4.3.2.2余角和补角-课件-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦余角和补角的定义、性质及应用，通过折叠长方形纸片的情境导入，引导学生观察∠1+∠2=90°、∠3+∠4=180°，逐步抽象出互余互补概念，再经填表练习、性质推导构建知识支架。 其亮点在于以几何直观和推理意识为核心，通过折叠情境、表格观察（如∠1与∠2互补则∠2=∠3）引导学生推导性质，结合例题与分层练习（选择、解答题）强化运算能力。课堂小结用表格对比互余互补，帮助学生系统掌握，教师可直接用于教学提升效率。

湘教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 4.3.2.2余角和补角 第4章 图形的认识 湘教版七年级数学4.3.2.2 余角和补角练习题 核心知识点回顾 1. 余角定义：如果两个角的和等于\(90°\)（直角），那么这两个角互为余角，简称互余。即若\(\angle1+\angle2=90°\)，则\(\angle1\)与\(\angle2\)互余。 2. 补角定义：如果两个角的和等于\(180°\)（平角），那么这两个角互为补角，简称互补。即若\(\angle1+\angle2=180°\)，则\(\angle1\)与\(\angle2\)互补。 3. 重要性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。这是几何角度推理、等量代换的核心依据，也是考试高频考点。 4. 取值范围：互余的两个角都必须是锐角；互补的两个角可以是一锐一钝，也可以是两个直角。余角、补角只与角度和有关，与角的位置无关。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 若\(\angle A=35°\)，则\(\angle A\)的余角为（） A. \(55°\) B. \(65°\) C. \(145°\) D. \(135°\) 2. 若\(\angle\alpha=120°\)，则它的补角为（） A. \(30°\) B. \(60°\) C. \(80°\) D. \(120°\) 3. 下列说法正确的是（） A. 任意两个锐角都互余 B. 钝角一定有余角 C. 直角没有补角 D. 同角的余角一定相等 4. 已知\(\angle1+\angle2=90°\)，\(\angle2+\angle3=90°\)，则\(\angle1=\angle3\)，依据是（） A. 同角的补角相等 B. 同角的余角相等 C. 等角的余角相等 D. 对顶角相等 5. 一个角的补角一定比它的余角大（） A. \(45°\) B. \(90°\) C. \(180°\) D. 不一定 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 若两个角的和为\(90°\)，这两个角________；若和为\(180°\)，这两个角________。 2. \(28°\)的余角是________，\(75°\)的补角是________。 3. 若一个角为\(x°\)，则它的余角为________°，补角为________°。 4. 若\(\angle\alpha\)与\(\angle\beta\)互余，\(\angle\alpha=42°15′\)，则\(\angle\beta=\)________。 5. 若两个等角互补，则这两个角都等于________°。 三、解答题（共60分） 1. （18分）求下列各角的余角和补角： （1）\(\angle A=26°\) （2）\(\angle B=63°30′\) （3）\(\angle C=45°18′\) 2. （14分）已知一个角的余角是它本身的2倍，求这个角的度数。 3. （14分）已知一个角的补角比它的余角大\(90°\)，请说明这个结论恒成立。 4. （14分）已知\(\angle1\)与\(\angle2\)互补，\(\angle3\)与\(\angle2\)互余，且\(\angle1=128°\)，求\(\angle3\)的度数。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. A 解析：余角\(=90°-35°=55°\)。 2. B 解析：补角\(=180°-120°=60°\)。 3. D 解析：钝角大于\(90°\)，没有余角；两个锐角和不一定为\(90°\)；直角补角为直角。 4. B 解析：\(\angle1\)、\(\angle3\)都是\(\angle2\)的余角，依据同角的余角相等。 5. B 解析：补角减余角恒为\((180°-x)-(90°-x)=90°\)。 二、填空题 1. 互为余角；互为补角 2. \(62°\)；\(105°\) 3. \(90-x\)；\(180-x\) 4. \(47°45′\) 5. \(90\) 三、解答题 1. 解：（1）余角：\(90°-26°=64°\)，补角：\(180°-26°=154°\)；（2）余角：\(90°-63°30′=26°30′\)，补角：\(180°-63°30′=116°30′\)；（3）余角：\(90°-45°18′=44°42′\)，补角：\(180°-45°18′=134°42′\)。 2. 解：设这个角为\(x°\)，则余角为\((90-x)°\)。由题意得：\(90-x=2x\)，解得\(x=30\)。答：这个角为\(30°\)。 3. 解：设任意角为\(x°\)，余角\((90-x)°\)，补角\((180-x)°\)。补角\(-\)余角\(=(180-x)-(90-x)=90°\)，与角度大小无关，故此结论恒成立。 4. 解：∵\(\angle1\)与\(\angle2\)互补，∴\(\angle2=180°-128°=52°\)。∵\(\angle3\)与\(\angle2\)互余，∴\(\angle3=90°-52°=38°\)。答：\(\angle3=38°\)。 练习总结 本节重点掌握余角、补角的定义与两大核心性质，熟练进行角度的余补计算。解题关键是区分互余（和为\(90°\)）、互补（和为\(180°\)），熟记“同角、等角的余补角相等”的推理依据。常考题型为直接计算、列方程求角度、几何推理填空，是后续相交线、对顶角、平行线几何证明的重要基础，需准确区分概念、规范推理语言，避免混淆余角与补角公式。 1. 在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质. 2. 运用余角和补角的性质进行计算和简单的推理. 3. 通过余角和补角的学习过程，进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想. 重点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质， 并能运用性质. 难点：运用余角和补角的性质进行计算和简单的推理. 教学目标 课堂小结 情境导入 如图，将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角. 1 2 3 4 1.∠1和∠2有什么数量关系？ 2.∠3和∠4有什么数量关系？ ∠1+∠2=90° ∠3+∠4=180° 探索新知 余角和补角的定义 如果两个角的和等于一个直角(90°)，那么就说这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角. 若∠1＋∠2＝ 90°，则∠1 与∠2 互为余角，其中∠1 是∠2 的余角， ∠2 也是∠1的余角. 1 2 几何语言： ∵∠1+∠2=90°， ∴∠1与∠2互为余角. 如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么就说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角. 若∠3＋∠4 ＝ 180°，则∠3 与∠4 互为补角，其中∠3 是∠4 的补角， ∠4 也是∠3 的补角. 几何语言： ∵∠3+∠4=180°， ∴∠3与∠4互为补角. 3 4 ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 45° 60° 77° 81°15′ x° （0＜x＜90） 85° 175° 45° 135° 30° 120° 13° 103° 8°45′ 98°45′ (90-x)° (180-x)° 锐角的补角比它的余角大______. 90° 填表： 判断： (1) 一个角的余角必为锐角. (2) 一个角的补角必为钝角. (3) 同一个锐角的补角比它的余角大90°. (4) 互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余. (5) 如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠ 1、 ∠ 2、∠3这三个角互为余角. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ × √ × × 练一练 余角和补角的性质 思 考 ∠1 ∠2 ∠3 30° 150° 150° 90° 90° 90° 150° 30° 30° 观察下表，你有什么发现？ ∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补， ∠2与∠3大小相等. 由于 ∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°， 所以 ∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1. 因此 ∠2 =∠3（等量代换）. 结论： 同角(或等角)的补角相等. 几何语言： ∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180° ∴∠2=∠3(同角的补角相等) 等量代换是指“如果a=b且c=b，那么a=c” 试着画一画下表中的图形(顶点相同)，你有什么发现？ ∠4 ∠5 ∠6 图① 30° 60° 60° 图② 45° 45° 45° 图③ 60° 30° 30° ∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余， ∠5与∠6大小相等. 图① 图② 图③ 由于 ∠4 +∠5= 90°，∠4 +∠6 = 90°， 所以 ∠5 = 90°-∠4，∠6 = 90°-∠4. 因此 ∠5 =∠6（等量代换）. 结论： 同角(或等角)的余角相等. 几何语言： ∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90° ∴∠2=∠3(同角的余角相等) 如图，已知∠ACB =∠CDB =90° (1)图中有哪几对互余的角？ (2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？ 解：(1)∠A+∠B=90°， ∠A+∠ACD=90°， ∠BCD+∠B=90°， ∠BCD+∠ACD=90°， (2) ∠B=∠ACD(同角的余角相等) ∠A=∠BCD(同角的余角相等) 如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是 ∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数. 解 因为∠AOB 与∠BOD 互为余角， 所以∠BOD = 90°-∠AOB = 90°-29.66°= 60.34°. 又因为 OC 是∠BOD 的平分线， 因此，∠COD 的度数为 30.17°. 所以 已知一个角的余角是这个角的补角的 ， 求这个角的度数. 解 :设这个角为 x°，则这个角的余角为（90-x）°， 　　补角为（180-x）°. 根据题意，得 解得 x = 45 . 因此，这个角为 45°. 方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想解决问题. 知识点1 余角和补角的定义 1. 若 的余角为，则 的补角的度数是( ) C A. B. C. D. 中考考法 16 2. 下列说法中，正确的是( ) BC A. 钝角与锐角互补 B. 的余角是 C. 的补角是 D. 若 ，则，， 互余 中考考法 17 3. 如果 和 互补，且 ,那么 下列表示 的余角的式子：① ;② ;③ ;④ .其中不正确的是____（填序号）. ③ 中考考法 18 【点拨】方法1（直接法）： 的余角 ,故①正确；因为 和 互补，所 以 ,所以 ,所以 的余角 ,故②正确；因 为 ,所以 ,所以 的余角 ,故③错误， ④正确. 中考考法 19 方法2（验证法）： 将所给的四个表示 的余角的式子与 相加，如果和为 就互余，否则不互余. 中考考法 20 4. 一位同学利用如图所示的量角 器，采用如图①所示的方法测量 锐角 的度数，其中量角器 或 有两条刻度线分别在射线，上,则 的度数为____. 另外一位同学用同样的方法，测量的余角 的度数， 如图②所示，已知射线所指示的度数为 ，则射线 所指示的度数为__________. 中考考法 21 5. 如图，点在直线 上， ， . 中考考法 22 （1）求 的度数. 【解】因为点在直线上,所以 . 因为 ， 所以 . 又因为 ， 所以 . 所以 . 中考考法 23 （2）图中有哪几对角互为余角？ 与，与 ， 与，与 ,这4对 角互为余角. 中考考法 24 （3）图中有哪几对角互为补角？ 与，与, 与，与， 与 ，与， 与 ,这7对角互为补角. 中考考法 25 知识点2 余角和补角的性质 6. 如图，将一副三角尺按不同位置摆放. 与 互补的摆法是____； 与 相等的摆法是______.（填序号） ④ ①② 中考考法 26 7. 如图， ， ，平分 ，若 ，求 的度数. 解：因为 ， 所以 . 因为 ， 所以 . 所以 （________________）.#1.2.6 同角的余角相等 中考考法 27 因为 ， 所以 ， 因为平分 ， 所以_______=____ （________________）. 所以____ .#1.2.11 15 角平分线的定义 75 中考考法 28 8. 若 和 互补，且 ,则下列表示 的 余角的式子：① ;② ;③ ;④ .其中正确的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 29 9. 如图，为直线 上一点， 为直角，平分， 平分 ，平分 ，以下结论：① ；② C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ；③ ；④ ，其中，正确的结论有( ) 中考考法 30 【点拨】因为平分， 平分 ，所以 ， ，因为 ,所以 ，故①正确；因为 中考考法 31 ，而 和 不一定相等，所以 不成立，故②错 误；因为 ， ，所以 ，所以 .又因为 ，所以 中考考法 ，所以 .因 为 ， 所以 ，故③正 确；由题易知 ， ，所以 ，故④正确.综上， 正确的结论为①③④,有3个. 中考考法 10. [北京海淀区期末] 已知 在正方形网格中的位置 如图所示.设的余角为 ，则___ .（填“ ” “ ”或“=”） 中考考法 34 【点拨】如图，取格点,，连接, ， ，，由网格特征可知 ， 四边形 是正方形， 所以 ， .因为 的余角为 ，所以 .因为 ， ，所以 . 中考考法 35 11. 在同一平面内，已知 , , 平分 . 中考考法 36 （1）当的位置如图①所示，且 时， 的度数为____； 中考考法 37 （2）当的位置如图②所示，且是 的平分线时, 的度数为______； 中考考法 38 （3）当的位置如图③所示时，若与 互补， 请你过点作射线,使得为 的余角，并求出 的度数（题中的角都是小于平角的角）. 中考考法 39 【解】设 ,因为 , ,所以 , . 因为与互补，所以 ,所以 ,所以 ,所 以 ,即 ,所以 . 因为平分,所以 .如图①,因为 为的余角， ,所以 ,因 中考考法 40 如图②,因为为 的 余角， ,所以 ,因为 ,所以 综上所述，的度数为 或 . ,所以 . 中考考法 41 互余 互补 两角间的 数量关系 对应的图形 性质 ∠1+∠2=90° (90°-∠1=∠2) ∠3+∠4=180° (180°-∠3=∠4) 同角（或等角）的余角相等 同角（或等角）的补角相等 课堂小结 www.aliyun.com - Media Transcoding $