精品解析：广东省佛山市南海外国语学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

佛山市南海外国语学校 2024-2025学年上学期九年级第三次综合素养评价 数学试题 试卷共6页，五大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 如图所示放置的正三棱柱的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于x的方程的一个根，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 5. 已知矩形中，，，下列四个矩形中与矩形相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积为2，则k的值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 7. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 点、、在反比例函数图象上，则有（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若相似比为，，则等于（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 10. 如图，点是正方形的边上的一点，线段交于点，连接．下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的值为________． 12. 如图，在中，，D为的中点，，则的长是 _____． 13. 如图，是河堤横断面的迎水坡，其中河堤的高米，米，则斜坡的坡度（即的值）为_______． 14. 如图，一次函数y1＝kx＋b图象与反比例函数y2＝的图象交于点A、B，请直接写出y1＜y2时x的取值范围_____． 15. 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为2和1时，其“加倍矩形”的对角线长为________． 三、解答题一：每小题7分，共3小题，共21分． 16. 按要求完成下列各小题． （1）计算：； （2）解方程：． 17. 甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高16米．当地中午12时，物高与影长的比是． （1）如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为_________米． （2）当地下午14时，物高与影长的比是．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 18. 下图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠，每个元件正常工作的概率均为，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． （1）如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路概率为________； （2）如图2，用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率．（用画树状图或列表方法求解） 四、解答题二：每小题9分，共3小题，共27分． 19. 综合与实践： A. 新增选项 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 （1）根据“方案一”的测量数据，求出塔的高度； （2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，） 20. 天津素称“月季之乡”．花虹园区在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花球盆栽，并使种植花卉的总面积为63平方米，修建方案如图所示． （1）利用你所学的有关图形运动的知识，求道路的宽度； （2）某盆栽供应商进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． ①降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） ②供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 21. 如图，四边形是平行四边形，过点作，，垂足分别为，，且． （1）证明四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 五、解答题三：共2小题，第22题13分，第23题114分，共27分． 22. （1）如题1图，在正方形中，点是对角线上的一点，连接，过点作交边于点，连接．求证：； （2）如题2图，若将（1）中正方形改为菱形，且，．点是对角线上的一点，连接，过点作直线，交直线于点． ①当点恰好是边的中点时，求线段的长度； ②当点是对角线的四等分点时，请直接写出线段的长度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，、是矩形两个顶点，点是线段上的一个动点(不与重合)，双曲线()经过点，与矩形的边相交于点． （1）如图①，当点为中点时，的值为______，点的坐标为______； （2）如图②，当点在线段上的任意位置时(不与重合)，连接，求证：； （3）是否存在反比例函数上不同于点的一点，满足：为直角三角形，，且，若存在，请直接写出满足以上条件时点的横坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山市南海外国语学校 2024-2025学年上学期九年级第三次综合素养评价 数学试题 试卷共6页，五大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 如图所示放置的正三棱柱的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图的判断，熟练掌握俯视图是从上往下看得到的图形，是解题的关键． 【详解】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是 故选：A． 2. 如图，在中，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正弦的定义．熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴； 故选D． 3. 若是关于x的方程的一个根，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 4. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 故选：B． 5. 已知矩形中，，，下列四个矩形中与矩形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可． 验证对应边是否成比例即可判断． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：，符合题意； D：，不符合题意； 故选：C 6. 如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积为2，则k的值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义． 根据反比例函数中k的几何意义得到，再结合图象即可求解． 【详解】解：由条件可知， 解得：， ∵， ∴， 故选：A． 7. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键． 【详解】解：两条直线被三条平行线所截， ， ，， ， ， 故选：B． 8. 点、、在反比例函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当，函数的两个分支分布在二、四象限，在每个象限内，都随的增大而增大；当时，函数的两个分支分布在一、三象限，在每个象限内，都随的增大而减小． 先根据判断出反比例函数图象所在的象限，再根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：点、、在反比例函数图象上，， 函数图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ， ， 故选：A． 9. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若相似比为，，则等于（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由与是位似图形可得，进而得到相似比为，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：与是位似图形，点是位似中心， ∴， ∵位似比为， ∴相似比为， ∴， 即， ∴， 故选：B． 10. 如图，点是正方形的边上的一点，线段交于点，连接．下列结论一定成立的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 证明和全等得，对于选项、C、，无法证明即可，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，故选项A成立，符合题意； 无法证明、、， 故选：A 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，将分式化成含有的形式，再代入的值计算即可，将分式转化为含已知值的形式，利用整体代入法是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，D为的中点，，则的长是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵在中，，D为的中点，， ∴． 故答案为：3． 13. 如图，是河堤横断面的迎水坡，其中河堤的高米，米，则斜坡的坡度（即的值）为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得，最后根据正切的定义求得即可． 【详解】解：∵在，米，米 ∴ ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正切的定义、勾股定理等知识点，运用勾股定理求得是解答本题的关键． 14. 如图，一次函数y1＝kx＋b图象与反比例函数y2＝的图象交于点A、B，请直接写出y1＜y2时x的取值范围_____． 【答案】0＜x＜1或x＜－3 【解析】 【分析】直接写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：当x<-3或0<x<1时，y1＜y2． 故答案为0＜x＜1或x＜－3． 【点睛】本题考查了运用反比例函数和一次函数图像求解不等式，掌握运用函数图像确定不等式解集的方法是解答本题的关键． 15. 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为2和1时，其“加倍矩形”的对角线长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，找准等量关系，列出一元二次方程和求出“加倍矩形”的长和宽是解题关键． 设“加倍矩形”的长为，则宽为，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得到“加倍矩形”的长和宽，再利用勾股定理即可求出其对角线长． 【详解】解：设“加倍矩形”的长为，则宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，宽为，符合题意； 当时，宽为，不符合题意； 所以“加倍矩形”的长为，则宽为． ， 所以“加倍矩形”的对角线长为． 故答案为：． 三、解答题一：每小题7分，共3小题，共21分． 16. 按要求完成下列各小题． （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，解一元二次方程．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，因式分解法解一元二次方程． （1）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ∴ ∴， ∴， ∴，． 17. 甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高16米．当地中午12时，物高与影长的比是． （1）如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为_________米． （2）当地下午14时，物高与影长的比是．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）根据物高与影长的比是列出比例式解答即可； （2）作于点F，则，根据即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，即， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，作于点F， 在中，，， 物高与影长的比是， ， ， ， 即落在乙楼上的影子的长为米． 【点睛】本题考查平行投影，根据物高与影长的比得出相关比例式是解题的关键． 18. 下图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠，每个元件正常工作的概率均为，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． （1）如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为________； （2）如图2，用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率．（用画树状图或列表方法求解） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是画树状图或列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键． （1）根据概率公式得出只用1个电子元件①，得出该电路为断路的概率； （2）先列表得到用2个电子元件①，②组成一个电路系统时，所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：每个元件正常工作分别记为：，，每个元件不能正常工作分别记为：，， 用2个电子元件①，②组成一个电路系统，所有情况如下表： ∵从到的电路共4种等可能结果，其中该电路为正常状态的有1种， ∴该电路为正常状态的概率为． 四、解答题二：每小题9分，共3小题，共27分． 19. 综合与实践： A. 新增选项 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 （1）根据“方案一”的测量数据，求出塔的高度； （2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用． （1）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可； （2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 由题意可知， ∴，即， 解得， ∴塔的高度为米； 【小问2详解】 解：如图， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ∴米， ∴塔的高度为米． 20. 天津素称“月季之乡”．花虹园区在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花球盆栽，并使种植花卉的总面积为63平方米，修建方案如图所示． （1）利用你所学的有关图形运动的知识，求道路的宽度； （2）某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． ①降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） ②供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 【答案】（1）道路宽为1米 （2）①；②每盆应降价15元 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关及销售利润相关的一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设道路宽为米，根据种植花卉的总面积为63平方米，列出方程并求解即可； （2）①根据销售价减降价再减进价即可得利润；降价前卖出的盆数加上因降价而增加的销售量，即是现在每天卖出的盆数； ②根据：每盆的利润乘每天的销售量，结合①中的数据，列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：设道路宽为米， 由题意，得：， 整理得：， 解得：； ∵当时，， ∴不符合题意， ∴； 答：道路宽为1米； 【小问2详解】 解：①降价后每盆的利润是元； 每天卖出盆； 故答案为：； ②由①得：， 整理得：， 解得：； 为让购买者得到实惠，应取； 答：为让购买者得到实惠，每盆应降价15元． 21. 如图，四边形是平行四边形，过点作，，垂足分别为，，且． （1）证明四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定； （1）证明，可得，进而证明平行四边形为菱形； （2）根据菱形的性质可得，由，进而可得是等边三角形，勾股定理求得，根据菱形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴， 在和中： ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； 【小问2详解】 如图所示，连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴菱形的面积为． 五、解答题三：共2小题，第22题13分，第23题114分，共27分． 22. （1）如题1图，在正方形中，点是对角线上的一点，连接，过点作交边于点，连接．求证：； （2）如题2图，若将（1）中正方形改为菱形，且，．点是对角线上的一点，连接，过点作直线，交直线于点． ①当点恰好是边的中点时，求线段的长度； ②当点是对角线的四等分点时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据正方形的性质、角平分线的性质得出，进而证明四边形是正方形，得出，即可证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）①过点作于点，连接交于点，根据菱形的性质，等边三角形的性质，得出，，，根据，是的中点，得出，，进而根据得出，进而根据，即，列出方程，解关于方程，进而根据即可求解； ②当为靠近点的的四等分点时，过点，设，则，分别表示出，同①可得，进而根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点分别作垂线，垂足分别为，则， ∵点是正方形的对角线上的一点， ∴平分，则 ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形， 又∵ ∴四边形是正方形， ∴ ∵，则 ∴，即 在中， ∴ ∴； （2）①如图所示，过点作于点，连接交于点， ∵四边形是菱形，，． ∴是等边三角形， ∴，则， ∵ ∴，是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，即， ∴， 解得：（负值舍去） ∴ ②由①可得， 当为靠近点的的四等分点时，， 如图所示，过点 设，则 ∴，， 又∵，， ∴ ∴ 同理可得 ∴，即， ∴ 解得： 即 当为靠近点的的四等分点时，与边没有交点，不符合题意， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，点是线段上的一个动点(不与重合)，双曲线()经过点，与矩形的边相交于点． （1）如图①，当点为中点时，的值为______，点的坐标为______； （2）如图②，当点在线段上的任意位置时(不与重合)，连接，求证：； （3）是否存在反比例函数上不同于点的一点，满足：为直角三角形，，且，若存在，请直接写出满足以上条件时点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）存在，点的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得点的坐标，再利用中点坐标公式得点的坐标，从而得出的值，再将代入即可； （2）根据点的坐标，可得出的长度，根据即可得证； （3）根据题意可知，需要分两种情况：①当点在直线上方时，过点作轴于点，过点作于点，②当点在直线下方时，如图，过点作轴于点，过点作于点，分别设出点的横坐标，表达点的坐标，进而得出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵是矩形的两个顶点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴ 当时，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：设点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为： 点E的坐标为 ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 【小问3详解】 ①当点在直线上方时，如图，过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 设点的横坐标为， 则 ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）； ②当点直线下方时，如图，过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 设点的横坐标为， 则， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）即此时点D的横坐标为， 综上所述，点D的横坐标为点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质以及平行线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $