3.11 二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025江西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·江西数学 分 层 作 业 本 对称轴为直线 x=- 1-m 4m =m -1 4m = 1 4 - 1 4m > 1 4 ,∴ 在 x> 1 4 - 1 4m 时,y 随 x 的增大而减小,故③不正确;④当 m>0 时,函数图象截 x 轴 所得的线段长度为 1- -m-1 2m = 3m +1 2m = 3 2 + 1 2m > 3 2 ,∴ ①②④正 确. 5.5(答案不唯一)　 【解析】∵ 抛物线 y = x2 +4x+c 与 x 轴没有交 点,∴ Δ= 42-4c= 16-4c<0,解得 c>4. [变式 5-1]4　 [变式 5-2]c<6　 【解析】∵ 抛物线 y = x2 +4x+c 与直线 y = 2 有 两个交点,联立得x2+4x+c = 2,即x2 +4x+c-2 = 0,∴ Δ = 42 -4( c- 2)= 24-4c>0,解得 c<6. [变式 5-3] 17 4 　 【解析】联立 y= x+2 与 y= x2+4x+c,得x2+4x+c = x+2,即 x2+3x+c-2= 0,∵ 抛物线与直线只有一个交点,∴ Δ = 32-4(c-2)= 17-4c= 0,解得 c= 17 4 . 第 7 题解图 6.D 7.B　 【解析】关于 x 的方程 x2 + 2x- 3- m= 0 的解为抛物线 y = x2 +2x-3 与直 线 y=m 的交点的横坐标,关于 x 的方 程 x2+2x-3-n= 0 的解为抛物线 y = x2+ 2x-3 与直线 y = n 的交点的横坐标,如 解图,由图可知,x1<x3<x4<x2 . 8.A　 【解析】由题知点 C 为抛物线上一点,将 C(-1,-3)代入抛 物线表达式,得-1-b = -3,解得 b = 2,∴ 抛物线的表达式为 y = -x2+2x,令-x2+2x = 0,解得 x1 = 0, x2 = 2,∵ 点 A 在点 B 左侧, ∴ A(0,0),B(2,0),设直线 BC 的表达式为 y=mx+n(m≠0),将 B(2,0),C(-1,-3)代入表达式得 2m+n= 0, -m+n=-3,{ 解得 m= 1, n=-2,{ ∴ 直线 BC 的表达式为 y= x-2. 9.D　 【解析】∵ 抛物线的对称轴为直线 x = - -2a 2a = 1,且抛物线过 点(0,1),∴ 根据抛物线的对称性,抛物线 y=ax2-2ax+1 恒过点 (2,1),∵ 抛物线与线段 AB 只有一个公共点,当 a<0 时,将 x= 3 代入表达式,得 9a-6a+1≥0,解得- 1 3 ≤a<0;当 a>0 时,将 x= 3 代入表达式,得 9a-6a+1≤2,解得 0<a≤ 1 3 .综上所述,- 1 3 ≤ a<0 或 0<a≤ 1 3 . 10.解:将点 A(2,3)代入 y=ax2+bx+3 中, 可得 4a+2b+3= 3,则 b=-2a, 设抛物线 y=ax2-2ax+3 与直线 x=-1 交于点 B,与直线 x=4 交于 点 E,则 B(-1,3a+3),E(4,8a+3), 当 a<0 时,如解图①, ∵ 3a+3<3,8a+3<3,∴ 点 B、E 都在直线 MN 的下方, ∴ 当抛物线的顶点在线段 MN 上时,线段 MN 与抛物线只有一 个公共点, ∴ 当 x=- -2a 2a = 1 时,a+b+3=-a+3= 4,解得 a=-1; 当 a>0 时,如解图②, ∵ 当点 B 在点 M 下方,且点 E 与点 N 重合或在点 N 上方时, 线段 MN 与抛物线只有一个公共点, ∴ 3a+3<4, 8a+3≥4,{ 解得 1 8 ≤a< 1 3 . 综上所述,a 的取值范围是 a=-1 或 1 8 ≤a< 1 3 . 图① 　 　 图② 第 10 题解图 命题点 11　 二次函数的实际应用 1.能　 【解析】∵ CD = 4,B(6,2.68),∴ 在 y = -0.02x2 +0.3x+1.6 中,当 x= 2 时,y=-0.02×22+0.3×2+1.6= 2.12,∵ 2.12>1.8,∴ 货 车能完全停到车棚内. 2. 35 3 　 【解析】如解图,以 O 为坐标原点,OM,OP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系,由题意可知,P(0, 7 4 ),B(5, 4),其中点 B 为抛物线顶点,设抛物线的表达式为 y=a(x-5) 2+ 4(a≠0),将 P(0, 7 4 )代入上式,解得 a=- 9 100 ,即抛物线的表达 式为 y=- 9 100 (x-5) 2+4,∵ M 为抛物线与 x 轴的交点,∴ 当 y = - 9 100 (x-5) 2+4= 0 时,解得 x1 = 35 3 ,x2 =- 5 3 (舍),∴ OM= 35 3 m. 第 2 题解图 3.D　 【解析】由图象是经过原点的一条抛物线的一部分,设抛物 线表达式为 P = aI2 + bI ( a≠0),把 ( 1,165), ( 4,0) 代入,得 a+b= 165, 16a+4b= 0,{ 解得 a=-55, b= 220,{ ∴ 抛物线表达式为 P= -55I 2 +220I = -55 ( I-2) 2+220,∵ -55<0,∴ 当 I = 2 时,P 取最大值 220,∴ 变 阻器 R 消耗的电功率 P 最大为 220 W. 4.解:(1)①m= 3,n= 6; ②解法一:把(1, 7 2 )和(2,6)分别代入 y=ax2+bx, 可得 a+b= 7 2 , 4a+2b= 6, { 解得 a=- 1 2 , b= 4, { ∴ 二次函数的表达式为 y=- 1 2 x2+4x, 当 1 4 x=- 1 2 x2+4x 时,解得 x1 = 0(舍),x2 = 15 2 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 分层作业本·江西数学 分 层 作 业 本 将 x= 15 2 代入 y= 1 4 x,得 y= 15 8 , ∴ 点 A 的坐标是( 15 2 , 15 8 ); 解法二:由题意知,抛物线的顶点坐标为(4,8), ∴ 设 y=a(x-4) 2+8, 将(2,6)代入,得 a(2-4) 2+8= 6,解得 a=- 1 2 , ∴ 二次函数的表达式为 y=- 1 2 (x-4) 2+8=- 1 2 x2+4x, 后同“解法一”得点 A 的坐标是( 15 2 , 15 8 ); (2)①8;(填“ v2 20 ”亦可) ②解法一:∵ y=-5t2+vt=-5( t- v 10 ) 2+ v2 20 ,∴ v2 20 = 8, 解得 v1 = 4 10 ,v2 =-4 10 , ∵ y=-5t2+vt=-5( t- v 10 ) 2+ v2 20 的对称轴为直线 t= v 10 , ∴ v 10 >0,∴ v>0, ∴ v= 4 10 .(答案写“4 10 米 /秒”亦可) 解法二:由①知,小球飞行的最大高度为 8 米, 即抛物线 y=-5t2+vt 的顶点纵坐标为 8, ∴ 4×(-5)×0-v2 4×(-5) = 8, 解得 v1 = 4 10 ,v2 =-4 10 , 当 v=-4 10时,y=-5t2+vt=-5t2-4 10 t, ∵ t≥0,∴ y≤0,∴ v=-4 10不成立, ∴ v= 4 10 .(答案写“4 10 米 /秒”亦可) [拓展]解:如解图,过点 A,B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别是点 E,D, 拓展题解图 ∵ ∠BOD = ∠AOE,∠BDO = ∠AEO = 90°, ∴ △OBD∽△OAE,∴ OD OE =BD AE =OB OA , 又∵ 点 B 是 OA 的三等分点, ∴ OD OE =BD AE =OB OA = 1 3 , 由(1)知,A( 15 2 , 15 8 ),∴ AE= 15 8 ,OE= 15 2 , ∴ BD= 1 3 AE= 1 3 ×15 8 = 5 8 ,OD= 1 3 OE= 1 3 ×15 2 = 5 2 , ∴ 点 C 的横坐标为 5 2 , 将 x= 5 2 代入 y=- 1 2 x2+4x 中, 则 y=- 1 2 ×( 5 2 ) 2+4× 5 2 = 55 8 , ∴ 点 C 的坐标为 ( 5 2 , 55 8 ),∴ CD= 55 8 , ∴ CB=CD-BD= 55 8 - 5 8 = 25 4 . 答:这棵树的高度是 25 4 米. 5.解:(1) 66;【解法提示】 ∵ 起跳台的高度 OA 为 66 m,∴ A(0, 66),把 A(0,66)代入 y=ax2+bx+c,得 c= 66. (2)①∵ a=- 1 50 ,b= 9 10 ,c= 66,∴ y=- 1 50 x2+ 9 10 x+66, ∵ 基准点 K 到起跳台的水平距离为 75 m, 将 x= 75 代入上式,得 y=- 1 50 ×752+ 9 10 ×75+66= 21, ∴ 基准点 K 的高度 h 为 21 m; ②b> 9 10 ;【解法提示】∵ a=- 1 50 ,c= 66,∴ y = - 1 50 x2+bx+66,∵ 运 动员落地点要超过 K 点,∴ x = 75 时,y>21,即- 1 50 ×752 +75b+ 66>21,解得 b> 9 10 . (3)他的落地点能超过 K 点,理由如下: ∵ 运动员飞行的水平距离为 25 m 时,恰好达到最大高度 76 m, ∴ 抛物线的顶点坐标为(25,76), 设抛物线的解析式为 y=a(x-25) 2+76, 把(0,66)代入,得 66=a(0-25) 2+76, 解得 a=- 2 125 , ∴ 抛物线的解析式为 y=- 2 125 (x-25) 2+76, 当 x= 75 时,y=- 2 125 ×(75-25) 2+76= 36, ∵ 36>21,∴ 他的落地点能超过 K 点. 6.解:(1)∵ 栅栏总长 80 m, ∴ x+y+x= 80,∴ y= 80-2x, ∴ S= y·x=(80-2x)x=-2x2+80x; (2)能. 令 S= 750,则-2x2+80x= 750, 整理得 x2-40x+375= 0, 则 Δ= b2-4ac=(-40) 2-4×375= 1 600-1 500= 100, ∴ x= 40± 100 2 ,解得x1 = 25,x2 = 15, ∵ 墙长 42 m,∴ 0<80-2x≤42,解得 19≤x<40, ∴ x= 25; (3)S=-2x2+80x=-2(x-20) 2+800, ∵ -2<0,∴ S 有最大值,又∵ 19≤x<40, ∴ 当 x= 20 时,S 取得最大值,此时 S= 800. 答:当 x= 20 时,矩形实验田的面积 S 最大,最大面积是 800 m2 . 7.解:(1)由题意得 y=(200-x)(60+ x 10 ×4)= - 2 5 x2+20x+12 000; ∵ 每辆轮椅的利润不低于 180 元,∴ 200-x≥180,∴ x≤20, ∵ y=- 2 5 x2+20x+12 000= - 2 5 (x-25 ) 2+12 250, ∴ 当 x<25 时,y 随 x 的增大而增大,∴ 当 x = 20 时,每天的销售 利润最大,最大利润为 y=- 2 5 ×(20-25) 2+12 250= 12 240. 答:每辆轮椅降价 20 元时,每天的销售利润最大,最大利润为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 分层作业本·江西数学 分 层 作 业 本 12 240 元; (2)当 y= 12 160 时,- 2 5 x2+20x+12 000= 12 160, 解得x1 = 10,x2 = 40(不合题意,舍去), ∴ 60+ 10 10 ×4= 64(辆) . 答:这天售出了 64 辆轮椅. 第 8 题解图① 8.解:(1)建立如解图①所示的平面直角坐标系; ∵ OP 所在直线是 AB 的垂直平分线,且 AB=6, ∴ OA=OB= 1 2 AB= 1 2 ×6= 3, ∴ 点 B 的坐标为(3,0), ∵ OP= 9,∴ 点 P 的坐标为(0,9), ∵ 点 P 是抛物线的顶点, ∴ 设抛物线的函数表达式为 y=ax2+9(a≠0), ∵ 点 B(3,0)在抛物线 y=ax2+9 上, ∴ 9a+9= 0,解得 a=-1, ∴ 抛物线的函数表达式为 y=-x2+9(-3≤x≤3); (2)∵ 点 D,E 在抛物线 y=-x2+9 上, ∴ 设点 E 的坐标为(m,-m2+9), ∵ DE∥AB,交 y 轴于点 F, ∴ DF=EF=m,OF=-m2+9, ∴ DE= 2m. ∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,OA=OB, ∴ OC= 1 2 AB= 1 2 ×6= 3, ∴ CF=OF-OC=-m2+9-3=-m2+6, 根据题意,得 DE+CF= 6, ∴ -m2+6+2m= 6, 解得m1 = 2,m2 = 0(不符合题意,舍去), ∴ m= 2, ∴ DE= 2m= 4,CF=-m2+6= 2; 第 8 题解图② (3) 33 2 .　 【解法提示】如解图②所示,矩形 灯带为 GHIJ,由点 A、B、C 的坐标得,直线 AC 和 BC 的表达式分别为 y= x+3,y=-x+3, 设点 G(m,-m2+9),H(-m,-m2+9),J(m,m +3), I( -m,m+ 3),则矩形周长为 2(GH+ GJ)= 2(-2m-m2 +9-m-3)= -2(m+1.5) 2 + 33 2 ≤ 33 2 ,∴ 矩形周长的最大值为 33 2 . ★专项训练三　 新函数图象与性质的探究 1.解:(1)①(6+x),(6-x);②y = 36-6x 6+x ,0≤x≤6;【解法提示】① ∵ AB= 12 cm,且 C 为 AB 的中点,∴ AC=BC= 6 cm,∵ CD= x cm, ∴ AD=AC+CD=(6+x) cm,BD = BC-CD = (6-x) cm.②∵ BG⊥ OF,OF⊥AE,∴ BG∥AE,∴ △BGD∽△AOD,∴ BG AO = BD AD ,依题意 得 AO=AC = 6 cm,代入得 y 6 = 6 -x 6+x ,∴ y = 36-6x 6+x ,此时自变量 x 的取值范围是 0≤x≤6. (2)①2,6;②描点如解图;③画出该函数的图象如解图; 第 1 题解图 (3)①y 随着 x 的增大而减小; ②图象关于直线 y= x 对称; ③函数值 y 的取值范围是 0≤y≤6. (写两条即可) 2.解:(1)y= x(3-x) 2,0<x<3;【解法提示】∵ 无盖糖果盒的高为 3 3 x,a= 6-2x,∴ 底面正三角形的面积为 3 4 a2 = 3 4 (6-2x) 2 = 3 (3-x) 2,∴ y= 3 3 x· 3(3-x) 2 = x(3-x) 2,0<x<3. (2)①4,2;②描点如解图;③连线如解图; 第 2 题解图 (3)①4; ②由图象可知 y>2 时,x 的取值范围为 0.27<x<2, ∵ a= 6-2x,∴ 2<a<5.5. 第四章　 三角形 命题点 1　 线段、角、相交线与平行线 1.A 2.B　 【解析】如解图,“三颗颜色相同的棋子在同一直线上”的直 线有直线 a,直线 b,直线 c,共 3 条. 第 2 题解图 3.D　 4.20° ,160°　 5.C　 6.C　 7.3 8.80° 　 【解析】 ∵ ∠AOC = 20°, ∴ ∠AOD = 160°, ∵ OE 平分 ∠AOD,∴ ∠AOE= 1 2 ∠AOD= 80°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 分层作业本·江西数学 　 第 三 章 函 　 数 命题点 11　 二次函数的实际应用(2024.22,2022.22) 　 类型 1　 抛物线型、类抛物线型问题(2024.22, 2022.22) 1.[2024 甘肃]如图①为一汽车停车棚,其棚顶的 横截面可以看作是抛物线的一部分,如图②是 棚顶的竖直高度 y(单位:m)与距离停车棚支 柱 AO 的水平距离 x(单位:m)近似满足函数关 系 y=-0.02x2+0.3x+1.6 的图象,点 B(6,2.68) 在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨, 货车截面看作长 CD = 4 m,高 DE = 1.8 m 的矩 形,则可判定货车 　 　 　 　 完全停到车棚内 (填“能”或“不能”) . 图① 　 　 图② 第 1 题图 2.[2024 广西]如图,壮壮同学投掷实心球,出手 (点 P 处)的高度 OP 是 7 4 m,出手后实心球沿 一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是 5 m,高度是 4 m.若实心球落地点为 M,则壮壮 投掷实心球的水平距离 OM 是　 　 　 　 m. 第 2 题图 3. 学科融合 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作 电路展开研究,如图① ,将变阻器 R 的滑片从一 端滑到另一端,绘制出变阻器 R 消耗的电功率 P 随电流 I 变化的关系图象如图②所示,且该图象 是经过原点的一条抛物线的一部分,则变阻器 R 消耗的电功率 P 最大为 ( D ) 图① 　 　 图② 第 3 题图 A.160 W　 B.180 W　 C.200 W　 D.220 W 4.多解法 ∙∙∙ 　 [2024 江西 22 题 9 分]如图,一小球从斜 坡 O 点以一定的方向弹出,球的飞行路线可以 用二次函数 y = ax2+bx(a<0)刻画,斜坡可以用 一次函数 y = 1 4 x 刻画,小球飞行的水平距离 x(米)与小球飞行的高度 y(米)的变化规律如 下表: x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 7 2 6 15 2 8 15 2 n 7 2 … (1)①m= 　 　 　 　 ,n= 　 　 　 　 ; ②小球的落点是 A,求点 A 的坐标. (2)小球飞行高度 y(米)与飞行时间 t(秒)满 足关系:y=-5t2+vt. ①小球飞行的最大高度为　 　 　 　 米; ②求 v 的值. 第 4 题图 解:(1)②把 x=1, y= 7 2 ì î í ïï ï 和 x=2, y=6{ 分别 代入 y=ax2+bx, 可得 a+b= 7 2 , 4a+2b=6, ì î í ïï ï 解得 a=- 1 2 , b=4, ì î í ïï ï ∴二次函数的表达式为 y=- 1 2 x2+4x, 当 1 4 x=- 1 2 x2+4x 时, 解得 x1 =0(舍),x2 = 15 2 , 将 x=15 2 代入 y= 1 4 x,得 y=15 8 , ∴点 A 的坐标是(15 2 ,15 8 ); (2)②∵ y=-5t2+vt=-5( t- v 10 ) 2+v 2 20 ,∴ v 2 20 =8. 解得 v1 =4 10 ,v2 =-4 10 , ∵ y=-5t2+vt=-5( t- v 10 ) 2+v 2 20 的对称轴为直线 t= v 10 , ∴ v 10 >0,∴ v>0, ∴ v=4 10 .(答案写“4 10米 /秒”亦可) (本题其他解法见本册参考答案) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 班级: 　 　 姓名: 　 　 学号: 　 　 日期: 分层作业本·江西数学 　 第 三 章 函 　 数 [拓展]若斜坡上点 B 处有一棵树,点 B 是 OA 上靠近点 O 的三等分点,小球恰好越过树的顶 端 C,求这棵树的高度. 拓展题图 解:如解图,过点 A,B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别是 点 E,D, ∵∠BOD=∠AOE,∠BDO=∠AEO=90°, ∴△OBD∽△OAE,∴OD OE =BD AE =OB OA , 又∵点 B 是 OA 的三等分点,∴OD OE =BD AE =OB OA = 1 3 , 由(1)知,A(15 2 ,15 8 ), ∴AE=15 8 ,OE=15 2 , ∴BD= 1 3 AE= 1 3 ×15 8 = 5 8 , OD= 1 3 OE= 1 3 ×15 2 = 5 2 , ∴点 C 的横坐标为 5 2 , 将 x= 5 2 代入 y=- 1 2 x2+4x 中, 则 y=- 1 2 ×( 5 2 ) 2+4× 5 2 = 55 8 , ∴点 C 的坐标为 ( 5 2 ,55 8 ),∴CD=55 8 , ∴CB=CD-BD=55 8 - 5 8 = 25 4 . 答:这棵树的高度是25 4 米. 5.[2022 江西 22 题 9 分]跳台滑雪运动可分为助 滑、起跳、飞行和落地四个阶段,运动员起跳后 飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部 分所示),落地点在着陆坡(如图中虚线部分所 示)上,着陆坡上的基准点 K 为飞行距离计分 的参照点,落地点超过 K 点越远,飞行距离分 越高.2022 年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起 跳台的高度 OA 为 66 m,基准点 K 到起跳台的 水平距离为 75 m,高度为 h m(h 为定值) .设运 动员从起跳点 A 起跳后的高度 y(m)与水平距 离 x(m)之间的函数关系为y=ax2+bx+c(a≠0) . (1)c 的值为　 　 　 　 ; (2)①若运动员落地点恰好到达 K 点,且此时 a=- 1 50 ,b= 9 10 ,求基准点 K 的高度 h; ②若 a=- 1 50 时,运动员落地点要超过 K 点, 则 b 的取值范围为　 　 　 　 ; (3)若运动员飞行的水平距离为 25 m 时,恰好 达到最大高度 76 m,试判断他的落地点能 否超过 K 点,并说明理由. 第 5 题图 解:(2)①∵ a=- 1 50 ,b= 9 10 ,c=66, ∴ y=- 1 50 x2+ 9 10 x+66, ∵基准点 K 到起跳台的水平距离为 75 m, 将 x=75 代入上式,得 y=- 1 50 ×752+ 9 10 ×75+66=21, ∴基准点 K 的高度 h 为 21 m; (3)他的落地点能超过 K 点,理由如下: ∵运动员飞行的水平距离为 25 m 时,恰好达到最大 高度 76 m, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 64 分层作业本·江西数学 　 第 三 章 函 　 数 类型 2　 面积最值问题 6.[2024 湖北省卷]如图,某校劳动实践基地用总长 为 80 m 的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形实验 田,墙长 42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无损 耗.设矩形实验田与墙垂直的一边长为 x(单 位:m),与墙平行的一边长为 y(单位:m),面积 为 S(单位:m2) . 第 6 题图 (1)直接写出 y 与 x,S 与 x 之间的函数解析式 (不要求写 x 的取值范围); (2)矩形实验田的面积 S 能达到 750 m2 吗? 如 果能,求出 x 的值;如果不能,请说明理由; (3)当 x 的值是多少时,矩形实验田的面积 S 最大? 最大面积是多少? 解:(1)∵栅栏总长 80 m, ∴ x+y+x=80,∴ y=80-2x, ∴S=y·x=(80-2x)x=-2x2+80x; (2)能. 令 S=750,则-2x2+80x=750, 整理得 x2-40x+375=0, 则 Δ=b2-4ac=(-40) 2-4×375=1 600-1 500=100, ∴ x=40± 100 2 ,解得x1 =25,x2 =15, ∵墙长 42 m,∴0<80-2x≤42,解得 19≤x<40, ∴ x=25; (3)S=-2x2+80x=-2(x-20) 2+800, ∵-2<0,∴S 有最大值,又∵19≤x<40, ∴当 x=20 时,S 取得最大值,此时 S=800. 答:当 x=20 时,矩形实验田的面积 S 最大,最大面积 是 800 m2 . 类型 3　 利润最值问题 7.[2024 烟台]每年 5 月的第三个星期日为全国助 残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生 活”,康宁公司新研发了一批便携式轮椅,计划 在该月销售,根据市场调查,每辆轮椅盈利 200 元时,每天可售出 60 辆;单价每降低 10 元,每 天可多售出 4 辆.公司决定在成本不变的情况 下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于 180 元, 设每辆轮椅降价 x 元,每天的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式;每辆轮椅降价多少 元时,每天的销售利润最大? 最大利润为 多少元? (2)全国助残日当天,公司共获得销售利润 12 160 元,请问这天售出了多少辆轮椅? 解:(1)由题意得 y=(200-x)(60+ x 10 ×4)= - 2 5 x2+20x +12 000; ∵每辆轮椅的利润不低于 180 元, ∴200-x≥180,∴ x≤20, ∵ y=- 2 5 x2+20x+12 000=- 2 5 (x-25 ) 2+12 250, ∴当 x<25 时,y 随 x 的增大而增大, ∴当 x= 20 时,每天的销售利润最大,最大利润为 y = - 2 5 ×(20-25) 2+12 250=12 240. 答:每辆轮椅降价 20 元时,每天的销售利润最大,最 大利润为 12 240 元; (2)当 y=12 160 时,- 2 5 x2+20x+12 000=12 160, 解得x1 =10,x2 =40(不合题意,舍去), ∴60+10 10 ×4=64(辆) . 答:这天售出了 64 辆轮椅. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 74 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 班级: 　 　 姓名: 　 　 学号: 　 　 日期: 分层作业本·江西数学 　 第 三 章 函 　 数 　 8.[2024 山西]综合与实践 问题情境:如图①,矩形 MNKL 是学校花园的示意图,其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的 一部分与线段 AB 组成的封闭图形,点 A,B 在矩形的边 MN 上.现要对该花坛内种植区域进行划 分,以种植不同花卉,学校面向全体同学征集设计方案. 图① 　 　 　 图② 第 8 题图 方案设计:如图②,AB= 6 米,AB 的垂直平分线与抛物线交于点 P,与 AB 交于点 O,点 P 是抛物线 的顶点,且 PO= 9 米.欣欣设计的方案如下: 第一步:在线段 OP 上确定点 C,使∠ACB = 90°.用篱笆沿线段 AC,BC 分隔出△ABC 区域,种植串 串红; 第二步:在线段 CP 上取点 F(不与 C,P 重合),过点 F 作 AB 的平行线,交抛物线于点 D,E.用篱笆 沿 DE,CF 将线段 AC,BC 与抛物线围成的区域分隔成三部分,分别种植不同花色的月季. 方案实施:学校采用了欣欣的方案,在完成第一步△ABC 区域的分隔后,发现仅剩 6 米篱笆材料.若 要在第二步分隔中恰好用完 6 米材料,需确定 DE 与 CF 的长.为此,欣欣在图②中以 AB 所在直线 为 x 轴,OP 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题: (1)在图②中画出坐标系,并求抛物线的函数表达式; (2)求 6 米材料恰好用完时 DE 与 CF 的长; (3)种植区域分隔完成后,欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰,计划将灯带围成一个矩形.她尝试 借助图②设计矩形四个顶点的位置,其中两个顶点在抛物线上,另外两个顶点分别在线段 AC, BC 上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值. ∵OP 所在直线是 AB 的垂直平分线,且 AB=6,∴OA=OB= 1 2 AB= 1 2 ×6=3,∴点 B 的坐标为(3,0),∵OP = 9, ∴点 P 的坐标为(0,9) .∵点 P 是抛物线的顶点,∴设抛物线的函数表达式为 y=ax2+9(a≠0),∵点 B(3,0)在 抛物线 y=ax2+9 上,∴9a+9=0,解得 a=-1, ∴抛物线的函数表达式为 y=-x2+9(-3≤x≤3); (2)∵点 D,E 在抛物线 y=-x2+9 上,∴设点 E 的坐标为(m,-m2+9), ∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,OA=OB,∴OC= 1 2 AB = 1 2 ×6 = 3,根据题意,得 DE+CF = 6,∴ -m2+6+2m = 6, 解得m1 =2,m2 =0(不符合题意,舍去), 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 1.更多优质大题见本册 P101~102 第 1~2 题. 2.二次函数综合题专题见《专项培优练》P43~57. 3.二次函数综合题加练扫描目录首页二维码,一键下载. 84