5.4 正方形-【一战成名新中考】2025江西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·江西数学 　 第 五 章 四 边 形 命题点 4　 正方形(含中点四边形) (必考) 　 考向 1　 正方形的性质(每年 1 道涉及考查) 第 1 题图 1.[北师九上 P21 第 1 题改编]如 图,在正方形 ABCD 中,O 是 BD 的中点,过点 O 作 OE⊥ CD 于点 E,则∠BOE 的度数为 ( B ) A.120°　 　 B.135°　 　 C.145°　 　 D.150° 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 拓展练思维 [拓展 1-1]若 OE= 3,则点 O 到 AD 的距离 为　 　 　 ,正方形 ABCD 的周长为 　 . [拓展 1-2]若△ODE 的面积为 2,则正方 形 ABCD 的面积为　 　 　 　 . [拓展 1-3]若 OD = 3,则正方形 ABCD 的 面积为　 　 　 　 . 2.[2023 宁夏]如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 在 AD 上,连接 EB,EC.则图中阴影部 分的面积是　 　 　 　 . 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3.[人教八下 P67 第 1 题图改编] 如图,在正方形 ABCD 外侧作等边三角形 CDE,则∠DAE 的度 数为 ( C ) A.10° B.12.5° C.15° D.20° 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 变式组合练 [变式 3-1]如图,点 P 是正方形 ABCD 内 一点,连接 AP,BP,CP.若△APB 是等边三 角形,则∠BPC 的度数为 ( D ) A. 15°　 　 B. 30°　 　 C. 45°　 　 D. 75° 变式 3-1 题图 　 　 　 　 　 变式 3-2 题图 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 [变式 3 - 2]较难 ∙∙ 　 如图,已知 AB⊥BC, AB=BC=AE,若∠BAE = 30°,则∠C 的度数 是　 　 　 　 . 4.多解法 ∙∙∙ 　 [2024 福建]如图,正方形 ABCD 的面积 为 4,点 E,F,G,H 分别为边 AB,BC,CD,AD 的 中点,则四边形 EFGH 的面积为　 　 　 　 . 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 5.[2024 北京]如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在 AB 上,AF⊥DE 于点 F,CG⊥DE 于点 G.若 AD = 5, CG= 4,则△AEF 的面积为　 　 　 　 . 考向 2　 正方形的判定 6.[2024 龙东]如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC, BD 相交于点 O,请添加一个条件 　 , 使得菱形 ABCD 为正方形. 第 6 题图 7.如图,将长方形纸片折叠,使点 A 落在 BC 上的 点 F 处,折痕为 BE,若沿 EF 剪下,则折叠部分 是一个正方形,其数学原理是 ( A ) 第 7 题图 A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 57 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 班级: 　 　 姓名: 　 　 学号: 　 　 日期: 分层作业本·江西数学 　 第 五 章 四 边 形 8.如图,已知矩形 ABCD,AE 平分∠DAB 交 DC 的 延长线于点 E,过点 E 作 EF⊥AB,交 AB 的延 长线于点 F,求证:四边形 ADEF 是正方形. 第 8 题图 证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠D=∠DAB=90°, ∵AE 平分∠DAB,∴∠EAF=45°, ∵EF⊥AB, ∴∠D=∠DAF=∠F=90°, ∴四边形 ADEF 是矩形, ∵∠EAF=45°,∴∠EAF=∠AEF=45°, ∴AF=EF,∴矩形 ADEF 是正方形. 9.如图,在平行四边形 ABCD 中,∠BAC = 90°, AB=AC,过点 A 作 AF⊥BC,交 DC 的延长线于 点 E,连接 BE,DF,DF 交 AC 于点 O. (1)求证:四边形 ABEC 是正方形; (2)若 OC= 2,求 BC·DE 的值. 第 9 题图 (1)证明:∵AB=AC,AF ⊥BC,∴BF=CF, ∵四边形 ABCD 是平行 四边形, ∴AB∥DE, ∴∠BAF=∠CEF, 在△ABF 与△ECF 中, ∠BAF=∠CEF, ∠AFB=∠EFC, BF=CF, ì î í ï ï ï ï (2)解:由(1)可知 BF=CF,∴CF= 1 2 BC, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC, ∴△COF∽△AOD,∴OC OA =CF AD =CF BC ,即 2 OA = 1 2 , ∴OA=4,∴AC=6, ∵∠BAC=90°,AB=AC,∴BC= 2AC=6 2 , 由(1)可知 AB=EC, ∴DE=2AB=2AC=12, ∴BC·DE=6 2 ×12=72 2 . 考向 3　 中点四边形(2017.6) 10.[2017 江西 6 题 3 分]如图,任意四边形ABCD中, E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 上的点,对于 四边形 EFGH 的形状,某班学生在一次数学活 动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中 错误 ∙∙ 的是 ( D ) A. 当 E,F,G,H 是各边中点,且 AC=BD 时,四 边形 EFGH 为菱形 B. 当 E,F,G,H 是各边中点,且 AC⊥BD 时, 四边形 EFGH 为矩形 C. 当 E,F,G,H 不是各边中点时,四边形 EFGH 可以为平行四边形 D. 当 E,F,G,H 不是各边中点时,四边形 EFGH 不可能为菱形 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 11.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC⊥BD,垂 足为 O,点 E,F,G,H 分别为边 AD,AB,BC,CD 的中点.若 AC= 8,BD= 6,则四边形 EFGH 的面 积为 ( D ) A.48 B.24 C.32 D.12 　 12.如图,在正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中,点 G 在 CD 上,BC= 4,CE= 2,H 是 AF 的中点,那么 CH 的长为 ( A ) A. 10 B.2 10 C.3 7 D. 7 第 12 题图 　 　 　 第 13 题图 13. 分类讨论 如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在对 角线 BD 上,∠AEB= 105°,点 P 在正方形的边 上,若 AE=EP,则∠AEP 的度数为　 　 　 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 1.本章更多优质大题见本册 P106 ~ 110 第 8 ~ 12 题. 2.特殊四边形的性质与判定加练扫描目录首页二 维码,一键下载. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 67 分层作业本·江西数学 分 层 作 业 本 OD,∵ AE⊥BC,∴ ∠AEC = 90°,∴ AC = 2OE = 8,∵ 1 2 AC·BD = 80,∴ BD= 20,∴ OB= 1 2 BD= 10. 第 5 题解图 5.2 3 　 【解析】如解图,连接 BD 交 AC 于点 O,则 AO= CO,BO =OD,∵ 四边 形 ABCD 是菱形, ∴ AD = AB = CD, ∠DAC= ∠BAC = ∠DCA = ∠BCA,AC ⊥BD,∵ ∠DAB = 60°,∴ △ABD 是等 边三角形,∠DAC =∠BAC =∠DCA = ∠BCA= 30°,∴ BD = AB = 6 cm,∴ BO = 1 2 BD = 3( cm),∴ AO = AB2-BO2 = 3 3 (cm),∴ AC = 2AO = 6 3 (cm),∵ BE⊥AB,DF ⊥CD,∴ ∠CDF=∠ABE = 90°,又∵ CD = AB,∠DCF =∠BAE,∴ △CDF≌△ABE(ASA),∴ AE = CF,∵ CF = AE = AB cos30° = 6 3 2 = 4 3 (cm),∴ EF=AE+CF-AC= 2 3 (cm) . 6.60　 【解析】∵ 菱形是中心对称图形,∴ 由题图得,阴影部分的 面积等于菱形面积的一半,∵ 菱形的两条对角线的长分别为 10 和 24,∴ 菱形的面积为 1 2 ×10×24=120,∴ 阴影部分的面积为 60. 7.C 8.D　 【解析】如解图,共有 5 个. 第 8 题解图 9.解:赞成小洁的说法;补充条件:OA=OC; 证明:∵ OA=OC,OB=OD, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形, 又∵ AC⊥BD,∴ 四边形 ABCD 是菱形. (其他补充条件合理亦可) 10.(1)证明:∵ 四边形 ABCD 为矩形, ∴ AD∥BC,∴ ∠DAC=∠BCA, 由折叠的性质得∠DAF =∠HAF = 1 2 ∠DAC,∠BCE =∠MCE = 1 2 ∠BCA,∴ ∠HAF=∠MCE,∴ AF∥CE; (2)解:30; 理由:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠D=∠BAD= 90°,AB∥CD, 由(1)得 AF∥CE,∴ 四边形 AECF 是平行四边形, ∵ ∠BAC= 30°,∴ ∠DAC= 60°,∴ ∠ACD= 30°, 由折叠的性质得∠DAF=∠HAF= 1 2 ∠DAC= 30°, ∴ ∠HAF=∠ACD,∴ AF=CF,∴ 平行四边形 AECF 是菱形. 11.8 3 　 【解析】如解图,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,AF⊥CD 于点 F,∴ ∠AEB=∠AFD= 90°,∵ 两张纸条宽度均为 3 cm,四边形 ABCD 为平行四边形,且 AE = AF = 3 cm,∴ ∠ADF = ∠ABE = 60°,∴ △ADF≌△ABE(AAS),∴ AD=AB,∴ 平行四边形 ABCD 为菱形,在 Rt△ADF 中,∠ADF = 60°,AF = 3 cm,∴ AD = AF sin60° = 2 3 (cm),∴ 四边形 ABCD 的周长为 2 3 ×4= 8 3 (cm) . 第 11 题解图 　 　 　 第 12 题解图 12.10　 【解析】如解图,连接 BD,EC,∵ E 是 AB 的中点,∴ S△AED = 1 2 S△ABD = 1 4 S菱形 ABCD = 6,同理可得 S△BEC = S△AED = 6,∵ S△BEF = 4,∴ S△BEF = 2 3 S△BEC, ∴ FC = 1 3 BC, ∴ S△DFC = 1 3 S△BCD = 1 6 S菱形 ABCD = 4,∴ S阴影 =S菱形 ABCD-S△AED-S△BEF-S△DFC = 24-6-4- 4= 10. 第 13 题解图 13.( 3 ,1)或(- 3 ,-1)或( 3 2 ,- 3 2 )　 【解析】如解图,分三种情况讨论:当 DE=DP 时,点 P1 是 CD 的中点,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD =DC,AC ⊥BD,易得点 E 与点 P1 关于 y 轴对 称,∴ 点 P1 的坐标为( 3 ,1);当 DE = EP 时,以点 E 为圆心, ED 长为半径作弧,交 AB 于点 P2,∵ 点 E 的坐标为(- 3 ,1), 且点 E 是 AD 的中点,∴ OD = 2,OA = 2 3 ,AE =DE =EP2,∴ AD = 22+(2 3 ) 2 = 4,tan∠DAO= OD OA = 3 3 ,∴ AE=EP2 = 2,∠DAO = 30°,由菱形的性质得∠EAP2 = 60°,∴ △EAP2 是等边三角 形,∴ AP2 =AE,易得点 E 与点 P2 关于 x 轴对称,∴ 点 P2 的坐 标为(- 3 ,-1);当 PD=PE 时,以 DE 为底,作 DE 的垂直平分 线交 BC 于点 P3,由菱形中心对称的性质易得 P3 是 BC 上靠近 点 B 的四分之一点,过点 P3 作 P3Q⊥BO 于点 Q,则△BQP3∽ △BOC,∴ BQ BO = QP3 OC = BP3 BC = 1 4 ,由菱形的性质得 OB = OD = 2, OC=OA= 2 3 ,∴ BQ= 1 4 BO= 1 2 ,QP3 = 1 4 OC= 3 2 ,∴ OQ = 3 2 , ∴ 点 P3 的坐标为( 3 2 ,- 3 2 ) .综上所述,点 P 的坐标为( 3 ,1) 或(- 3 ,-1)或( 3 2 ,- 3 2 ) . 命题点 4　 正方形(含中点四边形) 1.B　 [拓展 1-1] 3,24　 [拓展 1-2] 16　 [拓展 1-3] 18 第 2 题解图 2.2　 【解析】如解图,过点 E 作 EF⊥BC 于点 F,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =BC = 2, AD∥BC,∴ EF = AB = 2,∴ S△BCE = 1 2 BC· EF= 1 2 ×2×2 = 2,∵ S正方形ABCD = BC2 = 22 = 4, ∴ S阴影 =S正方形ABCD-S△BCE = 4-2= 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 分层作业本·江西数学 分 层 作 业 本 3.C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ADC = 90°,AD =DC, ∵ △CDE 是等边三角形,∴ DE = DC,∠EDC = 60°,∴ ∠ADE = ∠ADC+∠EDC = 90°+60° = 150°,AD = ED,∴ ∠DAE =∠AED = 1 2 (180°-∠ADE)= 1 2 ×(180°-150°)= 15°. [变式 3-1]D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ BC = AB, ∠CBA= 90°,∵ △PAB 是等边三角形,∴ ∠PBA = 60°,PB = AB, ∴ ∠CBP= 30°,PB=BC,∴ ∠BPC= 1 2 (180°-∠CBP)= 75°. [变式 3-2]15°　 【解析】如解图,过点 A 作 AD∥BC 且 AD=BC, 连接 CD,DE,则易知四边形 ABCD 是正方形,∴ AD=AE =DC,又 ∵ ∠BAE = 30°, ∴ ∠DAE = 60°, ∴ △ADE 为等边三角形, ∴ ∠ADE= 60°,AD=DE,∴ ∠EDC = 30°,DE =DC,∴ ∠DCE = 75°, ∴ ∠BCE= 15°. 变式 3-2 题解图 　 　 　 第 4 题解图 4.2　 【解析】如解图,连接 HF,EG,∵ 正方形 ABCD 的面积为 4,点 E,F,G,H 分别为边 AB,BC,CD,AD 的中点,∴ 正方形 ABCD 的 边长为 2. 解法一:易证△AEH≌△BEF≌△CFG≌△DGH,AE = AH = 1,∴ S四边形EFGH =S正方形ABCD-4S△AEH = 4-4× 1 2 ×1×1= 2. 解法二:易证四边形 EFGH 是正方形,∴ S四边形EFGH = 1 2 EG·HF = 1 2 ×2×2= 2. 5. 27 8 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ CD = AD = 5,∠ADC = ∠DAE= 90°,∵ AF⊥DE,CG⊥DE,∴ ∠AFD = ∠CGD = 90°,∵ ∠ADF+∠CDG=∠ADF+∠DAF,∴ ∠CDG =∠DAF,∴ △CDG≌ △DAF(AAS),∴ AF =DG = CD2-CG2 = 3,DF = CG = 4,同理可 得∠EAF = ∠ADF,又∵ ∠AFE = ∠DFA,∴ △AFE∽△DFA,∴ AF DF =EF AF ,即 3 4 =EF 3 ,∴ EF= 9 4 ,∴ S△AEF = 1 2 AF·EF= 27 8 . 6.AC=BD(答案不唯一)　 7.A 8.证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠D=∠DAB= 90°, ∵ AE 平分∠DAB,∴ ∠EAF= 45°, ∵ EF⊥AB,∴ ∠D=∠DAF=∠F= 90°, ∴ 四边形 ADEF 是矩形, ∵ ∠EAF= 45°, ∴ ∠EAF=∠AEF= 45°,∴ AF=EF, ∴ 矩形 ADEF 是正方形. 9.(1)证明:∵ AB=AC,AF⊥BC,∴ BF=CF, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥DE,∴ ∠BAF=∠CEF, 在△ABF 与△ECF 中, ∠BAF=∠CEF, ∠AFB=∠EFC, BF=CF, { ∴ △ABF≌△ECF(AAS),∴ AB=EC, ∴ 四边形 ABEC 是平行四边形. ∵ ∠BAC= 90°,AB=AC, ∴ 四边形 ABEC 是正方形; (2)解:由(1)可知 BF=CF,∴ CF= 1 2 BC, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴ △COF∽△AOD, ∴ OC OA =CF AD =CF BC ,即 2 OA = 1 2 ,∴ OA= 4,∴ AC= 6, ∵ ∠BAC= 90°,AB=AC,∴ BC= 2AC= 6 2 , 由(1)可知 AB=EC,∴ DE= 2AB= 2AC= 12, ∴ BC·DE= 6 2 ×12= 72 2 . 10.D　 【解析】当 E,F,G,H 是四边形 ABCD 各边的中点,且 AC = BD 时,由三角形中位线性质可知,EF=FG=GH =HE,故四边形 EFGH 为菱形,故 A 正确,不符合题意;当 E,F,G,H 是四边形 ABCD 各边中点时,四边形 EFGH 为平行四边形,当 AC⊥BD 时,∠EFG=∠FGH=∠GHE = 90°,故四边形 EFGH 为矩形,故 B 正确,不符合题意;如解图①所示,若 EF∥HG,EF =HG,则四 边形EFGH为平行四边形,此时 E,F,G,H 不是四边形 ABCD 各 边中点,故 C 正确,不符合题意;如解图②所示,若 EF = FG = GH=HE,则四边形 EFGH 为菱形,此时 E,F,G,H 不是四边形 ABCD 各边中点,故 D 错误,符合题意. 图① 　 　 　 图② 第 10 题解图 11.D　 【解析】∵ 点 E,F 分别为边 AD,AB 的中点,∴ EF 为△ABD 的中位线,∴ EF∥BD,且 EF = 1 2 BD = 3.同理求得 EH∥AC∥ GF,且 EH=GF= 1 2 AC = 4,∴ 四边形 EFGH 是平行四边形,又 ∵ AC⊥BD,∴ EF⊥EH,∴ ∠HEF= 90°,∴ 平行四边形 EFGH 是 矩形,∴ S四边形EFGH =EF·EH= 3×4 = 12,即四边形 EFGH 的面积 是 12. 12.A　 【解析】如解图,连接 AC,CF,∵ 四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形,BC = 4,CE = 2,∴ ∠ACD = 45°,∠FCG = 45°,AC= AB2+BC2 = 4 2 ,CF= CE2+EF2 = 2 2 ,∴ ∠ACF = 45°+ 45° = 90°, 在 Rt △ACF 中, AF = (4 2 ) 2+(2 2 ) 2 = 2 10 ,∵ H 是 AF 的中点,∴ CH= 1 2 AF= 10 . 第 12 题解图 　 　 第 13 题解图 13.60°或 90°或 150° 　 【解析】如解图,连接 CE,在正方形 ABCD 中,∠ABE= 45°,∵ ∠AEB = 105°,∴ ∠BAE = 180°-45°-105° = 30°,①当点 P′在边 AD 上时,∠EAP′ = 60°,∵ AE = EP′,∴ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72 分层作业本·江西数学 分 层 作 业 本 △AEP′是等边三角形,∴ ∠AEP′ = 60°;②当点 P″在边 CD 上 时,AE=EP′=EP″,由正方形的中心对称性得 AE =CE,∠ECD = ∠EAD= 60°,∴ AE= EP′ = EP″ = CE,∴ △CEP″是等边三角形, ∴ ∠CEP″ = 60°, ∵ ∠CED = ∠AED = 180° - 105° = 75°, ∴ ∠DEP″= 75°-60° = 15°,∴ ∠AEP″ = 75°+15° = 90°;③当点 P 与点 C 重合时,∠AEP = 150°.综上所述,∠AEP 的度数为 60° 或 90°或 150°. 第六章　 圆 命题点 1　 圆的相关概念与性质 1.B　 2.D 3.55　 【解析】∵ AB 是☉O 的直径,AD ( =CD ( ,∴ ∠AOD =∠DOC,∵ ∠COB= 40°,∴ ∠AOD = 1 2 ×(180° -40°) = 70°,∵ OA = OD,∴ ∠A=∠D= 1 2 ×(180°-70°)= 55°. 4.B　 【解析】∵ AB 是☉O 的直径,且 AB⊥CD,∴ DE= 1 2 CD = 4.在 Rt△DOE 中,OE= 52-42 =3,∴ BE=OB-OE=OD-OE=5-3=2. 5.B　 【解析】∵ 点 D 是弓臂AB ( 的中点,∴ OD⊥AB,∵ AB = 4 dm, ∴ AC= 1 2 AB= 2(dm),∵ CD= 1 dm,设AB ( 所在圆的半径为 r dm, 则 OC=( r-1)dm,∵ 在 Rt△OCA 中,OA2 -OC2 = AC2,即 r2 -( r- 1) 2 = 22,∴ r= 2.5. 6.(2,0)　 【解析】如解图,连接 AB,BC,作 AB,BC 的垂直平分线 交于点 M,点 M 即为圆心,由图象可知点 M 的坐标为(2,0) . 第 6 题解图 7.B　 [拓展] 55° [变式]D　 【解析】∵ ∠E= 35°,∴ ∠AOD= 2∠E= 70°,∴ ∠BOD = 180°-∠AOD= 180°-70° = 110°. 8.70　 【解析】∵ BD ( = BD ( ,∴ ∠BAD =∠BCD = 20°.∵ AB 是☉O 的 直径,∴ ∠ADB= 90°,∴ ∠ABD= 90°-20° = 70°. [变式]A　 【解析】∵ ∠AOD = 50°,∴ ∠ABD = 1 2 ∠AOD = 25°, ∵ BA 平分∠CBD,∴ ∠ABC=∠ABD= 25°,∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠C= 90°,∴ ∠A= 180°-90°-25° = 65°. 9.B　 【解析】如解图,设 AP 与☉O 交于点 D,连接 BD,则∠ACB = ∠ADB,∵ ∠ADB=∠P+∠DBP=∠α+∠DBP,∴ ∠α<∠ADB,∴ ∠α<∠ACB. 第 9 题解图 　 　 　 　 第 10 题解图 10. 13 2 　 【解析】如解图,连接 AC,∵ ∠ABC = 90°,且∠ABC 是圆 周角,∴ AC 是圆形镜面的直径,由勾股定理得 AC= AB2+BC2 = 122+52 = 13(cm),∴ 圆形镜面的半径为 13 2 cm. 11. 5 5 　 【解析】如解图,连接 AO 并延长交☉O 于点 D,连接 BD, 则∠ABD= 90°,∠ACB =∠ADB,∵ AO = 22+12 = 5 ,∴ AD = 2 5 ,∵ AB= 4,∴ BD = AD2-AB2 = 2,∴ cos∠ACB = cos∠ADB =BD AD = 2 2 5 = 5 5 . 第 11 题解图 　 　 　 　 　 第 12 题解图 12.30°　 【解析】如解图,连接 OA,AC,由题意知 AB 垂直平分 OC, ∴ AO= AC,∵ OA = OC,∴ △OAC 是等边三角形,∴ ∠AOC = 60°,∴ ∠APC= 1 2 ∠AOC= 30°. 13.C　 【解析】∵ BE∥AD,∴ ∠ADC =∠BEC = 50°,∵ 四边形 AB- CD 内接于☉O,∴ ∠ABC= 180°-∠ADC= 130°. 14.3　 【解析】解法一:∵ ∠ADC = 80°,∴ ∠B = 100°,∵ ∠A= 40°, ∴ ∠E= 180°-∠A-∠B= 40°,∴ ∠A=∠E,∴ BE=AB= 3. 解法二:∵ ∠A = 40°,∴ ∠DCE = ∠A = 40°,∵ ∠ADC = 80°, ∴ ∠E=∠ADC-∠DCE= 40°,∴ ∠A=∠E,∴ BE=AB= 3. 15.D 16.(-1,3)或(4,-2)或(1,-1) 　 【解析】∵ 点 A(0,6),B(8,0), AB 是☉C 的一条直径,∴ C ( 4,3),OA = 6,OB = 8,∴ AB = OA2+OB2 = 10,∴ 半径 CP = 5,如解图,过点 C 作 CP1⊥y 轴 于点 D,交☉C 于点 P1,则∠ADC = ∠AOB = 90°,∠DAC = ∠OAB,∴ △ADC∽△AOB,∵ C(4,3),CP1 = 5,∴ DP1 = 5-4 = 1,∴ P1(-1,3);过点 C 作 CP2⊥x 轴于点 E,交☉C 于点 P2,则 ∠CEB = ∠AOB = 90°, ∠CBE = ∠ABO, ∴ △CEB ∽ △AOB, ∵ C(4,3),CP2 = 5,∴ EP2 = 5- 3 = 2,∴ P2(4,- 2);过点 C 作 CP3⊥AB 交 x 轴于点 F,交☉C 于点 P3,则∠BCF = ∠AOB = 90°,∠CBF=∠OBA,∴ △BCF∽△BOA,过点 P3 作 P3G⊥CP2 于点 G,则∠P3 GC =∠CEB = 90°,又∵ ∠P3CG+∠ECB = 90°, ∠CBE+ ∠ECB = 90°, ∴ ∠CBE = ∠P3 CG, ∵ P3 C = BC, ∴ △P3GC≌△CEB(AAS),∴ CG=BE,P3G=CE,∵ C(4,3),B(8, 0),∴ CG=BE= 4,P3G=CE= 3,∴ P3(1,-1) .综上所述,点 P 的 坐标为(-1,3)或(4,-2)或(1,-1) . 第 16 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 82