专题01 有理数及其运算（4个知识点回顾+5大题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（北师大版2024）

专题01 有理数及其运算 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 有理数的相关概念】 【题型2 数轴】 【题型3绝对值的非负性】 【题型4有理数的运算】 【题型5有理数的实际应用】 知识点1：有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 知识点2：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 知识点3：相反数和绝对值 1.相反数： （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 2.绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 知识点4：有理数的运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 题型归纳 【题型1 有理数的相关概念】 1．（24-25七年级上·重庆万州·期中）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“元”，那么“支出40元”记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】此题考查了相反意义的量．根据正负数的意义，直接写出答案即可． 【详解】解：如果“收入60元”记作“元”，那么“支出40元”记作“元”． 故选：B． 2．（24-25七年级上·重庆万州·期中）下列7个数：、、、0、、（每两个1之间依次多一个4）、，其中有理数有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的概念，根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都能化成分数，对各个数进行判断即可． 【详解】解：在、、、0、、（每两个1之间依次多一个4）、中，有理数有：、、、0、，共5个， 故选：C 3．（24-25七年级上·全国·期中）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．解题的关键是掌握：如果用字母表示有理数，则数的绝对值要由字母本身的取值来确定：①当是正数时，的绝对值是它本身；②当是负数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零． 【详解】解：的绝对值是． 故选：A． 4．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）的相反数是（） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：的相反数是2024． 故选：D． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，，且m，n异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．3 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了的绝对值的定义，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的定义，求出m和n的值，即可解答． 【详解】解：∵，，且m，n异号， ∴，或，， ∴或， 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较．根据两个负数比大小，绝对值大的反而小作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【题型2 数轴】 7．（2024七年级上·全国·专题练习）若数轴上点表示的数是2，点和点之间的距离为5，则点表示的数是（   ） A． B．7 C．或7 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离的计算，掌握数轴上两点距离的计算是解题的关键． 根据数轴的特点，分类讨论：点在点右边时；点在点左边时；根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：点表示的数是2， 当点在点右边时，点和点之间的距离为5， ∴点表示的数是7； 点在点左边时，点和点之间的距离为5， ∴点表示的数是； 综上所述，点表示的数是或7， 故选：C ． 8．（21-22七年级上·河北沧州·期末）两数在数轴上的位置如图所示，将用“”连接，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用数轴比较数的大小，先由数轴得到，再在数轴上准确找到的位置，利用数轴性质比较大小即可得到答案，掌握数轴性质、相反数定义是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，， ，， ，即， 故选：B． 9．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 10．（24-25七年级上·陕西安康·期中）点A、B、C在同一条数轴上，点A表示，B和C位于原点的两侧并且到原点的距离相等，已知点B和点A相距8个单位长度，则点C表示的数是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，解题的关键是注意分类讨论．先根据点B和点A的距离可确定点B表示的数，再根据B和C位于原点的两侧并且到原点的距离相等，即可确定点C表示的数． 【详解】解：因为点B和点A相距8个单位长度，点A表示， 所以点B表示5或． 因为B和C位于原点的两侧并且到原点的距离相等， 所以当点B表示5时，点C表示， 当点B表示时，点C表示． 故答案为：或． 11．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，，的值， ， ， ． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则 ． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点、之间，则 ； ②若，则 ； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8？ 【答案】(1)，2，5 (2)8或 (3)①5；②或6.5；③经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义，数轴动点问题，熟练的掌握求两点间距离的方法是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得答案； （2）分在3的左侧和右侧两种情况； （3）①由题意可得，化简绝对值可得答案； ②分或两种情况解答； ③分点在的左侧和的右侧两种情况解答． 【详解】（1）解：， ，， ，， ； 故答案为：，2，5． （2）解：， ， 或； 故答案为：8或． （3）解：①由题意得，， ， 故答案为：5； ②， 或， 当时， ， 即， 解得； 当时， ， 即， 解得； 故答案为：或6.5； ③秒后，点表示的数是，，， 当时，，解得， 当时，，解得， 答：经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8． 12．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合．    【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点处时，它的左端点在数轴上对应的数为，由此可得到木棒的长为多少？ （2）图中点表示的数为____，点表示的数为___； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助轩轩解决如下问题； 一天，轩轩问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【答案】（1）；（2）；；（3）岁 【分析】本题考查数轴，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离， （1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则可得出此木棒的长； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷和小红这么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小红和爷爷这么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，则可知爷爷比小红大，由此可求出爷爷的年龄； 利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是：， ∵ ∴木棒的长为； （2）图中点所表示的数为：，点所表示的数为：， 故答案为：；； （3）如图，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，      爷爷和小红这么大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为， 小红和爷爷这么大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为， ∴爷爷比小红大：， ∴爷爷的年龄为（岁）， 答：爷爷现在的年龄是岁． 【题型3绝对值的非负性】 13．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知，则、的值是（   ） A．， B．，为任意值 C．， D．为任意值，， 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和完全平方的非负性，掌握几个非负数的和等于，则每个非负数都为这个性质是解题的关键．根据绝对值和完全平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， ，， 解得：，， 故选：A． 14．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，则 ； ． 【答案】 8 6 【分析】本题主要考查了方程的解和非负数的性质等知识点，根据非负数的性质得出，，进而求出x、y的值即可，熟练掌握非负数的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：8，6． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】１ 【分析】此题主要考查了非负数．熟练掌握相反数性质，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，几个非负数都为0，是解题关键． 直接利用两个互为相反数和为0列方程，绝对值的非负性质，非负数性质，得出a，b的值，进而代入得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【题型4有理数的运算】 16．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·福建宁德·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)11 (2)2 (3) (4)0 【分析】本题考查的是有理数的混合运算． （1）先去括号，再从左到右算加减法即可； （2）将除法转化为乘法，再从左到右算乘法即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（24-25七年级上·山西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键． （1）根据有理数的加减运算法则求解即； （2）根据先乘方、再乘法，最后加减运算的顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（24-25七年级上·四川成都·期中）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）（2）（3）18（4）14 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法运算律，加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用有理数的加减法法则进行计算，即可作答． （2）运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． （3）先算乘方再运算除法，最后运算减法，即可作答． （4）先算乘方和化简绝对值，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 21．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，为有理数，我们定义新运算“※”使得※如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义是解答本题的关键． （1）直接根据新定义把转化为有理数的混合运算计算即可； （2）先算，再算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5有理数的实际应用】 22．（24-25七年级上·河北保定·期中）当人的心脏收缩时，动脉内的压力上升，心脏收缩的中期，动脉内压力最高，此时血液对血管内壁的压力称为收缩压．根据《中国高血压指南》，称为正常血压．在某次体检中A组10名同学以为标准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录如下（单位：）：，，，，，，，，，． (1)该组同学中正常血压的同学有________名； (2)求A组10名同学的平均血压． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算及正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义可得记录在的范围内的即为正常血压，据此即可求得答案； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：， ∴可得记录在的范围内的即为正常血压， 则，，，，，在范围之内， 即该组同学中正常血压的同学有6名， 故答案为：6； （2）解： ， 即组10名同学的平均血压为． 23．（24-25七年级上·河北保定·期中）嘉琪家的猕猴桃成熟了．嘉琪的爸爸将自家猕猴桃挂在网上销售，原计划是每天卖，但是实际销售受到各方面因素的影响，与原计划有出入．下表是嘉琪记录的某周销售情况（超出计划记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与原计划的差值/kg (1)根据表中的数据，这周猕猴桃一共卖了多少？ (2)根据表中的数据，这周猕猴桃销售最多的一天比销售最少的一天多销售了多少？ (3)若嘉琪家的猕猴桃以5元的价格出售，嘉琪的爸爸通过计算，得出猕猴桃的成本为2元，则这一周嘉琪家卖出的猕猴桃能赚多少元？ 【答案】(1) (2) (3)4218元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式是解答本题的关键． （1）用7天的计划销量加上7天的出入量即可； （2）用表格中最大的数减去最小的数即可； （3）用销售量乘以每千克的利润即可． 【详解】（1）解：． 答：这周猕猴桃一共卖了． （2）解：． 答：这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售． （3）解：（元）． 答：这一周嘉琪家卖出的猕猴桃能赚4218元． 24．（24-25七年级上·广西来宾·期中）某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)小强做了一个小手术，住院医疗费用一共是2650元．按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)小红今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了2100元．小红本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 【答案】(1)1150元 (2)3450元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键： （1）根据支付方式，列出算式进行计算即可； （2）根据医疗保险基金所占的比例求出超过650元的费用再加上650元，进行计算即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：他本次住院需要个人支付1150元； （2）=3450（元）， 答：小红本次住院的医疗费用一共是3450元． 25．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）概念感知：第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图1）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．（规定：，） (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：　　，　　； (2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图2，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 【答案】(1)21；174 (2)1844个 【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 故答案为：21；174； （2） （个）， 即她一共采集到的野果数量为1844个． 26．（24-25七年级上·山西临汾·期中）山西省旅游市场在游戏《黑神话：悟空》的推动下，迎来了客流量高峰，文创玩偶“佛小伴”也随之爆火．为应对市场需求，某工厂计划一天生产200个该玩偶，但由于各种原因，实际每天生产的数量与计划有出入，下表是该工厂某一周该玩偶的生产情况（比200多的部分记为正数，比200少的部分记为负数，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产情况 0 (1)这一周星期______生产的“佛小伴”玩偶最多，是______个； (2)若生产一个该玩偶的成本是35元，售价是每个55元，且本周生产的该玩偶全部售出，求该工厂这周的总利润； (3)该工厂实行每日计件工资制，每生产一个玩偶工人可得10元，若当天超额完成任务，则超过部分每个另奖2元；若当天未能完成任务，则少生产一个扣1元，求该工厂工人这周的工资总额． 【答案】(1)六，227； (2)该工厂这周的总利润为27900元； (3)该工厂工人这周的工资总额为13998元． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数混合运算的应用等知识，解题的关键是： （1）比较生产统计数的大小，即可解答； （2）先计算出7天的生产总量，然后乘以每个玩偶的利润即可求解； （3）根据这一周的工资总额是基本工资加奖金，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴星期六生产的“佛小伴”玩偶最多，为个， 故答案为：六，227； （2）解：， ， ， 答：该工厂这周的总利润为27900元； （3）解：， 答：该工厂工人这周的工资总额为13998元． 过关检测 一、单选题 1．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）乒乓球的质量标识为“”，则下列乒乓球中合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数减法的实际应用等知识点，根据质量标识找到合格乒乓球的质量范围是解题的关键． 根据质量标识找到合格乒乓球的质量范围，然后根据该范围逐项分析判断即可． 【详解】解：（），（）， A、，该乒乓球不合格，故选项不符合题意； B、 ，该乒乓球合格，故选项符合题意； C、，该乒乓球不合格，故选项不符合题意； D、，该乒乓球不合格，故选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若体重增加记作，则体重减少记作（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了学生对正负数意义理解与掌握，用正负数表示两种具有相反意义的量． 增加和减少具有相反意义，根据正负数可以表示一对具有相反意义的量即可求解． 【详解】解：如果体重增加记作，那么体重减少应记作． 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．地球与月球的平均距离大约为384000km，数据384000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故选：B． 4．（24-25七年级上·福建三明·期中）下列四个数中，最小的有理数是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的比较大小的方法：正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小，即可得出最小的数． 【详解】解：，， ∵， ∴， 则最小的有理数是， 故选：B． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是 （ ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．（精确到个位） D．（精确到0.000 1） 【答案】B 【分析】本题考查了四舍五入法求近似数，大于或等于5进一，小于5则舍去，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、（精确到十分位），故该选项是错误的； B、（精确到0.1），故该选项是正确的； C、（精确到个位），故该选项是错误的； D、（精确到），故该选项是错误的； 故选：B． 6．（24-25七年级上·青海海东·期中）下列各组数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查有理数运算，涉及平方运算、绝对值运算及立方运算等知识，根据平方运算、绝对值运算及立方运算逐项计算后确定各组数值是否相等即可得到答案，熟练掌握平方运算、绝对值运算及立方运算等知识是解决问题的关键． 【详解】解：A、 ，， 和的数值不相等，选项不符合题意； B、 ，， 和的数值不相等，选项不符合题意； C、 ，， 和的数值相等，选项符合题意； D、 ，， 和的数值不相等，选项不符合题意； 故选：C． 7．（24-25七年级上·北京通州·期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，有理数的加减运算，根据a，b在数轴上的位置得出，且是解题关键．由题意得出，且，从而得出，即可选择． 【详解】解：由数轴可知，且， 所以，故A和D错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； C正确，符合题意． 故选C． 8．（24-25七年级上·北京通州·期中）如果有理数x、y满足，那么的值为（   ）． A． B．2 C．2或 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘除法，化简绝对值，掌握有理数的乘法法则是解题关键．根据有理数的乘法法则和，即得出，或，．分类讨论化简绝对值求解即可． 【详解】解：因为， 所以，或，． 当，时，； 当，时，． 故选C． 9．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知，，且，则的值为（   ） A．1或 B．9或 C．9或 D．或 【答案】A 【分析】先计算绝对值，结合，确定x，y的值，计算即可． 本题考查了绝对值的计算，有理数的乘法，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或；或， ∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 二、填空题 10．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）一种少年儿童的标准体重（单位：千克）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是六位11岁同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 则这六位同学的总体重是 千克． 【答案】215 【分析】本题主要考查正负数的应用，有理数的运算的实际应用，首先求出11岁同学的标准体重，然后根据表格中的数据列出算式求解即可． 【详解】解：根据题意得，11岁同学的标准体重（千克）， ∴（千克）． ∴这六位同学的总体重是215千克． 故答案为：215． 11．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，相反数及倒数，结合已知条件求得，，是解题的关键． 根据相反数及倒数的定义可得，，再由是最大的负整数可得，然后计算的值即可． 【详解】解：，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数， ，，， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．如将二进制数化为十进制数为． （1）将二进制数化为十进制数为 ． （2）现有三进制数为，二进制数b为，比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据题意将二进制化为十进制即可求解； （2）分别将化为十进制，然后比较大小，即可求解． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） ， b ∵ ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算定律． （1）运用乘法分配律进行简便计算； （2）先算乘方和小括号里面的，再算乘法，最后算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）某服装店以每件50元的价格购进30件某款连衣裙，针对不同的情况，这30件连衣裙的售价不完全相同．以每件90元为标准售价，将超出的钱数记为正数，不足的钱数记为负数，记录结果如下表： 售出件数 8 10 5 5 2 与标准售价的差值/元 0 (1)这30件连衣裙的售价中，最高的售价比最低的售价高________元； (2)求该服装店销售这30件连衣裙获得的利润． 【答案】(1)20 (2)售完这30件连衣裙后，获得的利润1270元 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，关键在于根据表格计算出一共卖了多少钱． （1）算出最大值与最小值的差即可． （2）首先由进货量和进货单价计算出进货的成本，然后再根据售价计算出赚了多少钱． 【详解】（1）解：根据题意这30件连衣裙的售价中，最高的售价比最低的售价高元． 故答案为：20. （2）解： 元， ∵元， ∴元， ∴售完这30件连衣裙后，获得的利润1270元． 15．（24-25七年级上·广东广州·期中）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从M地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向南走为正，向北走为负；x表示空载，O表示载有乘客，且乘客都不相同）： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 里程 载客 x O O x O (1)王师傅走完第5次里程后，他在M地的什么方向？离M地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约升，王师傅开始营运前油箱里有16升油，若少于5升，则需要加油，请通过计算说明王师傅这天上午中途是否需要加油． (3)已知载客时3千米以内（含3千米）收费10元，超过3千米后每千米收费2元，问王师傅这天上午走完5次里程后的营业总额为多少元？ 【答案】(1)他在M地南方，离M地有30千米 (2)王师傅这天上午中途需要加油 (3)132元 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）将表格中数据求和，根据和的结果可得结论； （2）先求出总里程，然后求得所耗油量，进而可得结论； （3）根据载客所走路程和题意列式求解即可． 【详解】（1）解：千米， 即他在M地南方，离M地有30千米． （2）解：千米， ， ∴王师傅这天上午中途需要加油； （3）解： 元， 即王师傅这天上午走完5次里程后的营业总额为132元． 16．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数及其运算 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 有理数的相关概念】 【题型2 数轴】 【题型3绝对值的非负性】 【题型4有理数的运算】 【题型5有理数的实际应用】 知识点1：有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 知识点2：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 知识点3：相反数和绝对值 1.相反数： （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 2.绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 知识点4：有理数的运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 题型归纳 【题型1 有理数的相关概念】 1．（24-25七年级上·重庆万州·期中）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“元”，那么“支出40元”记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（24-25七年级上·重庆万州·期中）下列7个数：、、、0、、（每两个1之间依次多一个4）、，其中有理数有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25七年级上·全国·期中）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）的相反数是（） A． B． C． D．2024 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，，且m，n异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．3 D．7 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 【题型2 数轴】 7．（2024七年级上·全国·专题练习）若数轴上点表示的数是2，点和点之间的距离为5，则点表示的数是（   ） A． B．7 C．或7 D．或3 8．（21-22七年级上·河北沧州·期末）两数在数轴上的位置如图所示，将用“”连接，正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 10．（24-25七年级上·陕西安康·期中）点A、B、C在同一条数轴上，点A表示，B和C位于原点的两侧并且到原点的距离相等，已知点B和点A相距8个单位长度，则点C表示的数是 ． 11．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，，的值， ， ， ． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则 ． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点、之间，则 ； ②若，则 ； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8？ 12．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合．    【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点处时，它的左端点在数轴上对应的数为，由此可得到木棒的长为多少？ （2）图中点表示的数为____，点表示的数为___； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助轩轩解决如下问题； 一天，轩轩问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【题型3绝对值的非负性】 13．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知，则、的值是（   ） A．， B．，为任意值 C．， D．为任意值，， 14．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，则 ； ． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若与互为相反数，则的值为 ． 【题型4有理数的运算】 16．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）计算： ． 17．（24-25七年级上·福建宁德·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（24-25七年级上·山西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1) (2) 20．（24-25七年级上·四川成都·期中）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 21．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，为有理数，我们定义新运算“※”使得※如． (1)求的值； (2)求的值． 【题型5有理数的实际应用】 22．（24-25七年级上·河北保定·期中）当人的心脏收缩时，动脉内的压力上升，心脏收缩的中期，动脉内压力最高，此时血液对血管内壁的压力称为收缩压．根据《中国高血压指南》，称为正常血压．在某次体检中A组10名同学以为标准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录如下（单位：）：，，，，，，，，，． (1)该组同学中正常血压的同学有________名； (2)求A组10名同学的平均血压． 23．（24-25七年级上·河北保定·期中）嘉琪家的猕猴桃成熟了．嘉琪的爸爸将自家猕猴桃挂在网上销售，原计划是每天卖，但是实际销售受到各方面因素的影响，与原计划有出入．下表是嘉琪记录的某周销售情况（超出计划记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与原计划的差值/kg (1)根据表中的数据，这周猕猴桃一共卖了多少？ (2)根据表中的数据，这周猕猴桃销售最多的一天比销售最少的一天多销售了多少？ (3)若嘉琪家的猕猴桃以5元的价格出售，嘉琪的爸爸通过计算，得出猕猴桃的成本为2元，则这一周嘉琪家卖出的猕猴桃能赚多少元？ 24．（24-25七年级上·广西来宾·期中）某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)小强做了一个小手术，住院医疗费用一共是2650元．按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)小红今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了2100元．小红本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 25．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）概念感知：第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图1）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．（规定：，） (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：　　，　　； (2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图2，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 26．（24-25七年级上·山西临汾·期中）山西省旅游市场在游戏《黑神话：悟空》的推动下，迎来了客流量高峰，文创玩偶“佛小伴”也随之爆火．为应对市场需求，某工厂计划一天生产200个该玩偶，但由于各种原因，实际每天生产的数量与计划有出入，下表是该工厂某一周该玩偶的生产情况（比200多的部分记为正数，比200少的部分记为负数，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产情况 0 (1)这一周星期______生产的“佛小伴”玩偶最多，是______个； (2)若生产一个该玩偶的成本是35元，售价是每个55元，且本周生产的该玩偶全部售出，求该工厂这周的总利润； (3)该工厂实行每日计件工资制，每生产一个玩偶工人可得10元，若当天超额完成任务，则超过部分每个另奖2元；若当天未能完成任务，则少生产一个扣1元，求该工厂工人这周的工资总额． 过关检测 一、单选题 1．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）乒乓球的质量标识为“”，则下列乒乓球中合格的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若体重增加记作，则体重减少记作（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．地球与月球的平均距离大约为384000km，数据384000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·福建三明·期中）下列四个数中，最小的有理数是（   ） A． B． C．0 D．1 5．（2024七年级上·全国·专题练习）按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是 （ ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．（精确到个位） D．（精确到0.000 1） 6．（24-25七年级上·青海海东·期中）下列各组数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．（24-25七年级上·北京通州·期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·北京通州·期中）如果有理数x、y满足，那么的值为（   ）． A． B．2 C．2或 D．或2 9．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知，，且，则的值为（   ） A．1或 B．9或 C．9或 D．或 二、填空题 10．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）一种少年儿童的标准体重（单位：千克）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是六位11岁同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 则这六位同学的总体重是 千克． 11．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，则 ． 12．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．如将二进制数化为十进制数为． （1）将二进制数化为十进制数为 ． （2）现有三进制数为，二进制数b为，比较大小： ．（填“”“”或“”） 三、解答题 13．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算题： (1)； (2)． 14．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）某服装店以每件50元的价格购进30件某款连衣裙，针对不同的情况，这30件连衣裙的售价不完全相同．以每件90元为标准售价，将超出的钱数记为正数，不足的钱数记为负数，记录结果如下表： 售出件数 8 10 5 5 2 与标准售价的差值/元 0 (1)这30件连衣裙的售价中，最高的售价比最低的售价高________元； (2)求该服装店销售这30件连衣裙获得的利润． 15．（24-25七年级上·广东广州·期中）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从M地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向南走为正，向北走为负；x表示空载，O表示载有乘客，且乘客都不相同）： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 里程 载客 x O O x O (1)王师傅走完第5次里程后，他在M地的什么方向？离M地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约升，王师傅开始营运前油箱里有16升油，若少于5升，则需要加油，请通过计算说明王师傅这天上午中途是否需要加油． (3)已知载客时3千米以内（含3千米）收费10元，超过3千米后每千米收费2元，问王师傅这天上午走完5次里程后的营业总额为多少元？ 16．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$