第三章 图形的相似（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学第三章“图形的相似”复习讲义通过逻辑图和表格系统梳理知识体系，从相似多边形、三角形相似的判定与性质到位似图形，按“概念-判定-性质-应用”递进呈现，突出成比例线段、相似比与面积比关系等重难点，明晰知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，涵盖比例计算、动点相似证明等17类题型，如“利用相似测高”结合平面镜法培养模型意识，“半似位线新定义”题发展创新思维。方法指导强调对应顶点对齐、分类讨论，助力不同学生掌握推理技巧，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

第三章 图形的相似 复习讲义 教学目标 1、理解相似图形、成比例线段、相似多边形、相似比、位似多边形等概念；掌握比例基本性质、合比性质、等比性质，会进行比例线段计算。 2、掌握平行线分线段成比例定理及其三角形推论，能利用定理列线段比例式计算。 3、掌握三角形相似判定：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例；了解判定定理证明过程，能规范完成简单相似证明推理。 4、掌握相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例；对应高、中线、角平分线、周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方，能完成边长、周长、面积综合计算。 5、理解位似概念与性质，能在平面直角坐标系中做位似缩放；会利用相似三角形模型测量高度、距离等实际问题。 6、类比全等三角形的研究思路探究相似，经历观察 — 猜想 — 验证 — 证明的几何探究流程，发展合情推理与演绎推理能力。养成严谨书写推理步骤的习惯，相似书写严格对齐对应顶点，提升几何表达规范性。 7、能从现实情境、几何图形中抽象相似模型，体会类比、模型、转化思想；通过测量高度实践活动，体会把实际问题转化几何问题的建模过程。感受相似在地图、摄影、缩放制图中的应用价值，体会几何变换的意义。 教学 重难点 1. 重点 （1）成比例线段、比例的性质；平行线分线段成比例定理及其推论的运用。 （2）相似多边形概念与性质；三角形相似三大判定定理，会灵活选择判定方法证明相似。 （3）相似三角形性质，重点区分：线段类（高线、中线、角平分线、周长）比 = 相似比；面积比 = 相似比的平方。 （4）利用相似三角形解决几何计算、简单证明、测高实际应用题。 （5）位似图形概念、性质，坐标系下位似图形坐标变化规律。 2. 难点 （1）找准对应边、对应角：相似符号书写顶点对应，相似比具有顺序性。 （2）面积比与相似比的平方关系，已知面积比反求相似比。 （3）相似三角形判定定理的证明，辅助线构造思路理解。 （4）无明确对应关系的相似问题（动点相似、存在性问题），需要分类讨论，容易漏解。 知识点01 相似多边形 1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比。 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。 3．比例的基本性质： （1）如果那么ad=bc。 （2）等比性质：如果（b+d+……+n≠0），那么 4.相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）。 它的符号是“∽”，读作“相似于”。 切记：写法与全等类似，对应字母要写在对应的位置上。 相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比；根据比的性质，也可得到周长比等于相似比。 知识点02 探索三角形相似的条件 1、相似三角形的定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形（similar triangles）。 2、相似三角形的判定 判定1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 3、黄金分割定义： 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段（如下图），如果，那么线段AB被点C黄金分割（golden section），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 知识点03 相似三角形判定定理的证明 1.平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 3.相似三角形的判定定理是通过构造辅助线（平行线）再利用平行线分线段成比例线段的性质证明的。 知识点04 相似三角形的性质 相似三角形的性质 1）对应角相等，对应边的比相等； 2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 知识点05 图形的位似 1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P′所在的直线都经过同一个点O，且OP′=k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫作位似多边形（homothetic polygons），点O叫做位似中心（homothetic enter）。实际上，k就是这两个相似多边形的位似比。 注意：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。 2、位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行。 3、坐标系中的位似图形 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|。 知识点06 利用相似三角形测高 1.测量高度：测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1）如甲图所示，通常先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），由相似三角形的性质，求出AB。 2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长。 注意：1）太阳光近似看成平行光线。在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； 2）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； 3）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 题型01 比例的相关概念与运用 【典例1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列线段、、、不是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【详解】解：成比例线段的判定规则：对于四条线段、、、，若，则四条线段成比例． ∵选项A中，，∴是成比例线段 ∵选项B中，，∴是成比例线段 ∵选项C中，，∴是成比例线段 ∵选项D中，，，，∴不是成比例线段故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·广东清远·期末）若是成比例线段，其中，则线段b的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴， ∵，，，∴，∴，∴，∴．故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，，∴；解得： （2）解：依题意，；∴ 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知：，且． (1)求a、b、c的值；(2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 【答案】(1)(2)2或8或18(3)18 【详解】（1）解：设，∴， ∵∴，解得：，∴； （2）解：∵a、b、c、m四个数能构成比例式，且比例式两内项之积等于两外项之积， ∴或或， 即或或，解得：或或； （3）解：∵四条线段a，b，c，d为成比例线段， ∴，∴，即，解得：． 题型02 比例的基本性质与运用 【典例1】（25-26九年级上·广西百色·期中）将等式化成以为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴两边同除以（），得，故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·江西抚州·期末）已知，，则________． 【答案】 【详解】解：∵∴设，则，，， 则，，∴，故答案为： 【变式2】（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）若，则是否成立？______（填“是”或“否”）． 【答案】是 【详解】解：由已知，可得，即，故成立．故答案为：是． 【变式3】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）已知，，满足，求的值． 【答案】1或 【详解】解：①当时，∵，∴， ∴，即，∵，∴； ②当时，不防令，则．综上，k值1或． 【变式4】（25-26九年级上·湖南怀化·期中）已知： (1)求k的值；(2)则直线一定经过第_____． 【答案】(1) 或 (2)一，四象限 【详解】（1）分两种情况讨论： 情况一：，由等比性质，． 情况二：，则，代入得．综上，k的值为2或． （2）当时，直线方程为，斜率，截距，经过第一、三、四象限． 当时，直线方程为，斜率，截距，经过第一、二、四象限． 综上，直线一定经过第一、四象限．故答案为：一、四象限． 题型03 相似多边形的性质与判定 【典例1】（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴设，则， ∵矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比， ∴，∴，∴，∴，故选：A． 【变式1】（2026·甘肃白银·一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）若五边形与五边形相似，其中与，与为对应边，且，则__________ ． 【答案】 【详解】解：因为五边形与五边形相似，且与为对应边， 与为对应边，所以对应边成比例，即， 代入，得，解得．故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是正方形，设， 矩形矩形，，． ， 或（舍弃），，故选：． 【变式4】（25-26九年级下·成都·期中）如图所示，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵矩形中，， ∴矩形的面积，根据勾股定理，得， ∴矩形和矩形的相似比是，∴矩形的面积是； 同理矩形的面积是； 矩形的面积是；∴矩形的面积是， ∴矩形的面积是．故答案为：． 题型04 黄金分割相关问题 【典例1】（24-25九年级上·四川成都·期末）2024年，四川天府新区美术馆入选法国凡尔赛建筑奖《2024全球最美七大博物馆》．我们知道在美术作品中常常会运用“黄金分割”，以突出画面焦点，如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则的长为______．（结果保留根号）    【答案】 【详解】解：由题知，∵若点C可看作是线段的黄金分割点，且，∴． 又∵，∴故答案为：． 【变式1】（2025·成都·二模）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题知，，因为，所以．故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 【答案】 【详解】解：由图可知，点是线段的黄金分割点，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∵，∴． 【变式3】（2026·山东济南·二模）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴，即， ∴，∴．（负值不合题意已经舍去） 【变式4】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为_______分米（结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为分米，由题意得，解得， 那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为分米． 题型05 平行线分线段成比例相关运算与证明 【典例1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：设，则， ∵∴∴∴，则 ∵∴∴ 解得：，即的长为． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，直线，直线相交于点E，若，则线段的长为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】解：∵直线，∴， ∵，∴，解得：．故选A． 【变式3】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图所示是一张仿古信笺，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，∴． ∵，∴．故选：C． 【变式4】（2026·吉林长春·模拟预测）如图①，直线，直线l和m被这组平行线所截，两直线相交于点O，直线l和m与直线a、b、c分别交于A、B、C、D、E、F．点D是直线a上的动点，已知，，直线l与直线a所成的锐角为． (1)求的值．(2)用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点D，使．(3)当时，求的长．(4)作点B关于直线m的对称点，当点三点共线时，直接写出的长． 【详解】（1）解：∵，，，∴； （2）解：如图，点D即为所求；由作图得，， ∵直线l与直线a所成的锐角为，∴∴是等边三角形，∴ ∵，∴；∵∴∴； （3）解：如图，当点F在l右边时， ∵∴∴∴ ∴ ∴， ∵∴∴∴∴； 如图，当点F在l左边时， ∵∴∴∴∴ ∴， ∵∴∴∴∴；综上所述，的长为或； （4）解：如图，过点A作于点G， ∵，∴∴ ∴，∴ 当点在线段上时，过点O作于点H，过点O作于点I，过点E作于点J，如图，作点B关于直线m的对称点，当点三点共线时，∴ ∵，∴∵ ∴∴ 设，∵∴ ∴∴∴ ∵∴∴∴∴； 如图，当点在线段延长线上时，过点O作于点H，过点O作于点I，过点E作于点J，作点B关于直线m的对称点，当点三点共线时，∴ ∵，∴ ∵∴ ∴ 设， ∵∴∴ ∴ ∴∵∴ ∴∴∴；综上所述，的长为或． 题型06 平行线分线段成比例（辅助线问题） 【典例1】（25-26九年级下·山东枣庄·开学考试）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______． 【答案】 【详解】解：取中点，连接，因为是的中线，所以是的中点， 又是的中点，根据三角形中位线定理，，已知，即， 因为，所以，即，因为，所以．故答案为：． 【变式1】（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：如图，过点作交于点， 是的中点，，则， ，，，． 【变式2】（25-26九年级下·山东·自主招生）如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 【答案】3 【详解】解：过点E作，交于点， 在中，∵是的中点，∴，∵是上靠近的三等分点，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【答案】证明：过点C作，交于点M．则，∴． ∵点D为的中点，∴．∴①， ∵，∴，∴②，由①和②可知，． 【变式4】（2026·吉林长春·模拟预测）问题提出： 如图1，在四边形中，，E，F分别为，的中点．求证：． 问题探究：(1)小明同学进行了如下的推理：连结并延长，交的延长线于点G． ，，． 又为的中点，．． 证明过程缺失 请你帮助小明补全上述证明过程 应用：(2)如图2，，点E在线段上且．若，，则线段的长为________． 拓展：(3)如图3，在四边形中，，点F在线段上，且，连结、．若，，与之间的距离为3，则的面积为________． 【答案】(1)证明：，， 点E是的中点，，为的中位线， ，，． （2）解：连结并延长，交的延长线于点M， ，，,，， ，，即，， ，，，， ， ，； （3）解：延长，交的延长线于点M，过点F作，延长交的延长线于点G， ，，，， ,，,，， ，，即，， 与之间的距离为3，，即，，， ，，，与之间的距离为3， ，， ． 题型07 选择或添加条件使得三角形相似 【典例1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，已知和，点在边上，点在边上，边和边交于点．如果．那么添加下列一个条件后，仍无法判定与一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 当时， 则， ，，故A不符合题意； 当，则，即， ，，，， ，，，故B不符合题意； 当，则，，， ，，，，，故C不符合题意； 根据，无法得到与相似，故D符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 【变式2】（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，∴，故不符合题意； ∵，∴， ∵，∴，∴，不符合题意； ∵，∴，∵∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 【变式3】．（25-26九年级上·吉林长春·期中）根据下列条件不能判定和相似的是（    ） A．，，，，， B．，，， C．，，，，， D．，，，，， 【答案】C 【详解】解：A．∵，， ，∴，∴，故A不符合题意； B．∵，，∴，∴，， ∴，故B不符合题意； C．，，，但与的夹角不是，无法满足两边成比例且夹角相等的条件，且只有一角相等，不能判定相似，故C符合题意； D．，，， ∴，且夹角相等，∴ ，故D不符合题意．故选：C． 题型08 相似三角形的三种判定（证明） 【典例1】（25-26九年级上·成都·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：；(2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴； ∵，∴，∵， ∴，∴． （2）解：由（1）得，，∴，； ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴． 【变式1】（2026·成都·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：点是斜边上的中点，，， ，， 又，，； （2）解：点是斜边上的中点，，，， ∵，，即， 解得或不合题意，舍去，的长为． 【变式2】（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由； 【答案】．理由见解析 【详解】．理由如下：，， 四边形是矩形，，，又，． 【变式3】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 【详解】（1）解：若，且，有两个角对应相等，可判定，小星对； 若，且，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定，小红对； 若，且，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明，小亮错； (2)选择小星的方法： ，，有两组角对应相等，； 选择小红的方法： ，，有两组边对应成比例且它们的夹角相等，； （3）解：设，，， ，，， 整理得：，解得：或（舍），． 【变式4】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若．(1)求证：；(2)求的值． 【答案】(1)证明：∵，，∴，，∴， ∵是的中点，∴，∴，∴，∵，∴； （2）解：∵，∴，∵，∴， 设，则，∴，∴． 题型09 相似三角形与动点问题 【典例1】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 【答案】当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似 【详解】解：设运动的时间为秒，则，，， 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：； 综上所述，当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【变式1】（2026·成都·模拟预测）如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 【答案】和 【详解】解：①由题可知，当，,,, ②由题可知，当，,,,故答案为：和． 【变式2】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 【答案】或 【详解】解：设点的运动时间为秒，由题意可得，， ∵是的中点，∴， 当时，,∴，解得， 当时，,∴，解得， 综上可知，点的运动时间为或，故答案为：或 【变式3】（25-26九年级下·山东聊城·开学考试）如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【详解】∵，，∴，∴， 设，则，分两种情况： ①当时，即，解得：； ②当时，即，解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 【变式4】（26-27九年级上·山东·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【详解】解：在矩形中，，∴， 由题意，有，∴， ∴①当时，如答图1，    ，，，，即，解得秒； ②当时，如答图2，    ，，，，即，解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 题型10 相似三角形的性质（角度、长度、坐标、面积等问题） 【典例1】（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，与交于点O．若的面积为，则为________． 【答案】9 【详解】解：四边形为平行四边形，，， ，，．，， ，，． 【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）如图，，相似比为．若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：C． 【变式2】（25-26北京通州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 【答案】 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，∴△BOC∽△AOB，∵点，∴OA=10， ∵，∴，∴AB=2OB，∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中，，即，∴，∴BC=4， ∴点B的坐标为；故答案为． 【变式3】（25-26九年级上·河南郑州·开学考试）已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是____________． 【答案】12 【详解】解：，、是对应角平分线，相似比， 又相似三角形周长之比等于相似比，， 已知周长为16，代入得：，解得：． 【变式4】（25-26九年级上·四川乐山·期末）如图，在和中，． (1)求证：；(2)若，求的长． 【答案】(1)见详解；(2)6 【详解】（1）证明：，，即， 又，； （2）解：由（1）已证：，， ，，， 解得或（不符题意，舍去），则的长为6． 题型11 相似三角形相关的几种实际测量问题 【典例1】（25-26·山东济南九年级月考）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面，同时量得，，则旗杆高度（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， 又，，，，，故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）在凸透镜成像的实验中，我们有时无法直接测量出像的大小，但可以通过数学知识计算出来．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，请你根据以上数据求出像的高是多少厘米？ 【答案】13.5厘米 【详解】解：由题意得，，，，四边形是平行四边形，， ，，，，， ，，，，，像的高是13.5厘米． 【变式2】（25-26重庆·九年级期中）数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树梢影子末端重合于点H，测得米．随后，组员在直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时米．如图，已知，，，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度． 【答案】 【详解】设 ，，，，，， ，， ， 又， 即 ．答：树的高度为米． 【变式3】（2026·陕西·一模）青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离米.已知米，米，米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在上，，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度． 【答案】8.8米 【详解】解：过点D作于点P，交于点N，过点M作于点Q，交于点K， 由题意可得：，米，，米，米． ，，，， ，，，． ，．（米）． 答：这棵樱花树的高度是8.8米． 【变式4】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题．(1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度．(3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析；(2)纪念碑的高度为．(3)小红的结果误差较大，理由见解析 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，，标杆的影子的长和标杆的长相等，即，； （2）解：如图，令与的交点为，则四边形和是矩形， ，，，， 设，则，，， ，，，，解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 题型12 相似三角形的判定综合压轴 【典例1】（2025·四川成都·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】（1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】（2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】（3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）   （2）  （3）或 【详解】解：（1） ∴，由旋转得：， ，，∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：，∴， ∵是中线，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∵，∴是矩形，∴，， ∵，∴，设，∵， ， ∴，，， ，，∴， ，由勾股定理得：，即解得，； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ，∴四边形是矩形，， 设，∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ，即 ，，中，， ，解得：(负值舍)， ∵， 即 ，； ②如图，，过点作于，， ∴四边形是矩形，，，， 由勾股定理得：；综上，的长是或． 【变式1】（2025·四川成都·校考二模）如图，点O是等腰的斜边的中点，，，连接，以为直角边，作等腰，其中，连接，求四边形面积的最大值为________． 【答案】50+10 【详解】解：如图，连接，过点作于， ，，， ，，，， ，，，，， 当的面积有最大值时，的面积有最大值，即四边形面积有最大值， 点是的中点，∴，∵，∴， ∴，∴，∴点H是的中点， 是的中位线，， ，当点，点，点三点共线时，的面积有最大值， 的面积最大值， 的面积最大值为， 四边形面积的最大值，故答案为：． 【变式2】（2025·四川成都·一模）如图，在中，，点D为的中点，将沿翻折得到，连接，若，，则的长为_________． 【答案】9 【详解】解：如图：连接，延长交于点H，作交的延长线于点F，则． ∵点D为的中点∴．∵将沿翻折得到，连接， ∴，点E与点A关于直线对称． ∴，垂直平分． ∵，∴， ∴，∴．∴， ∵，∴．∵，∴． 设，则．∴． ∵，且，∴．整理得：， ∴，∴，即， 解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）， ∴，∴．故答案为：9． 【变式3】（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    【答案】 【详解】解：连接，过E作于F，设，，    ∵，为中点，∴，又， ∴，，，∴，， ∵，∴，则，又， ∴，∴，， ∴，则； ∵是的一条角平分线，∴，又， ∴，∴∴，则， ∴，即，解得（负值已舍去），故答案为：． 【变式4】（2025·贵州遵义·一模）中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． (1)如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； (2)如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； (3)若，试探究，的数量关系． 【详解】（1）解∶ 连接，∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵，∴，∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵，点E是的中点，，∴，∴， 又，∴； (2)证明 ∶连接，∵，，点D是的中点， ∴，，，∴，， ∵，∴，∴，∴， 在和中，∴，∴； (3)，理由如下：当点D在上时，如图，过D作交于G， ∴，∴，， ∵，，点D是的中点，∴，∴，∴， ∵，∴，即，∴， ∴，∴，∵，∴，∴； 当点D在AB延长线上时，如图，过D作交延长线于H， ∴，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，即，∴， ∴，∴，∵，∴，∴； 综上所述，，的数量关系是． 题型13 相似多边形中的新定义问题 【典例1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）我们规定：若一条线段的两个端点都在一个三角形的边上（不与端点重合），且这条线段截得的小三角形与原三角形相似，相似比为，则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线”．(1)等边三角形的“半似位线”的条数为_____条． (2)一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是________． (3)若一个三角形的三边长之比为，则这个三角形的“半似位线”的条数为_______条． (4)如图，在中，，，．点从点出发，以每秒5个单位长度的速度，沿向终点运动；在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿折线向终点运动．设运动时间为秒． ①用含的代数式表示的长为_______．②当为的“半似位线”时，直接写出的值． 【答案】(1)3条(2)(3)4条(4)①；②或4或或12 【详解】（1）解：如图，在等边中，取各边中点，连接，，． ∵点分别是，的中点，∴，， ∴，相似比为，∴是等边三角形的“半似位线”． 同理可得，是等边三角形的“半似位线”． ∴等边三角形的“半似位线”的条数为3条．故答案为：3． （2）解：如图，是的“半似位线”， ∴，且相似比为，∴，∴， ∴一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是．故答案为：． （3）解：∵一个三角形的三边长之比为，∴如图，不妨设，，（） 取各边的中点，连接，，，∴，， ∴，且相似比为，∴是的 “半似位线”， 同理可得，，是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且，则 ∴，，此时，点G与点A重合， 不符合“半似位线”的定义，即不是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且，则 ∴，此时，点N不在边上， 不符合“半似位线”的定义，即不是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且，则 ∴，， 符合“半似位线”的定义，即是的 “半似位线”． 综上所述，这个三角形的“半似位线”的条数为4条．故答案为：4． （4）解：①当运动t秒时，，∴．故答案为：． ②∵在中，，，∴． （Ⅰ）当点P在上，点Q在上时，， 若为的“半似位线”时，则或， 当，则，∴， ，∴，解得． 当，则，∴，， ∴，解得． （Ⅱ）当点P在上，点Q在上时，，， 若为的“半似位线”时，则或， 当，则，∴，， ∴，解得． 当，则，∴，， ∴，解得．综上所述，a的值为或4或或12． 【变式1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”：设，，则， ∵，∴，即．∴． ∴，（负数不合题意，舍去）．∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设，，则，∵，∴，即， ∴， ∴，（负数不合题意，舍去），∴白银比率为：； （2）设正方形的边长为，则， ∵矩形是“白银矩形”，由（1）得白银比率为， ∴，则，解得，∴正方形的边长为． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）定义：如图，若点在三角形的一条边上，且过点和三角形一个顶点的直线将三角形分成两个三角形，若其中一个三角形与原三角形相似，则称点为这个三角形的“理想点”． (1)如图，若点是的边的中点，，，试判断点是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图，在中，，，，若点是的“理想点”，直接写出的长___________． 【答案】(1)解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，，，， ，，，， ，，点是的“理想点”； （2）解： 在中，，，，， 在上时，如图：是的“理想点”，要使得过点和三角形一个顶点的直线将三角形分成的两个三角形中的其中一个三角形与原三角形相似，或， 当时，，，，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， ，； ，，有，“理想点”不可能在边上， 在边上时，如图：是的“理想点”，要使得过点和三角形一个顶点的直线将三角形分成的两个三角形中的其中一个三角形与原三角形相似，， 又， （符合题意），，即，． 综上所述，点是的“理想点”，的长为或．答：或． 【变式3】（26-27九年级上·成都·课后作业）如图1，点C将线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线． (1)如图2，在中，，，的平分线交于点D，请问点D是否是边上的黄金分割点，并证明你的结论； (2)若在（1）的条件下，如图3，请问直线是不是的黄金分割线，并证明你的结论． 【答案】(1)点是边上的黄金分割点． 理由如下：，，． 平分，，，． ，，，， 在与中，，，， ，，点是边上的黄金分割点． (2)直线是的黄金分割线． 理由如下：设中，边上的高为，则，，， ，， 由（1）知，点是边上的黄金分割点，，， 是的黄金分割线． 题型14 位似图形相关概念与识别 【典例1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）下列三个关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；其中正确命题的序号是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误； 位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，故②正确； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故③正确；位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误； 正确答案为：②③故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江苏·课后作业）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【答案】 【详解】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点．故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·山东·期中）下列说法正确的是（　　） A．相似两个五边形一定是位似图形 B．两个大小不同的正三角形一定是位似图形 C．两个位似图形一定是相似图形 D．所有的正方形都是位似图形 【答案】C 【详解】A. 相似两个五边形不一定是位似图形,位似图形一定相似,但相似图形不一定位似, 故错误, B. 两个大小不同的正三角形不一定是位似图形,要看是否能找到位似中心,故错误, C. 两个位似图形一定是相似图形,正确, D. 所有的正方形都是位似图形,错误,因为不一定找到位似中心,故选C. 题型15 求位似图形的对应坐标及位似中心的坐标 【典例1】（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的周长是矩形周长的，则点B的对应点的坐标是______． 【答案】或 【详解】解：∵矩形与矩形位似，∴， ∵矩矩形的周长是矩形周长的，∴矩形与矩形的相似比为， ∵矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，， ∴，如图： ∴点的坐标为或，即或．故答案为：或． 【变式1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】与是位似图形，位似中心为坐标原点，点的对应点为， 位似比为，点的对应点为点， ，，点的坐标为． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，以点A为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：取的中点F，设，则，把按相似比放大， ，，，，解得故； 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是2，则点B的横坐标是________． 【答案】 【详解】解：设点B的横坐标是，根据题意，得，解得．故答案为：． 【变式4】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，正方形和正方形是位似形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解： ①当点的对应点为点时，如图， ∵四边形是正方形，又∵点C的坐标为，∴， ∴点的坐标为，设直线的解析式为， 将，代入，得，，解得， ∴直线的解析式为，同理直线的解析式为， 联立直线与直线，得，，解得，∴位似中心的坐标为； ②当点的对应点为点时，如图， 对应点的连线所在的直线未交于同一个点，不满足位似形的性质，故舍去； ③当点的对应点为点时，如图，设直线的解析式为， 将，代入，得，，解得， ∴直线的解析式为，将代入，得， ，解得，∴位似中心的坐标为； ④当点的对应点为点时，如图， 对应点的连线所在的直线未交于同一个点，不满足位似形的性质，故舍去； 综上所述，位似中心的坐标为或 题型16 运用位似的性质求值（长度、周长、面积等） 【典例1】（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．8 【答案】A 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，，∴， 又∵，∴，∴， ∵的面积为8，∴的面积为，故选：A． 【变式1】（2026·江苏泰州·校考二模）如图，矩形与矩形关于点O位似，则点O、B与点______共线，（填“一定”或“一定不”或“不一定”） 【答案】一定 【详解】解：矩形与矩形关于点O位似， 点O、B与点一定共线，故答案为：一定． 【变式2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 【答案】 【详解】解：∵和是以点A为位似中心的位似图形，且位似比是， ∴，∴，． ∵，正方形的边长为1，∴，∴． ∵∴， ∴，即，解得． 【变式3】（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图，已知五边形，以点为位似中心画出五边形，使五边形与五边形位似，相似比为．若五边形的周长为，则五边形的周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】解：设五边形的周长为， ∵五边形，以点为位似中心画出五边形，相似比为，∴，即，故选：D． 【变式4】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，则的重心坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵重心是三角形三条中线的交点， 如图，取边上的中点C，连接，取边上的中点D，连接，，且，交于点G，点G即为的重心， ∵点C是边上的中点，点D是边上的中点，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵将放大为原来的2倍，得到， ∴当在第二象限时，；当在第四象限时，；故选：D． 题型17 位似图形的相关作图问题 【典例1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 【答案】(1)如图，即为所求 （2）解：∵将放大2倍得到，∴与的相似比为， ∴与的周长之比为； (3)如图，点即为所求，理由如下： 取格点E、F，连接，交于点M， ∵，∴，∴，∴点即为所求． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）如图所示，小华在学习“位似”时，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图①中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由），点M的坐标为 ；(2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图②中给定的网格内画出． 【详解】（1）解：连接，交点即为点，点的坐标为；故答案为：； 如图，点即为所求作， (2)当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 【变式2】（2026·安徽合肥·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出的重心G，并写出重心G的坐标；(2)以原点O为位似中心，将按位似比将放大得到并画出其图形；(3)填空：的面积为_________． 【答案】(1)图见解析，重心G的坐标为(2)图见解析(3)12 【详解】（1）解：如图，连接三条边的中线交于点G，设重心G的坐标为， 则 ， ； （2）解：由A，B，C的坐标分别为，，可得： 以原点O为位似中心，按位似比放大得到的坐标分别为，，，如图，在平面直角坐标系中顺次连接这三个点即可得到； （3）解：方法一：利用位似图形的面积等于位似比的平方， ，； 方法二：直接计算，． 【变式3】（2026·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，． (1)画出线段；(2)将线段向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段；(3)以O为位似中心，在第三象限内把线段缩小到原来的一半，得到线段，画出线段． 【答案】(1)线段如图所示；(2)线段如图所示；(3)线段如图所示． 【变式4】（2026·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出；(2)设与的周长分别为、，则________． 【答案】(1)如图， 即为所求， （2）解：以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的得到． ，相似比为，即周长比为． 1.（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【详解】解：∵选项A中，，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 2.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点E，∴，∴； ∵A点坐标为，B点坐标为，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，∴； ∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且， ∴位似比为，又∵正方形在第三象限，∴点的坐标为，即． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图，已知弦，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦上一点，过点P作射线，交弦于点A，交弦于点E．若，则______． 【答案】6 【详解】解：∵，且相邻两弦之间的距离相等， ∴，∵，∴，∴．故答案为：6． 4．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）已知 ，则k的值为_______． 【答案】或 【详解】解：∵，∴都不为0，∴， 三个式子相加得，则， 当时，∴， 当时，则∴ 综上所述，的值为或．故答案为：或． 5.（2025·成都·一模）如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体AH到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为_____． 【答案】 【详解】解：如图所示，由题意得， ∵，∴，∴，∴， ∵光屏上显示的缩小的实像高，由题意可得，， ∴.即物体的高为，故答案为：． 6．（26-27九年级下·成都·单元复习）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E．(1)如图1，若四边形是正方形，求的长；(2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】(1)(2)， 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，，，，即，； （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，设则，                                     即，解得，，． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________；(2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【详解】（1）解：根据题意得：，∴，∴； (2)①如图，即为所求； 证明：根据网格可得：，∴，∴； ②如图，即为所求 ∵，，， ，，， ∴，，，∴，∴． 8．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，；(2)与的面积比为________．(3)的面积是________． 【答案】(1)如图，即为所求； （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为； （3）解：的面积是． 9．（2025·四川成都·模拟预测）如图，点C是与的公共顶点，且，有下列3个条件：①；②；③． (1)请在上述条件中选择一个条件来证明，并写出证明过程． (2)在（1）的结论下，若，求的长． 【答案】(1)选择①或③均正确，证明见解析(2) 【详解】（1）解：选择①或③均正确． 选择①证明如下：∵，， ∵，∴，即，∴； 选择③证明如下：∵，∴，又∵，∴； （2）解：由（1）得，， 又∵，∴，， 又∵，，． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：；(2)若，求的长． 【答案】(1)，， ，， ，是的中线，，，， 又，． （2）解：在中，根据勾股定理，得，即，， 由（1）知：，，，． 是的中线，，．    ，， ，，． 1．（25-26九年级上·四川巴中·开学考试）如图，已知△和△都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵△和△都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，∴，∴，， ∴∴，过点作交于点G，∴， ∴，∴是等边三角形，∴，     ∵，∴，∴，∴，即． 2．（22-23九年级下·广东湛江·自主招生）正五边形的对角线构成的图形是一个非常优美的几何图形，它与黄金分割有着密切的联系，正五边形的对角线构成的图形如图所示，下列关系中正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由正五边形的内角和得到，，，∴同理可得， ∴，故选项A错误， ∵，∴ ∴，∴，即， ∵，∴， ∴，∴，设，则， ∴，∴∴解得（负值已舍去） ∴    ，故D正确； 中，，，，∴， 作的角平分线交于点M，则，∴ 又∴，∴，设，则，， ∴，解得，∴，故B选项错误， 在中，，,∴，∴ ∴，故C错误． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， 在中，∵，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，即，解得． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，是边上的高，点是上一点，且，连接并延长交于点，已知，，则__________． 【答案】 【详解】解：∵，，，∴，∴， 过点作，交于点，连接， 根据平行线分线段成比例可知，， ∴，，∴， ∴，即， ∵，在上，与面积比等于， ∴， ∵在上，与同高，面积比等于底之比，∴． 5．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：四边形为平行四边形，，，，， ，，，设，则，， ，， ，解得，即．故答案为：． 6．（25-26河北·九年级课时练习）如图，小明同学为了测量路灯的高度，先将长的竹竿竖直立在水平地面上的处，测得竹竿的影长，然后将竹竿向远离路灯的方向移动到处，即，测得竹竿的影长（、为竹竿）．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为7m 【详解】解：由已知得，m，m，m，m， ，，， ∴在和中，，∴∽ ∴，即，∴， 在和中，∴∽，∴，即， ∴，∴，， ∴，，即路灯的高度为． 7．（25-26九年级上·山东德州·期末）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)作出绕点逆时针旋转的三角形，并写出对应点、、的坐标．（    ）（    ）（    ） (2)在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． (3)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (4)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1)如图所示，即为所求，点、、的坐标分别为：、、； (2)位似中心的位置如图所示，点的坐标为； (3)如图所示，即为所求， （4）解：与的位似比为； 的内部一点的坐标为在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 【详解】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵，∴，又∵对应点和对应点的连线交于点， ∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为；综上，只有选项C的说法不正确，符合题意，故选：C； (3)如图，矩形即为所求 由作图可知：， ∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为． 9．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． (1)求证：；(2)若，求的长度；(3)当时，求的比值． 【答案】(1)证明：∵直角三角形的斜边为，， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴． （2）解：如图，作，垂足为G，设， 在直角中， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，即 ∴，，在直角中，，， ∴，由勾股定理得，， ∵，∴，解得，，∴； （3）解：如图，作，垂足为H，设， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，∴，， ∵，∴，∴， 由（1）可知，，∴，， ∴，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴，即， ∴解得，，∴，∵， ∴，∴． 10．（25-26九年级上·河北保定·期末）【初步探索】 (1)如图1，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：； 【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图2所示．(2)当的面积达到最大时，的度数为__________ (3)根据图2，求证：；(4)根据图2，求的度数； 【类比应用】(5)如图3，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析(4)(5) 【详解】（1）∵、，∴， 又∵，∴，∴． （2）∵一定，，因此当最大时，的面积最大，由题意得时，取最大值，此时的面积最大，∴, ∵，，∴， ∴旋转角，故答案为：． （3）∵、、，∴， ∴，∴，∴即． ∵，，∴． （4）∵，∴， ∴， 即的度数为115°． （5）连接，．如图， 在和中，由勾股定理,， ∴，，∴， ∴，即． 又∵，∴，∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似 复习讲义 教学目标 1、理解相似图形、成比例线段、相似多边形、相似比、位似多边形等概念；掌握比例基本性质、合比性质、等比性质，会进行比例线段计算。 2、掌握平行线分线段成比例定理及其三角形推论，能利用定理列线段比例式计算。 3、掌握三角形相似判定：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例；了解判定定理证明过程，能规范完成简单相似证明推理。 4、掌握相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例；对应高、中线、角平分线、周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方，能完成边长、周长、面积综合计算。 5、理解位似概念与性质，能在平面直角坐标系中做位似缩放；会利用相似三角形模型测量高度、距离等实际问题。 6、类比全等三角形的研究思路探究相似，经历观察 — 猜想 — 验证 — 证明的几何探究流程，发展合情推理与演绎推理能力。养成严谨书写推理步骤的习惯，相似书写严格对齐对应顶点，提升几何表达规范性。 7、能从现实情境、几何图形中抽象相似模型，体会类比、模型、转化思想；通过测量高度实践活动，体会把实际问题转化几何问题的建模过程。感受相似在地图、摄影、缩放制图中的应用价值，体会几何变换的意义。 教学 重难点 1. 重点 （1）成比例线段、比例的性质；平行线分线段成比例定理及其推论的运用。 （2）相似多边形概念与性质；三角形相似三大判定定理，会灵活选择判定方法证明相似。 （3）相似三角形性质，重点区分：线段类（高线、中线、角平分线、周长）比 = 相似比；面积比 = 相似比的平方。 （4）利用相似三角形解决几何计算、简单证明、测高实际应用题。 （5）位似图形概念、性质，坐标系下位似图形坐标变化规律。 2. 难点 （1）找准对应边、对应角：相似符号书写顶点对应，相似比具有顺序性。 （2）面积比与相似比的平方关系，已知面积比反求相似比。 （3）相似三角形判定定理的证明，辅助线构造思路理解。 （4）无明确对应关系的相似问题（动点相似、存在性问题），需要分类讨论，容易漏解。 知识点01 相似多边形 1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比。 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。 3．比例的基本性质： （1）如果那么ad=bc。 （2）等比性质：如果（b+d+……+n≠0），那么 4.相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）。 它的符号是“∽”，读作“相似于”。 切记：写法与全等类似，对应字母要写在对应的位置上。 相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比；根据比的性质，也可得到周长比等于相似比。 知识点02 探索三角形相似的条件 1、相似三角形的定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形（similar triangles）。 2、相似三角形的判定 判定1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 3、黄金分割定义： 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段（如下图），如果，那么线段AB被点C黄金分割（golden section），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 知识点03 相似三角形判定定理的证明 1.平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 3.相似三角形的判定定理是通过构造辅助线（平行线）再利用平行线分线段成比例线段的性质证明的。 知识点04 相似三角形的性质 相似三角形的性质 1）对应角相等，对应边的比相等； 2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 知识点05 图形的位似 1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P′所在的直线都经过同一个点O，且OP′=k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫作位似多边形（homothetic polygons），点O叫做位似中心（homothetic enter）。实际上，k就是这两个相似多边形的位似比。 注意：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。 2、位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行。 3、坐标系中的位似图形 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|。 知识点06 利用相似三角形测高 1.测量高度：测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1）如甲图所示，通常先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），由相似三角形的性质，求出AB。 2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长。 注意：1）太阳光近似看成平行光线。在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； 2）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； 3）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 题型01 比例的相关概念与运用 【典例1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列线段、、、不是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1】（25-26九年级上·广东清远·期末）若是成比例线段，其中，则线段b的长为(    ) A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知：，且． (1)求a、b、c的值；(2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 题型02 比例的基本性质与运用 【典例1】（25-26九年级上·广西百色·期中）将等式化成以为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·江西抚州·期末）已知，，则________． 【变式2】（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）若，则是否成立？______（填“是”或“否”）． 【变式3】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）已知，，满足，求的值． 【变式4】（25-26九年级上·湖南怀化·期中）已知： (1)求k的值；(2)则直线一定经过第_____． 题型03 相似多边形的性质与判定 【典例1】（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·甘肃白银·一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）若五边形与五边形相似，其中与，与为对应边，且，则__________ ． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26九年级下·成都·期中）如图所示，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为______． 题型04 黄金分割相关问题 【典例1】（24-25九年级上·四川成都·期末）2024年，四川天府新区美术馆入选法国凡尔赛建筑奖《2024全球最美七大博物馆》．我们知道在美术作品中常常会运用“黄金分割”，以突出画面焦点，如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则的长为______．（结果保留根号）    【变式1】（2025·成都·二模）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 【变式3】（2026·山东济南·二模）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为_______分米（结果保留根号）． 题型05 平行线分线段成比例相关运算与证明 【典例1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为_____． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，直线，直线相交于点E，若，则线段的长为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式3】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图所示是一张仿古信笺，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·吉林长春·模拟预测）如图①，直线，直线l和m被这组平行线所截，两直线相交于点O，直线l和m与直线a、b、c分别交于A、B、C、D、E、F．点D是直线a上的动点，已知，，直线l与直线a所成的锐角为． (1)求的值．(2)用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点D，使．(3)当时，求的长．(4)作点B关于直线m的对称点，当点三点共线时，直接写出的长． 题型06 平行线分线段成比例（辅助线问题） 【典例1】（25-26九年级下·山东枣庄·开学考试）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______． 【变式1】（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（25-26九年级下·山东·自主招生）如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【变式4】（2026·吉林长春·模拟预测）问题提出： 如图1，在四边形中，，E，F分别为，的中点．求证：． 问题探究：(1)小明同学进行了如下的推理：连结并延长，交的延长线于点G． ，，． 又为的中点，．． 证明过程缺失 请你帮助小明补全上述证明过程 应用：(2)如图2，，点E在线段上且．若，，则线段的长为________． 拓展：(3)如图3，在四边形中，，点F在线段上，且，连结、．若，，与之间的距离为3，则的面积为________． 题型07 选择或添加条件使得三角形相似 【典例1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，已知和，点在边上，点在边上，边和边交于点．如果．那么添加下列一个条件后，仍无法判定与一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26九年级上·吉林长春·期中）根据下列条件不能判定和相似的是（    ） A．，，，，， B．，，， C．，，，，， D．，，，，， 题型08 相似三角形的三种判定（证明） 【典例1】（25-26九年级上·成都·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：；(2)如果，求证：． 【变式1】（2026·成都·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由； 【变式3】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 【变式4】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若．(1)求证：；(2)求的值． 题型09 相似三角形与动点问题 【典例1】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 【变式1】（2026·成都·模拟预测）如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 【变式2】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 【变式3】（25-26九年级下·山东聊城·开学考试）如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【变式4】（26-27九年级上·山东·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 题型10 相似三角形的性质（角度、长度、坐标、面积等问题） 【典例1】（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，与交于点O．若的面积为，则为________． 【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）如图，，相似比为．若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26北京通州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 【变式3】（25-26九年级上·河南郑州·开学考试）已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是____________． 【变式4】（25-26九年级上·四川乐山·期末）如图，在和中，． (1)求证：；(2)若，求的长． 题型11 相似三角形相关的几种实际测量问题 【典例1】（25-26·山东济南九年级月考）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面，同时量得，，则旗杆高度（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）在凸透镜成像的实验中，我们有时无法直接测量出像的大小，但可以通过数学知识计算出来．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，请你根据以上数据求出像的高是多少厘米？ 【变式2】（25-26重庆·九年级期中）数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树梢影子末端重合于点H，测得米．随后，组员在直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时米．如图，已知，，，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度． 【变式3】（2026·陕西·一模）青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离米.已知米，米，米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在上，，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度． 【变式4】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题．(1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度．(3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 题型12 相似三角形的判定综合压轴 【典例1】（2025·四川成都·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】（1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】（2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】（3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【变式1】（2025·四川成都·校考二模）如图，点O是等腰的斜边的中点，，，连接，以为直角边，作等腰，其中，连接，求四边形面积的最大值为________． 【变式2】（2025·四川成都·一模）如图，在中，，点D为的中点，将沿翻折得到，连接，若，，则的长为_________． 【变式3】（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    【变式4】（2025·贵州遵义·一模）中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． (1)如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； (2)如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； (3)若，试探究，的数量关系． 题型13 相似多边形中的新定义问题 【典例1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）我们规定：若一条线段的两个端点都在一个三角形的边上（不与端点重合），且这条线段截得的小三角形与原三角形相似，相似比为，则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线”．(1)等边三角形的“半似位线”的条数为_____条． (2)一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是________． (3)若一个三角形的三边长之比为，则这个三角形的“半似位线”的条数为_______条． (4)如图，在中，，，．点从点出发，以每秒5个单位长度的速度，沿向终点运动；在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿折线向终点运动．设运动时间为秒． ①用含的代数式表示的长为_______．②当为的“半似位线”时，直接写出的值． 【变式1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”：设，，则， ∵，∴，即．∴． ∴，（负数不合题意，舍去）．∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）定义：如图，若点在三角形的一条边上，且过点和三角形一个顶点的直线将三角形分成两个三角形，若其中一个三角形与原三角形相似，则称点为这个三角形的“理想点”． (1)如图，若点是的边的中点，，，试判断点是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图，在中，，，，若点是的“理想点”，直接写出的长___________． 【变式3】（26-27九年级上·成都·课后作业）如图1，点C将线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线． (1)如图2，在中，，，的平分线交于点D，请问点D是否是边上的黄金分割点，并证明你的结论； (2)若在（1）的条件下，如图3，请问直线是不是的黄金分割线，并证明你的结论． 题型14 位似图形相关概念与识别 【典例1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）下列三个关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；其中正确命题的序号是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式2】（25-26九年级上·江苏·课后作业）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【变式3】（25-26九年级上·山东·期中）下列说法正确的是（　　） A．相似两个五边形一定是位似图形 B．两个大小不同的正三角形一定是位似图形 C．两个位似图形一定是相似图形 D．所有的正方形都是位似图形 题型15 求位似图形的对应坐标及位似中心的坐标 【典例1】（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的周长是矩形周长的，则点B的对应点的坐标是______． 【变式1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，以点A为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是2，则点B的横坐标是________． 【变式4】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，正方形和正方形是位似形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是（   ）． A． B． C．或 D．或 题型16 运用位似的性质求值（长度、周长、面积等） 【典例1】（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．8 【变式1】（2026·江苏泰州·校考二模）如图，矩形与矩形关于点O位似，则点O、B与点______共线，（填“一定”或“一定不”或“不一定”） 【变式2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 【变式3】（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图，已知五边形，以点为位似中心画出五边形，使五边形与五边形位似，相似比为．若五边形的周长为，则五边形的周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式4】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，则的重心坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型17 位似图形的相关作图问题 【典例1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）如图所示，小华在学习“位似”时，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图①中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由），点M的坐标为 ；(2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图②中给定的网格内画出． 【变式2】（2026·安徽合肥·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出的重心G，并写出重心G的坐标；(2)以原点O为位似中心，将按位似比将放大得到并画出其图形；(3)填空：的面积为_________． 【变式3】（2026·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，． (1)画出线段；(2)将线段向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段；(3)以O为位似中心，在第三象限内把线段缩小到原来的一半，得到线段，画出线段． 【变式4】（2026·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．(1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出；(2)设与的周长分别为、，则________． 1.（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 2.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图，已知弦，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦上一点，过点P作射线，交弦于点A，交弦于点E．若，则______． 4．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）已知 ，则k的值为_______． 5.（2025·成都·一模）如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体AH到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为_____． 6．（26-27九年级下·成都·单元复习）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E．(1)如图1，若四边形是正方形，求的长；(2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________；(2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 8．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，；(2)与的面积比为________．(3)的面积是________． 9．（2025·四川成都·模拟预测）如图，点C是与的公共顶点，且，有下列3个条件：①；②；③． (1)请在上述条件中选择一个条件来证明，并写出证明过程． (2)在（1）的结论下，若，求的长． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：；(2)若，求的长． 1．（25-26九年级上·四川巴中·开学考试）如图，已知△和△都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·广东湛江·自主招生）正五边形的对角线构成的图形是一个非常优美的几何图形，它与黄金分割有着密切的联系，正五边形的对角线构成的图形如图所示，下列关系中正确的是（     ）    A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，是边上的高，点是上一点，且，连接并延长交于点，已知，，则__________． 5．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 6．（25-26河北·九年级课时练习）如图，小明同学为了测量路灯的高度，先将长的竹竿竖直立在水平地面上的处，测得竹竿的影长，然后将竹竿向远离路灯的方向移动到处，即，测得竹竿的影长（、为竹竿）．求路灯的高度． 7．（25-26九年级上·山东德州·期末）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)作出绕点逆时针旋转的三角形，并写出对应点、、的坐标．（    ）（    ）（    ） (2)在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． (3)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (4)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 8．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 9．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． (1)求证：；(2)若，求的长度；(3)当时，求的比值． 10．（25-26九年级上·河北保定·期末）【初步探索】 (1)如图1，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：； 【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图2所示．(2)当的面积达到最大时，的度数为__________ (3)根据图2，求证：；(4)根据图2，求的度数； 【类比应用】(5)如图3，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 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