精品解析： 山东省济宁市经开区2024-2025学年上学期九年级12月学业质量测试数学试题

济宁经开区2024年12月学业水平检测九年级数学试题 考试范围：21章-27章；考试时间：120分钟；满分：120分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 3. 如图，是上的四个点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，随机闭合开关中两个，则灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程的两根分别是，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 在函数的图象上有三点，已知，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，和分别是和的角平分线，已知，，则的值为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，已知反比例函数与二次函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 12. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，下列说法：；；；若，是抛物线上两点，则，其中正确的有　　 A. 1个 B. 2个 C 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 13. 如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是_________． 14. 抛物线经过点，则_______． 15. 如图，在中，，，将绕直线旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于_______．（结果保留） 16. 如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝__． 17. 等腰直角△ABO在平面直角坐标系中如圈所示，点O为坐标原点，直角顶点A的坐标为（2，4），点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为_____． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 解方程： （1）（用配方法）； （2）． 20. 如图，羊年春节到了，小明亲手制作了3张一样的卡片，在每张卡片上分别写上“新”“年”“好”三个字，并随机放入一个不透明的信封中，然后让小芳分三次从信封中摸3张卡片每次摸1张，摸出不放回． 小芳第一次抽取卡片是“新”字的概率是多少？ 请通过画树状图或列表，求小芳先后抽取的3张卡片分别是“新年好”的概率． 21. 如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系中的三点． （1）把△ABC绕着点O顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出旋转后的图形，并写出点A的对应点A1的坐标； （2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形． 22. 某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围． (2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式， （2）求的面积、 （3）结合函数图象直接写出不等式解集． 24. 如图，是的直径，延长弦到点，使，连接，过点作，垂足为． （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若的半径为，，延长交延长线于点，求阴影部分的面积． 25. 数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形的面积最大时的P点坐标； （3）在直线上找一点Q，使得为等腰三角形，写出Q点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济宁经开区2024年12月学业水平检测九年级数学试题 考试范围：21章-27章；考试时间：120分钟；满分：120分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：①②③中图形是中心对称图形，符合题意；④中图形不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，理解定义，找准图形中的对称中心是解答的关键． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟记一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，方程为，是一元一次方程，则此项不符合题意； B、方程中是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、方程是一元二次方程，则此项符合题意； 故选：D． 3. 如图，是上的四个点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 连接，根据弧，弦，角的关系得到，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 故选：A． 4. 将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线向上、向左各平移1个单位长度，得 ． 故选B． 5. 如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机闭合开关中的两个的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机闭合开关中的两个共有6种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有4种， 则灯泡发光的概率为， 故选：B． 6. 已知一元二次方程的两根分别是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解本题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，然后利用完全平方公式把变形求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是， ∴，， ∴． 故选D． 7. 在函数的图象上有三点，已知，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，正确判断反比例函数的图像所在的象限和增减性是解题的关键．首先判断反比例函数的图像所在的象限和增减性，再由增减性比较大小即可． 【详解】已知函数的图象经过二，四象限， 由图象上有三点， 且， 可得点在第二象限， 在第四象限， ， 函数的图象在第二象限内，随的增大而增大， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理即可求解； 【详解】解：由图可知：， 若，或，则根据“如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似‌”可判定， 故A、C正确，不符合题意； 若，即，则根据“如果两个三角形的两边对应成比例，并且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似‌” 可判定， 故D正确，不符合题意； 不可判定，故B错误，不符合题意； 故选：B 9. 如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，连接、，得，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解．解题的关键是掌握反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为． 【详解】解：如图所示，连接、，设交轴于点， ∵轴，且与反比例函数与的图象分别交于点和点， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 10. 如图，，和分别是和的角平分线，已知，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的对应边的比，对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比均等于相似，对应面积的比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵和分别是和的角平分线， ∴，即， 故选：A ． 11. 如图，已知反比例函数与二次函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点P（-3，1），再观察图象可得当或时，二次函数的图象位于反比例函数图象的上方，即可求解 【详解】解：当时，， 解得：， ∴点P（-3，1）， 观察图象得：当或时，二次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴关于x的不等式的解集为或， 即关于x的不等式的解集为或． 故选∶C 【点睛】本题主要考查了二次函数和不等式解集，利用数形结合思想解答是解题的关键． 12. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，下列说法：；；；若，是抛物线上两点，则，其中正确的有　　 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：①由对称轴可知：−＜0， ∴ab＞0， 由抛物线与y轴的交点可知：c＜0， ∴abc＜0，故①正确； ②由图象可知：−=-1， ∴b=2a， ∴2a-b=0，故②正确； ③（-3，0）关于直线x=-1的对称点为（1，0）， ∴令x=1，y=a+b+c=0， ∴c=-3a， ∵a＞0， ∴8a+c=5a＞0，故④正确； ④（-5，y1）关于直线x=-1的对称点（3，y1）， ∴若（-5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1=y2， 故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想，本题属于中等题型． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 13. 如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程没有实数根得到，据此解答． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 14. 抛物线经过点，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，把代入得，然后代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，将绕直线旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，勾股定理，面动成体，先利用勾股定理得到，再根据题意可得将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，据此根据圆锥侧面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥， ∴这个几何体的侧面积等于， 故答案为：． 16. 如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝__． 【答案】4． 【解析】 【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长． 【详解】∵△ABC∽△ACD，∴， ∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 17. 等腰直角△ABO在平面直角坐标系中如圈所示，点O为坐标原点，直角顶点A的坐标为（2，4），点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥AC于D，则∠ACO＝∠BDA＝90°，根据等腰三角形性质证△AOC≌△BAD（AAS），求出B坐标，再代入解析式可得； 【详解】解：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥AC于D，则∠ACO＝∠BDA＝90°， ∵△ABO是等腰直角三角形， ∴AO＝BA，∠BAO＝90°， ∴∠OAC+∠BAD＝∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠OAC＝∠ABD， ∴△AOC≌△BAD（AAS）， ∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝4， ∴点B的坐标为（6，2）， ∴2＝， 解得k＝12， 故答案为12． 【点睛】考核知识点：反比例函数和几何运用.作好辅助线是关键. 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为_____． 【答案】22015π 【解析】 【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得PnOn垂直于x轴，可知为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题． 【详解】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…， ∵P1 是⊙O1上的点， ∴P1O1＝OO1， ∵直线l解析式为y＝x， ∴∠P1OO1＝45°， ∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴， 同理，PnOn垂直于x轴， ∴ 为圆的周长， ∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推， ∴OO1＝1＝20，OO2＝2＝21，OO3＝4＝22，OO4＝8＝23，…， ∴OOn＝， ∴， ∴， 故答案为：22015π． 【点睛】本题考查了图形类规律探索、一次函数性质、等腰直角三角形的性质以及弧长的计算，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 解方程： （1）（用配方法）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用配方法进行求解即可； （2）利用因式分解法进行求解即可； 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 或， ． 20. 如图，羊年春节到了，小明亲手制作了3张一样的卡片，在每张卡片上分别写上“新”“年”“好”三个字，并随机放入一个不透明的信封中，然后让小芳分三次从信封中摸3张卡片每次摸1张，摸出不放回． 小芳第一次抽取的卡片是“新”字的概率是多少？ 请通过画树状图或列表，求小芳先后抽取的3张卡片分别是“新年好”的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由共有3张大小相同的卡片，在每张卡片上分别写上“新”、“年”、“好”三个字，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小芳先后抽取的3张卡片恰好是“新年好”的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：∵共有张大小相同卡片，在每张卡片上分别写上“新”、“年”、“好”三个字， ∴小芳第一次抽取的卡片是“新”字的概率是：； 画树状图得： ∵共有种等可能的结果，小芳先后抽取的张卡片恰好是“新年好”的有种情况， ∴小芳先后抽取的张卡片恰好是“新年好”的概率为：． 【点睛】考查了树状图法与列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 21. 如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系中的三点． （1）把△ABC绕着点O顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出旋转后的图形，并写出点A的对应点A1的坐标； （2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形． 【答案】（1）如图所示见解析，△A1B1C1即为所求，点A的对应点A1的坐标为（2，4）；（2）如图所示见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）直接利用平移的性质，可分别求得△A1B1C1各点的坐标，继而画出图形； （2）利用位似的性质，可求得各点的坐标，继而画出图形. 试题解析：（1）△A1B1C1如图所示，其中A1的坐标为（0，1） （2）符合条件的三角形有两个，如图所示. 22. 某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围． (2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；（2）售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元． 【解析】 【分析】（1）根据价格每降低2元，平均每月多销售10箱，由每箱降价元，多卖，据此可以列出函数关系式； （2）由利润=（售价−成本）×销售量−每月其他支出列出函数关系式，求出最大值. 【详解】解：（1）根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）； （2）设每月销售水果的利润为w， 则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500 ＝﹣5x2+100x+1420 ＝﹣5（x﹣10）2+1920， 当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元， 答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价−成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键. 23. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式， （2）求的面积、 （3）结合函数图象直接写出不等式解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合吗，涉及待定系数法确定函数解析式、平面直角坐标系中求三角形面积、图象法解不等式等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）在平面直角坐标系中，求出，数形结合，利用，代值求解即可得到答案； （3）不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：反比例函数过点， ，即； 将，代入，得， 点的坐标为， 将点，的坐标代入一次函数中，得，解得， ； 【小问2详解】 解：在直线中，当时，， 点的坐标为，即， ； 【小问3详解】 解：不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，且、， 或． 24. 如图，是的直径，延长弦到点，使，连接，过点作，垂足为． （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若的半径为，，延长交延长线于点，求阴影部分的面积． 【答案】（1）直线与的位置关系是相切，证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1），证明即可解题， （2）由勾股定理得到，根据阴影部分的面积即可求出阴影部分面积. 【详解】（1）直线与的位置关系是相切， 证明：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， 直线是的切线， 即直线与的位置关系是相切； （2）解：∵， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系判定，不规则图形求面积等问题，综合性较强.作出辅助线是解题关键. 25. 数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【答案】见解析，树的高度为 【解析】 【分析】本题是对相似三角形的综合考查，熟练掌握相似三角形判定及相似比是解决本题的关键． 设，先证，得到，再证，得到，从而求出x的值即可． 【详解】解：设． ∵， ∴， ， ∵， ∴， 解得． 把代入 中，得 解得， ∴树的高度为． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形的面积最大时的P点坐标； （3）在直线上找一点Q，使得为等腰三角形，写出Q点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）连接，过点作轴的垂线，交于点，先求出的面积，再求出直线的解析式，设点的坐标为，求出与之间的关系式，利用二次函数的性质求解即可得； （3）设点的坐标为，利用两点之间的距离公式可得的值，再分、和三种情况，分别建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：将点代入二次函数得：， 解得， 则这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作轴的垂线，交于点， 令，则，解得或， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为，则， ∴， ∵的面积等于与的面积之和，且与的边上的高之和等于， ∴， ∴四边形的面积为， 由二次函数的性质可知，在内，当时，四边形的面积最大， 此时， 所以四边形的面积最大时的点坐标为． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 当时，， 所以此时点的坐标为； ②当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或， 当时，，即， 当时，，即； ③当时，为等腰三角形， 则，即， 解得， 此时， 所以此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用、等腰三角形的定义、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$