第05讲 一次方程（组）及其应用（讲练）（思维导图+5考点+2命题点13种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一次方程（组）及其应用（6~12分） （思维导图+5考点+2命题点13种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 等式的性质 考点二 二元一次方程的解 考点三 一元一次方程的解法 考点四 二元一次方程组的解法 考点五 方程（组）的实际应用 命题点一 方程（组）的解法 ►题型01 一元一次方程含参问题 ►题型02 程序框图求输入值 ►题型03 二元一次方程组含参问题 ►题型04 方程组定义新运算 命题点二 方程（组）的应用题 ►题型01 工程问题 ►题型02 销售利润 ►题型03 行程问题 ►题型04 方案问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 等式的基本性质 · 理解等式的基本性质 2024省卷20题， 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”. 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 一元一次方程 · 能解一元一次方程 二元一次方程（组） · 掌握消元法，能解二元一次方程组 · 能解简单的三元一次方程组[选学] 一次方程（组） 的应用 · 利用一次方程求解实际问题 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1. 3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 5.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 6.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 考点一 等式的性质 【例1】．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据等式的性质逐个判断即可．本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立． 【详解】解：A．， 等式两边都乘，得，故本选项不符合题意； B．， 等式两边都减去5，得，故本选项符合题意； C．， 等式两边都除以3，得，故本选项不符合题意； D．， 等式两边都加1，得，故本选项符合题意 故选：BD． 【变式1-1】．（2023·山东德州·一模）下列变形中，不正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的性质即可求出答案，等式的性质是：等式的两边同时加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式；等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 【详解】解：A、若，则，故本选项变形正确； B、若，则，故本选项变形正确； C、若，则，故本选项变形正确； D、若，则当时，故本选项变形错误； 故选：D． 【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 【变式1-2】．（2021·山东枣庄·二模）在下列式子中变形一定正确的是（    ） A．如果2a= 1，那么a=2 B．如果a=b，那么 C．如果a=b，那么a+c=b+c D．如果a－b+c=0，那么a=b+c 【答案】C 【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 如果2a= 1，那么a=，故该选项不正确，不符合题意； B. 如果a=b，当时，那么，故该选项不正确，不符合题意； C. 如果a=b，那么a+c=b+c，故该选项正确，符合题意； D. 如果a－b+c=0，那么a=b-c，故该选项错误，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． 【变式1-3】．（2022·山东淄博·一模）下列根据等式基本性质变形正确的是（    ） A．由，得x=2y B．由3x﹣5=7，得3x=7﹣5 C．由2x﹣3=3x，得x=3 D．由3x﹣2=2x+2，得x=4 【答案】D 【分析】根据等式的性质解答即可． 【详解】解：A、如果，那么x=-2y，原变形错误，故此选项不符合题意； B、如果3x-5=7，那么3x=7+5，原变形错误，故此选项不符合题意； C、如果2x-3=3x，那么x=-3，原变形错误，故此选项不符合题意； D、如果3x-2=2x+2，那么x=4，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 考点二 二元一次方程的解 【例2】．（2021·山东东营·二模）下列各对数值中，是方程的解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据使二元一次方程左右相等的未知数的值，可得答案． 【详解】把x=0，y=6代入得：0-3×6=-18≠6，左边≠右边， ∴选项A不是方程的解； 把x=-3，y=-0代入得：-3-3×0=-3≠6，左边≠右边， ∴选项B不是方程的解； 把x=-3，y=1代入得：-3-3×1=-6≠6，左边≠右边， ∴选项C不是方程的解； 把x=3，y=-1代入得：3-3×（-1）=6，左边=右边， ∴选项D是方程的解； 故选D． 【变式2-1】．（2022·山东滨州·二模）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意确定出方程的整数解即可． 【详解】解：方程的一组整数解为 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式2-2】．（2022·山东临沂·二模）二元一次方程3x+2y＝7的正整数解是 ． 【答案】x＝1，y＝2 【分析】先将原方程变形，用x表示y，确定x的值，然后再求出y的值即可得出答案． 【详解】解：∵3x+2y＝7， ∴y＝ ∵要求的是正整数解， ∴x＝1，或x＝2， ∴当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝，此时y不是正整数，故不符合题意． 故答案为：x＝1，y＝2． 【变式2-3】．（2020·山东济南·三模）已知是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】由题意，得-2a+5-1=0． 解得a=2， 故答案为：2． 考点三 一元一次方程的解法 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 解一元一次方程的基本步骤： 【例3】．（2023·山东德州·二模）小明解方程的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 以上解题步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案． 【详解】解：方程两边同乘6，得① ∴开始出错的一步是①， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键． 【变式3-1】．（2021·山东济南·中考真题）代数式与代数式的和为4，则 ． 【答案】﹣1. 【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】根据题意得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 故答案为﹣1. 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3-2】．（2023·山东济南·三模）代数式比代数式大1，则 ． 【答案】4 【分析】根据题意列一元一次方程求解． 【详解】根据题意，得 故答案为：4 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列方程是解题的关键． 【变式3-3】．（2022·山东日照·二模）若与的值相等，则x的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意列方程求解即可． 【详解】解：由题意得=， ∴8x-10=2x-1 8x-2x=-1+10 6x=9 解得x=， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确掌握解一元一次方程的法则是解题的关键． 考点四 二元一次方程组的解法 【例4】．（2022·山东潍坊·中考真题）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】用①×2+②×3，可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入②求出y即可． 【详解】解：， ①×2+②×3，得13x=26， 解得：x=2， 把x=2代入②，得6-2y=0， 解得y=3， 故方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． 【变式4-1】．（2021·山东枣庄·中考真题）已知，满足方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相减即可得． 【详解】解：， 由①②得：， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键． 【变式4-2】．（2023·山东泰安·中考真题）方程组的解是 ． 【答案】 【分析】利用加减法解方程即可． 【详解】解： ①×3得 ③， ②-③得， 解得x=12， 把x=12代入①得12+y=16， y=4， ∴原方程组的解为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法中的加减消元法，解答的关键在于根据题目特点合理消元． 【变式4-3】．（2022·山东枣庄·中考真题）若二元一次方程组的解为，则a﹣b= ． 【答案】 【分析】把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出a﹣b的值． 【详解】将代入方程组，得：， ①+②，得：4a﹣4b=7， 则a﹣b=， 故答案为． 考点五 方程（组）的实际应用 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一次方程（组）有关应用题的常见类型： 【例5】．（2023·山东日照·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设人数为x，根据每人出9钱，会多出11钱，可得鸡的价格为钱，根据每人出6钱，又差16钱，可得鸡的价格为钱，由此列出方程即可． 【详解】解：设人数为x， 由题意得，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 【变式5-1】．（2022·山东威海·一模）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马， 依题意，得： 240x-150x=150×12． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式5-2】（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 【变式5-3】（2024·山东威海·中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：设绳长x尺，井深y尺， 依题意，得：． 故选：C． 判断一个数是有理数或无理数的方法 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 方程（组）的解法 ►题型01 一元一次方程含参问题 【例1】．（2022·山东威海·一模）若关于的方程与的解相同，则的值为（    ） A．8 B．6 C．-2 D．2 【答案】D 【分析】先求出方程的解，再把求得的解代入即可求出k的值． 【详解】解：∵， ∴2x-1=15， ∴2x=16， ∴x=8， 把x=8代入，得：8k−1=15， ∴k=2． 故选：D. 【变式1-1】（2022·山东济南·一模）当 时，方程解是？ 【答案】1 【分析】将代入方程，再解一元一次方程即可． 【详解】由题意，将代入得： 两边同乘以6得 去括号得 移项、合并同类项得 系数化为1得 故答案为：1． 【点睛】本题考查了方程的解、解一元一次方程，掌握方程的解法是解题关键． 【变式1-2】（2024·山东青岛·模拟预测）已知是方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，以及解一元一次方程．将代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到答案． 【详解】解：是方程的解， ， 解得：， 故答案为：． 【变式1-3】（2022·山东淄博·一模）若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】将代入原方程，即可求出a的值． 【详解】解：将代入原方程，得：， 解得． 故答案为：3． ►题型02 程序框图求输入值 【例2】．（2023·山东德州·二模）按下面的程序计算：若输入，则输出结果是；若输入，则输出结果是．若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为，则开始输入的值为 ． 【答案】或或 【分析】由，解得，即开始输入的为，最后输出的结果为；当开始输入的值满足，最后输出的结果也为，可解得；当开始输入的值满足，最后输出的结果也为，但此时解得的． 【详解】解：输出的结果为， ，解得； 而， 当时最后输出的结果为， 即，解得； 当时最后输出的结果为， 即，解得， 当时，解得：（不合题意舍去）， 所以开始输入的值可能为、或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，根据题意得到关于的方程是解题的关键． 【变式2-1】（2022·山东济宁·二模）一组“数值转换机”按图所示的程序计算，如果输入的数是30，则输出结果为56，要使输出结果为60，则输入的正整数是 ．    【答案】32或18或11 【分析】根据输出的结果确定出的所有可能值即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，，不是整数； 故答案为：32或18或11． 【点睛】此题考查了代数式求值，弄清程序中的运算过程是解本题的关键． 【变式2-2】（2022·山东菏泽·中考真题）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 ．    【答案】15 【分析】设输出结果为y，观察图形我们可以得出x和y的关系式为：，将y的值代入即可求得x的值． 【详解】解：∵ 当y=127时， 解得：x=43； 当y=43时，解得：x=15； 当y=15时,  解得 不符合条件． 则输入的最小正整数是15． 故答案为15．． 【变式2-3】（2022·山东淄博·一模）小明按如图所示的程序输入一个数x，最后输出的数为12，则小明输入的最大负数是 【答案】－ 【详解】试题分析：把x代入，依据每个程序计算得到关于x的方程，可解出x的值，并求出输入的最大负数． 由题意可知：小明如果第一次输入的是负数，则必须再输入一次， 2×（2x+6）+6=12，解得 则小明输入的最大负数是． 考点：由元由此方程的应用 ►题型03 二元一次方程组含参问题 【例3】．（2024·山东菏泽·三模）若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为 ． 【答案】/0.125 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同底数幂除法计算，幂的乘方和幂的乘方的逆运算，负整数指数幂，先利用加减消元法得到，进而得到，再推出，据此根据同底数幂除法计算法则求解即可． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ， 故答案为：． 【变式3-1】（2022·山东威海·一模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元解二元一次方程组，根据题意得，进而可得，即可求解． 【详解】解： 得， ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（2023·山东日照·一模）若关于，的方程的解满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解和用加减法解二元一次方组，利用等式的性质将方程变形是本题的关键． 将两个方程相减，得到与m的关系式，将代入，求出m的值即可． 【详解】解：， ，得． ∵， ∴，解得． 故答案为：2． 【变式3-3】（2023·山东烟台·一模）关于的方程组的解满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，首先解方程组得，再根据得，据此即可求出的值，熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧是解决问题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵， ∴，解得， 故答案为：． ►题型04 方程组定义新运算 【例4】．（2023·山东日照·一模）对于实数x，y我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如时，．若，则 ． 【答案】11 【分析】已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出m与n的值，代入F（x，y），再把x=3，y=2代入计算即可求出值． 【详解】解：∵F（1，3）=6，F（2，5）=1， ∴根据题中的新定义化简得： ， 解得：， 即F（x，y）=3xy， 则F（3，2）=9+2=11． 故答案为：11． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的新定义运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【变式4-1】（2022·山东德州·二模）对于、定义一种新运算“*”：，其中、为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．已知：，，那么 ． 【答案】24 【分析】利用题中的新定义化简已知等式求出a与b的值，代入数值即可确定出所求． 【详解】根据题中的新定义得：， ①﹣②得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为． ． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式4-2】（2023·山东德州·一模）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y= . 【答案】60 【详解】分析：根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案． 详解：由题意可知：， 解得：．     ∵x＜y，∴原式=5×12=60．     故答案为60． 点睛：本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 【变式4-3】（2023·山东临沂·一模）对定义一种新运算T，规定T()=，（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知，．则 ． 【答案】4 【分析】根据新运算的定义和，可得一个关于的二元一次方程组，解方程组求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：， ，即， 联立，解得， 则， 故答案为：4． 命题点二 方程（组）的应用题 ►题型01 工程问题 【例1】．（2021·山东泰安·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂． （1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？ （2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？ 【答案】（1）30人；（2）39天 【分析】（1）设当前参加生产的工人有人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于的方程，求解即可； （2）设还需要生产天才能完成任务．根据前面4天完成的工作量＋后面天完成的工作量＝760列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：（1）设当前参加生产的工人有x人， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：当前参加生产的工人有30人． （2）每人每小时的数量为（万剂）． 设还需要生产y天才能完成任务， 依题意得：， 解得：，（天） 答：该厂共需要39天才能完成任务． 【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 【变式1-1】（2024·山东聊城·一模）某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成． (1)求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？ (2)若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？ 【答案】(1)甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米 (2)共需修建费用元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙施工队每天修建的长度为千米，则甲施工队每天修建千米，列方程并进行计算，注意验根； （2）设甲施工队单独修建天，列式，得出，结合“甲施工队每天的修建费用为20000元，乙施工队每天的修建费用为15000元”进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设乙施工队每天修建的长度为千米，则甲施工队每天修建千米， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（千米）， ∴甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米； （2）解：设甲施工队单独修建天， 依题意，得， 解得， ∴甲施工队单独修建5天， 则（元）， ∴共需修建费用元． 【变式1-2】（2023·山东滨州·二模）某段高铁工程计划由甲、乙两个工程队共同承担完成，其中甲工程队单独完成这项工作需120天．若甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合作，两队又共同工作了36天才完成任务． (1)求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？ (2)由于某种原因，甲工程队先单独用60天完成了工程的一部分，剩下的部分由乙工程队完成，那么乙工程队又干了多少天？ 【答案】(1)80天 (2)40天 【分析】（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，根据总工程量=甲队完成的部分+甲乙两队完成的部分，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设乙工程队又干了y天，根据总工程量=甲队完成的部分+乙队完成的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设乙工程队单独完成这项工作需要x天， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：乙工程队单独完成这项工作需要80天完成． （2）解：设乙工程队又干了y天， 由题意得， 解得， 答：乙工程队又干了40天． 【点睛】本题考查了分式方程以及一元一次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题的关键． 【变式1-3】（2022·山东日照·三模）某校为美化校园， 计划在假期对教室的地砖进行更换， 每间教室的面积大小相同， 安排了甲、乙两个工程队完成． 7 月份施工时， 甲工程队 7 天完成了 16 间教室的地砖铺设；乙工程队 3 天铺设了 8 间教室地砖后再铺设了 的地砖， 已知甲工程队比乙工程队每天少完成 的地砖铺设． (1)求每间教室需要铺设地砖的面积； (2)8月份施工时， 甲、乙两个工程队各自需要完成24间教室的铺砖工作．由于天气炎热， 甲、乙两个工程队抣调整了施工速度， 甲工程队每天铺设的地砗面积是乙工程队每天铺设的地砖面积的，乙工程队比甲工程队少用7天完成任务，求8月份甲、乙两个工程队每天各铺设地砖的面积． 【答案】(1)56m2 (2)甲工程队每天铺设地砖面积为48m2，则乙工程队每天铺设地砖面积为64m2 【分析】（1）设甲工程队每天铺设地砖面积为xm2，根据每间教室的面积相等列方程求解即可； （2）乙工程队每天铺设地砖面积为ym2，根据乙工程队比甲工程队少用7天完成任务列出分式方程即可； 【详解】（1）解：设甲工程队每天铺设地砖面积为xm2，则乙工程队每天铺设地砖面积为(x+28)m2； 根据题意得， 解得： ∴每间教室需要铺设地砖的面积为： （2）设甲工程队每天铺设地砖面积为ym2，则乙工程队每天铺设地砖面积为ym2； 根据题意得， 解得： 经检验符合题意 ∴甲工程队每天铺设地砖面积为48m2，则乙工程队每天铺设地砖面积为64m2； ►题型02 销售利润 【例2】．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； (2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 【变式2-1】（2023·山东青岛·中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】(1)2880元 (2)①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析 【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数； （2）①根据条件，可列，整理即可； ②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可． 【详解】（1）解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为： ， 解得， 全部售完获利（元）． （2）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即， ， ②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下： 由①可知，， ，一次函数随的增大而减小， 当时，取最大值，（元）， ， 服装店第二次获利不能超过第一次获利． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键． 【变式2-2】（2022·山东济南·中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由． 【答案】(1)甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元 (2)当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少，理由见解析 【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元． 由题意得，，解得， 答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元． （2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元， 由题意得，， 由题意得，解得， 因为随的增大而增大，所以当时取得最小值． 答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键． 【变式2-3】（2020·山东济南·中考真题）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． （1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？ （2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部； （2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少． 【详解】解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部， ， 解得，， 答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部； （2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(30﹣x)部，获得的利润为w元， w＝(3400﹣3000)x+(4000﹣3500)(30﹣x)＝﹣100x+15000， ∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍， ∴30﹣x≤2x， 解得，x≥10， ∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20， 答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元． ►题型03 行程问题 【例3】．（2022·山东威海·一模）一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要6小时，顺流而下需要4小时，若船在静水中的速度为20千米/时，则水流的速度是多少千米/时？ 【答案】4千米/时 【分析】设水流的速度是x千米/时，则顺流的速度为（20+x）千米/时，逆流的速度为（20﹣x）千米/时，根据由货轮往返两个码头之间，可知顺水航行的距离与逆水航行的距离相等列出方程，解方程即可求解. 【详解】设水流的速度是x千米/时，则顺流的速度为（20+x）千米/时，逆流的速度为（20﹣x）千米/时， 根据题意得：6（20﹣x）=4（20+x）， 解得：x=4． 答：水流的速度是4千米/时． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，设出未知数后列出方程是解决此类题目的基本思路. 【变式3-1】（2021·山东青岛·模拟预测）小王骑自行车从A地到B地，小陈骑自行车从B地到A地，两人都沿同一条公路匀速前进，已知两人在上午7时同时出发，到上午9时，两人还相距20千米，到中午12时，两人又相距40千米，求A，B两地的距离． 【答案】千米 【分析】上午9时，两人走的路程之和为总路程减去20，中午12时，两人走的路程之和为总路程加40．根据两人的速度和一定列式求值即可． 【详解】解：设A， B两地间的路程为x千米， 根据题意：， 解得：， 答：A， B两地间的路程是千米． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，把握题目中两人速度之和不变建立等式是解题关键． 【变式3-2】（2022·山东淄博·一模），两地之间的国道的长度为千米． (1)甲、乙两人均要从地前往地．乙乘公交车先走了千米，甲才开车从地出发，甲出发分钟后刚好追上乙．已知甲开车的速度是乙所乘公交车速度的倍，求乙所乘公交车的速度； (2)高速公路修通后，高速公路的全长比原来国道长减少了千米，某长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上提高了千米/时，从地到地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在原来国道上行驶的速度． 【答案】(1)乙乘坐公交车的速度为千米/时 (2)该长途汽车在原来的国道上行驶的速度为千米/时 【分析】（1）设乙乘公交车的速度为千米/时,则甲车的速度为千米/时,进而得到等量关系了列出方程，解方程得乙车的速度． （2）该长途汽车在原来的国道上行驶的速度为千米/时,则可得高速公路上的速度为千米/时,根据题意列出方程，解方程得到该长途汽车在原来的国道上行驶的速度． 【详解】（1）解：设乙乘公交车的速度为千米/时,则甲车的速度为千米/时，分钟 小时， 根据题意可得 解得 答：乙乘坐公交车的速度为千米/时． （2）解：该长途汽车在原来的国道上行驶的速度为千米/时,则可得高速公路上的速度为千米/时，根据题意可得 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该长途汽车在原来的国道上行驶的速度为千米/时． 【点睛】本题考查了用一元一次方程，分式方程解决实际问题的相关知识点，能够找出题目中的数量关系和等量关系是解题的关键． 【变式3-3】（2022·山东济宁·二模）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的． （1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？ （2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；（2）千米． 【分析】（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，从而可得某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟，再根据“路程速度时间”、“开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得； （2）先求出甲、乙两个工程队每天对其施工的长度，再设甲工程队后期每天施工千米，根据“整个工程提早3天以上（含3天）完成”建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，则某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟， 由题意得：， 解得， 则（千米），（千米）， 答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米； （2）由题意得：甲工程队每天对其施工的长度为（千米）， 乙工程队每天对其施工的长度（千米）， 设甲工程队后期每天施工千米， 则， 解得， 即， 答：甲工程队后期每天至少施工千米． ►题型04 方案问题 【例4】．（2022·山东日照·一模）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠． 【答案】(1)购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元 (2)当购买羽毛球拍的数量少于副时，选择方案更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选择方案更实惠 【分析】（1）设购买一副乒乓球拍需元，一副羽毛球拍需元，根据“购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买（且为整数）副羽毛球拍，则选择方案所需总费用为元，选项方案所需总费用为元，分，及三种情况，即可求出的取值范围或的值，此题得解． 【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元， 依题意得：， 解得：， 答：购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元．． （2）设购买（且为整数）副羽毛球拍，则： 选择方案所需总费用为：（元）， 选项方案所需总费用为：（元）， 当时， 解得：， ∵， ∴； 当时， 解得：； 当时， 解得：， ∵， ∴． 答：当购买羽毛球拍的数量少于副时，选择方案更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选择方案更实惠． 【变式4-1】（2023·山东德州·二模）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 28 20 (1)第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个 (2)A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个能获得最大利润，最大利润是180元 【分析】（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由用550元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可； （2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润． 【详解】（1）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个， 由题意，得， 解得：． （个． 答：款玩偶购进20个，款玩偶购进10个； （2）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元， 由题意，得． 款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半． ， ， ． ， 随的增大而增大． 时，元． 款玩偶为：（个． 答：按照款玩偶购进10个、款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是180元． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，解题的关键是由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式． 【变式4-2】（2022·山东泰安·中考真题）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 【答案】（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天；（2）让一个公司单独完成这项工程，甲公司的施工费较少． 【分析】（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天，根据“甲、乙两公司合做，12天可以完成这项工程”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设乙公司每天的施工费为y元，则甲公司每天的施工费为（y+1500）元，根据“甲、乙两公司合做，12天的施工费为102000元”，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用施工费=每天需付的施工费×施工天数，可分别求出甲、乙两队单独完成这项工程所需的施工费，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天． 根据题意，得， 解得x=20． 经检验，x=20是方程的解且符合题意． 1.5 x=30． ∴甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天． （2）设乙公司每天的施工费为y元，则甲公司每天的施工费为（y+1500）元， 依题意得：12y+12（y+1500）=102000， 解得：y=3500． ∴甲公司单独完成这项工程所需施工费为（3500+1500）×20=100000（元）， 乙公司单独完成这项工程所需施工费为3500×30=105000（元）． ∵100000＜105000， ∴若让一个公司单独完成这项工程，甲公司的施工费较少． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式4-3】（2022·山东菏泽·一模）菏泽市牡丹区中学生运动会即将举行，各个学校都在积极地做准备，某校为奖励在运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品共100件，已知甲种奖品的单价是30元，乙种奖品的单价是20元． （1）若购买这批奖品共用2800元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？ （2）若购买这批奖品的总费用不超过2900元，则最多购买甲种奖品多少件？ 【答案】（1）甲80件，乙20件；（2）x≤90 【分析】（1）甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，利用共用2800元，列出方程后求解即可； (2) 设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，根据购买这批奖品的总费用不超过2900元列不等式求解即可. 【详解】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件， 根据题意得30x+20（100﹣x）=2800， 解得x=80， 则100﹣x=20， 答：甲种奖品购买了80件，乙种奖品购买了20件； （2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件， 根据题意得：30x+20（100﹣x）≤2900， 解得：x≤90， 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义可得且，从而可得． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 由得： 解得：或， 由得：， ， 故选：B． 2．一同学在解关于的方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 先去分母，再整理得出关于a的方程，然后求出解即可． 【详解】去分母，得， 整理，得， 即． ∵， ∴， 解得． 故选：A． 3．足球比赛积分规则为：胜一场记3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么这个队胜了（   ） A．3场 B．2场 C．1场 D．5场 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 首先设该队共平x场，则该队胜了场，胜场得分是分，平场得分是x分，根据题意找出题中的等量关系∶平场得分胜场得分分，根据此列方程即可 【详解】解∶设该队共平场，则该队胜了场， 根据题意得∶． 解得∶， 该队胜了（场）， 故选∶D． 4．按如图所示的程序计算：若输入正整数，输出结果是133，则满足条件的的值是（   ） A．46 B．23 C．17 D．46或17 【答案】D 【分析】本题主要考查的是代数式求值和一元一次方程的应用，根据题意列出关于的方程是解题的关键．根据题意分别列出方程，求解即可得到答案． 【详解】根据题意，得，解得， 所以当输入正整数的值为46时，输出结果是133． 令，解得， 所以当输入正整数的值为17时， 两次运算后，输出结果是133． 令，解得，不符合题意， 所以满足条件的的值是46或17． 故选D． 5．某商品每件的标价是660元，当按标价的八折销售时，仍可获利，则这种商品每件的进价为（   ） A．480元 B．490元 C．520元 D．540元 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，进而设出未知数，列出方程．设这种商品每件的进价为x元，根据等量关系：按标价的八折销售时，仍可获利，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设这种商品每件的进价为x元， 根据题意得：， 解得：． 则这种商品每件的进价为元． 故选：A． 6．已知关于，的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得： 故选：A． 二、填空题 7．已知关于x的方程的解是，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， 故答案为：1． 8．二元一次方程若用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，用含x的代数式表示出y是解题的关键．由，通过移项及将y的系数化为1，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 9．若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 10．若关于的二元一次方程组，满足，则的值为 【答案】3 【分析】本题考查解二元一次方程组，两个方程相减可得，进而得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：， 得， ， ， 故答案为：3． 三、解答题 11．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 12．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键： （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减代入消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得，解得 将代入，得，解得 故原方程组的解为 （2）解： 可得， 将整体代入， 可得， 解得， 将代入可得， 解得， 所以原方程组的解为 13．刘洋家住在电影院正西，李明家住在电影院的正东．两人同时从家里出发相向而行，刘洋每分钟步行，李明每分钟步行．从出发到两人相遇用了多长时间？相遇地点距离电影院有多远？（用方程解答） 【答案】10分钟，50米 【分析】设从出发到两人相遇用了x分钟，根据两人走的路程和列出方程，解方程求出x的值，进一步即可得到相遇地点距离电影院的距离． 【详解】解：设从出发到两人相遇用了x分钟， ， 解得， ∴（米）， （米）． 答：从出发到两人相遇用了10分钟，相遇地点距离电影院有50米． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 14．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及其解法，由方程组的解的含义可得，可得，再解方程组，再进一步解答即可. 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，， ∴ 解， 得，， 解得：， 将代入②，得， 将代入，得， 解得. 15．在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 (1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ (2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 【答案】(1)装运A种葡萄酒需13辆无人车，装运B种葡萄酒需11辆无人车； (2)无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运A种葡萄酒，17辆无人车装运B种葡萄酒，12辆无人车装运C种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运A种葡萄酒，14辆无人车装运B种葡萄酒，14辆无人车装运C种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运A种葡萄酒，11辆无人车装运B种葡萄酒，16辆无人车装运C种葡萄酒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车，根据“葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送，，三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒，根据租用的40辆无人车恰好可以运送，，三种葡萄酒共310箱，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为不小于11的正整数，即可找出各装运方案． 【详解】（1）解：设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车， 根据题意得：， 解得：． 答：装运种葡萄酒需13辆无人车，装运种葡萄酒需11辆无人车； （2）解：设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒， 根据题意得：， ， 又，，均为不小于11的正整数， 或或， 无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运种葡萄酒，17辆无人车装运种葡萄酒，12辆无人车装运种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运种葡萄酒，11辆无人车装运种葡萄酒，16辆无人车装运种葡萄酒． 能力提升 一、单选题 1．下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．只含有一个未知数并且未知项的次数为的整式方程叫一元一次方程．解决本题的关键是根据一元一次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：含有一个未知数，未知项的最高次数为，是一元二次方程，故A选项不符合题意； B选项：含有两个未知数，未知项的最高次数为，是二元一次方程，故B选项不符合题意； C选项：含有一个未知数，未知项的最高次数为，是一元一次方程，故C选项不符合题意； D选项：是分式方程，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．一同学在解关于的方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 先去分母，再整理得出关于a的方程，然后求出解即可． 【详解】去分母，得， 整理，得， 即． ∵， ∴， 解得． 故选：A． 3．某校七年级（1）班组织学生去公园游玩，该班有56名同学组织了划船活动，租船信息如图所示．已知他们一共租了10条船，并且每条船都坐满了人，那么大船租了（   ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题．设大船租了x条，则小船租了条，那么就等于该班总人数，据此列方程解答即可． 【详解】解：设大船租了x条，则小船租了条， 依题意有：， 解得：， 即大船租了4条． 故选：B． 4．若与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，非负数的性质，解二元一次方程组；解题的关键是根据非负数的性质求出的值．首先根据与互为相反数，可得：，据此求出的值即可． 【详解】解：与互为相反数， ， 即，， 解得， 故选C． 5．对于任意有理数，我们规定，若同时满足：，，则的值是（   ） A．26 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解决本题的关键．根据已知新定义运算列二元一次方程组，求出、的值，再代入计算即可． 【详解】，， ， 解得， ， 故选：C． 6．现有一段长为360米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天．设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，根据题意列关于x，y的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组，工程问题的应用题等知识，解题的关键是学会利用未知数，构建方程组解决问题．根据河道总长为360米和A、B两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 【详解】解：设A工程小组整治河道x天，B工程小组整治河道y天，依题意可得： ， 故选：A． 二、填空题 7．如果与互为相反数，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数的定义，解一元一次方程，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义得到，计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得． 故答案为：． 8．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，代数式求值等知识点，对已知等式及所求值的式子进行适当变形是解题的关键． 对已知等式进行适当变形可得，然后把所求值的式子进行适当变形可得，利用整体代入的方法即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9．制作一个零件，甲要5分钟，乙要10分钟，丙要8分钟，现有一批这种零件，三人同时开工，到结束时甲比丙多做24个，则这批零件共有 个． 【答案】136 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设工作时间为分钟，根据工作时间工作速度工作件数列等式计算即可求解． 【详解】解：设工作时间为分钟， 由题意得， 解得， ∴（个） 故答案为：136． 10．已知方程组与方程组的解相同，则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 联立不含a与b的方程组成新方程组，求出x与y的值，再把x与y的值代入含a与b的方程组成方程组，求出a与b的值即可． 【详解】解：由已知可得解得 把代入方程组得 解得： 故答案为：；． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键． （1）方程去括号，移项，合并，系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， 解得：． 12．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法进行计算，即可解答； （2）将原方程组进行整理化简可得：，然后利用代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ②2得：③， ②3得：④， ③④得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：将原方程组进行整理化简可得：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：． 13．小聪在解方程时，步骤如下： ①去分母，得． ②去括号，得． ③移项，得． ④合并同类项，得． ⑤系数化为1，得． (1)小聪的解答过程有错误，从第______步开始出现错误（填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题考查解方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母时，常数项漏乘最小公倍数，第①步开始出错； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可。 【详解】（1）解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，第①步开始出错； 故答案为：①； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 14．玉宇从家去市中心的歌剧院看歌剧，进场时发现门票忘在家中，此时离歌剧开始还有50分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票．在家取票用时9分钟，取到票后，他急忙骑自行车（匀速）赶往歌剧院，终于在歌剧开始前5分钟赶到歌剧院门口，已知玉宇步行的速度是90米/分，骑自行车的速度是步行速度的3倍．你知道玉宇家离歌剧院多远吗？ 【答案】玉宇家离歌剧院2430米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设玉宇家离歌剧院x米，分别表示出步行所花的时间和骑自行车花费的时间，再求出总时间进而建立方程求解即可． 【详解】解：设玉宇家离歌剧院x米， 由题意得，， 解得， 答：玉宇家离歌剧院2430米． 15．甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套70元，乙乐团购买的演出服每套80元，两个乐团共75人，购买演出服的总价钱为5600元． (1)甲、乙两个乐团各有多少人？ (2)现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责6位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 【答案】(1)甲乐团有40人，乙乐团有35人 (2)共有两种方案：从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调5人；或者从甲乐团抽调1人，从乙乐团抽调10人 【详解】（1）解：设甲乐团有人，乙乐团有人， 根据题意，得， 解得， 答：甲乐团有40人，乙乐团有35人； （2）由题意，得， 变形得， 因为，，且，均为整数， 所以或， 所以共有两种方案：从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调5人；或者从甲乐团抽调1人，从乙乐团抽调10人 $$第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一次方程（组）及其应用（6~12分） （思维导图+5考点+2命题点13种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 等式的性质 考点二 二元一次方程的解 考点三 一元一次方程的解法 考点四 二元一次方程组的解法 考点五 方程（组）的实际应用 命题点一 方程（组）的解法 ►题型01 一元一次方程含参问题 ►题型02 程序框图求输入值 ►题型03 二元一次方程组含参问题 ►题型04 方程组定义新运算 命题点二 方程（组）的应用题 ►题型01 工程问题 ►题型02 销售利润 ►题型03 行程问题 ►题型04 方案问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 等式的基本性质 · 理解等式的基本性质 2024省卷20题， 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”. 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 一元一次方程 · 能解一元一次方程 二元一次方程（组） · 掌握消元法，能解二元一次方程组 · 能解简单的三元一次方程组[选学] 一次方程（组） 的应用 · 利用一次方程求解实际问题 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1. 3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 5.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 6.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 考点一 等式的性质 【例1】．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（2023·山东德州·一模）下列变形中，不正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】．（2021·山东枣庄·二模）在下列式子中变形一定正确的是（    ） A．如果2a= 1，那么a=2 B．如果a=b，那么 C．如果a=b，那么a+c=b+c D．如果a－b+c=0，那么a=b+c 【变式1-3】．（2022·山东淄博·一模）下列根据等式基本性质变形正确的是（    ） A．由，得x=2y B．由3x﹣5=7，得3x=7﹣5 C．由2x﹣3=3x，得x=3 D．由3x﹣2=2x+2，得x=4 考点二 二元一次方程的解 【例2】．（2021·山东东营·二模）下列各对数值中，是方程的解的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（2022·山东滨州·二模）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解 ． 【变式2-2】．（2022·山东临沂·二模）二元一次方程3x+2y＝7的正整数解是 ． 【变式2-3】．（2020·山东济南·三模）已知是方程的解，则 ． 考点三 一元一次方程的解法 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 解一元一次方程的基本步骤： 【例3】．（2023·山东德州·二模）小明解方程的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 以上解题步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式3-1】．（2021·山东济南·中考真题）代数式与代数式的和为4，则 ． 【变式3-2】．（2023·山东济南·三模）代数式比代数式大1，则 ． 【变式3-3】．（2022·山东日照·二模）若与的值相等，则x的值为 ． 考点四 二元一次方程组的解法 【例4】．（2022·山东潍坊·中考真题）方程组的解为 ． 【变式4-1】．（2021·山东枣庄·中考真题）已知，满足方程组，则的值为 ． 【变式4-2】．（2023·山东泰安·中考真题）方程组的解是 ． 【变式4-3】．（2022·山东枣庄·中考真题）若二元一次方程组的解为，则a﹣b= ． 考点五 方程（组）的实际应用 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一次方程（组）有关应用题的常见类型： 【例5】．（2023·山东日照·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（    ） A． B． B． C． D． 【变式5-1】．（2022·山东威海·一模）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·山东威海·中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 判断一个数是有理数或无理数的方法 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 方程（组）的解法 ►题型01 一元一次方程含参问题 【例1】．（2022·山东威海·一模）若关于的方程与的解相同，则的值为（    ） A．8 B．6 C．-2 D．2 【变式1-1】（2022·山东济南·一模）当 时，方程解是？ 【变式1-2】（2024·山东青岛·模拟预测）已知是方程的解，则 ． 【变式1-3】（2022·山东淄博·一模）若关于x的方程的解是，则a的值为 ． ►题型02 程序框图求输入值 【例2】．（2023·山东德州·二模）按下面的程序计算：若输入，则输出结果是；若输入，则输出结果是．若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为，则开始输入的值为 ． 【变式2-1】（2022·山东济宁·二模）一组“数值转换机”按图所示的程序计算，如果输入的数是30，则输出结果为56，要使输出结果为60，则输入的正整数是 ．    【变式2-2】（2022·山东菏泽·中考真题）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 ．    【变式2-3】（2022·山东淄博·一模）小明按如图所示的程序输入一个数x，最后输出的数为12，则小明输入的最大负数是 ►题型03 二元一次方程组含参问题 【例3】．（2024·山东菏泽·三模）若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为 ． 【变式3-1】（2022·山东威海·一模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【变式3-2】（2023·山东日照·一模）若关于，的方程的解满足，则 ． 【变式3-3】（2023·山东烟台·一模）关于的方程组的解满足，则的值是 ． ►题型04 方程组定义新运算 【例4】．（2023·山东日照·一模）对于实数x，y我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如时，．若，则 ． 【变式4-1】（2022·山东德州·二模）对于、定义一种新运算“*”：，其中、为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．已知：，，那么 ． 【变式4-2】（2023·山东德州·一模）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y= . 【变式4-3】（2023·山东临沂·一模）对定义一种新运算T，规定T()=，（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知，．则 ． 命题点二 方程（组）的应用题 ►题型01 工程问题 【例1】．（2021·山东泰安·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂． （1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？ （2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？ 【变式1-1】（2024·山东聊城·一模）某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成． (1)求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？ (2)若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？ 【变式1-2】（2023·山东滨州·二模）某段高铁工程计划由甲、乙两个工程队共同承担完成，其中甲工程队单独完成这项工作需120天．若甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合作，两队又共同工作了36天才完成任务． (1)求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？ (2)由于某种原因，甲工程队先单独用60天完成了工程的一部分，剩下的部分由乙工程队完成，那么乙工程队又干了多少天？ 【变式1-3】（2022·山东日照·三模）某校为美化校园， 计划在假期对教室的地砖进行更换， 每间教室的面积大小相同， 安排了甲、乙两个工程队完成． 7 月份施工时， 甲工程队 7 天完成了 16 间教室的地砖铺设；乙工程队 3 天铺设了 8 间教室地砖后再铺设了 的地砖， 已知甲工程队比乙工程队每天少完成 的地砖铺设． (1)求每间教室需要铺设地砖的面积； (2)8月份施工时， 甲、乙两个工程队各自需要完成24间教室的铺砖工作．由于天气炎热， 甲、乙两个工程队抣调整了施工速度， 甲工程队每天铺设的地砗面积是乙工程队每天铺设的地砖面积的，乙工程队比甲工程队少用7天完成任务，求8月份甲、乙两个工程队每天各铺设地砖的面积． ►题型02 销售利润 【例2】．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【变式2-1】（2023·山东青岛·中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【变式2-2】（2022·山东济南·中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由． 【变式2-3】（2020·山东济南·中考真题）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． （1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？ （2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ ►题型03 行程问题 【例3】．（2022·山东威海·一模）一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要6小时，顺流而下需要4小时，若船在静水中的速度为20千米/时，则水流的速度是多少千米/时？ 【变式3-1】（2021·山东青岛·模拟预测）小王骑自行车从A地到B地，小陈骑自行车从B地到A地，两人都沿同一条公路匀速前进，已知两人在上午7时同时出发，到上午9时，两人还相距20千米，到中午12时，两人又相距40千米，求A，B两地的距离． 【变式3-2】（2022·山东淄博·一模），两地之间的国道的长度为千米． (1)甲、乙两人均要从地前往地．乙乘公交车先走了千米，甲才开车从地出发，甲出发分钟后刚好追上乙．已知甲开车的速度是乙所乘公交车速度的倍，求乙所乘公交车的速度； (2)高速公路修通后，高速公路的全长比原来国道长减少了千米，某长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上提高了千米/时，从地到地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在原来国道上行驶的速度． 【变式3-3】（2022·山东济宁·二模）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的． （1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？ （2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ ►题型04 方案问题 【例4】．（2022·山东日照·一模）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠． 【变式4-1】（2023·山东德州·二模）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 28 20 (1)第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式4-2】（2022·山东泰安·中考真题）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 【变式4-3】（2022·山东菏泽·一模）菏泽市牡丹区中学生运动会即将举行，各个学校都在积极地做准备，某校为奖励在运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品共100件，已知甲种奖品的单价是30元，乙种奖品的单价是20元． （1）若购买这批奖品共用2800元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？ （2）若购买这批奖品的总费用不超过2900元，则最多购买甲种奖品多少件？ 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 2．一同学在解关于的方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 3．足球比赛积分规则为：胜一场记3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么这个队胜了（   ） A．3场 B．2场 C．1场 D．5场 4．按如图所示的程序计算：若输入正整数，输出结果是133，则满足条件的的值是（   ） A．46 B．23 C．17 D．46或17 5．某商品每件的标价是660元，当按标价的八折销售时，仍可获利，则这种商品每件的进价为（   ） A．480元 B．490元 C．520元 D．540元 6．已知关于，的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知关于x的方程的解是，则m的值是 ． 8．二元一次方程若用含的代数式表示，则 ． 9．若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 10．若关于的二元一次方程组，满足，则的值为 三、解答题 11．解方程 (1) (2) 12．解方程组： (1)； (2)． 13．刘洋家住在电影院正西，李明家住在电影院的正东．两人同时从家里出发相向而行，刘洋每分钟步行，李明每分钟步行．从出发到两人相遇用了多长时间？相遇地点距离电影院有多远？（用方程解答） 14．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 15．在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 (1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ (2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 能力提升 一、单选题 1．下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．一同学在解关于的方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 3．某校七年级（1）班组织学生去公园游玩，该班有56名同学组织了划船活动，租船信息如图所示．已知他们一共租了10条船，并且每条船都坐满了人，那么大船租了（   ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 4．若与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．对于任意有理数，我们规定，若同时满足：，，则的值是（   ） A．26 B．8 C． D． 6．现有一段长为360米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天．设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，根据题意列关于x，y的方程组为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如果与互为相反数，那么的值为 ． 8．已知，则 ． 9．制作一个零件，甲要5分钟，乙要10分钟，丙要8分钟，现有一批这种零件，三人同时开工，到结束时甲比丙多做24个，则这批零件共有 个． 10．已知方程组与方程组的解相同，则 ， ． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)． 12．解方程组： (1)； (2)． 13．小聪在解方程时，步骤如下： ①去分母，得． ②去括号，得． ③移项，得． ④合并同类项，得． ⑤系数化为1，得． (1)小聪的解答过程有错误，从第______步开始出现错误（填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 14．玉宇从家去市中心的歌剧院看歌剧，进场时发现门票忘在家中，此时离歌剧开始还有50分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票．在家取票用时9分钟，取到票后，他急忙骑自行车（匀速）赶往歌剧院，终于在歌剧开始前5分钟赶到歌剧院门口，已知玉宇步行的速度是90米/分，骑自行车的速度是步行速度的3倍．你知道玉宇家离歌剧院多远吗？ 15．甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套70元，乙乐团购买的演出服每套80元，两个乐团共75人，购买演出服的总价钱为5600元． (1)甲、乙两个乐团各有多少人？ (2)现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责6位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． $$