数学（新高考Ⅰ卷01）-学易金卷：2025年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）01·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）01·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）01·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知， 再由指数函数的单调性可得时，即， 因此. 故选：D 2．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【详解】因为该组数据共7个，且，所以这组数据的分位数为从小到大第4个数，即6， 又组数据的平均数为，则，解得. 故选：C. 3．已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 【答案】B 【详解】将两边平方，得， 由得， 即，解得或1. 故选：B. 4．记为非零数列的前项和，若，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】在非零数列中，，由，，得数列是等比数列，， 因此，所以. 故选：C 5．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（    ）（，）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足， 因为经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克， 可得，火箭耗尽燃料时速度为， 两式相除得. 故选：C． 6．已知函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则，， ，因此，解得， 由，得或，于是， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 7．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（    ）百元代金券 A．5.4 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【详解】若摸到一红球一白球的概率， 若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率， 设可获得百元代金券为变量分布列如下， a b ab P ，, 手气最好者获得百元代金券 即，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 估计手气最好者至多获得18个百元代金券. 故选：D. 8．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线F2A的直线方程为：y＝kx，F1（0，），F2（0，）， 代入抛物线C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0， ∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，不妨取k＝1 则A（p，），设双曲线方程为：1， 丨AF1丨＝p，丨AF2丨p， 2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（ 1）p， 2c＝p， ∴离心率e1， 故选D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】设，则， 对于A，当时，， 则，故A错误； 对于B，， ， 所以，故B正确； 对于C，当时，，， 满足，但，故C错误； 对于D，当时，， 而，故D错误. 故选：ACD. 10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（   ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．数列中最小项为 【答案】ABD 【详解】根据题意：，即， 两式相加，解得，当时，最大，故A正确； 由，可得，所以， 故， 所以，故C错误； 由以上可得：， ，而， 当时，；当时，； 所以使得成立的最小自然数，故B正确. 当或时；当时； 由， 所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD 11．在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（     ）.    A．曲线关于直线对称 B．若，则时到轴距离的最大值为 C．若，如图，则 D．若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内 【答案】BCD 【详解】设点，则， 对于A选项，点关于直线的点为， 因为， 即点不在曲线上，所以，曲线不关于直线对称，A错； 对于B选项，当时，曲线的方程为， 当时，则，则， 所以，，可得，可得， 对于不等式，即，显然该不等式恒成立， 对于不等式，即，解得， 因为，则，此时，若，则时到轴距离的最大值为，B对； 对于C选项，点关于直线的对称点为， 因为， 即点在曲线上，故曲线关于直线对称， 如下图所示，当时，直线与曲线有两个交点，    当时，在曲线的方程中，令，可得，可得， 所以，曲线与在上的图象有两个公共点，如下图所示：    显然，曲线与射线在上的图象有一个公共点， 则曲线与线段相切， 由，可得，则，可得， 且当时，方程为，解得，合乎题意， 综上所述，，C对； 对于D选项，若曲线与轴正半轴交于， 则，则有， 当时，令可得，整理可得， 即， 令，其中， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 因为，，则， 所以，曲线与轴负半轴的交点横坐标在区间内，D对. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，常数项为 . 【答案】 【详解】解：由题意得：， 令得， 故常数项为． 故答案为：． 13．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的体积为 【答案】 【详解】将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱， 则圆柱底面半径为，高为， 体积为， 则该几何体的体积为圆柱体积的一半， 即. 故答案为： 14．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为 （精确到0.1）． 【答案】3.3 【详解】由，得． 当时，，， 则过点的切线方程为， 令，得． 又，， 则过点的切线方程为， 令，得，此时与近似值相等，故近似解r约为3.3． 故答案为：3.3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 【详解】（1）由  得，而为三角形内角， 故,得，而为三角形内角，或 （2）由得， 又，∴，  ，故 ， 由（1）得，故， ∴，而为三角形内角， ∴. 又即， 又，而为三角形内角，故， . 16． （15分） 已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求的值. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递增，由，知当时，，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 由恒成立，得恒成立，令， 求导得， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，故恒成立， 因此，所以. 17． （15分） 如图，在几何体中，四边形是梯形，，，与相交于点N，平面，，H是的中点，，． (1)点P在上，且，证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【详解】（1）方法1：依题意可知，直线，，两两垂直，以点A为坐标原点， 直线，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，，，， 因为，所以，所以， 又，所以， 又，，从而得， 所以向量，，共面， 又平面，平面，平面， 所以平面． 方法2：如图，在，上取点M，Q，且满足，， 连接，，， 因为，，有， 所以，且， 又因为，，， 所以，有， 所以，且， 又，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）由（1）方法1可知，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，即． 取，则平面的一个法向量为， 则， 由图知二面角为钝角， 故二面角的余弦值为． 18． （17分） 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足． ①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值； ②求四边形ABCD面积的最大值． 【详解】（1）由题意，2ab=4， 又，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）如图所示 ①设直线AB的方程为，设 联立，得 (*) = ，， 整理得， 所以直线和直线的斜率之和为定值0． ②由①，不妨取，则 设原点到直线AB的距离为d，则 又，所以 当且仅当时取等号． ． 即四边形ABCD的面积的最大值为4．    19． （17分） 拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上． (1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？ (2)假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)假设让站好的一排个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：……） 【详解】（1）当有3个士兵时，重新站成一排有2种站法； 当有4个士兵时，假设先安排甲，有3种站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3种站法， 剩下的两个人都只有1种站法，由分步乘法计数原理可得有种站法． （2）易知，． 如果有个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤： 第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有种选法； 第二步：重排其余个人，根据第一步，可以分为两类： 第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有种； 第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有种． 所以，，又， 所以． 所以数列，是首项为1，公比为的等比数列 （3）由题意可知， 由（2）可得：，则． 对进行赋值，依次得：，，⋯， 将以上各式左右分别相加，得：，因， 则． 即得， 当无穷大时，，得证. 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）01·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B C C D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．3.3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）由  得，而为三角形内角， 故,得，.…….…….…….…….…….…….…….…….…….…….… .……2分 而为三角形内角，或.…….…….…….…….…….…….…….…….…….…….…….…4分 （2）由得， 又，∴，故 ，….……….…….…….…….……6分 由（1）得，故，….…….……….…….…….……….…….…….…….……7分 ∴，而为三角形内角， ∴.….…….…….…….…….…….……8分 又即，….…….…….…….…….…….……10分 又，而为三角形内角，故，….…….…….…….…….…….……11分 .…….…….…….…….…….…….…….…….……13分 16．（15分） 【详解】（1）函数的定义域为，….…….…….…….…….……2分 当时，恒成立，在上单调递增.….…….…….…….…….……4分 当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增.….…….…….…….…….……6分 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增..…….…….…….….…….…….…….…….…….…….…….…….…….……….…….…….…….…….……7分 （2）由（1）知，当时，在上单调递增，由，知当时，，不符合题意；…….…….…….……….…….…….…….…….……9分 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 由恒成立，得恒成立，…….…….…….……….…….…….…….…….……11分 令， 求导得，…….…….…….……….…….…….…….…….……12分 当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，故恒成立，…….…….…….……….…….…….…….……14分 因此，所以.…….…….…….……….…….…….…….…….……15分 17．（15分） 【详解】（1）依题意可知，直线，，两两垂直，以点A为坐标原点， 直线，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，….…….…….……1分 依题意得，，，，….…….…….……2分 因为，所以，所以， 又，所以， 又，，从而得，….…….…….……4分 所以向量，，共面， 又平面，平面，平面， 所以平面．.…….……..…….…….…….…….……….……….…….…….……6分 （2）由（1）方法1可知，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则平面的一个法向量为，….…….…….……8分 设平面的法向量为， 则，即． 取，则平面的一个法向量为，…….…….……….………….…….……10分 则，…….…….…….…….……13分 由图知二面角为钝角，…….…….……….…….….…….…….……14分 故二面角的余弦值为．.…….…….……….…….…….…….…….……15分 18．（17分） 【详解】（1）由题意，2ab=4， 又，解得， .…….…….……….…….….…….…….……2分 所以椭圆的标准方程为．.…….…….……….…….….…….…….……4分 （2）如图所示 ①设直线AB的方程为，设 联立，得.…….…….……….………….…….…….……6分 (*).…….…….……….….…….…….…….……7分 .…….…….……….…….………….…….……8分 =.…….…….…………….…….…….…….……9分 ，， 整理得，.…….…….……….……..…….…….….…….…….……….….…….……10分 所以直线和直线的斜率之和为定值0．…….…….……….…..…….…… …….…….……12分 ②由①，不妨取，则 设原点到直线AB的距离为d，则 又，所以 .…….…….……….….…….…….…….……15分 当且仅当时取等号． .…….…….……….…….…….….…….……16分 ． 即四边形ABCD的面积的最大值为4．.…….…….……….….…….…….…….……17分    19．（17分） 【详解】（1）当有3个士兵时，重新站成一排有2种站法； 当有4个士兵时，假设先安排甲，有3种站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3种站法， 剩下的两个人都只有1种站法，由分步乘法计数原理可得有种站法．…….…….…….……3分 （2）易知，． 如果有个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤： 第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有种选法； 第二步：重排其余个人，根据第一步，可以分为两类： 第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有种； 第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有种． 所以，，又，…….…….…….……6分 所以．…….…….…….……8分 所以数列，是首项为1，公比为的等比数列…….…….…….……9分 （3）由题意可知， ……….…….…….…….…….…….….…….…….……10分 由（2）可得：，则． .….…….…….….…….….…….…….…12分 对进行赋值，依次得：，，⋯， 将以上各式左右分别相加，得：，因， 则． 即得，.….…….…….…15分 当无穷大时，，得证.….…….…….…17分 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 4．记为非零数列的前项和，若，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（    ）（，）． A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 7．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（    ）百元代金券 A．5.4 B．9 C．12 D．18 8．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（   ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．数列中最小项为 11．在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是（     ） A．曲线关于直线对称 B．若，则时到轴距离的最大值为 C．若，如图，则 D．若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，常数项为 ． 13．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的体积为 ． 14．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为 （精确到0.1）． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 16．（15分） 已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求的值. 17．（15分） 如图，在几何体中，四边形是梯形，，，与相交于点N，平面，，H是的中点，，． (1)点P在上，且，证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 18．（17分） 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足． ①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值； ②求四边形ABCD面积的最大值． 19．（17分） 拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上． (1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？ (2)假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)假设让站好的一排个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：……）． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 4．记为非零数列的前项和，若，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（    ）（，）． A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 7．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（    ）百元代金券 A．5.4 B．9 C．12 D．18 8．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（   ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．数列中最小项为 11．在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是（     ） A．曲线关于直线对称 B．若，则时到轴距离的最大值为 C．若，如图，则 D．若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，常数项为 ． 13．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的体积为 ． 14．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为 （精确到0.1）． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 16．（15分） 已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求的值. 17．（15分） 如图，在几何体中，四边形是梯形，，，与相交于点N，平面，，H是的中点，，． (1)点P在上，且，证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 18．（17分） 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足． ①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值； ②求四边形ABCD面积的最大值． 19．（17分） 拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上． (1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？ (2)假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)假设让站好的一排个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：……）． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$