2.2 分式方程及其应用-【一战成名新中考】2025江西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·江西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 2　 分式方程及其应用(10 年 3 考) 　 考向 1　 分式方程的解法 1.[2023 大连]将方程 1 x-1 +3 = 3x 1-x 去分母,两边同 乘(x-1)后的式子为 ( B ) A.1+3= 3x(1-x)　 　 　 B.1+3(x-1)= -3x C.x-1+3=-3x D.1+3(x-1)= 3x 2.[2024 无锡]分式方程 1 x = 2 x+1 的解是 ( A ) A.x= 1　 　 B.x=-2　 　 C.x= 1 2 　 　 D.x= 2 3.已知关于 x 的方程 a 2a-x = 1 3 的解是 x = 1,则 a 的值为 ( C ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 4.[2024 福建]解方程: 3 x+2 +1= x x-2 . 解:方程两边都乘(x+2)(x-2), 得 3(x-2)+(x+2)(x-2)= x(x+2), 整理,得 3x-10=2x, 解得 x=10, 经检验,x=10 是原方程的解. 5. 名师原创 以下是小戴同学解分式方程 2-x 3-x = 4 x-3 -1 的过程. 解:x -2 x-3 = 4 x-3 -1, ①………… x-2= 4-x-3, ②……………… 2x= 3, ③……………………… 解得 x= 3 2 . ④………………… (1)小金同学看完后对小戴同学说他解错了, 请你帮小戴指出错误出现在第　 　 　 　 步 (填序号),小戴同学第①步的解题的依据 是　 　 　 　 ;(填序号) A.等式的基本性质;B.分式的基本性质; C.乘法分配律; D.乘法交换律 (2)请你帮小戴同学写出正确的解题过程. 解:方程两边同乘(x-3),得 x-2=4-(x-3), 去括号,得 x-2=4-x+3, 整理,得 2x=9, 解得 x= 9 2 , 经检验,x= 9 2 是原方程的解. 考向 2 　 分式方程的实际应用(2022.10,2021. 18,2019.11) 6.[2024 临夏州]端午节期间,某商家推出“优惠酬 宾”活动,决定每袋粽子降价 2 元销售.细心的 小夏发现,降价后用 240 元可以比降价前多购 买 10 袋,求:每袋粽子的原价是多少元? 设每 袋粽子的原价是 x 元,所列方程正确的是 ( C ) A.240 x -240 x+2 = 10 B.240 x -240 x-2 = 10 C.240 x-2 -240 x = 10 D.240 x+2 -240 x = 10 7. 创新考法 课本习题:“某超市的一种瓶装饮料 每箱售价为 36 元,假期期间对该瓶装饮料进行 促销活动,买一箱送两瓶,这相当于每瓶按原价 的九折销售,求这家超市销售这种饮料的原价 每瓶是多少元及每箱多少瓶.”以下为甲、乙两 位同学列出的方程: [甲]解:设这种饮料每箱 x 瓶, 则 36 x ×0.9= 36 x+2 ; [乙]解:设这种饮料每瓶是 y 元, 则 0.9×(36+2y)= 36. 下列说法正确的是 ( C ) A. 甲对、乙错 B. 甲错、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 班级: 　 　 姓名: 　 　 学号: 　 　 日期: 分层作业本·江西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 8.为了缅怀革命先烈,传承红色精神,某学校九年 级师生在清明节期间前往距离学校 15 km 的烈 士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先出发,过了 30 min 后,其余师生乘汽车出发,结果他们同 时到达.已知汽车的速度是骑自行车师生速度 的 3 倍,设骑自行车师生的速度为 x km / h,根 据题意,可列方程　 　 　 　 　 　 　 　 . 9.[2024 东营]水是人类赖以生存的宝贵资源,为 节约用水,创建文明城市,某市经论证从今年 1 月 1 日起调整居民用水价格,每立方米水费上 涨原价的 1 4 ,小丽家去年 5 月份的水费是 28 元,而今年 5 月份的水费则是 24.5 元.已知小丽 家今年 5 月份的用水量比去年 5 月份的用水量 少 3 米3.设该市去年居民用水价格为 x 元 /米3, 则可列分式方程为　 　 　 　 　 　 　 　 . 10.多解法 ∙∙∙ 　 某中学八年级两个班各为一贫困地 区学生捐款了 1 800 元.已知 B 班的人数比 A 班的人数少 10%,B 班比 A 班人均捐款多 4 元.求出这两个班级的“人数”和“人均捐款” 的钱数. 解:设 A 班的人数为 x 人,则 B 班的人数为 (1 - 10%)x 人, 根据题意得 1 800 x = 1 800 (1-10%)x -4, 解得 x=50, 经检验,x=50 是原方程的解,且符合题意, ∴ (1-10%)x=0.9×50=45, ∴1 800 50 =36(元),1 800 45 =40(元) . 答:A 班的人数为 50 人,人均捐款 36 元;B 班的人 数为 45 人,人均捐款 40 元. (其他解法见本册参考答案) 　 11.[2024 齐齐哈尔]如果关于 x 的分式方程 1 x - m x+1 = 0 的解是负数,那么实数 m 的取值范围是 ( A ) A.m<1 且 m≠0 B.m<1 C.m>1 D.m<1 且 m≠-1 [变式]如果关于 x 的分式方程 2 x-1 = 1- m x-1 无 解,则 m 的值为　 　 　 　 . 12.[2021 江西 18 题 8 分]甲、乙两人去市场采购相 同价格的同一种商品,甲用 2 400 元购买的商 品数量比乙用 3 000 元购买的商品数量少 10 件. (1)求这种商品的单价; (2)甲、乙两人第二次再去采购该商品时,单 价比上次少了 20 元 /件,甲购买商品的总 价与上次相同,乙购买商品的数量与上次 相同,则甲两次购买这种商品的平均单价 是　 　 　 　 元 /件,乙两次购买这种商品 的平均单价是　 　 　 　 元 /件; (3)生活中,无论油价如何变化,有人总按相 同金额加油,有人总按相同油量加油,结 合(2)的计算结果,建议按相同　 　 　 　 加油更合算(填“金额”或“油量”) . 由题意得 3 000 x -2 400 x =10, 解得 x=60, 经检验,x=60 是原方程的解,且符合题意. 答:这种商品的单价为 60 元 /件. (2)48,50;【解法提示】第二次购买该商品时的单价 为 60-20= 40(元 /件),∴第二次购买该商品时,甲 购买的商品数量为 2 400÷40 = 60(件),乙购买的总 价为(3 000÷60)×40= 2 000(元),∴甲两次购买这 种商品的平均单价是 2 400×2÷(2 400 60 +60)= 48(元 / 件),乙两次购买这种商品的平均单价是(3 000 + 2 000)÷(3 000 60 ×2)= 50(元 /件) . (3)金额.【解法提示】∵48<50,∴按相同金额加油 更合算. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 分层作业本·江西数学 分 层 作 业 本 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其应用 1.B　 2.D 3. x= 1, y= 2{ (或 x= 5, y= 1{ )　 【解析】 x+4y = 9,即 x = 9-4y.∵ x>0,∴ 9- 4y>0,即 0<y<2 1 4 ,已知 y 是正整数,则 y 可取 1、2.当 y= 1 时,x = 9-4= 5;当 y= 2 时,x= 9-8= 1.故该二元一次方程的正整数解 为: x= 1, y= 2,{ x= 5, y= 1.{ 4.B 5.解:去分母,得 2(5x+1)-(7x+2)= 4, 去括号,得 10x+2-7x-2= 4, 移项,得 10x-7x= 4-2+2, 合并同类项,得 3x= 4, 系数化为 1,得 x= 4 3 . 6.解:解法一: 2x+y= 7①, 2x-3y= 3②,{ ①-②得 4y= 4,解得 y= 1, 将 y= 1 代入①得 x= 3, 则方程组的解为 x= 3, y= 1.{ 解法二: 2x+y= 7①, 2x-3y= 3②,{ 由①得 y= 7-2x③, 把③代入②得 2x-3(7-2x)= 3, 化简得 8x-24= 0,解得 x= 3, 把 x= 3 代入③得 y= 1, 则方程组的解为 x= 3, y= 1.{ 7.解:(1)小西,b,e; (2)选小西的解法. ①×2,得 4x-6y= 26③, ③+②,得 5x= 10,解得 x= 2, 将 x= 2 代入②中,得 y=-3, ∴ 原方程组的解为 x= 2, y=-3.{ (选小江的解法亦可) 8.320x= 200(x+10)　 9.(1+4.7%)x= 120 327　 10.B　 11.D 12.解:解法一:设书架上数学书 x 本,则语文书(90-x)本, 根据题意得 0.8x+1.2(90-x)= 84,解得 x= 60, ∴ 90-x= 30. 答:书架上数学书 60 本,语文书 30 本. 解法二:设书架上数学书 x 本,语文书 y 本, 由题意可得 x+y= 90, 0.8x+1.2y= 84,{ 解得 x= 60, y= 30.{ 答:书架上数学书 60 本,语文书 30 本. 13.解:设这件工作的总工作量为 1,完成这件工作共用了 x 小时, 根据题意,得 2 10 + x 15 +x -2-3 20 = 1,解得 x= 9. 答:完成这件工作共用了 9 小时. 14.解:(1)设一个碗的高度是 x 厘米,每增加一个碗高度增加 y 厘 米, 根据题意得 3y+x= 10.5, 4y+x= 12,{ 解得 x= 6, y= 1.5.{ 答:一个碗的高度是 6 厘米; (2)6+8×1.5= 18(厘米) . 答:这摞碗的高度是 18 厘米. 15.A 命题点 2　 分式方程及其应用 1.B　 2.A　 3.C 4.解:方程两边都乘(x+2)(x-2), 得 3(x-2)+(x+2)(x-2)= x(x+2), 整理,得 3x-10= 2x, 解得 x= 10, 经检验,x= 10 是原方程的解. 5.解:(1)②,B; (2)方程两边同乘 x-3,得 x-2= 4-(x-3), 去括号,得 x-2= 4-x+3, 整理得 2x= 9, 解得 x= 9 2 , 经检验,x= 9 2 是原方程的解. 6.C　 7.C　 8. 15 x = 15 3x +30 60 　 9. 28 x - 24.5 (1+ 1 4 )x = 3 10.解:解法一:设 A 班的人数为 x 人,则 B 班的人数为(1-10%) x 人, 根据题意得 1 800 x = 1 800 (1-10%)x -4,解得 x= 50, 经检验,x= 50 是原方程的解,且符合题意, ∴ (1-10%)x= 0.9×50= 45, ∴ 1 800 50 = 36(元), 1 800 45 = 40(元) . 答:A 班的人数为 50 人,人均捐款 36 元,B 班的人数为 45 人, 人均捐款 40 元. 解法二:设 A 班人均捐款 m 元,则 B 班人均捐款(m+4)元, 根据题意得 1 800 m ×(1-10%)= 1 800 m+4 ,解得 m= 36, 经检验,m= 36 是原方程的解,且符合题意, ∴ m+4= 36+4= 40, ∴ 1 800 36 = 50(人), 1 800 40 = 45(人) . 答:A 班的人数为 50 人,人均捐款 36 元;B 班的人数为 45 人, 人均捐款 40 元. 11.A　 [变式]-2 12.解:(1)设这种商品的单价为 x 元 /件. 由题意得 3 000 x -2 400 x = 10,解得 x= 60, 经检验,x= 60 是原方程的解,且符合题意. 答:这种商品的单价为 60 元 /件; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 分层作业本·江西数学 分 层 作 业 本 (2)48,50;【解法提示】第二次购买该商品时的单价为 60-20 = 40(元 /件),∴ 第二次购买该商品时,甲购买的商品数量为 2 400÷40= 60(件),乙购买的总价为(3 000÷60) ×40= 2 000 (元),∴ 甲两次购买这种商品的平均单价是 2 400×2÷( 2 400 60 + 60)= 48(元 /件),乙两次购买这种商品的平均单价是(3 000+ 2 000)÷( 3 000 60 ×2)= 50(元 /件) . (3)金额.【解法提示】∵ 48<50,∴ 按相同金额加油更合算. 命题点 3　 一元二次方程及其应用 1.A　 2.B　 3.C　 4.C 5.解:(1)3(x-1) 2-12= 0, (x-1) 2 = 4, x-1=±2, ∴ x1 = 3,x2 =-1; (2)3x2-1= 2x, 3x2-2x-1= 0, Δ= 4-4×3×(-1)= 16, ∴ x1 = 2+4 6 = 1,x2 =- 1 3 . 6.解:(1)三,方程的右边漏加了 9; (2)4x2-12x-1= 0, 4x2-12x= 1, 4x2-12x+9= 1+9, (2x-3) 2 = 10, 2x-3=± 10 , ∴ 2x-3= 10或 2x-3=- 10 , ∴ x1 = 3+ 10 2 ,x2 = 3- 10 2 ; (3)我不同意小刚同学的说法,得到的启示:我们要灵活运用配 方法来解一元二次方程. 7.D　 8.B　 9.1　 [变式 9-1]k>1　 [变式 9-2]0(答案不唯一) 　 10.D　 11.D　 12.4 13.12　 【解析】∵ 一元二次方程 x2-8x+m= 0 的两根为 x1,x2,∴ x1 +x2 = 8,∵ x1 = 3x2,解得 x1 = 6,x2 = 2,∴ m= x1x2 = 6×2= 12. 14.2　 【解析】∵ m,n 是 x2-x-1= 0 的两个实数根,∴ m2-m-1 = 0, 即 m2 =m+1,m+n= 1,∴ m2+n=m+n+1= 2. 15.B　 16.C　 17.C　 18.D 19.解:(1)设进馆人次的月平均增长率为 x, 由题意得 128+128(1+x)+128(1+x) 2 = 608, 化简得 4x2+12x-7= 0, ∴ (2x-1)(2x+7)= 0, ∴ x= 0.5= 50%或 x=-3.5(舍) . 答:进馆人次的月平均增长率为 50%; (2)校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.理由如下: ∵ 进馆人次的月平均增长率为 50%, ∴ 第四个月的进馆人次为 128×(1+ 50%) 3 = 128× 27 8 = 432< 500. 答:校图书馆能接纳第四个月的进馆人次. 命题点 4　 一元一次不等式(组)及其应用 1.C　 2.≥　 3.A　 [变式 3-1]B　 [变式 3-2]D　 4.x≥3 5.A　 6.B　 [变式]D　 7.-1(答案不唯一) 8.解:(1)乘法分配律; (2)①,正确的解题过程如下: 去分母,得 2(2x+1)<x+2+12, 去括号,得 4x+2<x+2+12, 移项,得 4x-x<2+12-2, 合并同类项,得 3x<12, 系数化为 1,得 x<4. 9.解: 2x<x+2①, x≤ 5 3 (1+x)②,{ 解不等式①得 x<2, 解不等式②得 x≥- 5 2 , ∴ 不等式组的解集是- 5 2 ≤x<2, ∴ 其所有整数解为-2,-1,0,1. 10.解: 3x-4<x①, 2(2+x) >-2x②,{ 解不等式①得 x<2, 解不等式②得 x>-1, ∴ 不等式组的解集为-1<x<2, 把不等式组的解集表示在数轴上,如解图所示. 第 10 题解图 11.B　 12. 2 3 x>60　 13.8.8　 14.C 15.解:设购买这种型号的水基灭火器 x 个,则购买干粉灭火器(50 -x)个, 根据题意得 540x+380(50-x)≤21 000,解得 x≤12.5, ∵ x 为正整数,∴ x 取最大值为 12. 答:最多可购买这种型号的水基灭火器 12 个. 16.B　 17.-3≤m<-2　 [变式]m≤-6 ★专项训练二　 方程(组)与不等式 的实际应用 1.解:(1)设该班的学生人数为 x 人, 根据题意,得 3x+20= 4x-25,解得 x= 45. 答:该班的学生人数为 45 人; (2)设购买甲树苗 y 棵,则购买乙树苗(3×45+20-y)棵, 根据题意,得 30y+40(3×45+20-y)≤5 400,解得 y≥80, ∴ y 的最小值为 80. 答:至少购买了甲树苗 80 棵. 2.解:(1)设 A 种湘绣作品的单价为 x 元,B 种湘绣作品的单价为 y 元, 根据题意得 x+2y= 700, 2x+3y= 1 200,{ 解得 x= 300, y= 200.{ 答:A 种湘绣作品的单价为 300 元,B 种湘绣作品的单价为 200 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4