精品解析：北京市十三中分校2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试卷

2024-2025学年度北京市第十三中学分校 12月月考 九年级 数学试卷 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共 2 页，第Ⅱ卷共 4 页． 2．本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 一、选择题（共12小题，每小题2分） 1. 下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形沿着某个点旋转180度后能与原图形完成重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：A．是中心对称图形，但不是轴对称图形；故符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C．既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意； D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式 ，顶点坐标为，即可得出结果． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为； 故选C． 3. 如图，绕某点旋转，得到 ，则其旋转中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得出点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为，即可得到答案． 【详解】解：绕某点旋转，得到 ， 点的对应点为点，点的对应点为点， 如图，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为， ， 旋转中心的坐标是， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、找旋转中心，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 4. 要得到抛物线，可以将抛物线：（ ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可； 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线； 故选D． 【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 5. 某个事件发生的概率是，这意味着（　　） A. 在两次重复试验中该事件必有一次发生 B. 在一次试验中没有发生，下次肯定发生 C. 在一次试验中已经发生，下次肯定不发生 D. 每次试验中事件发生的可能性是50％ 【答案】D 【解析】 【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生，据此根据题意得出答案即可. 【详解】∵某个事件发生的概率是， ∴根据概率的意义可知：该事件在一次试验中可能发生也可能不发生，且每次试验中事件发生的可能性是50%， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了概率的意义，熟练掌握相关概念是解题关键. 6. 在中，， ，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ） A. 点A在上 B. 点C在内 C. 直线与相切 D. 直线与相离 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，作于，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，再逐项分析即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， ∵， ∴， ∴， ∵以A为圆心作一个半径为3的圆， ∴点A为圆心，故A错误， ∵， ∴点C在外，故B错误； ∵ ，， ∴直线与相切，故C正确，D错误； 故选：C． 7. 抛物线与x轴交于两点，分别是，，则m＋n的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 和a的大小有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标可得关于x的一元二次方程的解是，，然后根据根与系数的关系即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点，分别是，， ∴关于x的一元二次方程的解是，， 根据根与系数的关系可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根与系数的关系，熟知二次函数与x轴的交点坐标与一元二次方程解的关系是解题的关键． 8. 已知是的直径，弦 ，分别过M，N作的垂线，垂足为C，D．有以下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若M为的中点，则D为中点．其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，可得结论①②正确，证明，可得③错误；证明是等边三角形，可得④正确，从而可得答案． 【详解】解：如图所示，连接 、 ， 、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ，故②正确， ， ， ，故①正确， 当四边形是正方形时，， ， ，故③错误， 若是的中点，连接 ，而 ， ， 是等边三角形， ， ，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题2分） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值的混合运算，先求出特殊角的三角函数值，再计算加法即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则可以列出方程：________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据题意写成的形式即可． 【详解】根据题意，得 ． 故答案为：． 11. 如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为____． 【答案】4 【解析】 【分析】由⊙C与∠AOB的两边分别相切，利用切线长定理,可得∠AOC＝ 45°,继而可得△OCP是等腰直角三角形,则可求得答案. 【详解】 连接CP，∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，CP⊥OA，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝45°，∴OC＝OP＝4，故答案为4. 【点睛】本题主要考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定△OCP是等腰直角三角形是解题关键. 12. 若抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与x轴有公共点，也就是方程有实数根，根据根的判别式列式求解即可. 【详解】∵抛物线与x轴有公共点， ∴方程有实数根， ∴∆=16-4m≥0， ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系；熟记抛物线与x轴的交点个数和一元二次方程根的关系是解决问题的关键．当二次函数与x轴有一个交点时，则对应的一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数与x轴有两个交点时，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数与x轴没有交点时，则对应的一元二次方程没有实数根. 13. 如图，的直径垂直于弦，，则 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，由垂径定理得出，推出，再由圆周角定理即可得解． 【详解】解：∵的直径垂直于弦， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知 ，，则 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理、等边对等角、旋转的性质，由三角形外角的定义及性质可得，由旋转的性质可得：， ，最后由等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵ ，， ∴， 由旋转的性质可得：， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_____． 【答案】π 【解析】 【详解】由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长． 解：∵△ABC为正三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1， ∴==， 根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和， 即凸轮的周长==3×=π． 故答案为π 16. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论 ； ； 若抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界），则系数a的取值范围是； 若点，，均在二次函数的图象上，若，则． 其中正确的结论是________________________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象可得二次函数开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，从而得出， ，，即可判断①，根据二次函数与轴的一个交点为即可判断②；由题意可得，推出，即可判断③，根据二次函数的性质即可判断④，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，二次函数开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ，， ∴， ∴ ，故①正确； ∵二次函数与轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界）， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线，，， ∴若，则， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（本题共68分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据配方法求解即可． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，，即， 开平方得，， 解得，， ∴，． 18. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到 ，点A与点D对应，点B与点E对应． （1）依题意补全图形； （2）直线AB与直线DE的位置关系为___________． 【答案】（1）见解析 （2）AB⊥DE 【解析】 【分析】（1）直接根据旋转的性质作图即可； （2）如图：延长交于点F，然后根据旋转的性质可得，然后根据对顶角相等并结合即可解答． 【小问1详解】 解：如图即为所求： ． 【小问2详解】 解：延长交于点F 由旋转可得:, ∵, ∵ ∵， ∴ , ∴，即 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了旋转作图和旋转的性质等知识点，灵活运用旋转的性质成为解答本题的关键． 19. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O及⊙O上一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图，作射线OP； ① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ②连接并延长BA与⊙A交于点C； ③作直线PC； 则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵ BC是⊙A的直径， ∴ ∠BPC=90° （填推理依据）． ∴ OP⊥PC． 又∵ OP是⊙O的半径， ∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）． 【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求； （2）证明：∵BC是⊙A的直径， ∴∠BPC=90°（圆周角定理）， ∴OP⊥PC． 又∵OP是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线（切线的判定）． 故答案为：圆周角定理；切线的判定． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）m的值为或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方根根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）设方程的一个根为，则另一个根为 ，根据一元二次方程根与系数的关系可得，求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意可得：， 故方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵方程的一个根为另一个根的3倍， ∴设方程的一个根为，则另一个根为 ， 由题意可得：， 解得：，或， ∴m的值为或． 21. 已知：二次函数中的x和y满足表： x …… 0 1 …… y …… 0 5 9 5 m …… （1）m的值为________； （2）直接写出这个二次函数的解析式，并画出它的图象； （3）当 时，x的取值范围是________． 【答案】（1） （2），图象见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性、待定系数法求二次函数解析式，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据二次函数的对称性即可得解； （2）利用待定系数法求解即可得出解析式，再画出函数图象即可； （3）根据函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：由表格可得：二次函数图象经过，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵，关于直线对称， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数的解析式为， 将代入二次函数解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 画出函数图象如图所示： 【小问3详解】 解：由图象可得：当 时，x的取值范围是． 22. 如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED． （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由余角的性质解得 ，继而证明； （2）由相似三角形的性质可解得EC=4，由等腰三角形的性质、平行线的性质可证EG=DG，再由勾股定理解题即可． 【详解】证明：（1）AE⊥ED，矩形ABCD （2） ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 23. 将背面完全相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数字是偶数的概率为___________； （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为，再从剩下的卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为．请用列表或画树状图的方法求关于的一元二次方程有实根的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． （1）根据数字、2、3、4的四张卡片，从这四张卡片中随机抽取一张，即可求出抽到一张恰好是偶数的概率； （2）随机抽出一张，记其数字为，不放回，再随机抽出一张，记其数字为，画出树状图，再根据根的判别式即可求出关于的方程有实数根的概率． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 树状图为： ∵有实数根的概率 ∴ ∴ 共有12种等可能结果，其中满足方程有实数根的结果有6种， （方程有实数根）． 24. 2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度（单位： ）与水平距离（单位： ）近似满足函数关系． 某跳水运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 竖直高度 ①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； ②运动员必须在距水面 前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为 ，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系 ．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域内（含A，B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）． 【答案】（1）① ， ； ②此次跳水不会出现失误，理由如下： 当 时， ， ∵ ， ∴此次跳水不会出现失误； （2）不能 【解析】 【分析】（1）①先根据对称性求出抛物线对称轴，进而求出顶点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出最高点的距离即可；②求出当 时，y的值即可得到答案； （2）分别求出两次入水点的位置即可得到答案． 【小问1详解】 解：①由表格中的数据可知当 时， ，当 时， ， ∴抛物线对称轴为直线 ， ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线解析式为 ， 把 ， 代入得： ， 解得 ， ∴抛物线解析式为 ∵抛物线开口向下， ∴该运动员竖直高度的最大值为 ； ②略 【小问2详解】 解：在 中，当时，则 ， 解得 或 （舍去）， ∴ 在 中，当时，则 ， 解得 或 （舍去）， ∴第二次入水的位置的水平距离为 米， ∵ ，即第二次入水的位置在店A的左侧， ∴第二次训练不能达到要求， 故答案为：不能． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． 25. 如图，C为上一点，过点C作的切线l，过上一点A作直线l的垂线交于点B，垂足为D，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意可得，，从而得出 ，，进而得出，，再由等边对等角并结合三角形内角和定理即可得证； （2）作于， 于，于，证明，得出，设，则，，再由等腰三角形的性质可得，再由等面积法求出，再由勾股定理得出，即可得解． 【小问1详解】 证明：如图：连接， 由题意可得：，， ∴ ，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于， 于，于， 则， 由垂径定理可得：， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 26. 在平面直角坐标系xOy中，点，为抛物线上的两点． （1）若， 时，有，求h的值； （2）若对于，，都有，求h的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解本题的关键，根据图象及性质确定h的范围是本题的难点． 对于（1），将代入，再根据得出方程，然后求出解即可； 对于（2），分两种情况画图，①；②；结合图象，分别列出关于的不等式（组），求出的取值范围即可得解． 【小问1详解】 解：当时， ，． ∵， ∴， 解得或1， 当 时，两点重合不合题意， 综上，； 【小问2详解】 解： 抛物线的对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 点关于对称轴的对称点为， 当时，如图， ∴， 解得：， 当时，如图， ∴， 解得：， 综上所述，h的取值范围为或． 27. 在等边中，将线段绕点A逆时针旋转（）得到线段，线段与线段交于点E，射线与射线交于点F． （1）①依题意补全图形； ②分别求和的大小（用含α的式子表示）； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①图见解析②， （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键： （1）①根据旋转的性质，补全图形即可；②根据旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）延长 至点，使，连接，则：，证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换，即可得出结论． 【小问1详解】 ①补全图形，如图所示： ②∵等边， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ，证明如下： 延长 至点，使，连接，则：， 由（1）知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 28. 对于和内一点(与不重合)给出如下定义：过点可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有条，则称点为的属相关点，为点关于的相关系数．在平面直角坐标系中，已知的半径为3． （1）若点的坐标为，则经过点的的所有弦中，最短的弦长为_______，点关于的相关系数为_______； （2）若点，点为的4属相关点，求线段 长的取值范围； （3）点是轴正半轴上一点， 的半径为2，点，分别在与 上，点关于 的相关系数记为，点关于的相关系数记为．当点在轴正半轴上运动时，若存在点，，使得，且．直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图，弦经过点M，当弦 时，线段是经过点M的圆的最短弦，过点O作于点F，，中，，当最大时，取最小值，，最小值为．设经过点M的弦的弦长为，则，可取的正整数为5，6．故点关于的相关系数为3． （2）经过点N的长度为正整数的弦长度分别为，经过点N的且弦长为4的弦有1条，为经过点N的的最短弦．令此弦为，可得点N在以为圆心，以为半径的圆上．于是； （3）根据题意， 推导点是点为圆心，为半径的圆与 的交点，点R是点为圆心，为半径的圆的内部与的公共点．运用数形结合可知，当 与以点为圆心，为半径的圆外切时，，当以点为圆心，为半径的圆与内切时，(下限)，从而得到解． 【小问1详解】 解：如图，弦经过点M，当弦 时，线段是经过点M的圆的最短弦，理由如下， 过点O作于点F，， 中，， 当最大时，取最小值， 如图，，当点F与点M重合时，取最大值，即 ， 相应的，取最小值，最小值为． 经过点M的的最长弦为直径，弦长为6， ∴设经过点M的弦的弦长为，则， ∵， ∴可取的正整数为5，6． 经过点M的弦长为6的弦有1条，弦长为5的弦有2条 ，故点关于的相关系数为3． 【小问2详解】 解：如图，点N为的4属相关点， ∵经过点N的且弦长为6的弦有1条，为直径，经过点N的且弦长为5的弦有2条， ∴经过点N的且弦长为4的弦有1条，为经过点N的的最短弦． 如图，令此弦为，由（1）知，， ∴． ∴点N在以为圆心，以为半径的圆上． 如图，连接并延长，交半径为的圆于点， ． ∴． ∴ 【小问3详解】 解：根据题意，的半径分别为3和2，故必存在经过，的长度为正整数的弦， ∴． ∵，且， ∴． ∴经过点的的长度为正整数的弦有2条，最长弦为直径，长度为6，另一条弦长为5，如图，令弦为，过点作 于点D，连接， 则， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上． 即点是点为圆心，为半径的圆与 的交点； 经过点的 的长度为正整数的弦有1条，最长弦为直径，长度为4， 所以过点R的弦最小值要大于3， 当过点R的弦长为3时，同理可知：弦心距：， 即点R是点为圆心，为半径的圆的内部与的公共点， 当 与以点为圆心，为半径的圆相交，且 与相交时，满足题意； 如图，当 与以点为圆心，为半径的圆外切时，， 如图，当以点为圆心，为半径的圆与内切时，， 综上，时，存在点，，使得，且． 【点睛】本题考查垂径定理，两圆的位置关系，圆外一点到圆上点的距离求解；理解两圆的位置关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度北京市第十三中学分校 12月月考 九年级 数学试卷 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共 2 页，第Ⅱ卷共 4 页． 2．本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 一、选择题（共12小题，每小题2分） 1. 下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，绕某点旋转，得到 ，则其旋转中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 要得到抛物线，可以将抛物线：（ ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 5. 某个事件发生的概率是，这意味着（　　） A. 在两次重复试验中该事件必有一次发生 B. 在一次试验中没有发生，下次肯定发生 C. 在一次试验中已经发生，下次肯定不发生 D. 每次试验中事件发生的可能性是50％ 6. 在中，， ，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ） A. 点A在上 B. 点C在内 C. 直线与相切 D. 直线与相离 7. 抛物线与x轴交于两点，分别是，，则m＋n的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 和a的大小有关 8. 已知是的直径，弦 ，分别过M，N作的垂线，垂足为C，D．有以下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若M为的中点，则D为中点．其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共8小题，每小题2分） 9. 计算：________． 10. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则可以列出方程：________________________． 11. 如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为____． 12. 若抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围为___________. 13. 如图，的直径垂直于弦，，则 ________ ． 14. 如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知 ，，则 ________ ． 15. 如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_____． 16. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论 ； ； 若抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界），则系数a的取值范围是； 若点，，均在二次函数的图象上，若 ，则． 其中正确的结论是________________________． 三、解答题（本题共68分） 17. 解方程： 18. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到 ，点A与点D对应，点B与点E对应． （1）依题意补全图形； （2）直线AB与直线DE的位置关系为___________． 19. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O及⊙O上一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图，作射线OP； ① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ②连接并延长BA与⊙A交于点C； ③作直线PC； 则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵ BC是⊙A的直径， ∴ ∠BPC=90° （填推理依据）． ∴ OP⊥PC． 又∵ OP是⊙O的半径， ∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值． 21. 已知：二次函数中的x和y满足表： x …… 0 1 …… y …… 0 5 9 5 m …… （1）m的值为________； （2）直接写出这个二次函数的解析式，并画出它的图象； （3）当 时，x的取值范围是________． 22. 如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED． （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长． 23. 将背面完全相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数字是偶数的概率为___________； （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为，再从剩下的卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为．请用列表或画树状图的方法求关于的一元二次方程有实根的概率． 24. 2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度（单位： ）与水平距离（单位： ）近似满足函数关系． 某跳水运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 竖直高度 ①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； ②运动员必须在距水面 前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为 ，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系 ．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域内（含A，B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）． 25. 如图，C为上一点，过点C作的切线l，过上一点A作直线l的垂线交于点B，垂足为D，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 在平面直角坐标系xOy中，点，为抛物线上的两点． （1）若， 时，有，求h的值； （2）若对于，，都有，求h的取值范围． 27. 在等边中，将线段绕点A逆时针旋转（）得到线段，线段与线段交于点E，射线与射线交于点F． （1）①依题意补全图形； ②分别求和的大小（用含α的式子表示）； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 对于和内一点(与不重合)给出如下定义：过点可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有条，则称点为的属相关点，为点关于的相关系数．在平面直角坐标系中，已知的半径为3． （1）若点的坐标为，则经过点的的所有弦中，最短的弦长为_______，点关于的相关系数为_______； （2）若点，点为的4属相关点，求线段 长的取值范围； （3）点是轴正半轴上一点， 的半径为2，点，分别在与 上，点关于 的相关系数记为，点关于的相关系数记为．当点在轴正半轴上运动时，若存在点，，使得，且．直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $