3.9 二次函数表达式的确定及图象的变换-【一战成名新中考】2025江西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·江西数学 　 第 三 章 函 　 数 命题点 9　 二次函数表达式的确定及图象的变换(必考) 　 考向 1　 待定系数法求二次函数表达式(常在 二次函数综合题中考查) 1.已知二次函数 y= x2-8x-9. (1)将其转化为 y = a( x-h) 2 +k(a≠0)的形式 为　 　 　 　 ; (2)将其转化为 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)的形 式为　 　 　 　 . 2.[北师九下 P43 随堂练习第 2 题改编]已知二次函 数 y= x2+bx+c 的图象经过点 A(1,-2)和 B(0, -5) .求该二次函数的表达式及图象的顶点 坐标. 解:把 A(1,-2)和 B(0,-5)分别代入 y=x2+bx+c, 得 1+b+c=-2, c=-5,{ 解得 b=2, c=-5,{ ∴该二次函数的表达式为 y=x2+2x-5, ∵ y=x2+2x-5=(x+1) 2-6, ∴该二次函数图象的顶点坐标为(-1,-6) . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 变式组合练 [变式 2-1]已知抛物线的顶点在 x 轴上, 对称轴为直线 x = 1,且过点(2,2),求抛物 线的表达式. 解:设抛物线的表达式为 y=a(x-1) 2(a≠0), 把(2, 2)代入,得 a=2, ∴抛物线的表达式为 y=2(x-1)2(或 y=2x2-4x+2). [变式 2-2]多解法 ∙∙∙ 　 已知抛物线的对称轴 为直线 x = 2,且过(0,-3),(3,0)两点,求 抛物线的表达式. 解:设抛物线的表达式为 y=a (x-2)2+h(a≠0), 把(0,-3),(3,0)代入, 得 -3=4a+h, 0=a+h,{ 解得 a=-1, h=1,{ ∴抛物线的表达式为 y=-(x-2) 2+1(或 y=-x2+ 4x-3) .(其他解法见本册参考答案) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 [变式 2-3]已知抛物线过点(-1,8),对称 轴为直线 x=-2,且在 x 轴上截得的线段长 为 6,求抛物线的表达式. 解:∵抛物线的对称轴为直线 x=-2,且在 x 轴上 截得的线段长为 6, ∴抛物线与 x轴的两个交点坐标为(-5,0),(1,0), 设抛物线的表达式为 y=a(x+5)(x-1),且 a≠0, 把(-1,8)代入,得 8=-8a,解得 a=-1, ∴抛物线的表达式为 y = -(x+5) (x-1)= -x2 - 4x+5. 3.如图,抛物线 y=ax2+(4a-1)x-4 与 x 轴交于点 A、B,与 y 轴交于点 C,且 OC= 2OB,求抛物线的 解析式. 第 3 题图 解:在抛物线 y=ax2+(4a-1)x-4 中, 当 x=0 时,y=-4, ∴C(0,-4),∴OC=4, ∵OC=2OB,∴OB=2,∴B(2,0), 将 B(2,0)代入 y=ax2+(4a-1)x-4,解得 a= 1 2 ,∴抛 物线的解析式为 y= 1 2 x2+x-4. 考向 2　 二次函数图象的变换(10 年 5 考) 4.[2024 滨州]将抛物线 y=-x2 先向右平移 1 个单 位长度,再向上平移 2 个单位长度,则平移后抛 物线的顶点坐标为　 　 　 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 全角度考法探究 [拓展 4-1]若将平移后的抛物线沿 x 轴翻 折,则变换后抛物线的表达式为　 　 　 　 ; 若将平移后的抛物线沿 y 轴翻折,则变换 后的抛物线的表达式为　 　 　 　 . [拓展 4-2]若将平移后的抛物线绕原点旋 转 180°,则变换后抛物线的表达式为 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 班级: 　 　 姓名: 　 　 学号: 　 　 日期: 分层作业本·江西数学 　 第 三 章 函 　 数 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 [变式 4-1]若将抛物线 y=-x2 先向左平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度,则 平移后抛物线的表达式为　 　 　 　 . [变式 4-2]若抛物线 y = -x2 不动,将 x 轴 向下平移 1 个单位长度,将 y 轴向右平移 3 个单位长度,则新坐标系中抛物线的表达 式为　 　 　 　 . 5.下面每对函数的图象,一定关于原点对称的 是 　 　 　 　 (填序号) . ①y= 2x2+1 与 y=-2x-1; ②y= x2+1 与 y=-x2-1; ③y= x2+1 与 y=-x2; ④y=(x-1) 2 与 y=-(x+1) 2 . 6.对于抛物线 y1 = ax2+bx+c 和抛物线 y2 = -ax2 - bx+c,下列结论错误的是 ( C ) A.两条抛物线开口方向相反 B.两条抛物线对称轴相同 C.两条抛物线一定有两个不同的交点 D.两条抛物线关于直线 y= c 对称 7.[2024 九江模拟]在平面直角坐标系中,若把对称 轴为直线 x=1 的抛物线 y=mx2+nx+m-2(m>2) 向上平移,使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有 两个交点,则下列平移方式正确的是 ( B ) A.向上平移 1 个单位长度 B.向上平移 2 个单位长度 C.向上平移 3 个单位长度 D.向上平移 4 个单位长度 8.点 P(m,5)在抛物线 C:y=-(x-3) 2+6 上,将抛 物线 C 进行平移得抛物线 C′:y=-x2+2,P 的对 应点为 P′,则点 P′移动的最短路程为 ( C ) A.3　 　 　 B.4　 　 　 C.5　 　 　 D.6 　 9.[2020 江西 6 题 3 分]在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,抛物线 y= x2-2x-3 与 y 轴交于点 A,与 x 轴 正 半 轴 交 于 点 B, 连 接 AB, 将 Rt△OAB 向右上方平移,得到 Rt△O′A′B′,且 点 O′,A′落在抛物线的对称轴上,点 B′落在抛 物线上,则直线 A′B′的表达式为 ( B ) A.y= x B.y= x+1 C.y= x+ 1 2 D.y= x+2 10.已知抛物线 y = ( x-m) ( x-m-k) (m,k 是实 数)的对称轴为直线 x = -1,现将该抛物线先 向右平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位 长度后,得到的抛物线正好经过坐标原点,则 m2+k2 的值是　 　 　 　 . 11.已知抛物线 L1:y= x2+2kx+k-2 的顶点为 M. (1)当 k=-1 时,抛物线的对称轴是　 　 　 ;顶 点 M 的坐标是 　 　 　 　 ;当函数值 y 随 x 的增大而减小时,自变量 x 的取值范围 为 　 　 　 　 ; (2)若抛物线L1:y = x2+2kx+k-2 关于直线 y = -k 轴对称后得到新的抛物线 L2,其顶点 为 M′(x,y) . ①当 k=-1 时,请在图中画出相应的 L1,L2 的图象; ②求顶点 M′的纵坐标 y 与横坐标 x 之间 的关系式; ③直接写出当 k 为何值时,顶点 M′恰好落 在 x 轴上. 第 11 题图 解:①L1,L2 的图象如解图所示; ②∵ y=x2+2kx+k-2=(x+k) 2-k2+k-2, ∴抛物线顶点为 M(-k,-k2+k-2), ∴点 M 关于直线 y=-k 对称的点为 M′(-k,k2-3k+ 2), ∴顶点 M′的纵坐标 y 与横坐标 x 之间的关系式为 y=x2+3x+2; ③k=1 或 k=2. (本题解法提示见本册参考答案) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 分层作业本·江西数学 分 层 作 业 本 4.D　 【解析】∵ 二次函数的图象的开口方向向上,对称轴在 y 轴 的右侧,∴ a>0,- b 2a >0,∴ b<0,∴ P(a,b)在第四象限. 5.B 6.A　 【解析】∵ 二次函数 y= ax2 +(2a-3) x+a-1 图象经过第一、 二、四象限,∴ a>0,Δ= (2a-3) 2 -4a(a-1) >0 且 a-1≥0,解得 1≤a< 9 8 . 7.B 8.B　 【解析】由图知,抛物线的对称轴是直线 x = 2,且抛物线过 (-1,0),∴ 抛物线必过点(2+3,0),即(5,0) .∴ 抛物线与 x 轴 有两个交点.∴ b2-4ac>0,即 b2>4ac,故①正确;∵ 抛物线的对称 轴是直线 x= 2= - b 2a ,∴ b = -4a,则 4a+b = 0,故②正确;∵ 由图 象可得当 x=-2 时,y= 4a-2b+c<0,∴ 4a+c<2b,故③错误;∵ 当 x=-1 时,y=a-b+c= 0,∴ b=a+c,又∵ b = -4a,∴ -4a = a+c,故 c =-5a.∴ -3b+c=-3×(-4a) -5a = 7a<0,故④错误;∵ 顶点坐标 为(2,4),抛物线开口向下,∴ 抛物线 y = ax2 +bx+c 最大值为 4, ∴ 直线 y= 5 与抛物线 y = ax2 +bx+c 没有交点,∴ 方程 ax2 +bx+c = 5 没有实数根,故⑤正确.综上,正确的有 3 个. 9.(1)直线 x=-2;(2)直线 x=-1;(3)直线 x = -3;(4)直线 x = 1; (5)直线 x= 2;(6)直线 x= 3 2 10.B 11.B　 【解析】∵ 二次函数 y =mx2 -(m2 -3m) x+1-m 的图象经过 点(a,b),(-a,b),∴ 函数图象关于 y 轴对称,∴ 函数的表达式 形式应该是 y=ax2+k 型,∴ -(m2-3m)= 0,解得 m= 0 或 m= 3, ∵ 二次函数的二次系数不能为 0,∴ m= 3. 12.y1>y2 　 【解析】解法一:根据解析式 y = -( x-1) 2 +1 可知抛物 线对称轴为直线 x= 1,开口方向向下,∴ 离对称轴越远的点函 数值越小,∵ 2-1= 1,3-1= 2,∴ y1>y2 . 解法二思路点拨:直接代值计算. [变式 12-1](1)y1<y2;(2)C　 【解析】(1)∵ y= x2-2x+n,∴ 抛 物线 y= x2-2x+n 的开口向上,对称轴是直线 x=- -2 2×1 = 1,∴ 当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,∵ (1,y1),(3,y2)是抛物线 y = x2 -2x+n 上的点,1<3,∴ y1<y2;(2)由(1)知,抛物线 y = x2-2x+n 的开口向上,对称轴为直线 x= 1,当 x<1 时,y 随 x 的增大而减 小,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,∴ 点 P( -1,y1)关于对称 轴的对称点为(3,y1),∵ 抛物线 y= x2-2x+n 经过点 P(-1,y1) 和 Q(m,y2),且 y1<y2,∴ m<-1 或 m>3. [变式 12-2]C　 【解析】∵ 二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象经过 点(-2,-1),(4,-1),∴ 该二次函数图象的对称轴是直线 x = -2+4 2 = 1,∵ A(x1,y1)到直线 x = 1 的距离为 | x1 -1 | ,B(2-x1, y2)到直线 x= 1 的距离为 | x1-1 | ,∴ y1 = y2 . [变式 12-3]D　 【解析】由抛物线 y = 2 3 ( x-1) 2 +c 可知:抛物 线开口向上,对称轴为直线 x = 1,该抛物线上所有的点满足离 对称轴的距离越近,其对应的函数值也就越小,三点分别为 (-2,y1),(0,y2),( 5 2 ,y3),∵ 1-(-2)= 3,1-0= 1, 5 2 -1 = 3 2 , 1< 3 2 <3,∴ 点(0,y2 )离对称轴最近,点( -2,y1 )离对称轴最 远,∴ y1>y3>y2 . 13.21　 [变式]2 14.D　 【解析】由题意知 4a-2b+c=-8, c= 0, 9a+3b+c=-3, { 解得 a=-1, b= 2, c= 0, { ∴ 二次函数 的表达式为 y=-x2+2x.∵ a = -1<0,∴ 二次函数图象的开口向 下,故 A 选项不符合题意;∵ y = -x2 +2x = -( x-1) 2 +1,∴ 二次 函数图象的对称轴为直线 x= 1,故 D 选项符合题意.∵ a = -1< 0,∴ 当 x≤1 时,y 随 x 的增大而增大,当 x>1 时,y 随 x 的增大 而减小,故 B 选项不符合题意;令 y = 0 得-x2+2x = 0,解得 x1 = 0,x2 = 2,∴ 二次函数图象与 x 轴的交点坐标为(0,0)和(2,0) . 又∵ 二次函数图象的顶点坐标为(1,1),∴ 二次函数图象经过 第一、三、四象限,故 C 选项不符合题意. 15.C　 【解析】∵ 二次函数 y = -x2 +2mx-3(m>0),∴ 对称轴是直 线 x=- 2m 2×(-1) = m,且二次函数图象开口向下,∴ 当 x<m 时,y 随 x 的增大而增大,当 x>m 时,y 随 x 的增大而减小.①当-1<0 <m<3 时,函数在 x =m 处取最大值为-m2 +2m2 -3 =m2 -3 = 1, ∴ m= 2 或 m=-2(舍去);②当 m≥3 时,函数在 x= 3 处取最大 值为-9+6m-3= 1,∴ m= 13 6 <3,不符合题意.综上,m= 2. 16.C　 【解析】∵ y= x2-2x=(x-1) 2-1,∴ 二次函数图象的对称轴 为直线 x= 1,且顶点坐标为(1,-1),∵ 1-(-1)= 3-1,∴ x = -1 和 x= 3 时的函数值相等,∵ -1≤x≤t-1,当 x = -1 时,函数取 得最大值,∴ t-1≤3,又∵ 当 x = 1 时,函数取得最小值,∴ t-1 ≥1,∴ 1≤t-1≤3,解得 2≤t≤4. 命题点 9　 二次函数表达式的确定及图象的变换 1.(1)y=(x-4) 2-25;(2)y=(x-9)(x+1) 2.解:把 A(1,-2)和 B(0,-5)分别代入 y= x2+bx+c, 得 1+b+c=-2, c=-5,{ 解得 b= 2, c=-5,{ ∴ 该二次函数的表达式为 y= x2+2x-5, ∵ y= x2+2x-5=(x+1) 2-6, ∴ 该二次函数图象的顶点坐标为(-1,-6) . [变式 2-1]解:设抛物线的表达式为 y=a(x-1) 2(a≠0), 把(2, 2)代入,得 a= 2, ∴ 抛物线的表达式为 y= 2(x-1) 2(或 y= 2x2-4x+2) . [变式 2-2]解:解法一:设抛物线的表达式为 y = a( x-2) 2 +h(a ≠0), 把(0,-3),(3,0)代入,得 -3= 4a+h, 0=a+h,{ 解得 a=-1, h= 1,{ ∴ 抛物线的表达式为 y=-(x-2) 2+1(或 y=-x2+4x-3) . 解法二:设抛物线的表达式为 y=ax2+bx-3(a≠0), ∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 2,∴ - b 2a = 2,即 b=-4a, ∴ y=ax2-4ax-3, 把(3,0)代入,得 0= 9a-12a-3,解得 a=-1, ∴ 抛物线的表达式为 y=-x2+4x-3. 解法三:∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 2,与 x 轴的一个交点为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 分层作业本·江西数学 分 层 作 业 本 (3,0), ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(1,0), 设抛物线的表达式为 y=a(x-1)(x-3)(a≠0), 把(0,-3)代入,得-3= 3a,解得 a=-1, ∴ 抛物线的表达式为 y=-(x-1)(x-3)= -x2+4x-3. [变式 2-3]解:∵ 抛物线的对称轴为直线 x = -2,且在 x 轴上截 得的线段长为 6, ∴ 抛物线与 x 轴的两个交点坐标为(-5,0),(1,0), 设抛物线的表达式为 y=a(x+5)(x-1),且 a≠0, 把(-1,8)代入,得 8= -8a,解得 a=-1, ∴ 抛物线的表达式为 y=-(x+5)(x-1)= -x2-4x+5. 3.解:在抛物线 y=ax2+(4a-1)x-4 中, 当 x= 0 时,y=-4, ∴ C(0,-4),∴ OC= 4, ∵ OC= 2OB,∴ OB= 2,∴ B(2,0), 将 B(2,0)代入 y=ax2+(4a-1)x-4,解得 a= 1 2 , ∴ 抛物线的解析式为 y= 1 2 x2+x-4. 4.(1,2) [拓展 4-1]y= x2-2x-1; y=-x2-2x+1 [拓展 4-2]y= x2+2x-1 [变式 4-1]y=-(x+2) 2-3 [变式 4-2]y=-(x+3) 2+1 5.②④　 6.C 7.B　 【解析】∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 1,∴ - n 2m = 1,∴ n = -2m,∴ 抛物线的表达式为 y=mx2 -2mx+m-2 =m( x-1) 2 -2,∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-2),∵ 平移后的抛物线与坐标轴恰好 有两个交点,抛物线与 y 轴有交点(0,m-2),∴ 平移后的抛物线 顶点在 x 轴上,∴ 抛物线应向上平移 2 个单位长度. 8.C　 【解析】∵ 抛物线 C:y=-(x-3) 2+6,∴ 抛物线 C 的顶点坐标 为(3,6),∵ 抛物线 C′:y=-x2+2,∴ 抛物线 C′的顶点坐标为(0, 2),将抛物线 C 进行平移得抛物线 C′,∴ 点 P′移动的最短路程 为顶点由(3,6)移到(0,2)的距离,∴ 最短距离为 32+(6-2) 2 = 5. 第 9 题解图 9.B　 【解析】如解图,∵ 抛物线 y = x2 -2x-3 与 y 轴交于点 A,与 x 轴正半轴交于点 B, 令 y= 0,解得 x=-1 或 x = 3,令 x = 0,得 y = -3,∴ B(3,0),A(0,-3),∵ 抛物线 y = x2 - 2x-3 的对称轴为直线 x = - -2 2×1 = 1,∴ 点 A′ 的横坐标为 1,设A′(1,n),则 B′(4,n+3),∵ 点 B′落在抛物线 上,∴ n+3= 16-8-3,解得 n = 2,∴ A′(1,2),B′(4,5),设直线 A′B′的表达式为 y = kx+b( x≠0),∴ k+b= 2, 4k+b= 5,{ 解得 k= 1, b= 1,{ ∴ 直 线 A′B′的表达式为 y= x+1. 10.1　 【解析】∵ 抛物线 y=(x-m)(x-m-k)(m,k 是实数)的对称 轴为直线 x=-1,∴ m+m+k 2 = -1,∴ 2m+k=-2,∴ k= -2-2m,y = (x+1) 2+m(m+k) -1,∴ 将该抛物线先向右平移 2 个单位长 度,再向下平移 1 个单位长度后,得到的抛物线的表达式是 y = (x-1) 2+m(m+k) -2,∴ 将(0,0)代入,得 0 = 1+m(m+k) -2, ∴ m(m+k)= 1,把 k= -2-2m 代入,整理得 m2 +2m+1 = 0,解得 m=-1,∴ k= 0,∴ m2+k2 = 1. 11.解:(1)直线 x= 1;(1,-4);x≤1;【解法提示】∵ k = -1,∴ y = x2 -2x-1-2= x2-2x-3=(x-1) 2-4,∴ 抛物线的对称轴为直线 x = 1,顶点为(1,-4),∵ 此时 a= 1>0,∴ 在抛物线的对称轴左侧, 函数值 y 随 x 的增大而减小,即当 x≤1 时,函数值 y 随 x 的增 大而减小. (2)①∵ M 点关于直线 y= 1 的对称点为 M′(1,6), ∴ 抛物线L2:y=-(x-1 ) 2+6=-x2+2x+5,列表如下: x … -2 -1 0 1 2 … y= x2-2x-3 … 5 0 -3 -4 -3 … y=-x2+2x+5 … -3 2 5 6 5 … 描点、连线,画出 L1,L2 的图象如解图所示; 第 11 题解图 ②∵ y= x2+2kx+k-2=(x+k) 2-k2+k-2, ∴ 抛物线顶点为 M(-k,-k2+k-2), ∴ 点 M 关于直线 y=-k 对称的点为 M′(-k,k2-3k+2), ∴ 顶点M′的纵坐标 y 与横坐标 x 之间的关系式为 y=x2+3x+2; ③k= 1 或 k = 2.【解法提示】当顶点 M′恰好落在 x 轴上时,k2 - 3k+2= 0,解得 k= 1 或 k= 2. 命题点 10　 二次函数图象与性质的应用 1.A　 2.x1 = 0,x2 = 2　 [拓展 2-1]x<0 或 x>2 [拓展 2-2]k>2　 [拓展 2-3] 1 2 <x<2 3.(3,9) 　 【解析】y= x2+kx-3k= x2+k(x-3),令 x-3 = 0,解得 x = 3,则 y= 32 = 9,∴ 抛物线恒过点(3,9) . [变式] (0,-2),(3,1)　 【解析】 y = ax2-(3a-1) x-2 = ax2 -3ax +x-2=(x2-3x)a+x-2,令x2-3x= 0,即 x( x-3)= 0,解得 x = 0 或 x= 3,当 x= 0 时,y= 0-2=-2;当 x= 3 时,y= 3-2= 1,∴ 抛物线恒 过点(0,-2)和(3,1) . 4.B　 【解析】∵ 二次函数 y = 2mx2 +(1-m) x-1-m 可变形为 y = (2mx+1+m)(x-1),∴ 二次函数图象与 x 轴的两个交点分别为 (1,0),( -m-1 2m ,0) .①函数图象经过定点(1,0);②当 m=-1 时, 函数 y=(2mx+1+m)(x-1)= -2x(x-1)= -2( x- 1 2 ) 2+ 1 2 ,∴ 二 次函数图象的顶点坐标是( 1 2 , 1 2 );③当 m<0 时,函数图象的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31