精品解析：山东省德州市武城县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中学习成果阶段展示九年级数学试题 （满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里，将非选择题的答案用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3.考生必须保持答题卡的整洁，不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、选择题（本大题共12个小题每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 6. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. C. D. 18 9. 如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下三个结论：①；②当时，；③当时，；正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ①② 10. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为（ ） A. 44 B. 43 C. 42 D. 41 11. 已知点A、B的坐标分别为,若顶点在x轴下方的二次函数的图象与线段恰好只有一个交点，则a的取值范围（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，则线段的长度为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 二、填空题（本大题共6个小题，共24分） 13. 已知m、n是的两个根，则的值______． 14. 若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系为_____（用“”或“”进行连接） 15. 如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______． 16. 如图，内接于，，，则的直径为_____． 17. 对于实数，，定义运算“”：；，关于的方程恰好有两个不相等的实数根，则的值是________． 18. 已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线与新图象有3个交点时，m的值是______． 三、解答题（本大题有7小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2） 20. 在平面直角坐标系中，如图所示，，． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）绕点C逆时针旋转得到，那么B的对应点的坐标为 　　； （3）是绕A点顺时针旋转得到，那么C的对应点的坐标为 　　． 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉样物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个． （1）若商场计划一周的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 22. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，求的长． 23. 如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为秒， （1）为何值时的面积为？ （2）为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 24. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 25. 在平面直角坐标系xOy中，点，是抛物线（）上任意两点． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）若，，比较与的大小，并说明理由； （3）若对于，，总有，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中学习成果阶段展示九年级数学试题 （满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里，将非选择题的答案用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3.考生必须保持答题卡的整洁，不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、选择题（本大题共12个小题每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 3. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 5. 已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 7. 如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 过点作于，则，设圆形纸片的半径长为，则，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， 设圆形纸片的半径长为，则， ∵， ∴， 解得， ∴圆形纸片的半径长是， 故选： 8. 如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：B． 9. 如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下三个结论：①；②当时，；③当时，；正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解题的关键．由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③． 【详解】由图知当动点沿匀速运动到点时， ，作于点， 是等边三角形，点在边上，， ， ，， ， ，故①正确； 当时，， ， 是等边三角形， ， ，故②正确； 当时，且时，最小， ， ， 最小值为，即能取到，故③错误； 故选：D． 10. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为（ ） A. 44 B. 43 C. 42 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得出，结合可得出为等边三角形，进而可得出的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，再根据三角形的周长公式即可求出与的周长之和． 【详解】解：由旋转得出， ， ， 为等边三角形， ， 在中，，，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形的周长，利用三角形的周长公式结合边与边的关系，找出周长之和与各线段之间的关系是解题的关键． 11. 已知点A、B的坐标分别为,若顶点在x轴下方的二次函数的图象与线段恰好只有一个交点，则a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是二次函数的图象与性质，用分类讨论和数形结合的数学思想是解答本题的关键．根据题意，当二次函数顶点在x轴下方时，画图象，列出不等式组即可求解． 【详解】解：若当时，且当时，，即， 解得此不等式组无解； 若当时，且当时，，即， 解得：； 故选：A． 12. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，则线段的长度为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于，如图所示，由旋转性质得到，从而得到是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定是线段的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到，进而由全等性质得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 将边绕点逆时针旋转至点， ， 由等腰三角形三线合一性质可得是线段的垂直平分线，则， 在正方形中，，， ， ， ， ， 在和中， ， ，则， 在中，，， 则由勾股定理可得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，共24分） 13. 已知m、n是的两个根，则的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得、，再代入求值即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两实数根， ∴、， ∴， 故答案为：． 14. 若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系为_____（用“”或“”进行连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得，根据旋转的性质可得，，求得，即可求得旋转的角度． 【详解】∵为的平分线，， ∴， ∵将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 16. 如图，内接于，，，则的直径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理．连接，，利用“同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”得出，再用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 对于实数，，定义运算“”：；，关于的方程恰好有两个不相等的实数根，则的值是________． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，二次函数的图象和性质，令，分和两种情况讨论，得到，将程恰好有两个不相等的实数根，转化为与直线恰有两个交点，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ； 当，即时， ， ， ， 令， 则：， 画出函数图象如图： ∵关于的方程恰好有两个不相等的实数根， ∴与直线有两个交点 由图象可知，当时，满足题意， 当的顶点坐标在直线上时，满足题意， ∵， ∴顶点坐标为， ∴当时，满足题意， 综上：当或时，关于的方程恰好有两个不相等的实数根， 故答案为：0或． 18. 已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线与新图象有3个交点时，m的值是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数交点问题，利用数形结合的思想是解题关键．如图，根据二次函数解析式可求出，，即得出新的函数解析式为，大致画出图象，利用图象可知当直线过点A时和当直线与相切时，直线与新图象有3个交点，据此求解即可． 【详解】解：对于， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴新的函数解析式为． 如图， 当直线过点A时，与新图象有3个交点， ∴， 解得：； 当直线与相切时，直线与新图象有3个交点，即此时一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 综上可知m的值是或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题有7小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 即：， 或， ，； 【小问2详解】 解：， 整理，得：， 即：， 或， ，． 20. 在平面直角坐标系中，如图所示，，． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）绕点C逆时针旋转得到，那么B的对应点的坐标为 　　； （3）是绕A点顺时针旋转得到，那么C的对应点的坐标为 　　． 【答案】（1） 即为所求，如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作出点A、B、C关于原点的对应点、、，然后顺次连接作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图所示， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解答本题的关键． 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉样物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个． （1）若商场计划一周的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）元； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为每个元，则 ， 整理得： ， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元． 【小问2详解】 解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个）， 设这两周的平均增长率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 22. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为秒， （1）为何值时的面积为？ （2）为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当秒或4秒时，的面积是 （2）当为3时的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）由题意可直接利用t表示出，和，由三角形的面积公式可求出，结合题意即得出关于t的方程，解出t即可； （2）由（1）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 根据题意得：，， ， 解得：或4， ，， ． 或4都符合题意， 即当秒或4秒时，的面积是； 【小问2详解】 由（1）可知， ，， 当为3时的面积最大，最大面积是． 24. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】 （1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系xOy中，点，是抛物线（）上任意两点． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）若，，比较与的大小，并说明理由； （3）若对于，，总有，求m的取值范围． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）利用抛物线对称轴公式求出即可； （2）根据条件点M、N都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可； （3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线（）的对称轴为：， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 ∵，抛物线开口向上，对称轴为直线，， ∴，都在对称轴右侧， ∵当时，y随x的增大而增大，且， ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∵， ∴距离对称轴更近，，则的中点在对称轴的右侧， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $