上海市徐汇区2024-2025学年高三上学期学习能力诊断数学试卷

2024学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 2024.12 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 不等式的解集为________. 2. 已知函数，其中，则__________. 3. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则正整数的值为__________. 4. 已知向量，若，则实数的值为__________. 5. 设.若函数是定义在上的奇函数，则__________. 6. 已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的__________条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 7. 某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的第75百分位数是______. 8. 已知复数和复数满足（为虚数单位），则__________. 9. 设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为__________. 11. 徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上､下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上､下两部分母线长的总和为__________. 12. 已知定义域为的函数的值域也是，所有这样的函数形成全集.设非空集合且中的每一个函数都是中的两个函数（可以相同）的复合函数，则集合的元素个数的最小值为__________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列抛物线中，焦点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 14. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ） A. 40个 B. 45个 C. 50个 D. 55个 15. 已知函数与它的导函数的定义域均为.若函数是偶函数且在上是严格增函数，则下列各表中，可能成为取值的是（ ） A. 1 2.8188 2 1.0000 3 0.3644 4 0.2468 B. 1 0.7580 2 1.0000 3 1.3188 4 1.7979 C. 1 2.4132 2 1.0000 3 1.5885 4 4.1116 D. 1 0.8664 2 1.0000 3 1.1188 4 1.2240 16. 已知数列的前项和为，设（为正整数）.若存在常数，使得任意两两不相等的正整数，都有，则称数列为“轮换均值数列”.现有下列两个命题：①任意等差数列都是“轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①､②都是真命题 D. ①､②都是假命题 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. （1）求实数的值； （2）设，当时，，求的值. 18. 如图，在四棱锥中， .为棱的中点，异面直线与 所成角的大小为. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. （1）分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； （2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 20. 已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，求证：； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. 已知定义域为的函数，其导函数为，若点在导函数图像上，且满足，则称为函数的一个“类数”，函数的所有“类数”构成的集合称为“类集”. （1）若，分别判断和是否为函数的“类数”，并说明理由； （2）设的图象在上连续不断，集合.记函数的“类集”为集合，若，求证：； （3）已知，若函的“类集”为时的取值构成集合，求当时的最大值. 2024学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 2024.12 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】0 【3题答案】 【答案】5 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】1 【6题答案】 【答案】充要 【7题答案】 【答案】51 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】2 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】A 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）证明：因为为棱的中点， 所以且，所以四边形是平行四边形. 所以，又平面不在平面上， 由线面平行的判定定理知，平面. （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2），理由如下： ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大. 【20题答案】 【答案】（1） （2） 由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ， 所以，即得证. （3） 由(2)可知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为， 则， 因为为劣弧，所以， 所以，所以，即所对圆心角的大小为定值. 【21题答案】 【答案】（1）是函数的“类数”，不是函数的“类数”，理由如下： ， 是函数的“类数”； ， ， 不是函数的“类数”. （2） 函数的“类集”为集合，且真包含于， 存在，使得且， 若，则， 函数的图像是连续不断的， 不妨设，由零点存在定理知，必存在使， 存在零点，即； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $