精品解析：辽宁省大连市第三十四中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

“认识自我，优我成长”——九年级数学 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把二次函数的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，在中，，，，则的正弦值为(　　) A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ） A B. C. 或 D. 或 6. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ） A. 200（1－x）2＝162 B. 200（1＋x）2＝162 C. 162（1＋x）2＝200 D. 162（1－x）2＝200 9. 如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（ ） A. 7sinα米 B. 7cosα米 C. 7tanα米 D. 米 10. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧．交于点，交于点，连接；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；④连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x(x﹣5)=x﹣5解为___________． 12. 在某一时刻，测得一根高为1.2m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是______m． 13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是_____． 14. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是________． 15. 如图，在矩形中，,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD边CD上，连接CE，则CE的长是 _____ . 三、解答题 16. 计算解方程： （1）． （2）． 17. 如图，在三角形中，点D在边上，点E在边上，且， （1）求证：； （2）若，求的长． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系． （1）将沿y轴向下平移4个单位得到，画出； （2）将绕原点O逆时针旋转得到，画出； （3）可由绕着点P旋转得到，点P的坐标是______． 19. 如图1是一款固定在地面O处的高度可调的羽毛球发球机，A是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球，在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状（如图2所示），设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），y与x的部分对应数据如表所示． x（米） 2 y（米） （1）求y关于x的函数表达式，并求出羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离． （2）为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口A的高度来实现．此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加1米，则发球机的弹射口高度应调整为多少米？ 20. 为了提升学生防灾减灾意识，某学校组织学生到贵州省消防总队进行参观学习．同学们现场观看了消防员的消防演习，小明回家后，想利用自己所学的知识解决下面问题：如图（1），线段是消防车上的云梯，可自由伸缩，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为． （1）若，求此时云梯的长； （2）如图（2），云梯上消防员为了到达上一层楼，联系下方的消防员调整云梯的角度，使得，若云梯伸长的速度为米/秒，则云梯完成伸长最快需要多长时间？（结果精确到小数点后一位）（参考数据：，，） 21. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径圆O交BC于D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB延长线于点G，连结AD． （1）∠ADB＝　 　°，依据是　 　； （2）求证：DF是圆O的切线； （3）已知BC＝4，CF＝2，求AE和BG的长． 22. 问题背景： （1）已知：如图1，，求证； （2）已知：如图2，在和中，，，与相交于点F，点E恰好落在边上，，请直接写出线段与的数量关系______； （3）如图3，，，． ①若，求线段的最大值； ②若将沿翻折至如图4所示位置，，求的面积． 23. 如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴另一交点为A． （1）直接写出抛物线的解析式______，点A的坐标______； （2）如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）若点，是抛物线图象上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ “认识自我，优我成长”——九年级数学 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是轴对称图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 把二次函数的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的平移原则解答即可． 本题考查了抛物线的平移，熟练掌平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据左加右减，上加下减的平移原则，得． 故选：C． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=8＞0，进而可找出该方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选择：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 4. 如图，在中，，，，则的正弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求得的长，然后利用正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，，，， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似的性质，沿着方向放大时，即；当沿着方向放大时，即，解答即可． 本题考查了坐标系中位似计算，熟练掌握分类计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得沿着方向放大时，即；当沿着方向放大时，即， 故选：C． 6. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的外角等于内对角，解答即可． 本题考查了的圆的内接四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由四边形内接于，， 故． 故选：B． 7. 如图，在中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，得到，利用相似性质，解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选项B，C错误； ∴， ∴， 故选项A错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 故选项D正确． 故选：D． 8. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ） A. 200（1－x）2＝162 B. 200（1＋x）2＝162 C. 162（1＋x）2＝200 D. 162（1－x）2＝200 【答案】A 【解析】 【详解】解：因为销售单价原来为200元，而平均每次降价的百分率为x， 所以降一次后的售价为200（1-x）元，降两次后的售价为元， 所以可列方程， 故选:A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是读懂题意，找出等量关系列出方程. 9. 如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（ ） A. 7sinα米 B. 7cosα米 C. 7tanα米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】在中，，利用正弦定义可得，代入求解即可． 【详解】在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确理解题意，能够把实际问题转化为数学问题是解题的关键． 10. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧．交于点，交于点，连接；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；④连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定与性质．根据题意可得，证明，由相似三角形的性质可得，又为的中点，则，从而求解． 【详解】根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x(x﹣5)=x﹣5的解为___________． 【答案】x1=5，x2=1 【解析】 【分析】先移项得到x（x﹣5）﹣（x﹣5）=0，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：x（x﹣5）﹣（x﹣5）=0， （x﹣5）（x﹣1）=0， x﹣5=0或x﹣1=0， 所以x1=5，x2=1． 故填x1=5，x2=1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 12. 在某一时刻，测得一根高为1.2m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是______m． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设这栋楼的高度为米，根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】设这栋楼的高度为米， 由题意得： ， 解得：， 这栋楼的高度为54米． 故答案为：54． 13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】连接OC，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理计算即可． 【详解】连接OC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CD＝2CE，∠OEC＝90°， ∵AB＝10，AE＝1， ∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4， 在Rt△COE中，CE＝＝3， ∴CD＝2CE＝6， 故答案为6． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 14. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是________． 【答案】，##， 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴， ∵与x轴的一个交点横坐标是， ∴设与x轴的另外一个交点横坐标是 ∴， 解得：， ∴方程的解是：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根情况；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是 _____ . 【答案】. 【解析】 【分析】 【详解】如图，过点C作MN⊥BG，分别交BG、EF于点M、N，根据旋转的旋转可得AB=BG=EF=CD=5，AD=GF=3，在Rt△BCG中，根据勾股定理求得CG=4，再由,即可求得CM= ,在Rt△BCM中，根据勾股定理求得BM=，根据已知条件和辅助线作法易知四边形BENM为矩形，根据矩形的旋转可得BE=MN=3,BM=EN= ,所以CN=MN-CM=3-=,在Rt△ECN中，根据勾股定理求得EC=. 考点：四边形与旋转的综合题. 三、解答题 16. 计算解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据计算即可． （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查了特殊角的函数值，负整数指数幂，零指数幂，公式法解方程，熟练掌握公式和解方程的基本方法是解题的关键． 17. 如图，在三角形中，点D在边上，点E在边上，且， （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是关键． （1）由可得，即，即可求证； （2）根据题意求出，结合即可求解； 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即： ∵ ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴ 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系． （1）将沿y轴向下平移4个单位得到，画出； （2）将绕原点O逆时针旋转得到，画出； （3）可由绕着点P旋转得到，点P的坐标是______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据逆时针旋转的要求求出对应坐标，画图即可． （3）根据旋转中心是对应线段垂直平分线的交点，解答即可． 本题考查了坐标的平移，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得，向下平移4个单位后，得到新坐标为，画图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，得，绕原点O逆时针旋转得到，新坐标分别为．画图如下： 则即为所求． 【小问3详解】 解：根据旋转作图，得绕逆时针旋转得到， 故答案：． 19. 如图1是一款固定在地面O处的高度可调的羽毛球发球机，A是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球，在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状（如图2所示），设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），y与x的部分对应数据如表所示． x（米） 2 y（米） （1）求y关于x的函数表达式，并求出羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离． （2）为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口A的高度来实现．此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加1米，则发球机的弹射口高度应调整为多少米？ 【答案】（1）；5 （2）3米 【解析】 【分析】（1）根据，确定抛物线的对称轴为直线 得到抛物线顶点坐标为，利用顶点式解答即可． （2）设抛物线向上平移k个单位，则解析式为，根据O点的水平距离增加1米，得到水平距离为6米，故是方程的根，解答即可． 【小问1详解】 解：∵，是对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 根据题意，得， 解得（舍去）， 故羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离为5米． 【小问2详解】 解：设抛物线向上平移k个单位，则解析式为，根据O点的水平距离增加1米，得到水平距离为6米， 故是方程的根， ∴， 解得， ∴， 当时，， 故， 故发球机的弹射口高度应调整为3米． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，抛物线的对称性，解方程，熟练掌握待定系数法，灵活解方程是解题的关键． 20. 为了提升学生防灾减灾意识，某学校组织学生到贵州省消防总队进行参观学习．同学们现场观看了消防员的消防演习，小明回家后，想利用自己所学的知识解决下面问题：如图（1），线段是消防车上的云梯，可自由伸缩，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为． （1）若，求此时云梯的长； （2）如图（2），云梯上的消防员为了到达上一层楼，联系下方的消防员调整云梯的角度，使得，若云梯伸长的速度为米/秒，则云梯完成伸长最快需要多长时间？（结果精确到小数点后一位）（参考数据：，，） 【答案】（1）云梯的长度为米 （2）云梯完成伸长最快需要秒 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）在中，，，根据，可得云梯伸长的长度，因为云梯伸长的速度为1米/秒，根据路程除以速度即可求出时间． 【小问1详解】 解：在中，，， 中， 米， 答：此时云梯的长度为米； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 又， ， 云梯伸长的长度约为：（米）， 又云梯伸长的速度为1米/秒， 云梯完成伸长最快需要3.3秒． 21. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB延长线于点G，连结AD． （1）∠ADB＝　 　°，依据是　 　； （2）求证：DF是圆O的切线； （3）已知BC＝4，CF＝2，求AE和BG的长． 【答案】（1）90，半圆（或直径）所对的圆周角是直角；（2）见解析；（3）AE＝6，BG＝． 【解析】 【分析】（1）根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角可得结论； （2）连接OD，由（1）知AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD＝CD，再根据OA＝OB知OD∥AC，从而由DF⊥AC可得OD⊥DF，即可得证； （3）连接BE．BE∥DF，可得DF是△BEC的中位线，设AE＝x，则AC＝AB＝x+4，根据勾股定理列方程可得x的值，证明△GOD∽△GAF，列比例式可得BG的长． 【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 故答案为90，半圆（或直径）所对的圆周角是直角； （2）连接OD， ∵∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， 又∵OA＝OB， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是圆O的切线； （3）连接BE． ∵CD＝BC＝2， ∵CF＝2， ∴DF＝＝＝4， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝∠CEB＝90°， ∴BE⊥AC， ∵DF⊥AC， ∴DF∥BE， ∴EF＝FC＝2， ∴BE＝2DF＝8， 设AE＝x，则AC＝AB＝x+4 由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2， （x+4）2＝82+x2， x＝6， ∴AE＝6，AB＝4+6＝10， ∵OD∥AF， ∴△GOD∽△GAF， ∴， ∴，BG＝． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 问题背景： （1）已知：如图1，，求证； （2）已知：如图2，在和中，，，与相交于点F，点E恰好落在边上，，请直接写出线段与的数量关系______； （3）如图3，，，． ①若，求线段的最大值； ②若将沿翻折至如图4所示位置，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①② 【解析】 【分析】（1）根据，得到，且，继而得到即，证明即可． （2）先证明，再证明，最后证明，利用比例式，用分别表示，计算解答即可． （3）①过点A作于点A，且，连接，，先证明，再证明．得到，判定点G在以B为圆心，3为半径的圆上，根据勾股定理，得，判定当取最大值时，线段也取最大值，根据，得当B，G，D三点共线时，取最大值，此时最大值为，解答即可． ②过点D作于点D，过点A作于点A，二线交于点M，连接，证明，再利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故． 故答案为：． 【小问3详解】 ①解：过点A作于点A，且，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴点G在以B为圆心，3为半径的圆上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故当取最大值时，线段也取最大值， ∵， ∴当B，G，D三点共线时，取最大值，此时最大值为， ∵，， ∴， ∴的最大值为7， ∴线段的最大值为． ②解：过点D作于点D，过点A作于点A，二线交于点M，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点A作于点N， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，正切函数的应用，直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半，两点之间线段最短原理，辅助线的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质，熟练进行构造辅助圆，辅助线是解题的关键． 23. 如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴另一交点为A． （1）直接写出抛物线的解析式______，点A的坐标______； （2）如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）若点，是抛物线图象上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值． 【答案】（1）； （2） （3）6或 【解析】 【分析】（1）根据直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，确定，，代入抛物线解析式，解方程组确定b，c的值，解抛物线解析式函数值为0时的方程，确定A的坐标即可． （2）过点D作轴，交于点E，过点A作轴，交于点F，则，于是得证，得到，设，确定，构造为函数，以m为自变量的二次函数，根据函数最值解答即可． （3）根据题意，得，对称轴为直线，顶点坐标为，分类讨论，确定最高点，最低点，构造方程解答即可． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴，， 把，代入抛物线解析式，得， 解得， ∴抛物线解析式为， 令，得， 解得， 故， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：如图，过点D作轴，交于点E，过点A作轴，交于点F，则， ∴， ∴， 设， ∵直线的解析式为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为，且两个三角形为同高三角形， ∴ ， ∵， ∴有最大值，且当，取最大值为． 【小问3详解】 解：根据题意，得，故抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；对称轴的右侧，y随x的增大而减小； 当时，， 当时，，点，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴点是最低点，是最高点， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 此时； 当时，，点，在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， ∵， ∴其关于对称轴的对称点为， ∴点在上方， 此时点为最低点，顶点为最高点， ∴， 解得，舍去； 当时，，点，在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， ∵， ∴其关于对称轴的对称点为， ∴点在下方， 此时点为最低点，顶点为最高点， ∴， 解得，不符合题意，舍去； 当时，，点，点在对称轴的右侧， 对称轴的右侧，y随x的增大而减小； ∴点是最高点，点为最低点， ∴， 解得（舍去）， 此时符合题意； 综上所述，符合题意的m的值为6或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，二次函数的最值，二次函数的性质，一元二次方程的解法，分类思想的应用，熟练掌握二次函数的性质，解方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$