3.8 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025江西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 8　 二次函数的图象与性质(必考) 要点 1 二次函数的图象与性质(图象⇔抛物线) 概念 形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数且 a≠0􀪍􀪍)的函数叫作 x 的二次函数 三种表达式 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式 y=a(x-h) 2+k(a≠0) 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 大 致 图 象 a>0 开口向上 a<0 开口向下 对称轴 直线 x=①　 　 　 　 直线 x=②　 　 　 　 直线 x=③　 　 　 　 顶点坐标 ④　 　 　 　 　 ⑤　 　 　 　 　 — 最 值 a>0 x=- b 2a 时, y 有最小值⑥　 　 　 　 x=h 时, y 有最小值⑦　 k　 x= x1+x2 2 时, y 有最⑧　 小　 值 a<0 x=- b 2a 时, y 有最大值⑨　 　 　 　 x=h 时, y 有最大值􀃊􀁉􀁒　 k　 x= x1+x2 2 时, y 有最 􀃊􀁉􀁓　 大　 值 增 减 性 a>0 在对称轴左侧时, y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁔　 减小　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁕　 增大　 a<0 在对称轴左侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁖　 增大　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁗　 减小　 注:特别地,若已知二次函数的表达式为 y=ax2+bx,则二次函数图象必过原点 ∙∙∙∙ ;反之,若已 知二次函数y=ax2+bx+c 的图象过原点,则必有 c= 0. 74 基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 根据表格填空: 表达式 顶点式: y=-2(x-1) 2+4 交点式: y= 2(x-1)(x-3) 一般式: y= x2+2x-4 由表达 式直接 得到的 信息 ①顶点坐标为　 (1,4)　 ; ②对称轴为直线　 x=1　 ; ③有最　 大　 值为　 4　 ①与 x 轴交点坐标为 　 (1,0)和(3,0) 　 ; ②对称轴为直线　 x=2　 ①与 y 轴 交 点 坐 标 为 　 　 　 　 (0,-4) 　 ; ②对称轴为直线　 x=-1 　 最值 x= 　 1 　 时, y最大 = 　 4 　 x= 　 2 　 时, y最小 = 　 -2　 x= 　 -1 　 时, y最小 = 　 -5　 与坐标 轴交点 坐标 与 x 轴交点坐标为　 ( 2+ 1,0)和(- 2 +1,0) 　 ;与 y 轴交点坐标为　 (0,2)　 与 y 轴 交 点 坐 标 为 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 与 x 轴 交 点 坐 标 为 　(- 5-1,0)和( 5-1,0)　 画出示 意图 要点 2 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 a、b、c 的关系(2021.5) a 决定抛物线的开口方向, | a | 决定 开口大小 a>0,抛物线开口向上; a<0,抛物线开口向下 a、b 决定抛物线对称轴的位置(对称 轴为直线x=- b 2a ) b= 0,对称轴为􀃊􀁉􀁘　 y 轴　 ; b a >0,对称轴在 y 轴􀃊􀁉􀁙　 左　 侧; b a <0,对称轴在 y 轴􀃊􀁉􀁚　 右　 侧 c 决定抛物线与 y 轴交点的位置 c= 0,抛物线过原点; c>0,抛物线与 y 轴交于正半轴; c<0,抛物线与 y 轴交于负半轴 b2- 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数 b2-4ac= 0 时,与 x 轴有唯一的交点(顶点); b2-4ac>0 时,与 x 轴有􀃊􀁉􀁛　 两个　 交点; b2-4ac<0 时,与 x 轴没有交点 84 基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 特殊 关系 先把含 a、b、c 的项移到等式(或不等式)的一边; 看到 2a+b,比较- b 2a 和 1 的大小;看到 2a-b,比较- b 2a 与-1 的大小; 看到 a+b+c,令 x= 1,看 y 的值;看到 a-b+c,令 x=-1,看 y 的值; 看到 4a+2b+c,令 x= 2,看 y 的值;看到 4a-2b+c,令 x=-2,看 y 的值 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 2 题图 对 点练 习 2. 已知二次函数 y=ax2+bx+c a≠0( ) 图象的对称轴为直线 x=-1,与 x 轴的一个交点 A 的 坐标为(1,0),其部分图象如图所示,下列结论中正确的是　 ①③④⑦⑨　 (填序号) . ①b2-4ac>0;②abc>0;③a-b+c<0; ④ a+b=-c;⑤ 2a+b=0;⑥ 4a-2b+c>0; ⑦一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的两个根是 x1 =-3,x2 = 1; ⑧当 y>0 时,-3<x<1;⑨当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大; ⑩若点 D(- 9 2 ,y1),E( 3 2 ,y2)是函数图象上的两点,则 y1<y2 . 要点 3 对称轴的理解与应用(仅 2015.6 单独考查,常在二次函数综合题中涉及) (1)求对称轴 例 1　 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)过(0,4)和(-6,4)两点,则此抛物线的对称轴为(􀃊􀁊􀁒　 C　 ) A.直线 x=4　 　 　 　 B.直线 x=0　 　 　 　 C.直线 x=-3　 　 　 　 D.直线 x=-6 图 1 方法指导 如图 1,若抛物线上两点的纵坐标相等,横坐标不相等(x1≠x2), 则对称轴为直线 x= x1+x2 2 . (2)判断函数类型:给出几组自变量 x 与函数值 y 的对应值,若有下表的特征,则该函数为 二次函数; 【获取信息】由表可得,该二次函数的图象性质: ①开口􀃊􀁊􀁓　 向上　 ,对称轴为直线􀃊􀁊􀁔　 x=1　 ,顶点坐标为􀃊􀁊􀁕　 (1,-9) 　 ; ②当 x≤1 时,y 随 x 的增大而 􀃊􀁊􀁖　 减小　 ,当 x≥1 时,y 随 x 的增大而􀃊􀁊􀁗　 增大　 ; 函数有最􀃊􀁊􀁘　 小　 值,为􀃊􀁊􀁙　 -9　 ; ③该二次函数的图象与 x 轴的交点有􀃊􀁊􀁚　 2　 个,坐标为􀃊􀁊􀁛　 (-2,0),(4,0) 　 ,与 y 轴的交点坐标为􀃊􀁋􀁒　 (0,-8) 　 . 94 基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 (3)利用对称轴求点坐标 例 2　 已知抛物线 y= x2-4x+m 2 与 x 轴的一个交点的坐标为(1,0), 则此抛物线与 x 轴的 例 2 变式题图 另一个交点的坐标为􀃊􀁋􀁓　 (3,0) 　 . [变式]如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 l,抛 物线与直线 y= t 交于点 A(3,t),根据图象可知抛物线的对称 轴为􀃊􀁋􀁔　 　 　 　 　 　 ,点 A 关于对称轴对称的点 B 的坐标为 􀃊􀁋􀁕　 　 　 　 　 　 . 方法指导①已知对称轴为直线 x=a,与 x 轴的一个交点为(b,0),则与 x 轴的另一个交 点坐标为􀃊􀁋􀁖　 (2a-b,0) 　 ;②若已知抛物线上任意一点的坐标为 M(m,n),对称轴为 直线 x=a,则点 M 关于对称轴对称的点的坐标为􀃊􀁋􀁗　 (2a-m,n) 　 . (4)利用对称轴,比较函数值大小 例 3　 多解法 ∙∙∙ 　 若二次函数 y=a(x-3) 2+c(a>0)的图象过 A(-1,y1),B(2,y2),C(5,y3), 则 y1,y2,y3 的大小关系是 (􀃊􀁋􀁘　 B　 ) A.y1>y2>y3 　 　 　 B.y1>y3>y2 　 　 　 C.y2>y1>y3 　 　 　 D.y3>y1>y2 方法指导解法一:代入法.若二次函数表达式已知,将点的横坐标代入,求出对应的纵 坐标直接比较; 解法二:异侧转同侧结合增减性比较.需求出点关于对称轴对称的点的横坐标,然后利 用同侧的增减性比较,如图 2,3. 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 解法三:距离法.先定开口方向,再算“距离”,开口向上,距离对称轴越远的值越大,开口 向下,距离对称轴越远的值越小.如图 4,可得点 A,C,B 到抛物线对称轴 x = t 的距离的 大小关系为 | xB-t | > | xC-t | > | xA-t | (用含 t 的代数式分别表示距离),因为抛物线开口向 上,所以 yA,yB,yC 的大小关系是􀃊􀁋􀁙　 　 　 　 > 􀃊􀁋􀁚　 　 　 　 >􀃊􀁋􀁛　 　 　 　 . (5)利用对称轴求自变量取值范围内函数最值(涉及分类讨论) 例 4　 已知二次函数 y=- 1 2 (x+1) 2+3,当 1≤x≤4 时,该二次函数的最大值为􀃊􀁌􀁒　 1　 . [变式]已知二次函数 y=-(x-h) 2(h 为常数),当自变量 x 的值满足 2≤x≤5 时,与 其对应的函数值 y 的最大值为-1,则 h 的值为 (　 　 ) A.3 或 6 B.1 或 6 C.1 或 3 D.4 或 6 【思路点拨】如图 5,通过对称轴在所给区间左侧、内部、右侧三种情况分类讨论,求 出符合条件的 h 的值. 05 基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 图 5 ①当 h<2 时,有􀃊􀁌􀁓　 -(2-h) 2 =-1　 ,解得􀃊􀁌􀁔　 h=1　 ; ②当 2≤h≤5 时,y=-(x-h) 2 的最大值为􀃊􀁌􀁕　 　 　 　 , 不符合题意; ③当 h>5 时,有􀃊􀁌􀁖　 -(5-h) 2 =-1　 ,解得􀃊􀁌􀁗　 h=6　 . 【答案】􀃊􀁌􀁘　 B　 方法指导 已知二次函数 y=a (x-h)2+k 图象的对称轴为直线 l,且函数图象经过点(1,m) 和(4,n),根据下列二次函数图象,当 1≤x≤4 时,函数 y 的最大值与最小值如下. 图象 最大值 m k k n 最小值 n n m m 图象 最大值 n n m m 最小值 m k k n 注:①当对称轴在自变量取值范围左侧或右侧时,函数在所给自变量取值范围端点处取 得最大值与最小值; ②当对称轴在自变量取值范围内时,函数在顶点处取得一个最值,在所给自变量取 值范围距对称轴较远处一端点取得另一个最值. 温馨提示:请完成分层作业本 P39-40 习题 命题点 9　 二次函数表达式的确定及图象的变换(必考) 要点 1 待定系数法求二次函数表达式(常在二次函数综合题中考查) 求二次函数表达式时,先观察题设中给出的条件,根据已知条件设出合适的二次函数表达式. 已知条件 常设表达式 任意三点坐标 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴的两个交点坐标+任意一点坐标 交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 顶点坐标+任意一点坐标 对称轴+最值+任意一点坐标 顶点式:y=a(x-h) 2+k(a≠0) 15 参考答案与重难题解析·江西数学 基 础 夯 实 练 3. (1)y= 6 x ;(2)y= -4 x 或 y= 4 x 4. (1)2;(2)4;(3)2 命题点 7　 反比例函数的综合与应用 要点归纳 ①D　 ②y= 3x+3　 ③y= 6 x 　 ④x>1 或-2<x<0 ⑤0<x≤1 或 x≤-2　 ⑥ 9 2 例 2 题解图 对点练习 12 命题点 8　 二次函数的图象与性质 要点归纳 ①- b 2a 　 ②h　 ③ x1+x2 2 　 ④(- b 2a , 4ac-b2 4a )　 ⑤(h,k) ⑥ 4ac-b2 4a 　 ⑦k　 ⑧小　 ⑨ 4ac-b2 4a 　 􀃊􀁉􀁒k　 􀃊􀁉􀁓大　 􀃊􀁉􀁔减小 􀃊􀁉􀁕增大　 􀃊􀁉􀁖增大　 􀃊􀁉􀁗减小　 􀃊􀁉􀁘y 轴　 􀃊􀁉􀁙左　 􀃊􀁉􀁚右　 􀃊􀁉􀁛两个 􀃊􀁊􀁒C　 􀃊􀁊􀁓向上　 􀃊􀁊􀁔x= 1　 􀃊􀁊􀁕(1,-9)　 􀃊􀁊􀁖减小　 􀃊􀁊􀁗增大　 􀃊􀁊􀁘小 􀃊􀁊􀁙-9　 􀃊􀁊􀁚2　 􀃊􀁊􀁛(-2,0),(4,0)　 􀃊􀁋􀁒(0,-8)　 􀃊􀁋􀁓(3,0) 􀃊􀁋􀁔直线 x= 1　 􀃊􀁋􀁕(-1,t)　 􀃊􀁋􀁖(2a-b,0)　 􀃊􀁋􀁗(2a-m,n)　 􀃊􀁋􀁘B 􀃊􀁋􀁙yB 　 􀃊􀁋􀁚yC 　 􀃊􀁋􀁛yA 　 􀃊􀁌􀁒1　 􀃊􀁌􀁓-(2-h) 2 =-1　 􀃊􀁌􀁔h = 1　 􀃊􀁌􀁕0　 􀃊􀁌􀁖-(5-h) 2 =-1　 􀃊􀁌􀁗h= 6　 􀃊􀁌􀁘B 对点练习 1. (1,4);x= 1;大,4;1,4;( 2 +1,0)和(- 2 +1,0);(0,2) (1,0)和(3,0);x= 2;2,-2;(0,6) (0,-4);x=-1;-1,-5;(- 5 -1,0)和( 5 -1,0) 2. ①③④⑦⑨ 命题点 9　 二次函数表达式的确定 及图象的变换 要点归纳 ①不变　 ②不变　 ③相反　 ④不变　 ⑤相反 对点练习 1. 解:由题意,得 -9+3b+c= 0, -4-2b+c=-5,{ 解得 b= 2, c= 3,{ ∴ 抛物线的表达式为 y=-x2+2x+3. 2. 解:设抛物线的表达式为 y=a(x-2) 2+4(a≠0), 将(1,2)代入,得 2=a(1-2) 2+4,解得 a=-2, ∴ 抛物线的表达式为 y=-2(x-2) 2+4. 3. 解:∵ 二次函数的图象经过点(-3,0),(1,0), ∴ 设二次函数的表达式为 y=a(x+3)(x-1), 把(0,3)代入,得 a·3×(-1)= 3,解得 a=-1, ∴ 该二次函数的表达式为 y=-(x+3)(x-1), 即 y=-x2-2x+3. 4. 解:解法一:∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, ∴ - b 4 = 2,解得 b=-8, 又∵ 抛物线经过点(1,0), ∴ 2-8+c= 0,解得 c= 6, ∴ 抛物线的表达式为 y= 2x2-8x+6. 解法二:∵ 抛物线 y = 2x2 +bx+c 的对称轴为直线 x = 2,且 与 x 轴交于点(1,0), ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0), ∴ 抛物线的表达式为 y= 2(x-1)(x-3)= 2x2-8x+6. 5. y= x2-1　 6. y= 2x2-4x+1;y=-2x2-4x-1 命题点 10　 二次函数图象与性质的应用 要点归纳 ①两个不相等　 ②两个相等　 ③没有　 ④x<x1 或 x>x2 ⑤x1<x<x2 对点练习 1. (1)x1 =-1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2; (4)-1<x<3;(5)x<0 或 x>2 2. -3≤x≤1 命题点 11　 二次函数的实际应用 要点归纳 【自主作答】解:解法一:根据题意,设抛物线的表达式为 y = a(x-2) 2+k(a≠0),将点 C(0,8),B(8,0)代入, 得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a=- 1 4 , k= 9, { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4