精品解析：福建省泉州市晋江市养正中学2024—2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷　

2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学九年级（上） 第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分） 1. 要使有意义，则的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 2 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ） A. B. C. D. 6. 若，则x取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ） A. B. 3 C. D. 不能确定 8. 已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积是（ ） A. 24 B. 24或 C. 48 D. 48或 9. 已知，，则用表示（ ） A. B. C. D. 10. 两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A. 2020 B. C. -2020 D. 二、填空题（每小题4分，共6小题，共24分） 11. 计算：_____． 12. 若关于的二次方程的常数项等于，则的值为___． 13. 已知m是方程的一个根，则______． 14. 若为整数，x为正整数，则x的值是_______________． 15. 如果是两个不相等实数，，，那么代数式______． 16. 阅读理解:对于任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为__________． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算． （1）． （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 求的值． 解：设x=，两边平方得：，即，x2=10 ∴x=． ∵＞0，∴=． 请利用上述方法，求的值． 21. 如图1，有长为24米篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为36平方米的花圃，的长是多少米？ （2）如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，的长时多少？ 22. 龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 24. 阅读下列解题过程： 例：若代数式，求a的取值． 解：原式=， 当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a＝2(舍去)； 当2≤a＜4时,原式＝(a-2)+(4-a)=2=2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝(a-2)+(a-4)=2a－6＝2，解得a=4； 所以，a的取值范围是2≤a≤4． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当3≤a≤7时，化简：＝_________； (2)请直接写出满足＝5的a的取值范围__________； (3)若＝6，求a的取值． 25. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. （1）已知实数x，y满足，求的值； （2）设a，b满足等式，求的值； （3）若四个连续正整数积为24，求这四个连续正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学九年级（上） 第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分） 1. 要使有意义，则的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴四个选项中，只要D选项中的2符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项系数、常数项分别是，， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：，故A正确，C错误； ，故B、D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断． 4. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 5. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 【详解】由题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 6. 若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 7. 已知关于x方程是一元二次方程，则k的值应为（ ） A. B. 3 C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：由关于的方程是一元二次方程，得 且． 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 8. 已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积是（ ） A. 24 B. 24或 C. 48 D. 48或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系．本题应先解出x的值，然后讨论是何种三角形，接着对图形进行分析，最后运用三角形的面积公式底高求出面积． 【详解】解：， ， ∴或， 当时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形， ∴底边上的高， ∴面积； 当时，，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形， ∴面积， ∴面积或． 故选：B． 9. 已知，，则用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 10. 两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A. 2020 B. C. -2020 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】∵，，a+c=0 ∴， ∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念． 二、填空题（每小题4分，共6小题，共24分） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键． 12. 若关于的二次方程的常数项等于，则的值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和常数为0，得，且，进而得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程常数等于0， 得，且， 解得，且， ∴． 故答案为：2． 13. 已知m是方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，根据一元二次方程的根的定义，将m代入，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为：3． 14. 若为整数，x为正整数，则x的值是_______________． 【答案】4或7或8 【解析】 【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可得的值． 【详解】解：∵ ∴ ∵为正整数 ∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8 ∵为整数 ∴为4或7或8 故答案为：4或7或8． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 15. 如果是两个不相等的实数，，，那么代数式______． 【答案】2032 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键． 由题意得m，n是的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：，，，变形，为，代入求解即可． 【详解】是两个不相等的实数，且满足， 是方程的两根， ，，， ． 故答案为：2032． 16. 阅读理解:对于任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据（、均为正实数），对代数式进行化简求最小值． 【详解】解：由题中结论可得 即：当时，有最小值3， 故答案为：3． 【点睛】准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，求出代数式的最小值． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，在二次根式的混合运算中，解题的关键是结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程， （1）先移项，然后利用直接开平方法解方程即可； （2）先移项，再配方，然后利用直接开平方法解方程即可； 熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键． 【小问1详解】 ， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ∴或， ∴，． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，45 【解析】 【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可． 【详解】原式 ． 当，时 原式． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键． 20. 求的值． 解：设x=，两边平方得：，即，x2=10 ∴x=． ∵＞0，∴=． 请利用上述方法，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】设x=+， 两边平方得：x2=（）2+（）2+2， 即x2=4++4﹣+6， x2=14 ∴x=±． ∵+＞0，∴x=． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型． 21. 如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为36平方米的花圃，的长是多少米？ （2）如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，的长时多少？ 【答案】（1）长是米 （2）的长是米或米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，利用长方形的面积运算方法列出方程是解题的关键． （1）设的长为米，则的长为米，根据长方形的面积=长宽列出方程运算即可； （2）设的长为米，则的长为米，根据长方形的面积=长宽列出方程运算即可． 【小问1详解】 解：设的长为米，则的长为米， 根据题意得：， 解得，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴的长是6米； 【小问2详解】 设的长为米，则的长为米， 根据题意得：， 解得，， 当时，，符合题意， 当m＝6时，，符合题意， ∴的长是米或米． 22. 龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个售价应定为50元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 ，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． （1）利用判别式来判断，即可得到结果； （2）根据根与系数关系即可得出，，再由，求出，，代入列式求解即可． 【小问1详解】 解：， 无论取什么实数值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， ， 解得：或． 故的值为或． 24. 阅读下列解题过程： 例：若代数式，求a的取值． 解：原式=， 当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a＝2(舍去)； 当2≤a＜4时,原式＝(a-2)+(4-a)=2=2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝(a-2)+(a-4)=2a－6＝2，解得a=4； 所以，a的取值范围是2≤a≤4． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当3≤a≤7时，化简：＝_________； (2)请直接写出满足＝5的a的取值范围__________； (3)若＝6，求a的取值． 【答案】（1）4；（2）；（3）或4 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； 【详解】解：（1）∵时， ∴， ∴ = = =； 故答案为：4； （2）由题意可知，， ∴， 当时，则，， ∴原式=， 解得：； 当时，则，， ∴原式=， ∴符合题意； 当时，则，， ∴原式=， 解得：； ∴满足＝5的a的取值范围是； 故答案为：； （3）∵， ∴， 当时，则，， ∴原式=， 解得：； 当时，则，， ∴原式=， ∴不符合题意； 当时，则，， ∴原式=， 解得：； ∴a的值为：或4； 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质，化简绝对值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简，本题属于中等题型．注意运用分类讨论的思想进行分析． 25. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. （1）已知实数x，y满足，求的值； （2）设a，b满足等式，求的值； （3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】（1） （2） （3）这四个连续正整数为1，2，3，4 【解析】 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【小问1详解】 解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， 【小问2详解】 解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， 【小问3详解】 解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$