正确作出辅助线是解答本题的关键．，作于点，由作图可知，平分，可求，再证明，得，从而，然后求出、的长即可求解． 【详解】解：如图，作于点， 由作图可知，平分 四边形 是平行四边形 ， 故答案为：． 三．解答题（共8题，共75分．16题8分（每小题4分），17题7分，18、19题各8分，20、21题各10分，22、23题各12分） 16. 计算： （1） （2）解方程： 【答案】（1）1 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合计算，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先进行特殊角三角函数值化简，然后再进行计算即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 或 ， 17. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为 ，并写出点B2的坐标． 【答案】（1）如图，为所作． （2） 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 18. 如图，有两个可以自由转动的转盘， 转盘平均分成两个扇形，分别涂上红色和蓝色， 转盘平均分成三个扇形，分别涂上黄色、蓝色和绿色，同时转动两个转盘（指针停在分界线时重新转动转盘），如果 转盘指针停在红色扇形， 转盘指针停在蓝色扇形时，这两种颜色就可以配成紫色，请用列表或树状图的方法，求同时转动这两个转盘，指针停在两个扇形的颜色能配成紫色的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，根据题意正确作出列表是解题关键．根据题意作出列表，由列表可知共有6种等可能的结果，其中指针停在两个扇形的颜色能配成紫色的结果有2种，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，列表如下， 盘 盘 红 蓝 黄 （红，黄） （蓝，黄） 红 （红，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） 由列表可知，共有6种等可能的结果，其中 转盘指针停在红色扇形， 转盘指针停在蓝色扇形的结果有2种， 所以，指针停在两个扇形的颜色能配成紫色的概率为． 19. 如图， ， 两地之间隔着一座山坡，居民需沿着路线绕行才能从 地到达 地，为方便交通，开凿了与长度相等且位于其正北方向的隧道，使得居民可以直接从 地到达 地．经勘测， 地在 地的正东方向， 地在 地的东南方向，地在 地西偏南方向的处． （参考数据：，，结果精确到） （1）求的长度； （2）求现在从 地到 地比原来少走的路程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，30度的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接 ，，由题意可知，，，先求得，利用30度所对的直角边等于斜边的一半，即可得到答案； （2）由题意可知，，利用勾股定理求得，然后再中用勾股定理求得，现在从 地到 地比原来少走的路程为：，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解：如图，连接 ，， 由题意可知，， ； 【小问2详解】 解：由题意可知，，，， ∴四边形是矩形， 由（1）可知，，， 现在从 地到 地比原来少走的路程为： ，， 现在从 地到 地比原来少走的路程为：． 20. 某店一型号台灯成本价为30元，若40元出售，平均每月能售出600个，经过一周试销售发现，售价在40元至60元范围内，平均每天售出的台灯数量 （个）与售价上涨 （元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出 与 的函数表达式； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ （3）正式销售后每个台灯的利润率不得高于，该店每天能否获得12250元的利润？若能，求出台灯的售价应定为多少；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）50元 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查函数、方程及不等式的综合应用，涉及待定系数法确定函数关系式、一元二次方程解应用题、不等式解应用题，读懂题意，准确求出函数表达式、一元二次方程及不等式是解决问题的关键． （1）由图象可设 与 的函数表达式，将点和代入，利用待定系数法求解即可得到答案； （2）由（1）中所求表达式，根据题意，列出方程求解即可得到答案； （3）由（2）的求解过程，得到，解方程得到，再由每个台灯的利润率不得高于成本价的，确定，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图可知，平均每天售出的台灯数量 （个）与售价上涨 （元）之间满足的函数关系可设为，且过点和， 将点和代入可得，解得， 售价在40元至60元范围内， ， 与 的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意可得，即，则，解得或（超过，舍去）， 元， 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元； 【小问3详解】 解：不能， 理由如下： 由（2）可知，当该店每天获得12250元的利润时，，即，则，解得， 每个台灯的利润率不得高于成本价的， ，即， ， 不可能满足题意． 21. 如图，在矩形 中，点E是边上一点，连接 ，将沿着 折叠得到，延长恰好经过点D． （1）求证： ． （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明： 矩形 ，折叠得到，延长恰好经过点D， ，，， ， ， ， ． （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，矩形的性质． （1）由已知得，，，得，即可得． （2）由，，先求得，即可得的周长的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， ， ， 的周长的周长． 22. 我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”． 【概念辨析】 （1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”； ②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（ ，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”． 那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由； （3）①如果长为x，宽为y（ ，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象； ②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长． 【答案】（1）①是；②24，16；（2）存在，矩形的长为：；（3）①画出函数的图象见解答，函数的表达式为：；②7.2（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）由新定义即可求解； (2)从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”，联立两个函数表达式得∶ ，即可求解； （3)①由新定义求出函数表达式，画出函数图象即可；②在①的图象中，函数的图象，得到两个函数交点即可． 【详解】解：（1）①边长为4的正方形的周长和面积均为16，故该正方形为“完美矩形”， 故答案为∶是； ②由新定义知，矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长24，面积为16． 故答案为∶ 24，16； （2）存在， 理由：从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”， 联立两个函数表达式得∶ ， 解得∶ 或 (舍去)， 即矩形的长为：； （3）①画出函数的图象， 由题意得，矩形的周长为，面积为，则，即， 列表如下： 描点、连线，如下图所示： ②长为x，宽为的矩形是一个“完美矩形”的周长为20，则， 即， 在①的图象中，函数的图象，两个函数的交点的横坐标为∶2.9和7.2(答案不唯一)，则周长为20的“完美矩形”的长7.2(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，认真阅读理解新定义“矩形B是矩形A的n倍契合矩形”，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接 ， ，在纸片绕点 旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点 旋转过程中，当点恰好落在 的中线的延长线上时，延长交于点 ，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点 旋转过程中，试探究 ，， 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形 的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形 的面积为4或16或12或． 【解析】 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）连接 ，延长交 于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴． （2）连接 ，延长交 于点Q，根据（1）得， ∴， ∵是中线 ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）如图，当 与重合时，此时，此时 是直角三角形， 故； 如图，当 在的延长线上时，此时，此时 是直角三角形， 故； 如图，当时，此时 是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时 是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形 的面积为4或16或12或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）第三次数学限时作业 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　 A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 为激发学生对化学学科的研究兴趣，王老师计划在“空气中氧气含量的测定”“高锰酸钾制氧气”“电解水”“木炭还原氧化铜”四个实验中随机选一个在课堂上给学生演示，则“电解水”实验被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形 为正方形．为等边三角形， 于点F，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 8. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形 中，，，，垂足为E，与交于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 12. 如图，已知，且，则______． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为______． 14. 如图，将长度为10的线段先向左平移8个单位，再向下平移6个单位，得到线段，连接，，则______，四边形的周长为______． 15. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点， ，再分别以， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为______． 三．解答题（共8题，共75分．16题8分（每小题4分），17题7分，18、19题各8分，20、21题各10分，22、23题各12分） 16. 计算： （1） （2）解方程： 17. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为 ，并写出点B2的坐标． 18. 如图，有两个可以自由转动的转盘， 转盘平均分成两个扇形，分别涂上红色和蓝色， 转盘平均分成三个扇形，分别涂上黄色、蓝色和绿色，同时转动两个转盘（指针停在分界线时重新转动转盘），如果 转盘指针停在红色扇形， 转盘指针停在蓝色扇形时，这两种颜色就可以配成紫色，请用列表或树状图的方法，求同时转动这两个转盘，指针停在两个扇形的颜色能配成紫色的概率． 19. 如图， ， 两地之间隔着一座山坡，居民需沿着路线绕行才能从 地到达 地，为方便交通，开凿了与 长度相等且位于其正北方向的隧道，使得居民可以直接从 地到达 地．经勘测， 地在 地的正东方向，地在 地的东南方向，地在 地西偏南方向的处． （参考数据：，，结果精确到） （1）求的长度； （2）求现在从 地到 地比原来少走的路程． 20. 某店一型号台灯成本价为30元，若40元出售，平均每月能售出600个，经过一周试销售发现，售价在40元至60元范围内，平均每天售出的台灯数量 （个）与售价上涨 （元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出 与 的函数表达式； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ （3）正式销售后每个台灯的利润率不得高于，该店每天能否获得12250元的利润？若能，求出台灯的售价应定为多少；若不能，请说明理由． 21. 如图，在矩形 中，点E是边上一点，连接 ，将沿着 折叠得到，延长恰好经过点D． （1）求证： ． （2）若，求的周长． 22. 我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”． 【概念辨析】 （1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”； ②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”． 那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由； （3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象； ②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接 ， ，在纸片绕点 旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点 旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点 ，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点 旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $