专题培优 平行线中的四种拐点模型-【提优精练】2024-2025学年八年级上册数学（北师大版）

所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=150°- 4解：如图，过点E作EF∥AB. 120°=30° 因为BE∥AD,CF∥AD, 所以BE∥CF 所以∠C+∠CBE=180° 所以∠C=180°-∠(CBE=180°-30°=150. 因为AB∥CD,∠BAE=92, 所以CD∥EF,∠AEF=180°-∠BAE=88. 因为∠DCE=121°， 所以∠CEF=180°-∠DCE=59°， D 所以∠AEC=∠AEF-∠CEF=88°-59°=29° 专题培优平行线中的四种拐点模型 5.解：如图，过点E作GF∥AB. A B 1.解：40 2.解：如图所示，过点E作EF∥AB. 因为AB∥GF,所以∠B+∠BEG=180°. 因为∠B=110, 所以∠BEG=180°-110°=70. 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EF, 因为AB∥CD,AB∥GF, 所以∠AEF=∠A=30,∠DEF=∠D=45. 所以CD∥GF,所以∠C+∠CEF=180 所以∠AED=∠AEF+∠DEF=30°+ 因为∠C=100 45°=75°， 所以∠CEF=180°-100°=80° 所以∠1=∠AED=75 所以∠BEC=180°-∠BEG-∠CEF= 3.解：如图，过点B作BD∥AM. 180°-70°-80°=30 6.解：如图，过点E作EF∥AB. E …f D D B 因为AM∥CN,所以AM∥CN∥BD. 因为AB∥EF,AB∥CD, 因为∠MAB=120°，所以∠ABD=60° 所以EF∥AB∥CD. 因为∠ABC=90°，所以∠DBC=30 所以∠FEB=∠B,∠FED=∠D. 所以∠BCN=180°-∠DBC=150°. 因为∠DEB=∠FEB一∠FED,∠B=60°， w53 ∠D=30°， 因为AE平分∠BAC, 所以∠DEB=∠B-∠D=60°-30°=30° 所以∠BAC=2∠BAE=90. 5三角形内角和定理 因为AD⊥BC,∠BAD=60°. 第1课时三角形内角和定理 所以∠B=30°， 1.解：(1)∠A=45.∠B=45°，∠C=90 所以∠ACB=90一30°=60° (2)等腰直角 (2)由(1)中，∠EAD=15°，∠ACB-∠B (3)直角三角形. 60°-30°=30°， 2.A3.35° 发现∠ACB-∠B=2∠EAD 4.解：∠A,∠B,∠C的度数分别为30°， (3)结论仍然成立，理由如下： 50°，100 在△ABC中，因为AD⊥BC,AE平 5.C6.32 分∠BAC, 7.解：∠1=∠2.理由如下： 所以∠ADC=∠ADB=90',∠BAE=∠CAE, 因为AD,CE是△ABC的高， 所以∠ACB-∠B=[180°-(90-∠CAD)] 所以∠ADB=∠CEB=90°， (90°-∠BAD)=∠BAD+∠CAD. 所以∠2+∠B=90°.∠1+∠B=90°， 又因为∠BAD=∠BAE+∠EAD,∠CAD= 【点拨】直角三角移的两锐角至余。 ∠EAD-∠CAE. 所以∠1=∠2. 所以∠ACB-∠B=2∠EAD十∠BAE 8解：∠D=20 ∠CAE=2∠EAD. 9.解：∠ACB=108 第2课时三角形的外角 10.解：∠BDC=80°，∠EDC=30° 1.(1)110 11.解：因为∠BFC=116°， (2)证明：因为∠BDE>∠DCE,∠DCE 所以∠FBC+∠FCB=180°-∠BFC= ∠A,所以∠BDE>∠A. 180°-116°=64. (3)证明：因为点E是AC延长线上的一点， 因为BE,CD分别是∠ABC,∠ACB的平 所以∠BCE=∠A十∠B. 分线， 因为D是BC上的一点， 所以∠ABC=2∠FBC,∠ACB=2∠FCB. 所以∠BDE=∠E+∠BCE, 所以∠ABC+∠ACB=2(∠FBC+ 所以∠BDE=∠E+∠A十∠B. ∠FCB)=2×64°=128°， 2.C3.C4.105 所以∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)= 5.证明：因为∠ACD是△ABC的一个外角. 180°-128°=52 所以∠ACD>∠BAC. 12.解：(1)因为∠BAD=60°，∠EAD=15°， 因为∠BAC是△AEF的一个外角， 所以∠BAE=∠BAD-∠EAD=45 所以∠BAC>∠E,所以∠ACD>∠E. w54第 平行线的证明 专题培优平行线中的四种拐点模型 模型一 “二”形拐点模型 模型二 “”形拐点模型 1.“”形中出现了“拐点”,且在平行线内部, 1.“”形中出现了“拐点”,且在平行线内部, 在平行线中经常用于求角度大小问题,解答 有时存在多个拐点,在平行线问题中,经常用 时,一般通过过拐点作平行线或连接两点得 于求角度大小或角之间的关系,一般通过过 到角的数量关系或两条直线之间的位置关系 拐点作平行线或连接两点来解决问题 来解题. 2.解题思路: 2.解题思路: (1)过拐点作平行线 (1)过拐点作平行线 基本图形及辅助线如图①所示 基本图形及辅助线如图①所示 常用结论:若AB//CD,则 /B十 D十 常用结论:若AB//CD,则 B十/D-BED BED-360{*。 1 B )# 图② 图① D 图① 图② (2)连接已知两点 (2)连接已知两点 基本图形及辅助线如图②所示 基本图形及辅助线如图②所示。 利用三角形的内角和为180{}以及平行线的性 利用三角形内角和为180{}以及平行线的性质 质进行转化求解。 进行转化求解 1.如图,已知AB/CD, AEC=70{}, C= 3.如图,将一个直角三角尺按如图所示的位置 30*,求A的度数 _ 摆放在直尺上,MAB=120{},ABC 90{*,试求 BCN的度数 M 科枝 2.一副三角尺按如图所示的方式摆放,其中两 条斜边互相平行,求1的度数 中数数字科技 模型 “”形拐点模型 1.“”形中出现了“拐点”,且在平行线外部. 在平行线中,一般通过过拐点作平行线或延 长平行线来解决求角的大小问题 *101帕 中数数字料支 中数数学科技 智学酷 提优精练 数学八年级 上册(BS 2.解题思路: 模型四 “二”形拐点模型 (1)过拐点作平行线 1.“”形中出现了“拐点”,且在平行线的外 基本图形及辅助线如图①所示 常用结论:若AB//CD.则 B一/D=/BED 部,一般通过在拐点处作平行线来求解平行 线中的角度大小问题 2.解题思路:过拐点作平行线 基本图形及辅助线 常用结论 D 图① 图② 若AB/CD,则B一 (2)延长平行线 E...EF.. D=/BED 基本图形及辅助线如图②所示 利用三角形的内角和为180{}以及平行线的性 6.如图,已知直线AB/CD,/B=60{*},D 质、邻补角互补进行转化求解 30{},求E的度数 4.乐乐观察“抖空竹”表演时发现,可以将某一时 刻的情形抽象成数学问题:如图,已知AB/ CD.BAE-92*$DCE=121*,求AFC 的度数. 科枝。 中数数字科技 5.如图,AB/CD,B-110*},C=100*,求$$ BEC的度数 ##科枝 中数数字科 中数数字科技 *102 中数数字料支 中数数字科技