3.12 二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 三 章 函 　 数 命题点 12　 二次函数的实际应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类型 1　 利润最值问题 1. [2024 济宁汶上县二模]便民商店经营一种商 品,在销售过程中,发现一周利润 y(元)与每 件销售价 x(元)之间的关系满足 y = - 2x2 + 80x+758,由于某种原因,价格需满足 15≤x≤ 19,那么一周可获得最大利润是 (　 　 ) A. 1 554 元 B. 1 556 元 C. 1 558 元 D. 1 560 元 2. [2024 济宁 20 题 8 分]某商场以每件 80 元的价 格购进一种商品,在一段时间内,销售量 y(单 位:件)与销售单价 x(单位:元 / 件)之间是一 次函数关系,其部分图象如图所示. (1)求这段时间内 y 与 x 之间的函数解析式; (2) 在这段时间内,若销售单价不低于 100 元,且商场还要完成不少于 220 件的销售 任务,当销售单价为多少时,商场获得利 润最大? 最大利润是多少? 第 2 题图 解:(1)设这段时间内 y 与 x 之 间的函数解析式为 y=kx+b, ∵函数图象过点 ( 100,300), (120,200), ∴ 100k+b=300, 120k+b=200,{ 解得 k=-5, b=800,{ ∴这段时间内 y 与 x 之间的函数解析式为 y = -5x+ 800; (2)由题意得 x≥100, -5x+800≥220,{ 解得 100≤x≤116, 设商场获得的利润为 W 元,则 W = ( x-80) ( -5x+ 800)= -5x2+1 200x-64 000=-5(x-120) 2+8 000, ∵-5<0,∴当 x<120 时,W 随 x 的增大而增大, 又∵100≤x≤116, ∴当 x = 116 时,利润最大,最大利润为-5×(116- 120) 2+8 000=7 920. 答:当销售单价为 116 元时,商场获得利润最大,最 大利润是 7 920 元. 3. [2024 烟台 20 题 8 分]每年 5 月的第三个星期日 为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共 享美好生活” . 康宁公司新研发了一批便携式 轮椅计划在该月销售. 根据市场调查,每辆轮 椅盈利 200 元时,每天可售出 60 辆;单价每降 低 10 元,每天可多售出 4 辆. 公司决定在成本 不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不 低于 180 元. 设每辆轮椅降价 x 元,每天的销 售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式;每辆轮椅降价多 少元时,每天的销售利润最大? 最大利润 为多少元? (2)全国助残日当天,公司共获得销售利润 12 160 元,请问这天售出了多少辆轮椅? 解:(1)由题意得 y=(200-x)(60+4× x 10 )= -0. 4x2+ 20x+12 000=-0. 4(x-25) 2+12 250, ∵每辆轮椅的利润不低于 180 元, ∴200-x≥180,解得 x≤20. ∵-0. 4<0,∴当 x≤20 时,y 随 x 的增大而增大, ∴当 x=20时,利润最大,最大利润为-0. 4×(20-25)2+ 12 250=12 240(元) . 答:y 与 x 的函数关系式为 y = -0. 4x2+20x+12 000; 每辆轮椅降价 20 元时,每天的销售利润最大,最大 利润为 12 240 元; (2)由题意得 12 160=-0. 4(x-25) 2+12 250, 解得 x1 =40(不合题意,舍去),x2 =10, ∴售出轮椅的辆数为 60+4×10 10 =64(辆) . 答:这天售出了 64 辆轮椅. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15 分层作业本·山东数学 　 第 三 章 函 　 数 4. [2024 内江]端午节吃粽子是中华民族的传统 习俗. 市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价 每盒多 20 元,某商家用 5 000 元购进的猪肉 粽盒数与 3 000 元购进的豆沙粽盒数相同. 在 销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价 52 元时, 可售出 180 盒;每盒售价提高 1 元时,少售出 10 盒. (1)求猪肉粽、豆沙粽每盒的进价; (2)设猪肉粽每盒售价 x 元(52≤x≤70),y 表 示该商家销售猪肉粽的利润(单位:元), 求 y 关于 x 的函数表达式并求出 y 的最 大值. 解:(1)设猪肉粽每盒的进价为 a 元,则豆沙粽每盒 的进价为(a-20)元, 根据题意得 5 000 a =3 000 a-20 ,解得 a=50, 经检验,a=50 是分式方程的解,且符合题意, ∴ a-20=30, 答:猪肉粽每盒的进价为 50 元,豆沙粽每盒的进价 为 30 元; (2)根据题意得,当猪肉粽每盒售价 x 元(52≤x≤ 70)时,每天可售[180-10(x-52)]盒, ∴ y =(x-50)[180-10(x-52)] =-10x2+1 200x-35 000 =-10(x-60) 2+1 000, ∵-10<0,且 52≤x≤70, ∴当 x=60 时,y 取最大值,最大值为 1 000 元, 答:y 关于 x 的函数表达式为 y = -10x2 +1 200x- 35 000(52≤x≤70),且 y 的最大值为 1 000 元. 5. 名师原创 某商家正在热销一种商品,其成本为 30 元 /件,在销售过程中发现随着售价增加, 销售量在减少. 商家决定当售价为 60 元 /件 时,改变销售策略使销量增加,此时售价每增 加 1 元需支付由此产生的额外费用 150 元. 该 商品销售量 y(件)与售价 x(元 / 件)满足如图 所示的函数关系(其中 40 ≤x≤70,且 x 为 整数) . (1)直接 ∙∙ 写出 y 与 x 的函数关系式; (2)当售价为多少时,商家所获利润最大,最 大利润是多少? 第 5 题图 解:(1)y= -10x+700(40≤x≤60), 5x-200(60<x≤70);{ (2)设获得的利润为 w 元, ①当 40≤ x≤60 时,w = ( x - 30) ( - 10x + 700) = -10(x-50) 2+4 000, ∵-10<0, ∴当 x=50 时,w 有最大值,最大值为 4 000; ②当 60<x≤70 时,w = (x-30) (5x-200) -150(x- 60)= 5(x-50) 2+2 500, ∵5>0, ∴当 60<x≤70 时,w 随 x 的增大而增大, ∴当 x=70 时,w 有最大值,最大值为 5×(70-50) 2+ 2 500=4 500. ∵4 500>4 000, ∴当售价为 70 元 /件时,商家所获利润最大,最大利 润为 4 500 元. 类型 2　 面积问题 6. [2024 泰安 16 题 4 分·2022 年版课标 P148 例 71 改编]如图,小明的父亲想用长为 60 米的栅 栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园. 已知房屋外墙长 40 米,则可围成的菜园的最 大面积是　 450　 平方米. 第 6 题图 　 　 　 变式题图 变式 [人教九上 P29 练习 2 改编]如图所示是一个 长 20 m、宽 16 m 的矩形花园,根据需要将它 的长缩短 x m、宽增加 x m,要想使修改后的花 园面积达到最大,则 x 应为　 2　 　 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 25 分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 三 章 函 　 数 7. [2023 菏泽 21 题 10 分]某学校为美化学校环境, 打造绿色校园,决定用篱笆围成一个一面靠墙 (墙足够长)的矩形花园,用一道篱笆把花园 分为 A,B 两块(如图所示),花园里种满牡丹 和芍药. 学校已定购篱笆 120 米. (1)设计一个使花园面积最大的方案,并求出 其最大面积; (2)在花园面积最大的条件下,A,B 两块内分 别种植牡丹和芍药,每平方米种植 2 株, 已知牡丹每株售价 25 元,芍药每株售价 15 元,学校计划购买费用不超过 5 万元, 求最多可以购买多少株牡丹? 第 7 题图 解:(1)设垂直于墙的边 为 x 米,围成的矩形花园 的面积为 S 平方米,则平 行于墙的边为(120-3x)米, 由题意得 S=x(120-3x)= -3x2+120x=-3(x-20) 2+ 1 200, ∵-3<0,∴当 x=20 时,S 取最大值 1 200, ∴120-3x=120-3×20=60, ∴当垂直于墙的边为 20 米,平行于墙的边为 60 米 时,花园面积最大,最大面积为 1 200 平方米; (2)设购买牡丹 m 株,则购买芍药(2 400-m)株, ∵学校计划购买费用不超过 5 万元, ∴25m+15(2 400-m)≤50 000,解得 m≤1 400, ∴最多可以购买 1 400 株牡丹. 拓展设问 如图,若在围成的两个小矩形的正前方 各开一个 1. 5 米宽的门(无需篱笆),此时花 园的最大面积为多少? 拓展设问题图 解:设垂直于墙的边为 a 米,围成的花园面积为 S′ 平方米,则平行于墙的边 为(120+2×1. 5-3a)米, 根据题意得 S′ = a(120+2 ×1. 5-3a)= -3a2+123a=-3(a-41 2 ) 2+5 043 4 , ∵120+2×1. 5-3a≥2×1. 5,解得 a≤40, 又∵ a>0,∴0<a≤40, ∵-3<0,∴当 a=41 2 时,S′取最大值5 043 4 , ∴花园的最大面积为5 043 4 平方米. 类型 3　 (类)抛物线型问题 8. [2024 泰安东平县一模] 《中华人民共和国道路 交通安全法》规定,同车道行驶的机动车,后 车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的 安全距离,其原因可以用物理和数学的知识来 解释. 公路上行驶的汽车急刹车时,刹车距离 s(m)与时间 t(s)的函数关系式为 s= 16t-4t2, 当遇到紧急情况刹车时,由于惯性的作用,汽 车最远要滑行　 16　 m 才能停下. 9. [2023 滨州 15 题改编]某广场要建一个圆形喷 水池,计划在池中心位置竖直安装一根顶部带 有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与 池中心的水平距离为 1 m 处达到最高,高度为 3 m,水管的设计高度为 9 4 m,那么水柱落地处 离池中心的水平距离应为　 3　 　 m. 10. [2024 河南]从地面竖直向上发射的物体离地 面的高度 h( m)满足关系式 h = -5t2 +v0 t,其 中 t(s)是物体运动的时间,v0( m / s)是物体 被发射时的速度. 社团活动时,科学小组在实 验楼前从地面竖直向上发射小球. (1)小球被发射后　 　 　 s 时离地面的高度 最大(用含 v0 的式子表示); (2)若小球离地面的最大高度为 20 m,求小 球被发射时的速度; (3)按(2)中的速度发射小球,小球离地面的 高度有两次与实验楼的高度相同. 小明 说:“这两次间隔的时间为 3 s. ”已知实 验楼高 15 m,请判断他的说法是否正确, 并说明理由. 解:(2)由题意得,当 t= v0 10 时,h=20, ∴-5×( v0 10 )2+v0× v0 10 =20,解得 v0 =20(负值已舍去). 答:小球被发射时的速度是 20 m/ s; (3)小明的说法不正确,理由略.详解见本册 P. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35 分层作业本·山东数学 　 第 三 章 函 　 数 11. [2023 青岛 25 题 10 分]许多数学问题源于生 活. 雨伞是生活中的常用物品,我们用数学的 眼光观察撑开后的雨伞(如图①),可以发现 数学研究的对象———抛物线. 在如图②所示 的直角坐标系中,伞柄在 y 轴上,坐标原点 O 为伞骨 OA,OB 的交点. 点 C 为抛物线的顶 点,点 A,B 在抛物线上,OA,OB 关于 y 轴对 称. OC= 1 分米,点 A 到 x 轴的距离是 0. 6 分 米,A,B 两点之间的距离是 4 分米. (1)求抛物线的表达式; (2)分别延长 AO,BO 交抛物线于点 F,E,求 E,F 两点之间的距离; (3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的 三角形面积为 S1,将抛物线向右平移 m (m>0)个单位,得到一条新抛物线,以新 抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三 角形面积为 S2 . 若 S2 = 3 5 S1,求 m 的值. 图① 图② 第 11 题图 解:(1)设抛物线的表达式为 y=ax2+c, 由题意得 A(2,0. 6),C(0,1), 则 c=1, 0. 6=4a+c,{ 解得 a=-0. 1, c=1,{ ∴抛物线的表达式为 y=-0. 1x2+1; (2)设直线 OA 的表达式为 y=kx(k≠0), 将点 A(2,0. 6)代入,得 0. 6=2k,解得 k=0. 3, ∴直线 OA 的表达式为 y=0. 3x, 联立 y=-0. 1x2+1, y=0. 3x,{ 得 0. 3x=-0. 1x 2+1, 解得 x=2(舍去)或-5,∴F(-5,-1. 5), 由抛物线的对称性可知 E(5,-1. 5), ∴E,F 两点之间的距离为 5×2=10(分米); (3)m=2 或 4. 详解见本册 P. 12. [2024 武汉]16 世纪中叶,我国发明了一种新 式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖. 火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运 行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火 箭第二级沿直线运行. 某科技小组运用信息 技术模拟火箭运行过程. 如图,以发射点为原 点,地平线为 x 轴,垂直于地面的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线 y=ax2 +x 和直线 y = - 1 2 x+b. 其中,当火箭运 行的水平距离为 9 km 时,自动引发火箭的第 二级. (1) 若 火 箭 第 二 级 的 引 发 点 的 高 度 为 3. 6 km, ①直接写出 a,b 的值; ②火箭在运行过程中,有两个位置的高 度比火箭运行的最高点低 1. 35 km, 求这两个位置之间的距离; (2)直接写出 a 满足什么条件时,火箭落地 点与发射点的水平距离超过 15 km. 第 12 题图 解:(1)①a=- 1 15 ,b=8. 1; ②这两个位置之间的距离为 8. 4 km; (2)- 2 27 <a<0. 详解见本册 P. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 1. 二次函数的实际应用加练扫描 P25 二维码一键 免费下载; 2.思想方法、新定义运算、结论正误判断题见《专项 培优练》P1 ~ 5、P42 ~ 49; 3.第三章诊断卷 函数(2 套)、1 ~ 17 题题组限时练 (8 套)、18 ~ 21 题题组限时练(7 套)见《抢分练 小卷》P5 ~ 8、P25 ~ 54. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 45 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 解得 a≥2, ∴ 当抛物线与线段 CD 只有一个公共点时,a 的取值范围 为 a≥2. 命题点 12　 二次函数的实际应用 1. B 2. 解:( 1) 设这段时间内 y 与 x 之间的函数解析式为 y = kx+b, ∵ 函数图象过点(100,300),(120,200), ∴ 100k+b= 300, 120k+b= 200,{ 解得 k= -5, b= 800,{ ∴ 这段时间内 y 与 x 之间的函数解析式为 y= -5x+800; (2)由题意得 x≥100, -5x+800≥220,{ 解得 100≤x≤116, 设商场获得的利润为 W 元,则 W = ( x-80) ( -5x+800) = -5x2 +1 200x-64 000 = -5(x-120) 2 +8 000, ∵ -5<0,∴ 当 x<120 时,W 随 x 的增大而增大, 又∵ 100≤x≤116,∴ 当 x= 116 时,利润最大,最大利润为 -5×(116-120) 2 +8 000 = 7 920. 答:当销售单价为 116 元时,商场获得利润最大,最大利 润是 7 920 元. 3. 解:(1)由题意得 y= (200-x)(60+4× x 10 ) = -0. 4x2 +20x+ 12 000 = -0. 4(x-25) 2 +12 250, ∵ 每辆轮椅的利润不低于 180 元, ∴ 200-x≥180,∴ x≤20. ∵ -0. 4<0,∴ 当 x≤20 时,y 随 x 的增大而增大, ∴ 当 x= 20 时,利润最大,最大利润为- 0. 4( 20 - 25) 2 + 12 250 = 12 240(元) . 答:y 与 x 的函数关系式为 y = -0. 4x2 +20x+12 000;每辆 轮椅降价 20 元时,每天的销售利润最大,最大利润为 12 240 元; (2)由题意得 12 160 = -0. 4(x-25) 2 +12 250, 解得 x1 = 40(不合题意,舍去),x2 = 10, ∴ 售出轮椅的辆数为 60+4× 10 10 = 64(辆) . 答:这天售出了 64 辆轮椅. 4. 解:(1)设猪肉粽每盒的进价为 a 元,则豆沙粽每盒的进 价为(a-20)元, 根据题意得 5 000 a = 3 000 a-20 ,解得 a= 50, 经检验,a= 50 是分式方程的解,且符合题意, ∴ a-20 = 30, 答:猪肉粽每盒的进价为 50 元,豆沙粽每盒的进价为 30 元; (2)根据题意得,当猪肉粽每盒售价 x 元(52≤x≤70)时, 每天可售[180-10(x-52)]盒, ∴ y= (x-50)[180-10(x-52)] = -10x2 +1 200x-35 000 = -10(x-60) 2 +1 000, ∵ -10<0,且 52≤x≤70, ∴ 当 x= 60 时,y 取最大值,最大值为 1 000 元, 答:y 关于 x 的函数表达式为 y = - 10x2 + 1 200x- 35 000 (52≤x≤70),且 y 的最大值为 1 000 元. 5. 解:(1)y= -10x+700(40≤x≤60), 5x-200(60<x≤70);{ 【解法提示】设线段 AB 的表达式为 y = kx+b(40≤x≤60, k≠0),将点(40,300),(60,100)代入,得 40k+b= 300, 60k+b= 100,{ 解 得 k= -10, b= 700,{ ∴ 线段 AB 的表达式为 y= -10x+700(40≤x≤ 60);设线段 BC 的表达式为 y=mx+n(60<x≤70,m≠0), 将点( 60, 100), ( 70, 150) 代入, 得 60m+n= 100, 70m+n= 150,{ 解得 m= 5, n= -200,{ ∴ 线段 BC 的表达式为 y = 5x - 200 ( 60 < x≤ 70),∴ y 与 x 的函数关系式为y= -10x+700(40≤x≤60), 5x-200(60<x≤70).{ (2)设获得的利润为 w 元, ①当 40≤x≤60 时,w = ( x- 30) ( - 10x+ 700) = -10(x- 50) 2 +4 000, ∵ -10<0, ∴ 当 x= 50 时,w 有最大值,最大值为 4 000; ②当 60<x≤70 时,w=(x-30)(5x-200)-150(x-60)= 5( x -50) 2 +2 500, ∵ 5>0, ∴ 当 60<x≤70 时,w 随 x 的增大而增大, ∴ 当 x= 70 时,w 有最大值,最大值为 5×(70-50) 2 +2 500 = 4 500. ∵ 4 500>4 000, ∴ 当售价为 70 元 /件时,商家所获利润最大,最大利润为 4 500 元. 6. 450　 【解析】设垂直于墙的矩形的边长为 x 米,则平行于 墙的矩形的边长为(60- 2x) 米,又∵ 墙长为 40 米,∴ 0< 60-2x≤40,∴ 10≤x<30,菜园的面积为 x(60-2x)= -2( x -15) 2 +450,∵ -2<0,∴ 当 x= 15 时,可围成的菜园的最大 面积是 450,即垂直于墙的矩形的边长为 15 米时,可围成 的菜园的最大面积是 450 平方米. 变式 2　 【解析】设修改后的花园面积为 S m2 ,则 S = (20-x)(16+x)= -(x-2) 2 +324,∵ -1<0,∴ 当 x = 2 时,S 取得最大值,最大值为 324 m2 . 7. 解:(1)设垂直于墙的边为 x 米,围成的矩形花园的面积 为 S 平方米,则平行于墙的边为(120-3x)米, 由题意得 S = x( 120 - 3x) = - 3x2 + 120x = - 3 ( x - 20) 2 + 1 200, ∵ -3<0, ∴ 当 x= 20 时,S 取最大值 1 200, ∴ 120-3x= 120-3×20 = 60, ∴ 当垂直于墙的边为 20 米,平行于墙的边为 60 米时,花 园面积最大,最大面积为 1 200 平方米; (2)设购买牡丹 m 株,则购买芍药(2 400-m)株, ∵ 学校计划购买费用不超过 5 万元, ∴ 25m+15(2 400-m)≤50 000, 解得 m≤1 400, ∴ 最多可以购买 1 400 株牡丹. 拓展设问 　 解:设垂直于墙的边为 a 米,围成的花园面 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 积为 S′平方米,则平行于墙的边为(120+2×1. 5-3a)米, 根据题意得 S′=a(120+2×1. 5-3a)= -3a2 +123a = -3(a- 41 2 ) 2 + 5 043 4 , ∵ 120+2×1. 5-3a≥2×1. 5,解得 a≤40, 又∵ a>0,∴ 0<a≤40, ∵ -3<0,∴ 当 a= 41 2 时,S′取最大值 5 043 4 , ∴ 花园的最大面积为 5 043 4 平方米. 8. 16　 【解析】 s= 16t-4t2 = -4( t-2) 2 +16,∵ -4<0,∴ 当 t= 2 时,s 最大,最大值为 16,∴ 汽车最远要滑行 16 m 才能 停下. 9. 3　 【解析】如解图,由题意可知点(1,3) 是抛物线的顶 点,∴ 设这段抛物线的解析式为 y = a( x- 1) 2 + 3. ∵ 该抛 物线过点(0, 9 4 ),∴ a+3 = 9 4 ,解得 a = - 3 4 ,∴ y = - 3 4 ( x -1) 2 +3. 当 y= 0 时,即- 3 4 (x-1) 2 +3 = 0,解得 x1 = 3,x2 = -1(不符合题意,舍去),∴ 水柱落地处离池中心的水平 距离应为 3 m. 第 9 题解图 10. 解:(1) v0 10 ; (2)由题意得,当 t= v0 10 时,h= 20, ∴ -5×( v0 10 ) 2 +v0 × v0 10 = 20,解得 v0 = 20(负值已舍去) . 答:小球被发射时的速度是 20 m / s; (3)小明的说法不正确,理由如下: 由(2)得 h= -5t2 +20t, 当 h= 15 时,即 15 = -5t2 +20t,解得 t1 = 1,t2 = 3, ∵ 3-1 = 2(s),∴ 小明的说法不正确. 11. 解:(1)设抛物线的表达式为 y=ax2 +c, 由题意得 A(2,0. 6),C(0,1), 则 c= 1, 0. 6 = 4a+c,{ 解得 a= -0. 1, c= 1,{ ∴ 抛物线的表达式为 y= -0. 1x2 +1; (2)设直线 OA 的表达式为 y= kx(k≠0), 将点 A(2,0. 6)的坐标代入,得 0. 6 = 2k,解得 k= 0. 3, ∴ 直线 OA 的表达式为 y= 0. 3x, 联立 y= -0. 1x2 +1, y= 0. 3x,{ 得 0. 3x= -0. 1x 2 +1, 解得 x= 2(舍去)或-5,∴ F( -5,-1. 5), 由抛物线的对称性可知 E(5,-1. 5), ∴ E,F 两点之间的距离为 5×2 = 10(分米); (3)平移后的抛物线表达式为 y= -0. 1(x-m) 2 +1, 令 x= 0,则 y = -0. 1m2 +1,此时抛物线与 y 轴的交点为 D(0,-0. 1m2 +1), 由平移的性质可知,平移前后抛物线和 x 轴的两个交点 间的距离不变, ∴ S2 = 3 5 S1 ,则 OD= 3 5 OC,即 | -0. 1m2 +1 | = 3 5 ×1, 解得 m= ±2 或±4,∵ m>0,∴ m= 2 或 4. 12. 解:(1)①a= - 1 15 ,b= 8. 1; ②由①得 y= - 1 15 x2 +x= - 1 15 (x- 15 2 ) 2 + 15 4 (0≤x≤9), ∴ 火箭运行的最高点的高度是 15 4 km, ∴ 15 4 -1. 35 = 2. 4(km) . ∴ 2. 4 = - 1 15 x2 +x,整理得 x2 -15x+36 = 0. 解得 x1 = 12>9(不符合题意,舍去),x2 = 3. 由①得 y= - 1 2 x+8. 1,∴ 2. 4 = - 1 2 x+8. 1,解得 x= 11. 4, ∴ 11. 4-3 = 8. 4(km) . 答:这两个位置之间的距离为 8. 4 km; (2) - 2 27 <a<0. 【解法提示】把 x= 9 代入 y=ax2 +x,得 y = 81a+9,∴ 火箭 第二级的引发点的坐标为(9,81a+9) . 当火箭落地点与 发射点的水平距离为 15 km 时,直线 y = - 1 2 x+b 经过点 ( 9, 81a + 9 ), ( 15, 0 ), ∴ - 1 2 ×9+b= 81a+9, - 1 2 ×15+b= 0, ì î í ï ï ïï 解 得 a= - 2 27 , b= 7. 5, { ∴ 当- 227 <a< 0 时,火箭落地点与发射点的水 平距离超过 15 km. 综合与实践 1 1. 解:(1)(200-x),(200-y); (2)使用甲种方式切割的木板材 y 张,则可切割出 4y 个 长、宽均为 20 cm 的木板,使用乙种方式切割的木板材 (200-y)张,则可切割出 8(200-y) 个长为 20 cm、宽为 10 cm 的木板;制作 A 种木盒 x 个,则需要长、宽均为 20 cm 的木板 5x 个,制作 B 种木盒( 200 -x) 个,则需要 长、宽均为 20 cm 的木板(200-x)个,需要长为 20 cm、宽 为 10 cm 的 木 板 4 ( 200 - x ) 个, 列 方 程 组 得 4y= 5x+200-x, 8(200-y)= 4(200-x),{ 解得 x= 100, y= 150,{ ∴ 200-x= 100,200-y= 50, ∴ 制作 A 种木盒 100 个,制作 B 种木盒 100 个; 使用甲种方式切割的木板材 150 张,使用乙种方式切割 的木板材 50 张; (3)∵ 用甲种切割方式的木板材每张成本 5 元,用乙种切 割方式的木板材每张成本 8 元,且使用甲种方式切割的 木板 150 张,使用乙种方式切割的木板材 50 张, ∴ 总成本为 150×5+8×50 = 1 150(元), ∵ 两种木盒的销售单价均不能低于 7 元,不超过 18 元, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12