辽宁省营口市大石桥市五校联考2024-2025学年九年级上学期阶段练习数学试卷

班 级 姓 名 2024——2025学年度上学期阶段练习 九年数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（30分） 1.关于 的方程 的一个解是 ，则 值为 A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 2. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 月份共有天 B. 一个等腰三角形中，有两条边相等 C. 明天的太阳从西边出来 D. 投掷一枚质地均匀的骰子，出现“●”点向上 4.用配方法解一元二次方程 时，此方程可变形为 ( ) 5. 如图，点A，B，C，D在上，， 点B是弧的中点，则的度数是( ) A.66º B. 35.5º C.33º D. 24º 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x+1）2+3的图象向右平移 2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A y=（x+3）2+2 B.y=（x-1）2+2 C.y=（x-1）2+4 D.y=（x+3）2+4 7. 关于x的一元二次方程ax2-4x-2=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 A. 且 B. 且 C. D. 8. 设A（-5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+3上的三点，则y1， y2， y3的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度θ得到△A＇B＇C＇， ∠A=40º，∠B＇DC=70º，则旋转角θ度数为( ) A.70º B. 55º C. 40º D. 30º 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个 交点坐标为（1,0），对称轴为直线x=-1，下列四个结论： ①；②；③； ④当时，；其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（15分） 11. 已知二次函数y=2x2-45x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围 是 . 12. 已知圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为，这条弧的长为______． 13 袋子中有4个黑球和3个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出一个球，摸到白球的概率为_______． 14 如图，抛物线与x轴相交于、 两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时， CD的长为______． 15. 如图，E是正方形边的上一点，将绕点A 旋转得到，过点A作的垂线分别交、 于H、G．若，，则__________． （用含n的式子表示） 三、计算题 16. （10分）用适当的方法解方程 （1） （2） 17. （8分）为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2021年该企业投入科研经费1000万元，2023年投入科研经费1440万元，假设该企业在2022年和2023年这两年投入科研经费的年平均增长率相同. （1）求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率； （2）若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预计2024年该企业投入科研经费多少万元． 18. （8分）如图，有张分别印有大连市沙河口区景点图案的卡片： 分别用字母依次表示星海广场、自然 博物馆、圣亚海洋馆这三个卡片，将这张卡片 （卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明 的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记 录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片． 求下列事件发生的概率： （1）填空：第一次取出的卡片图案为“自然博物馆”的概率为_______； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求两次取出的张卡片中至少有张图案为“星海广场”的概率． 19.（8分） 某广场计划修建一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上（水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足二次函数关系），以水管下端点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，某方向上抛物线路径的形状如图所示． （1）经实验测量发现：当OA长为2米时，水流所形成的抛物线路径的最高点距地面3米，距OA所在直线1米，求抛物线的解析式； （2）计划在小型喷泉周围建一个 半径为米的圆形水池，在不改 变抛物线路径形状的情况下，仅 改变水管OA出水口点A的高度， 以保证水流的落地点B不会超出 水池边缘，则水管OA最多可以设计为几米？ 20.（9分） 如图，在中，四边形为圆内接 四边形，过作交延长线于， ． （1）求证：DE为⊙O切线； （2）若，，求⊙O的半径长． 21.（10分）某商品现在的售价为每件70元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨1元，每星期要少卖出10件；每降1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件50元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 22. （12分）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1， △ABC和△DCE是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上， 请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________； （写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也 会“寻模而入，破模而出”． 【类比分析】 （2）如下图，已知四边形ABCD中，∠ADC=α(0＜α＜180º）， AB∥CD，CE是∠BCD的平分线，且． 将线段绕点E顺时针旋转得到线段EP． 当时，连接PD，试判断线段PD和线段BD的数量关系，并说明理由； ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段PD和线段BD的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件α=120º，则∠AEP=60º，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与△PDE全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如下图，△ABC中，当∠A=60º时，点D、E为AC、AB上的点， CD=BE，∠CED=30º，若BC=7，CE=5，求线段ED的长． 23. （12分）【发现问题】 如图1，小迪同学利用无人机玩“投弹”游戏，无人机以不变的速度水平飞行，他发现，在不同高度释放小球，小球落地点距小球释放点之间的水平距离都有所不同． 【提出问题】 为了准确投中目标，需要知道小球释放点距地 面的竖直高度与小球释放点距落地点的水平距 离之间的关系； 【分析问题】 小迪控制无人机在距水平地面不同的高度释 放小球，分别测量了小球释放点距落地点的水平距离和竖直高度，实验结果如下表： 小球释放点距落地点的水平距离x（米） 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 … 小球释放点距落地点的竖直高度y（米） 0 0.2 0.8 1.8 3.2 5 7.2 … 小迪同学建立平面直角坐标系，描出上面表格中每对数值所对应的点，得到图2，小迪根据图2中点的分布情况，确定其图象是二次函数图象的一部分，从而确定在一定高度释放小球的运动轨迹是一条抛物线． 【解决问题】 如图3，小迪控制无人机在距地面竖直高度为20米（米）向右水平飞行．为了更形象的描述，小迪在平面坐标系内画出的抛物线与小球释放后的运动轨迹一致． （1）请直接写出y与x的函数解析式；并求此时小球释放点O距落地点F之间的水平距离应为多少米? （2）在距点E正前方的12米（米）地面点A上，有一高度为5米（AD=5米），直径为米（米）的圆柱体目标，它的最大截面为矩形和坐标轴在同一平面内．求无人机离开点O后，在什么飞行范围内释放小球，可以击中目标； （3）若在距（2）中的圆柱体目标的正前 方N处（AN=23米米）有一建筑物（建筑物 的竖直高度大于20米）的侧面外形为直线l， 直线l与x轴的交点为点M，建筑物l和地面 的夹角为45º（∠MNE=45º），S为抛物线图3建筑物示意图 上一点，ST是点S距建筑物的距离． 求小球在击中圆柱体目标的过程中，距建筑物的最小距离． 参考答案 一、BCBDC BAADD 二、11. 12. 13. 14.2 15. 16.（1）， （2）， 17．（1）解：设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为x， 由题意得，解得（不合题意，舍去）． 答：这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为； （2）解：（万元）． 答：预计2024年该企业投入科研经费1728万元． 18.（1）解：第一次取出的卡片图案为“自然博物馆”的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如图： 由树状图可得，共有种情况数，其中两次取出的张卡片中至少有张图案为“星海广场”的情况有种，∴． 19.解：（1）由题意，得：抛物线顶点为∵∴ 设抛物线解析式为∴∴∴ （2）∵抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，对称轴为直线 ∴设平移后的抛物线为∴由题意：得：抛物线过点 ∴∴∴ 当时，∴此时点A坐标为∴水管最多可以设计为米 20.（1）解：连接，如图所示： 四边形为圆内接四边形，， ，， ，， ，， ，，，， ，，，， 为半径，为切线， （2）解：连接， 延长线与延长线交于点，如图所示： 为直径，， ，， ，，， ，，，， ，，， ，，，， ，所以圆的半径为5． 21.解：设每件涨价x元，则利润， 即，其中．， 当时，y最大，涨价5元，即定价75元时，利润最大，最大利润是6250元． 设每件降价m元，则利润， 即，其中．． 当时，y最大，降价2.5元，即定价67.5元时，利润最大，最大利润是6125元． ．综上，定价75元时，利润最大，最大利润是6250元． 22.解：（1）．理由如下： 如图1， 和是等边三角形，， ，， ，即， 在和中， ，； （2）如图2，过点作平分交于， 四边形中，，，， ，， 平分，，， ，， 四边形是平行四边形，， 平分，， ，是等边三角形， ，， ，，即， 由旋转得：，，， ，； （3）如图3，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，， 设，则， ，， 又，是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ，， 即，，即的长为． 23.（1）设小球释放点距落地点的水平距离和竖直高度之间的函数解析式为：， 代入表格数据有：，解得：， ∴小球释放点距落地点的水平距离和竖直高度之间的函数解析式为：， 结合图3可知：小迪在平面坐标系内画出的抛物线与小球释放后的运动轨迹一致，但是函数图象关于x轴对称，∴此时y与x的函数解析式为：， 当时，，解得：，（负值不合题意舍去） 即（米）； （2）∵无人机水平向右移动，∴抛物线水平向右平移， ∵，，∴， ∴当无人机水平向右移动4米后投掷，小球可以击中圆柱体的A点； ∵，∴点C的竖直高度为：（米）， ∴当时，，解得：， ∴当小球下降15米时，小球的水平移动距离为：米， ∵点C距离点O的水平距离为：， ∴（米）， ∴当无人机水平向右移动12米后投掷，小球可以击中圆柱体C点； 综上：当无人机水平飞行4米至12米的距离内投掷的小球可以击中圆柱体； （3）根据（2）可知抛物线水平向右平移12个单位后，此时小球在击中圆柱体目标的过程中，存在距建筑物的最小距离， 即平移后的抛物线解析为：， 将向左平移直至与抛物线：相切与点S，且交x轴于点K，过S点作于点H，过S点作轴，交于点T，过M点作轴于点G，如图，根据题意有：， ∵，，∴， ∴， ∵，轴，， ∴， ∴，即，∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：，∴直线的解析式为：， ∴设与抛物线：相切且与平行的直线的解析式为：， 联立，整理得：， ∵相切，∴方程只有唯一解， ∴，解得：， ∵直线的解析式为：，直线的解析式为：， ∴，∴根据平移的性质有：， ∴在中，，∴， 即小球在击中圆柱体目标的过程中，距建筑物的最小距离为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$