精品解析：天津市河北区第二中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024—2025（一）第二次学情调查 九年级（数学）学科 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填写在答题卡中． 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天下雨 B. 篮球队员在罚球线投篮一次：未投中 C. 掷一枚硬币，正面朝上 D. 任意画一个四边形，其内角将 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在函数的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ） A B. C. D. 5. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 6. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知是的直径，是弦，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）． A. 2 B. 3 C. D. 11. 如图，P是等边三角形内的一点，且，将绕点B顺时针旋转得到，连接，则以下结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数中的x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n … 当时，以下结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③；④当时，关于的一元二次方程的解是，，其中结论一定正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13. 点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是 ____． 14. 方程的根是______． 15. 一个不透明的口袋中装有7个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其它差别．从袋中随机摸取一个小球，它是黄球的概率______． 16. 一个圆锥侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的底面积是______． 17. 如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接AO，若，则k的值为______________． 18. 如图，点是半圆上一动点，以为边作正方形(使在正方形内)，连，若，则最大值为______． 第II卷 主观题 三、解答题：本大题共4个小题，各10分，共40分．关注天津考生公众号获取最新试卷 19. 如图，转盘被等分成三个区域，分别标有数字2，0，．转动转盘两次，将指针所指区域内的数字相加，请用画树状图（或列表）的方法，求两数之和小于0的概率． 20. 在中，弦与直径相交于点， （1）如图①，若求和大小： （2）如图②，若过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小． 21. 在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． （1）如图，当时，求点的坐标； （2）当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 22. 如图，二次函数图象交轴于点，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数与一次函数的解析式、 （2）点P是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合），过点作轴，交直线于点．请求出点在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点的坐标： （3）抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025（一）第二次学情调查 九年级（数学）学科 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填写在答题卡中． 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天下雨 B. 篮球队员在罚球线投篮一次：未投中 C. 掷一枚硬币，正面朝上 D. 任意画一个四边形，其内角将是 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了随机事件和必然事件的定义，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，一定发生或一定不发生是事件是必然事件，根据定义解答． 【详解】解：A、明天下雨是随机事件，故不符合题意； B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中是随机事件，故不符合题意； C、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意； D、任意画一个四边形，其内角将是360°是必然事件，故符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．解题的关键是利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B． 3. 在函数的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小．先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出，，的大小关系即可． 【详解】解：∵在中，， ∴函数的图象在第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵， ∴点，在第三象限，点在第一象限， ∴． 故选：D． 4. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线y=5x2先向右平移2个单位得到解析式：y=5（x-2）2， 再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=5（x-2）2+3． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 5. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象，开口向上，对称轴为，根据二次函数图象的对称性可知，与点对称，进而根据当时，随的增大而增大进行判断即可． 【详解】解：二次函数的图象，开口向上，对称轴， 与点对称， ， 当时，随的增大而增大， ，，， ， ． 故选：D． 6. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．先求得该函数的图象与轴的交点坐标为和，得到对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为和， ∴该函数的图象的对称轴为直线， 当时，， ∴二次函数的顶点坐标为， 故选：D． 7. 如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形边心距为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理是解题的关键． 连接，证明是等边三角形，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，利用一次函数和反比例函数的性质，分，两种情况进行判断即可． 【详解】解：由题意，当时，，经过一，二，四象限，经过一、三象限； 当时，，经过一，三，四象限，经过二、四象限； 故满足题意的是选项B． 故选：B． 9. 如图，已知是的直径，是弦，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数． 【详解】解：是的直径， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）． A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的半径为r，利用勾股定理解，求出r的值，即可求解． 【详解】解：设的半径为r，则，， ， 在中，， 即， 解得， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查圆的基本知识、勾股定理，解题的关键是根据勾股定理列出等式，求出的半径． 11. 如图，P是等边三角形内的一点，且，将绕点B顺时针旋转得到，连接，则以下结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断A、D；依据△BPQ是等边三角形，即可得到∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，进而得出∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，即可判断C、B选项． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置， ∴△BQC≌△BPA， ∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， ∴△BPQ是等边三角形，△BPQ的面积=，故A正确，D错误； ∴PQ=BP=4， ∵，， ∴， ∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，△PQC的面积=×3×4=6，故C正确， ∵△BPQ是等边三角形， ∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°， ∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，故B正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，解题关键是综合运用定理进行推理． 12. 二次函数中的x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n … 当时，以下结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③；④当时，关于的一元二次方程的解是，，其中结论一定正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．由抛物线经过，可得抛物线对称轴及c的值，从而可得a，b的关系，由可得抛物线开口向上，从而可得a，b，c的符号，进而判定①②③．由可得时，，将整理为，进而判断方程的解． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线，， ∴， ∵时，， ∴抛物线开口向上，即， ∴， ∴，①错误． ∵抛物线对称轴为直线， ∴时，y随x增大而增大，②错误． 当时，， ∴③错误． 整理为， 当，时，，成立， 时，，成立， ∴的解是． ∴④正确． 故正确的为：④． 故选：B． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13. 点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是 ____． 【答案】（－4，3） 【解析】 【详解】解：关于原点对称的点的坐标横、纵坐标均互为相反数， 则点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是（－4，3）． 14. 方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先化为一般形式，然后再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ ∴或 解得： 故答案为：． 15. 一个不透明的口袋中装有7个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其它差别．从袋中随机摸取一个小球，它是黄球的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算．求出口袋中球的总数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：口袋中共有个球， ∴从袋中随机摸取一个小球，它是黄球的概率为． 故答案为：． 16. 一个圆锥侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的底面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，设圆锥的底面半径为，利用弧长公式得到，然后求出后求得底面积即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为， 根据题意得， 解得：， ∴该圆锥底面积是 故答案为：． 17. 如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接AO，若，则k的值为______________． 【答案】8 【解析】 【分析】反比例函数可转换为xy＝k ，而三角形面积S△AOB＝OB•BA＝4 故而可以建立等式关系，求解． 【详解】解：∵S△AOB＝OB•BA＝4 ＝x•y， 又∵x•y＝k ， 即k＝4， ∴k＝8 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象与三角形相结合的题目，掌握反比例函数的比例系数的几何意义，是解题的关键． 18. 如图，点是半圆上一动点，以为边作正方形(使在正方形内)，连，若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转，得到，取中点，连接，，根据旋转的性质可得，进而可得是等腰直角三角形，根据，即可求解． 【详解】解：点是半圆上一动点， ， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接，， 则，，， ， 由旋转得：， 四边形是正方形， ， 即， ， 即， 是等腰直角三角形， ， ， 当且仅当、、三点共线时，最大，的最大值； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键． 第II卷 主观题 三、解答题：本大题共4个小题，各10分，共40分．关注天津考生公众号获取最新试卷 19. 如图，转盘被等分成三个区域，分别标有数字2，0，．转动转盘两次，将指针所指区域内的数字相加，请用画树状图（或列表）的方法，求两数之和小于0的概率． 【答案】两数之和小于0的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法．先利用树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出和小于0的结果数，然后根据概率公式进行计算． 【详解】解：画树状图： 共有9种等可能的结果数，其中两数之和小于0的情况有3种， 所以两数之和小于0的概率． 20. 在中，弦与直径相交于点， （1）如图①，若求和的大小： （2）如图②，若过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等求得，进而根据三角形的外角性质可得；由直径所对的圆周角等于度，根据，即可求得； （2）连接，求出，由切线的性质得出，由圆周角定理得出，即可得出答案． 【小问1详解】 如图1， ，， ， ， ， 是直径， ， ； 【小问2详解】 连接，如图②所示： ， ， ， 是的切线， ， ， ， °． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． （1）如图，当时，求点的坐标； （2）当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）满足条件的点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作于． ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于． 轴， ， ，， ， ∵， ， ， ， 当在轴下方时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 22. 如图，二次函数的图象交轴于点，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数与一次函数的解析式、 （2）点P是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合），过点作轴，交直线于点．请求出点在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点的坐标： （3）抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）最大值为，点 （3）或；或或 【解析】 【分析】（1）将点A代入抛物线解析即可确定二次函数解析式；再确定点C的坐标，然后由抛物线的对称性得出点，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意设点，则点，表示出长度的函数解析式，然后根据二次函数的基本性质求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，作出，然后利用平行线间的距离距离相等，分别先求出直线的解析式，然后求直线与抛物线的交点即为点的坐标． 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 当时，， ∴， 抛物线的对称轴为：， ∴， 设直线解析式为，将点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合）， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，最大值为， 当时，， ∴点； 小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴点Q到的距离为， ①当点在上方时，作，如图所示，交y轴于点，过点F作，使得，过点作轴，设与y轴交于点，则， ∴， 当点与点重合时， ∴， ∴，不符合题意； ∴点一定在轴正半轴上， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，将点F代入得：， 联立二次函数与一次函数得： 解得：或， 此时点或； ②当点在下方时，作，如图所示，交轴于点，过点作，交于点，使得，过点作轴，设与轴交于点，则， ∴， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为：，将点M代入得：， 联立二次函数与一次函数得： 解得：或， 此时点或； 综上所述，或；或或． 【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法求解析式，线段最值问题及面积问题，直线平行等，理解题意，作出相应图象，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$