专题4.10 基本平面图形全章专项复习【3大考点15种题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（北师大版2024）

专题4.10 基本平面图形【3大考点15种题型】 【北师大版2024】 【考点1 线段、射线、直线】 2 【题型1 关于“三线”的表示问题】 4 【题型2 关于“三线”的作图问题】 5 【题型3 两点确定一条直线】 6 【题型4 两点之间线段最短】 7 【题型5 点、线规律探究问题】 8 【题型6 线段和差的计算】 9 【题型7 线段上动点问题的计算】 11 【考点2 角】 12 【题型9 角的和差倍分计算】 15 【题型10 关于方位角的判断】 16 【题型11 与角平分线有关的计算】 17 【题型12 余角、补角性质的应用】 18 【题型13 旋转中的角度问题】 19 【考点3 多边形和圆的初步认识】 21 【题型14 多边形】 21 【题型15 扇形面积的计算】 22 【考点1 线段、射线、直线】 知识点一：直线 1.直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单说成，两点确定一条直线. 2. 直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个小写 字母来表示，但不能用两个小写字母或 一个大写字母或一大写一小写两字母来表示. 3. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 4.直线没有端点，没有长度，不可度量.“延长直线”的说法是错误的. 知识点二：射线 1.与直线的表示类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示. 2.射线只有一个端点，没有长度，不可度量.如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”. 知识点三：线段 1.线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示.下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a. 2.线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.如图，点A到点B的所有连线中，线段AB最短. 3.线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或线段 FE或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区 别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可以延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点之间， 线段最短 两点确定一条直线 4.两点间的距离：连接两点的线段的长度,叫作这两点间的距离. 5.线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较. 6.点和直线的位置关系：点在直线上或点在直线外,也可以说成直线经过点或直线不经过点. 7 .线段的计算：线段也可以进行和差倍分的计算，线段的计算是指线段的长度的计算. 8.线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点.如图，若点O是线段AB 的中点，则有AO= BO = AB.反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO=BO= AB，那么点O为线段AB的中点. 9 .线段的n 等分点：若线段上(n-1)个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这(n-1)个点为这条线段的n等分点. 知识点四：用尺规作图 1.作一条线段等于已知线段 作法：第一步，作射线AC.第二步，以A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AC于点B.则线段AB就是所求作的线段. 2.作线段的和、差 在直线上作线段AB=a,再在线段AB 的延长线上作线段BC=b，线段AC 就是a与b的和，记作AC=a+b；设线段a>b, 如果在线段AB上作线段BD=b,那么线段AD就是a与b的差，记作AD=a-b. 【题型1 关于“三线”的表示问题】 【例1】（23-24七年级·甘肃庆阳·期末）如图，下列所画的射线、直线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级·浙江嘉兴·阶段练习）下列各图中，表示“射线”的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级·河南新乡·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ）    A．如图1所示，点C在线段上 B．如图2所示，射线经过点A C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A D．如图4所示，射线和线段没有交点 【变式1-3】（23-24七年级·山东威海·期末）如图，有下列结论：①以点A为端点的射线共有5条；②以点D为端点的线段共有4条；③射线和射线是同一条射线；④直线和直线是同一条直线．以上结论正确的是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【题型2 关于“三线”的作图问题】 【例2】（23-24七年级·广西玉林·期末）如图，已知A，B，C，D四点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，交于点O； (3)画射线，，交于点P． 【变式2-1】（23-24七年级·贵州遵义·期末）如图，已知不在同一直线上的三点A，B，C和直线l，请根据下列要求完成作图．（不写作法，请保留作图痕迹） (1)作直线交直线l于点D； (2)作射线交直线l于点E； (3)请在直线l上确定点P，使的值最小，并说明理由． 【变式2-2】（23-24七年级·浙江金华·期末）如图，已知A，B是直线l上两点，C是直线l外一点． (1)画射线AC，线段BC； (2)过点C作l的垂线段． 【变式2-3】（23-24七年级·贵州遵义·期末）如图所示，已知A，B，C，D四点在同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段、射线、直线； (2)在射线上作线段； (3)连接，在四边形内求作一点，使得最小． 【题型3 两点确定一条直线】 【例3】（23-24七年级·山西太原·期末）在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级·河南郑州·期末）如图，妙妙将一个衣架固定在墙上，她在衣架两端各用一个钉子进行固定．妙妙的操作可用数学原理解释为 ． 【变式3-2】（23-24七年级·山东东营·期末）如图，在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短．你认为 同学的说法是正确的． 【变式3-3】（23-24七年级·云南丽江·期末）直线上有一点C，直线外有一点D，则A、B、C、D四点确定的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【题型4 两点之间线段最短】 【例4】（24-25七年级·全国·期末）毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 【变式4-1】（24-25七年级·吉林长春·阶段练习）如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是 ． 【变式4-2】（23-24七年级·山东济南·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 【变式4-3】（23-24七年级·广东汕头·期末）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两直线相交只有一个交点 D．两点之间，线段最短 【题型5 点、线规律探究问题】 【例5】（23-24七年级·江苏扬州·期末）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（  ） A．12﹣3× B．9﹣3× C．12﹣3× D．9﹣3× 【变式5-1】（23-24七年级·贵州遵义·期末）如图，在同一平面内，两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有6个交点；…．照此规律，当最多的交点个数为45个时，相交的直线是（    ）    A．23条 B．11条 C．10条 D．9条 【变式5-2】（23-24七年级·山东枣庄·期末）问题提出： 某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛? 【构建模型】 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5 个点（任意 3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队， 两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校共要安排 场比赛； (2)根据图②的规律，若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛； 【类比迁移】 (3)从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角； 【实际应用】 (4)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种? 【变式5-3】（23-24七年级·四川达州·期末）如图图形是按一定的规律排列的，依照此规律，第10个图形有（　　）条线段．    A．125 B．140 C．155 D．160 【题型6 线段和差的计算】 【例6】（23-24七年级·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【变式6-1】（23-24七年级·浙江杭州·阶段练习）如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1：2：3，则折痕对应的刻度有几种可能． 【变式6-2】（23-24七年级·四川成都·期末）如图，，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)若， ①求的长； ②求的长； (2)若，求 的值． 【变式6-3】（23-24七年级·四川成都·期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM. (1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______； (2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由. (3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示). 【题型7 线段上动点问题的计算】 【例7】（23-24七年级·吉林长春·期末）如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【变式7-1】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 【变式7-2】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【变式7-3】（23-24七年级·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【考点2 角】 知识点一：角的概念 1.角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边. 2.角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角. 知识点二：角的表示方法 角的常用表示方法有四种 1.用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另两个字母不分顺序. 如图(1)中的角有∠AOB, ∠BOC, ∠AOC. 2.用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母，且当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用这种方法来表示其中的任何一个角.如图(2)中的∠EBC 也可以表示为∠B,∠ADC也可以表示为∠D,但∠EAF,∠BAF 都不能用∠A来表示. 3.用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上数字.如图(2)中的∠EAF 也可以表示为∠1,∠ECD（∠FCD）也可以表示为∠2. 4.用一个小写希腊字母α,β等来表示 这种方法同用数字表示角的方法类似，也是在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母.如图(3)中的∠AOB也可以表示为∠α. 知识点三：角的度量单位 1.角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制. 2.角的换算：1°= 60',1' = 60"；1' =（）°,1"=（）' . 1直角 = 90°,1平角 = 180°,1周角 = 360°. 知识点四：角的比较 1.叠合法：把要比较的两个角的一条边叠合在一起，通过观察另一 条边的位置比较两个角的大小. 2.度量法：用量角器量出角的度数，再根据度数比较角的大小. 知识点五：角的平分线 1.角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.若OC是∠AOB 的平分线，则∠AOC =∠BOC= ∠AOB.反之，若∠AOC=∠BOC= ∠AOB .则OC是∠AOB的平分线. 2 .角的n 等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的(n-1) 条射线， 将这个角分成相等的n个角，则这(n-1)条射线叫作这个角的n等分线. 知识点六：余角和补角 1.余角和补角：一般地，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角.类似地，如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角，简称两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 2.余角和补角的性质：同角(等角)的余角相等. 同角(等角)的补角相等 . 知识点七：方位角 方位角：以正北 、正南方向为基准，描述物体运动的方向， 即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角. 【题型8 钟面角】 【例8】（23-24七年级·江苏无锡·期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，如果时间从下午1点整到下午4点整，钟面角为的情况共出现几次（    ） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 【变式8-1】（23-24七年级·湖北孝感·期末）钟表是我们日常生活中常见的计时工具．善于观察的小亮偶然发现在时到时之间的某一时刻时，时针与分针恰好重合了，则该时刻为时 分．（要求取准确值） 【变式8-2】（23-24七年级·河南平顶山·期末）如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24七年级·江苏扬州·期末）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字均匀分布，分针转动一周（）需要60分钟，时针转动一周的需要60分钟，这样，分针的转速为每分钟转6度，时针的转速为每分钟转度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)三点三十分时，时针与分针所成角度是 ； (2)如图1，表盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”，若分针从的位置开始转动，经过多少分钟，第一次平分； (3)如图2，两点钟时，时针与分针所成角度，在两点钟到三点钟之间，经过多少分钟，分针、时针和射线中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线； (4)当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有　 　个美妙时刻． 【题型9 角的和差倍分计算】 【例9】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知点O是直线上一点，为从点O引出的四条射线，若，，，则与之间的数量关系是 ； 【变式9-1】（23-24七年级·海南海口·期末）如图，于点，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，已知，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24七年级·辽宁抚顺·期末）如图，已知，以为顶点作射线，使，则的度数为 ．（结果在之间） 【题型10 关于方位角的判断】 【例10】（23-24七年级·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 【变式10-1】（23-24七年级·山东淄博·期末）点B看点A是北偏西58度，则由点A看点B是（    ） A．南偏东58度 B．南偏东32度 C．北偏西32度 D．北偏西58度 【变式10-2】（23-24七年级·山东威海·期末）如图所示，以下描述错误的是（    ） A．点A位于点B北偏西方向 B．点A位于点C北偏东方向 C．点C位于点B北偏西方向 D． 【变式10-3】（23-24七年级·陕西西安·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分．    (1)填空：的度数为____________； (2)求射线的方向． 【题型11 与角平分线有关的计算】 【例11】（23-24七年级·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式11-1】（24-25七年级·山东·期末）如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 【变式11-2】（2024七年级·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 【变式12-3】（23-24七年级·广东珠海·期末）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【题型12 余角、补角性质的应用】 【例13】（23-24七年级·浙江杭州·期末）如图，点O在直线上，在直线的同侧作射线，若，且和互余．作平分，平分，则（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24七年级·上海嘉定·期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ． 【变式12-2】（23-24七年级·山东东营·期末）如图，交于点O，且分别平分，图中与互余的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式12-3】（23-24七年级·天津·期末）如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 【题型13 旋转中的角度问题】 【例13】（23-24七年级·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【变式13-1】（24-25七年级·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ① 运动停止时， ； ② 请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ． 【变式13-2】（24-25七年级·全国·期末）【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)【知识运用】如图2，，射线是射线的伴随线，则________，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是________用含的代数式表示 (2)如图3若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． 是否存在某个时刻（秒）使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 当的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【变式13-3】（23-24七年级·福建福州·期末）将一副直角三角板按如图1摆放（，），点D，C，A都在直线上，保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转．三角板的旋转时间为t秒，旋转一周回到原位则停止．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)当与重合时，求t的值； (2)如图2，平分，为的三等分线，且． ①当时，求的值； ②在三角板旋转一周的过程中，若，直接写出t的值为______． 【考点3 多边形和圆的初步认识】 （1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……，如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫做边形． （2）相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．②连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．③各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （3）多边形的对角线：（a）定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （b）规律总结： ①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形． ②n边形共有条对角线． 【题型14 多边形】 【例14】（23-24七年级·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式14-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中的与四边形均为格点多边形．格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点记为，已知格点多边形的面积可表示为（，为常数），若某格点多边形对应的，，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25七年级·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【变式14-3】（24-25七年级·辽宁辽阳·阶段练习）从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则的值为 （     ） A．0 B．1 C．6 D． 【题型15 扇形面积的计算】 【例15】（21-22六年级下·山东泰安·期中）在同一个圆中，三条半径将圆分割成扇形A，B，C面积之比为，则最小扇形的圆心角度数（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）下列图（    ）中的阴影部分不能表示一个正方形的 A．   B．   C．   D．   【变式15-2】（23-24七年级·上海杨浦·期末）已知扇形A与扇形的面积相等，且扇形A的半径是扇形的半径的2倍，那么扇形A的圆心角是扇形的圆心角的（    ） A．4倍 B．2倍 C． D． 【变式15-3】（23-24七年级·贵州毕节·课后作业）如图，边长为的正方形池塘的周围是草地，池塘边P，Q，R，T处各有一棵树，且．现用一根长的绳子将一头羊栓在其中一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子的另一端拴在（    ） A．P处 B．Q处 C．R处 D．T处 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.10 基本平面图形【3大考点15种题型】 【北师大版2024】 【考点1 线段、射线、直线】 2 【题型1 关于“三线”的表示问题】 3 【题型2 关于“三线”的作图问题】 6 【题型3 两点确定一条直线】 9 【题型4 两点之间线段最短】 11 【题型5 点、线规律探究问题】 13 【题型6 线段和差的计算】 17 【题型7 线段上动点问题的计算】 22 【考点2 角】 28 【题型9 角的和差倍分计算】 34 【题型10 关于方位角的判断】 37 【题型11 与角平分线有关的计算】 40 【题型12 余角、补角性质的应用】 44 【题型13 旋转中的角度问题】 48 【考点3 多边形和圆的初步认识】 58 【题型14 多边形】 58 【题型15 扇形面积的计算】 60 【考点1 线段、射线、直线】 知识点一：直线 1.直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单说成，两点确定一条直线. 2. 直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个小写 字母来表示，但不能用两个小写字母或 一个大写字母或一大写一小写两字母来表示. 3. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 4.直线没有端点，没有长度，不可度量.“延长直线”的说法是错误的. 知识点二：射线 1.与直线的表示类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示. 2.射线只有一个端点，没有长度，不可度量.如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”. 知识点三：线段 1.线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示.下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a. 2.线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.如图，点A到点B的所有连线中，线段AB最短. 3.线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或线段 FE或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区 别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可以延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点之间， 线段最短 两点确定一条直线 4.两点间的距离：连接两点的线段的长度,叫作这两点间的距离. 5.线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较. 6.点和直线的位置关系：点在直线上或点在直线外,也可以说成直线经过点或直线不经过点. 7 .线段的计算：线段也可以进行和差倍分的计算，线段的计算是指线段的长度的计算. 8.线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点.如图，若点O是线段AB 的中点，则有AO= BO = AB.反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO=BO= AB，那么点O为线段AB的中点. 9 .线段的n 等分点：若线段上(n-1)个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这(n-1)个点为这条线段的n等分点. 知识点四：用尺规作图 1.作一条线段等于已知线段 作法：第一步，作射线AC.第二步，以A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AC于点B.则线段AB就是所求作的线段. 2.作线段的和、差 在直线上作线段AB=a,再在线段AB 的延长线上作线段BC=b，线段AC 就是a与b的和，记作AC=a+b；设线段a>b, 如果在线段AB上作线段BD=b,那么线段AD就是a与b的差，记作AD=a-b. 【题型1 关于“三线”的表示问题】 【例1】（23-24七年级·甘肃庆阳·期末）如图，下列所画的射线、直线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线、射线或线段，依据图形中的直线、射线或线段有无交点，即可得到结论．掌握直线以及射线的延伸性是解决问题的关键． 【详解】解：A、线段与射线无交点，不合题意； B、直线与射线有交点，符合题意； C、直线与射线无交点，不合题意； D、直线与射线无交点，不合题意； 故选：B． 【变式1-1】（23-24七年级·浙江嘉兴·阶段练习）下列各图中，表示“射线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了射线的定义，射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线仅有一个端点，无法测量，射线是指端点在点A上，据此即可作答． 【详解】解：依题意， 射线是指射线的端点在点A上． 故选：B． 【变式1-2】（23-24七年级·河南新乡·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ）    A．如图1所示，点C在线段上 B．如图2所示，射线经过点A C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A D．如图4所示，射线和线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查了射线，线段，直线等知识．熟练掌握射线，线段，直线的定义是解题的关键． 根据射线，线段，直线的定义对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，如图1所示，点C在直线上，A错误，故不符合要求； 如图2所示，射线不经过点A，B错误，故不符合要求； 如图3所示，直线a和直线b相交于点A，C正确，故符合要求； 如图4所示，射线和线段有交点，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【变式1-3】（23-24七年级·山东威海·期末）如图，有下列结论：①以点A为端点的射线共有5条；②以点D为端点的线段共有4条；③射线和射线是同一条射线；④直线和直线是同一条直线．以上结论正确的是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解．熟记概念以及表示方法是解题的关键． 【详解】解：①以点A为端点的射线共有5条，故该结论正确，符合题意； ②以点D为端点的线段共有5条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④． 故选：B． 【题型2 关于“三线”的作图问题】 【例2】（23-24七年级·广西玉林·期末）如图，已知A，B，C，D四点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，交于点O； (3)画射线，，交于点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画直线，射线和线段，掌握直线，射线和线段的定义，是解题的关键： （1）根据直线的定义，画图即可； （2）画出线段，，交于点O即可； （3）根据射线的定义，画图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，，，点O即为所求； （3）如图，射线，，点P即为所求． 【变式2-1】（23-24七年级·贵州遵义·期末）如图，已知不在同一直线上的三点A，B，C和直线l，请根据下列要求完成作图．（不写作法，请保留作图痕迹） (1)作直线交直线l于点D； (2)作射线交直线l于点E； (3)请在直线l上确定点P，使的值最小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画线段、射线、直线，两点之间线段最短，解题关键是理解线段、射线和直线的定义． （1）连接并向两边延长交l于点D； （2）连接并延长交l于点E； （3）连接交l于点P即为所求． 【详解】（1）如图所示，直线和点D即为所求； （2）如图所示，射线和点E即为所求； （3）如图所示，点P即为所求； 理由是：两点之间线段最短． 【变式2-2】（23-24七年级·浙江金华·期末）如图，已知A，B是直线l上两点，C是直线l外一点． (1)画射线AC，线段BC； (2)过点C作l的垂线段． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作图复杂作图，射线，线段，垂线段，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据射线、线段的定义即可画出射线，线段即可； （2）根据垂线的定义，画出过点作的垂线段即可． 【详解】（1）解：如图，射线，线段即为所作； （2）如图，垂线段即为所作． 【变式2-3】（23-24七年级·贵州遵义·期末）如图所示，已知A，B，C，D四点在同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段、射线、直线； (2)在射线上作线段； (3)连接，在四边形内求作一点，使得最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了线段、射线、直线的画法，两点之间，线段最短的应用，准确画图，知道线段和最小值的确定方法是解题的关键． （1）根据线段的特点，直线的特点画出，注意直线的双向伸展性； （2）先画射线，点是起始点，点是方向点，用圆规截取等长即可； （3）根据线段最短，确定最小值的位置是、的交点； 【详解】（1）根据题意作图如下：    （2）根据题意作图如下：    （3）根据线段最短，确定最小值的位置是、的交点，作图如下：    【题型3 两点确定一条直线】 【例3】（23-24七年级·山西太原·期末）在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线的性质以及线段的性质，直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【详解】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识． 故选：D． 【变式3-1】（23-24七年级·河南郑州·期末）如图，妙妙将一个衣架固定在墙上，她在衣架两端各用一个钉子进行固定．妙妙的操作可用数学原理解释为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，根据公理“两点确定一条直线”来解答即可，解题的关键是正确理解两点确定一条直线． 【详解】因为“两点确定一条直线”， 所以她在衣架两端各用一个钉子进行固定， 故答案为：两点确定一条直线． 【变式3-2】（23-24七年级·山东东营·期末）如图，在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短．你认为 同学的说法是正确的． 【答案】甲 【分析】本题考查了直线、线段、射线的概念，根据两点之间确定一条直线即可解答，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，应该是两点确定一条直线， 故甲同学的说法是正确的， 故答案为：甲． 【变式3-3】（23-24七年级·云南丽江·期末）直线上有一点C，直线外有一点D，则A、B、C、D四点确定的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，根据两点确定一条直线画出图形即可求解． 【详解】解：如图所示，则A、B、C、D四点能确定的直线有四条． 故选：C． 【题型4 两点之间线段最短】 【例4】（24-25七年级·全国·期末）毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，明确两点之间线段最短是解题关键，根据两点之间线段最短解答本题即可． 【详解】解：把弯曲的路径改直，就能缩短路程，用数学知识解释这一现象产生的原因：两点之间线段最短． 故选：C 【变式4-1】（24-25七年级·吉林长春·阶段练习）如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据“两点之间线段最短”可得答案． 【详解】解：他选择走第②条路，其中的道理是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式4-2】（23-24七年级·山东济南·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 【答案】两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二 【分析】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是解题的关键．教室和图书馆、两个树坑之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据线段的性质来分析得出即可． 【详解】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短； 情景二：两个树坑可以抽象成两个点，是根据两点确定一条直线的原理来做的；我们必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境，所以赞同情景二． 故答案为：两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二． 【变式4-3】（23-24七年级·广东汕头·期末）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两直线相交只有一个交点 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查线段的性质，理解两点之间线段最短的性质是正确判断的前提．根据线段的性质进行判断即可． 【详解】解：A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短， 故选：D． 【题型5 点、线规律探究问题】 【例5】（23-24七年级·江苏扬州·期末）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（  ） A．12﹣3× B．9﹣3× C．12﹣3× D．9﹣3× 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离．熟练掌握各个点跳动的规律，是解题关键． 根据题意，第一次跳动到的中点处，离原点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可推出跳动n次距离原点的长度为，即点表示的数为，则点表示的数为，再推出的中点表示的数为9，即可解答． 【详解】∵数轴上O，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点表示的数为， ∵点A表示的数为12，表示的数为6， ∴的中点表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离为， ， 故选：B． 【变式5-1】（23-24七年级·贵州遵义·期末）如图，在同一平面内，两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有6个交点；…．照此规律，当最多的交点个数为45个时，相交的直线是（    ）    A．23条 B．11条 C．10条 D．9条 【答案】C 【分析】根据两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有个交点；四条直线相交，最多有个交点；得出n条直线相交有个交点． 【详解】解：∵两条直线相交，有1个交点； 三条直线相交，最多有个交点； 四条直线相交，最多有个交点； …… n条直线相交，最多有个交点． ∴当最多的交点个数为45个时，即， ∴， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直线交点个数问题，解题的关键是根据已知图形，找出规律，n条直线相交最多有个交点． 【变式5-2】（23-24七年级·山东枣庄·期末）问题提出： 某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛? 【构建模型】 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5 个点（任意 3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队， 两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校共要安排 场比赛； (2)根据图②的规律，若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛； 【类比迁移】 (3)从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角； 【实际应用】 (4)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种? 【答案】(1)10，10 (2)15 (3)15 (4)20 【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于n的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． （1）根据图①线段数量进行作答． （2）根据图②线段数量进行作答． （3）根据每条射线与其他各射线都可有个角，每条射线都数两次，当时即可计算出角的个数． （4）根据题意，代入求解即可． 【详解】（1）由图①可知，图中实际共有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． 故答案为：10，10； （2）由图②可知，图中实际共有条线段，所以该校一共要安排15场比赛． 故答案为：15； （3）从同一个顶点引出6条射线，共可以组成个角， 故答案为：15． （4）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将代入 中，得 ∴要准备车票的种数为20种． 【变式5-3】（23-24七年级·四川达州·期末）如图图形是按一定的规律排列的，依照此规律，第10个图形有（　　）条线段．    A．125 B．140 C．155 D．160 【答案】B 【分析】根据已知图形，得出一般规律第个图形的线段条数为，据此即可求出第10个图形的线段条数． 【详解】解：观察图形发现第1图形的线段条数为； 第2个图形的线段条数为； 第3个图形的线段条数为； …… 观察可知一般规律，第个图形的线段条数为； 即第10个图形的线段条数为， 故选：B． 【点睛】本题属于规律探索题，考查了线段的数量，根据题意图形正确得出一般规律是解题关键． 【题型6 线段和差的计算】 【例6】（23-24七年级·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式6-1】（23-24七年级·浙江杭州·阶段练习）如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1：2：3，则折痕对应的刻度有几种可能． 【答案】折痕对应的刻度有4种：20cm、25cm、35cm和40cm． 【分析】先确定这三段的长度分别为10厘米、20厘米、30厘米，再分以下6种情况：（1）剪切处右边部分长度为10cm，左边为20cm；（2）剪切处右边部分长度为10cm，左边为30cm；（3）剪切处右边部分长度为20cm，左边为10cm；（4）剪切处右边部分长度为20cm，左边为30cm；（5）剪切处右边部分长度为30cm，左边为10cm；（6）剪切处右边部分长度为30cm，左边为20cm；分别求出折痕刻度，问题即得解决． 【详解】解：60÷（1+2+3）＝60÷6＝10（cm）， 10×1＝10（cm），10×2＝20（cm），10×3＝30（cm），即三段长分别为10cm、20cm、30cm； （1）当剪切处右边部分长度为10cm，剪切处左边的卷尺为20cm时，折痕对应刻度为10+20÷2＝20（cm）； （2）当剪切处右边部分长度为10cm，剪切处左边的卷尺为30cm时，折痕对应刻度为10+30÷2＝25（cm）； （3）当剪切处右边部分长度为20cm，剪切处左边的卷尺为10cm时，折痕对应刻度为20+10÷2＝25（cm）； （4）当剪切处右边部分长度为20cm，剪切处左边的卷尺为30cm时，折痕对应刻度为20+30÷2＝35（cm）； （5）当剪切处右边部分长度为30cm，剪切处左边的卷尺为10cm时，折痕对应刻度为30+10÷2＝35（cm）； （6）当剪切处右边部分长度为30cm，剪切处左边的卷尺为20cm时，折痕对应刻度为30+20÷2＝40（cm）． 综上所述：折痕对应的刻度有4种：20cm、25cm、35cm和40cm． 【点睛】本题考查了图形的剪拼和线段的和差计算，解答此题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件全面讨论、正确列式求解． 【变式6-2】（23-24七年级·四川成都·期末）如图，，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)若， ①求的长； ②求的长； (2)若，求 的值． 【答案】(1)①，② (2)的值为或2 【分析】题目主要考查线段中点的计算，绝对值的非负性，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出；①利用中点结合图形求解即可；②利用中点结合①中结果求解即可； （2）分两种情况分析：当时，当时，设，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∴； ①∵D为的中点，E为的中点， ∴， ∴， ②∵F为的中点， ∴， ∴； （2）分两种情况： 当时，如图： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 当时，如图所示： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 综上所述，的值为或2． 【变式6-3】（23-24七年级·四川成都·期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM. (1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______； (2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由. (3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示). 【答案】(1)6；(2) 无关，理由见解析；(3)m. 【分析】（1）根据中点可得到AC、BC的长，再根据CN=3AN，CM=3BM，可计算出CN、CM，最后根据线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段之间的关系及CN=3AN，CM=3BM，分别表示出CN、AM及MN，再进行化简即可； （3）分情况讨论，画出图形，根据线段之间的关系计算即可. 【详解】解：（1）∵点C恰好在线段AB中点，且AB=m=8， ∴AC=BC=AB=4， ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴CN=AC，CM=BC， ∴CN=3，CM=3， ∴MN=CN+CM=3+3=6; （2）若C在A的左边，如图所示， ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴MN=CM－CN=3BM－3AN， ∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN， ∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN， ∴CN +2AM－2MN的值与m无关； （3）①当点C在线段AB上时，如图所示， ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴CN=AC，CM=BC， ∴MN=CM+CN=BC+AC=(BC+AC)=AB=m； ②当点C在点A的左边，如图所示， ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴CN=AC，BM=BC， ∴MN=BC－CN－BM=BC－AC－BC =(BC－AC)=AB=m； ③当点C在点B的右边，如图所示： ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴AN=AC，CM=BC， ∴MN=AC－AN－CM=AC－AC－BC =(AC－BC)=AB=m， 综上所述，MN的长度为m. 【点睛】本题考查线段的计算，分情况讨论，正确找出线段之间的关系是解题的关键. 【题型7 线段上动点问题的计算】 【例7】（23-24七年级·吉林长春·期末）如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【分析】（1）设点的中点为M，的中点为N，分别求出和的长，再求和即可； （2）先求出当P到点C时t的值，再根据路程时间速度可求出； （3）先找到何时P、Q相遇，再分段讨论，当时，当时，当时，分别求出的长即可； （4）根据（3）中求出的长，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，， ∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，； 当时，； 当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得． 当时，，（舍）． ∴或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 【变式7-1】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了线段上动点问题、线段中点的有关计算、一元一次方程的实际应用． （1）①先根据线段的和差计算，再根据运动时间得出、，然后根据线段的和差即可得出答案；②先根据运动时间得出，再根据线段的中点得出，然后根据列方程求解即可得出答案； （2）设运动时间为，则，得出，再根据线段的和差及等量代换得出，从而得出答案． 【详解】（1）① C，D运动了 ； ②根据题意得， 点C为的中点，点D为的中点 ； （2）设运动时间为，则 ． 【变式7-2】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据题意算出，，再由，即可解题． （2）本题考查线段的和与差，以及动点问题，设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：． （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 【变式7-3】（23-24七年级·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7 (2)点Q的运动速度是或者 (3)不变，值为2 【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得，的值，结合b是最小的正整数，即可得的值； （2）先求出点Q，此时，再进行分类讨论，当点P在上时或当点P在上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答； （3）易得，，根据线段之间的和差关系得，再代入，化简即可作答． 【详解】（1）解：因为 所以， 因为b是最小的正整数， 所以； （2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点， ∴点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， ∴点P的运动时间是， ∴点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是或者； （3）解：不变，理由如下： 设运动时间为t秒，此时，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点，， ∴， ∴，        ． ∴． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点2 角】 知识点一：角的概念 1.角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边. 2.角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角. 知识点二：角的表示方法 角的常用表示方法有四种 1.用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另两个字母不分顺序. 如图(1)中的角有∠AOB, ∠BOC, ∠AOC. 2.用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母，且当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用这种方法来表示其中的任何一个角.如图(2)中的∠EBC 也可以表示为∠B,∠ADC也可以表示为∠D,但∠EAF,∠BAF 都不能用∠A来表示. 3.用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上数字.如图(2)中的∠EAF 也可以表示为∠1,∠ECD（∠FCD）也可以表示为∠2. 4.用一个小写希腊字母α,β等来表示 这种方法同用数字表示角的方法类似，也是在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母.如图(3)中的∠AOB也可以表示为∠α. 知识点三：角的度量单位 1.角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制. 2.角的换算：1°= 60',1' = 60"；1' =（）°,1"=（）' . 1直角 = 90°,1平角 = 180°,1周角 = 360°. 知识点四：角的比较 1.叠合法：把要比较的两个角的一条边叠合在一起，通过观察另一 条边的位置比较两个角的大小. 2.度量法：用量角器量出角的度数，再根据度数比较角的大小. 知识点五：角的平分线 1.角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.若OC是∠AOB 的平分线，则∠AOC =∠BOC= ∠AOB.反之，若∠AOC=∠BOC= ∠AOB .则OC是∠AOB的平分线. 2 .角的n 等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的(n-1) 条射线， 将这个角分成相等的n个角，则这(n-1)条射线叫作这个角的n等分线. 知识点六：余角和补角 1.余角和补角：一般地，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角.类似地，如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角，简称两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 2.余角和补角的性质：同角(等角)的余角相等. 同角(等角)的补角相等 . 知识点七：方位角 方位角：以正北 、正南方向为基准，描述物体运动的方向， 即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角. 【题型8 钟面角】 【例8】（23-24七年级·江苏无锡·期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，如果时间从下午1点整到下午4点整，钟面角为的情况共出现几次（    ） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 【答案】B 【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．钟表里，时钟的时针与分针互相垂直的时刻有若干个，根据从下午1点整到下午4点整所给的时刻，即可求出答案． 【详解】解：设从下午1点整到下午4点整经过x分钟，时针与分针的夹角是，则分针转了，时针转了， 下午1点到下午2点整时，若钟面角为，则有：， 解得； ， 解得； ∴1时分，1时分时钟面角为， 下午2点到下午3点整时，若钟面角为，则有：， 解得； ∴2时分，3时时钟面角为， 下午3点到下午4点整时，若钟面角为，则有：， 解得， ∴3时分时钟面角为， 所以下午1点整到下午4点整，钟面角为的情况有五种， 故选：B． 【变式8-1】（23-24七年级·湖北孝感·期末）钟表是我们日常生活中常见的计时工具．善于观察的小亮偶然发现在时到时之间的某一时刻时，时针与分针恰好重合了，则该时刻为时 分．（要求取准确值） 【答案】 【分析】本题主要考查了钟表问题的实际应用，一元一次方程，熟练掌握钟表的特征是解题的关键．分针每分钟转，时针转，点时，分针指向点，与时针的较大夹角为，设分钟后时针与分针重合，则有，解方程即可求解． 【详解】解：设分钟后时针与分针重合， 根据题意得：， 解得：， 分钟后时针与分针重合， 故答案为：． 【变式8-2】（23-24七年级·河南平顶山·期末）如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角问题，解题的关键在于能够熟练掌握时针和分针每分钟所转过的角度．时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，由此即可算出时分钟时，时针、分针与12时的夹角，即得答案． 【详解】∵时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转， ∴钟表上时分钟时，时针从时转过分钟转了，此时时针与垂直线的夹角为，分针从的位置顺时针转了， ∴时分钟时分针与时针的夹角． 故选C． 【变式8-3】（23-24七年级·江苏扬州·期末）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字均匀分布，分针转动一周（）需要60分钟，时针转动一周的需要60分钟，这样，分针的转速为每分钟转6度，时针的转速为每分钟转度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)三点三十分时，时针与分针所成角度是 ； (2)如图1，表盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”，若分针从的位置开始转动，经过多少分钟，第一次平分； (3)如图2，两点钟时，时针与分针所成角度，在两点钟到三点钟之间，经过多少分钟，分针、时针和射线中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线； (4)当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有　 　个美妙时刻． 【答案】(1) (2)经过7.5分钟，第一次平分 (3)6，或分钟 (4)22 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、角平分线，关键是注意分类讨论． （1）三点三十分时，时针与分针所成角度分针转动的角度时针转动的角度）； （2）设经过分钟，第一次平分，因为平分，可得，即，可解得的值； （3）分时针是分针与射线的角平分线、分针是射线与时针的角平分线、射线是时针与分针的角平分线三种情况讨论； （4）先算相邻两次成花费的时间，可得24小时有几个时针和分针所成角度时形成一条直线． 【详解】（1）解：三点整，时针与分针所成角度为， 分针转动的角度：， 时针转动的角度：， ， 故答案为：75； （2）解：设经过分钟，第一次平分， 平分， ， 即， 解得：， 答：经过7.5分钟，第一次平分； （3）解：设经过分钟， ①当时针是分针与射线的角平分线时， ， 解得：， ②当分针是射线与时针的角平分线时， ， 解得：， ③当射线是时针与分针的角平分线时， ， 解得：， 答：经过6、 或 分钟，分针、时针和射线中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线； （4）解：相邻两次成之间，分针比时针多走，花费的时间（分）， 24小时分， （次）， 故答案为：22． 【题型9 角的和差倍分计算】 【例9】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知点O是直线上一点，为从点O引出的四条射线，若，，，则与之间的数量关系是 ； 【答案】 【分析】本意考查了角的计算，根据，设，由可求出x的值，再由即可得出答案． 【详解】解：设， 由， ， ， 即， ， ， 即， 故答案为：． 【变式9-1】（23-24七年级·海南海口·期末）如图，于点，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的定义以及角的计算，根据垂直的定义，得，求出，再利用角度和差即可求的度数，正确理解垂直的定义和熟练掌握角度和差计算是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式9-2】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，已知，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是找到角之间的数量关系再解答． 【详解】解： ，， ， ， 故选：B． 【变式9-3】（23-24七年级·辽宁抚顺·期末）如图，已知，以为顶点作射线，使，则的度数为 ．（结果在之间） 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，分情况讨论：（1）在直线同侧，②在直线异侧，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：①在直线同侧， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当在直线两侧时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴． 故答案为：或 【题型10 关于方位角的判断】 【例10】（23-24七年级·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据得出 ，进而求出的度数； （3）根据，射线平分，即可求出再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：如图： ∵射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西 ∴， ∵射线平分 ∴ ∴，即射线的方向是北偏东； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵射线的方向是东南方向， 【变式10-1】（23-24七年级·山东淄博·期末）点B看点A是北偏西58度，则由点A看点B是（    ） A．南偏东58度 B．南偏东32度 C．北偏西32度 D．北偏西58度 【答案】A 【分析】本题主要考查了方向角，在叙述方向角时一定要注意以哪个图形为参照物． 点A看点B的方向是北偏东，是以A为标准，反之B看A的方向是A相对于B的方向与位置． 【详解】解：从点B看点A的方向为北偏西，那么从点A看点B的方向为南偏东． 故选：A． 【变式10-2】（23-24七年级·山东威海·期末）如图所示，以下描述错误的是（    ） A．点A位于点B北偏西方向 B．点A位于点C北偏东方向 C．点C位于点B北偏西方向 D． 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，三角形的内角和定理等知识，根据方位角的定义可得出点A位于点B北偏西方向， 点C位于点A南偏西方向，利用三角形内角和定理可求出，然后根据方位角的定义逐项判定即可． 【详解】解∶由图知∶ 点A位于点B北偏西方向， 点C位于点A南偏西方向， ∴点A位于点C北偏东方向，， ∴， ∴点C位于点B北偏西方向， 故选项A、B、D正确，选项C错误， 故选：C． 【变式10-3】（23-24七年级·陕西西安·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分．    (1)填空：的度数为____________； (2)求射线的方向． 【答案】(1) (2)北偏东 【分析】本题考查了方向角、角的和差及角平分线等知识．掌握方向角以及角的和差是解题的关键． （1）先求的度数，再根据平分，即可求解； （2）求出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ， 平分， ， 故答案为：； （2）， 射线的方向为：北偏东． 【题型11 与角平分线有关的计算】 【例11】（23-24七年级·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知 或． 故选：A． 【变式11-1】（24-25七年级·山东·期末）如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查有关角平分线的角度计算，解题的关键是根据角平分线得到相应角度．先根据角平分线的定义求出的度数，然后根据角的和差关系求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， 平分， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式11-2】（2024七年级·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系．首先设，，再根据角平分线性质可得，再根据角的和差关系可得，进而得到，再解方程即可得到，进而得到答案 【详解】解：设，． 则． 是的平分线， ， ， ， ， 解得，， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 【变式12-3】（23-24七年级·广东珠海·期末）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出，进而即可求得； （2）由角平分线的定义得出，即； （3）由角平分线的定义得出得出，根据，，进而即可求解． 【详解】（1）解： 、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 【题型12 余角、补角性质的应用】 【例13】（23-24七年级·浙江杭州·期末）如图，点O在直线上，在直线的同侧作射线，若，且和互余．作平分，平分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的定义以及余角的定义，正确找到角的和差倍分关系是解题的关键．设，得，则，再由平分得，进而得，然后由得，再由平分得，进而得，由此得，据此即可得出答案． 【详解】解：设， ∵和互余， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴．故选项A正确，符合题意； ∵． ∴，， 故选项B，C，D不符合题意． 故选：A． 【变式12-1】（23-24七年级·上海嘉定·期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了互余角和互补角的概念及其性质，解题的关键在于理解并应用互余角和互补角的定义． 由题意得：，，进而即可得到与的数量关系． 【详解】 与互余，与互补， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式12-2】（23-24七年级·山东东营·期末）如图，交于点O，且分别平分，图中与互余的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质，余角的性质，根据两直线平行得到，，，结合角平分线得到，即，由此得到与互余的角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵分别平分， ∴，， ∴，即， ∴，， ∴图中与互余的角有， 故选C． 【变式12-3】（23-24七年级·天津·期末）如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 【答案】(1)①，的补角的度数为；②，；与互补； (2)与不一定互补，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义等等： （1）①根据角的和差关系可求出的度数，进而可求出的补角的度数；②先求出的度数，再根据角平分线的定义分别求出的度数，再求出的度数即可得到结论； （2）根据角平分线的定义分别表示出的度数，再表示出的度数即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴的补角的度数为； ②∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （2）解：与不一定互补，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵不一定为， ∴不一定为 ∴与不一定互补． 【题型13 旋转中的角度问题】 【例13】（23-24七年级·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100 (2)， (3) 【分析】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）根据可得答案； （2）先分别表示出，，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ ； 故答案为：100； （2）如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴ ． 综上所述：的度数为． 【变式13-1】（24-25七年级·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ① 运动停止时， ； ② 请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)；当时，；当时， 【分析】本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，根据、O、三点共线，则，得出，再根据，即可求解； （3）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （4）①算出运动停止时间，求出运动的角度，进而求出度数； ②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点，，三点共线前和点，，三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， 设， ∵平分， ∴， ∵、O、三点共线，则， ∴， 解得：， ∴ （3）这个定值是，理由， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴小田的发现是正确的，这个定值是； （4）∵， ∴，， 设运动时间为，则，则， ①运动停止时，即时，旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点，，三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 【变式13-2】（24-25七年级·全国·期末）【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)【知识运用】如图2，，射线是射线的伴随线，则________，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是________用含的代数式表示 (2)如图3若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． 是否存在某个时刻（秒）使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 当的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【答案】(1) (2)①当秒或25秒时，的度数是．②当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【分析】本题主要考查了角平分线的顶用、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，灵活利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）根据伴随线定义求解即可； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后两种情况分别列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后，分别画出四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，∵射线 是射线 的伴随线， ， ， ∴同理，若的度数是，射线是射线的伴随线， ， ∵射线是的平分线， ， ． 故答案为：． （2）解：射线与重合时， （秒） ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则，解得：； 若在相遇之后，则，解得：． 综上所述，当秒或25秒时，的度数是． ②相遇之前： a．如图1， 当是的伴随线时，则，即，解得：； b．如图2， 当是的伴随线时，则，即，解得：； 相遇之后： c．如图3， 当是的伴随线时，则，即，解得：； d．如图4， 当是的伴随线时，则，即，解得：． 综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【变式13-3】（23-24七年级·福建福州·期末）将一副直角三角板按如图1摆放（，），点D，C，A都在直线上，保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转．三角板的旋转时间为t秒，旋转一周回到原位则停止．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)当与重合时，求t的值； (2)如图2，平分，为的三等分线，且． ①当时，求的值； ②在三角板旋转一周的过程中，若，直接写出t的值为______． 【答案】(1) (2)①；②8或17或26或29 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角三等分线的定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用： （1）先求出旋转前，则当与重合时，旋转的角度为150度，即可得到； （2）①先求出，进而得到，则；②分当时， 当时， 当时，分别求出 ，进而求出，再根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴旋转前， ∴当与重合时，旋转的角度为150度， ∴； （2）解：①由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∴； ②当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，或或或， 故答案为：8或17或26或29． 【考点3 多边形和圆的初步认识】 （1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……，如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫做边形． （2）相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．②连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．③各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （3）多边形的对角线：（a）定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （b）规律总结： ①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形． ②n边形共有条对角线． 【题型14 多边形】 【例14】（23-24七年级·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 【变式14-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中的与四边形均为格点多边形．格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点记为，已知格点多边形的面积可表示为（，为常数），若某格点多边形对应的，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别根据和四边形中，、、的数值得出关于和的二元一次方程组，解得和的值，则可求得当，时的值． 【详解】解：中，，，，则； 同理，四边形中，， ， ∴； 联立得 解得：， ∴，，则， 故选：A． 【点睛】本题属于创新题型，主要考查了二元一次方程相关知识以及学生对于题意理解和数据分析能力． 【变式14-2】（24-25七年级·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 【变式14-3】（24-25七年级·辽宁辽阳·阶段练习）从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则的值为 （     ） A．0 B．1 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，对角线分三角形个数问题，代数式求值，从k边形的一个顶点出发可引条对角线，可将此多边形分成个三角形，据此求出m、n的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【题型15 扇形面积的计算】 【例15】（21-22六年级下·山东泰安·期中）在同一个圆中，三条半径将圆分割成扇形A，B，C面积之比为，则最小扇形的圆心角度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在同一个圆中，扇形的面积越小，扇形的圆心角越小，据此即可求解． 【详解】根据比例可知扇形A的面积最小，其所对的圆心角最小， ∵扇形A，B，C面积之比为1:3:5， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了求解扇形圆心角的知识，掌握根据扇形面积的比例求解圆心角的知识是解答本题的关键． 【变式15-1】（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）下列图（    ）中的阴影部分不能表示一个正方形的 A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查百分数的应用，关键是应用转化思想表示出阴影的面积． 【详解】 解：A、  图中阴影的面积的面积=正方形面积的，故该选项不符合题意； B、  阴影的面积=小正方形的面积=大正方形面积的，故该选项不符合题意； C、  阴影的面积=、、围成的图形面积，令正方形的边长是a，阴影的面积正方形面积的，故该选项符合题意； D、  阴影的面积=扇形的面积=圆面积的，故该选项不符合题意． 故选：C 【变式15-2】（23-24七年级·上海杨浦·期末）已知扇形A与扇形的面积相等，且扇形A的半径是扇形的半径的2倍，那么扇形A的圆心角是扇形的圆心角的（    ） A．4倍 B．2倍 C． D． 【答案】D 【分析】设扇形B的半径为r，圆心角为n°，则扇形A的半径为2r，设扇形A的圆心角为m°，根据面积相等得，所以，即可得出答案． 【详解】解：设扇形B的半径为r，圆心角为n°， 则扇形A的半径为2r，设扇形A的圆心角为m°， 则扇形B的面积，扇形A的面积， ∴， ∴， ∴扇形A的圆心角是扇形B的圆心角的， 故选：D． 【点睛】本题考查扇形的面积的计算，灵活应用所学知识解决问题，是解题的关键． 【变式15-3】（23-24七年级·贵州毕节·课后作业）如图，边长为的正方形池塘的周围是草地，池塘边P，Q，R，T处各有一棵树，且．现用一根长的绳子将一头羊栓在其中一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子的另一端拴在（    ） A．P处 B．Q处 C．R处 D．T处 【答案】C 【分析】根据圆的面积计算公式，以及扇形的面积公式，即可求得栓在各点时的活动区域的面积，即可作出判断． 【详解】解：将羊拴在Q处时，活动区域的面积是：； 将羊拴在R处时，活动区域的面积是：； 将羊拴在T处时，活动区域的面积是：； 将羊拴在P处时，活动区域的面积是：； 故拴在R处时，可使羊的活动范围最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积，记住扇形的面积公式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$