4.3.2角的度量与计算（2）（同步课件）数学新教材湘教版七年级上册

4.3.2 角的度量与计算（2） 主讲： 湘教版(2024)数学七年级上册 第4章 图形的认识 学习目标 目标 1 目标 2 1.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质. 2.能利用余角、补角的知识解决相关问题. 自学指导 阅读教材P164-P166。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、看P164-165的做一做，掌握互为余角的概念和互为补角的概念。 2、看P165的思考，掌握余角和补角的性质.。 3、看P165-166的例4和例5，学会利用余角和补角的解决相关问题，并掌握做题的格式与步骤。 如图 4. 3-8，量一量、算一算：∠1+∠2，∠3+∠4 的度数分别是多少？ ∠1 = 30°,∠2 = 60° ∠1 +∠2 = 90°. ∠3 = 120°,∠4 = 60° ∠3 +∠4 = 180°. 探究新知 做一做 1 如果两个角的和等于一个直角（90°），那么就说这两个角互为余角（简称互余），也说其中一个角是另一个角的余角. 如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或∠2 是∠1的余角，或∠1和 ∠2互余. 2 符号语言表示为： 若∠1+∠2=90°， 则∠1与∠2互为余角 探究新知 如果两个角的和等于一个平角（180°），那么就说这两个角互为补角（简称互补），也说其中一个角是另一个角的补角. 如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补. 4 3 符号语言表示为： 若∠3+∠4=180°， 则∠3与∠4互为补角 探究新知 （1）如图 （a），∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补，那么∠2 与∠3有什么大小关系？ 由于 ∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°， 所以 ∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1. 因此 ∠2 =∠3（等量代换）. 同角 (或等角) 的补角相等. 结论： 探究新知 思考 （2） 如图 （b），∠4与∠5互余，∠4与∠6互余，那么∠5与∠6有什么大小关系？ 类似地，我们可以得到 ∠5 = ∠6. 可以得到： 同角 (或等角) 的余角相等. 探究新知 思考 如图 ，∠AOB与∠BOD互为余角，OC是∠BOD的平分线，∠AOB=29.66°，求∠COD的度数. 解：因为∠AOB与∠BOD互为余角， 所以∠BOD = 90°-∠AOB = 90°-29.66°= 60.34°. 又因为OC是∠BOD的平分线， 因此，∠COD 的度数为 30.17°. 29.66° 60.34° 所以 30.17° 例题讲解 例4 已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求这个角的度数. 解：设这个角为x°， 则这个角的余角为（90-x）°， 补角为（180-x）°. 根据题意，得 ， 解得 x = 45 . 因此，这个角的度数为45°. 例题讲解 例5 方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想解决问题. 基础检测 1. 填空： （1） 105°26′的补角等于 ； （2） 28°25′32″的余角等于 . 74°34′ 61°34′28″ 2、已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是 . 3、∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，∠2= . 150° 62° 28° 4、判断： (1) 一个角的余角必为锐角. (2) 一个角的补角必为钝角. (3) 同一个锐角的补角比它的余角大90°. (4) 互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余. (5) 如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠ 1、 ∠ 2、∠3这三个角互为余角. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ × √ × × 基础检测 基础检测 5.下列说法正确的有 (　　) ①锐角的余角是锐角，锐角的补角是锐角； ②直角没有补角； ③钝角没有余角，钝角的补角是锐角； ④直角的补角还是直角； ⑤一个角的补角与它的余角的差为90°； ⑥两个角相等，它们的补角也相等． A．3个　　B．4个　　C．5个　　D．6个 B 基础检测 6.若∠A与∠B互为余角，∠A＝30°，则∠B的补角是(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° 7.如图，直线AB与CD相交于O点，∠EOB＝90°，则图中∠1与∠2的关系是(　　) A．互补 B．互余 C．相等 D．无法确定 B C 基础检测 8.已知一个角的补角是这个角的余角的 4倍，求这个角的度数. 解：设这个角为 x°，则它的余角是 ( 90－x )°， 补角是 ( 180－x )° . 根据题意，得 180－x = 4 ( 90－x ) . 解得 x = 60. 答：这个角的度数是 60 °. 一展身手 1、如图，∠BOD= 118°，∠COD 是直角，OC 平分∠AOB，求∠AOB的度数. 解：因为∠BOD=118°,∠COD 是直角 所以∠BOC = 118°-∠COD = 118°-90°= 28°. 又因为OC是∠AOB的平分线， 因此，∠AOB 的度数为 56°. 所以∠AOB=2∠BOC= 56° 一展身手 2、如图,已知直线AB和CD相交于点O,OM平分∠BOD,∠MON是直角,∠AOC=50°. (1)求∠BOD的度数. (2)求∠DON的度数. 解：(1)∵ ∠AOC+ ∠AOD=180°, ∠BOD+ ∠AOD=180°且∠AOC=50°， ∴ ∠BOD=∠AOC=50°.(同角的补角相等） 因此，∠BOD的度数是50°. 解：(2)∵ OM平分∠BOD 且∠BOD=50 °(已知) ∴∠DOM= ∠BOD= ×50°= 25°； ∵ ∠DON与∠DOM 互余, ∴ ∠DON = 90°-∠DOM =90°- 25° =65°. 因此， ∠DON的度数是65°. 2、如图,已知直线AB和CD相交于点O,OM平分∠BOD,∠MON是直角,∠AOC=50°. (2)求∠DON的度数. 一展身手 挑战自我 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数． 解：设∠AOB=x，因为∠AOC与∠AOB互补， 所以∠AOC=180°-x． 因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线， 所以(180°-x)-x=40 °，解得x=50°， 则180°-x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°. O D A B C N M 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 课堂小结 主讲： 感谢聆听 湘教版七年级上册 $$