3.11 二次函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 三 章 函 　 数 命题点 11　 二次函数图象与性质的应用 (统考卷 23(3)题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 考向 1　 二次函数与方程、不等式的关系(统 考卷 23(3)题) 1. [人教九上 P47 第 6 题改编]对于抛物线 y = ax2 + bx+3(a≠0),若顶点在 x 轴下方,则一元二次 方程 ax2 +bx+3 = 0 (　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 变式 1-2 题图 变式 1-1 [2023 衡阳]已知 m>n>0,若关于 x 的方 程 x2 +2x-3-m= 0 的解为 x1,x2(x1 <x2 ),关于 x 的方程 x2 +2x-3-n= 0 的解为 x3,x4(x3 <x4) . 则下列结论正确的是 (　 　 ) A. x3 <x1 <x2 <x4 　 　 　 　 B. x1 <x3 <x4 <x2 C. x1 <x2 <x3 <x4 D. x3 <x4 <x1 <x2 变式 1-2 [2023 青岛 16 题改编]如 图,二次函数y= ax2 +bx+c 的图 象与正比例函数 y = kx 的图象 相交于 A,B 两点,已知点 A 的 横坐标为-3,点 B 的横坐标为 2,则关于 x 的方程 ax2 + bx + c = kx 的解 为　 　 　 　 　 　 . 变式 1-3 [2024 达州]抛物线 y= -x2 +bx+c 与 x 轴 交于两点,其中一个交点的横坐标大于 1,另 一个交点的横坐标小于 1,则下列结论正确的 是 (　 　 ) A. b+c>1　 　 　 　 　 B. b= 2 C. b2 +4c<0 D. c<0 2. [2023 聊城 11 题改编]已知二次函数 y=ax2 +bx+ c(a≠0)的图象如图所示,图象经过点(0,2), 其对称轴为直线 x= -1,则满足 ax2 +bx+c>2 的 x 的取值范围为　 -2<x<0　 . 第 2 题图 　 　 　 变式 2-1 题图 变式 2-1 [2024 烟台开发区一模改编]如图,抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)与 x 轴的一个交点为(2, 0),则不等式 ax2 + bx + c < - c 2 x + c 的解集 为　 　 　 　 . 变式 2-2 [2024 济宁任城区模拟改编]已知一次函 数 y1 = kx+b(k≠0)和二次函数 y2 = ax2 +bx+c (a≠0)的部分自变量和对应的函数值如表: x … 1 2 3 4 5 … y1 … 0 1 2 3 4 … y2 … 0 -1 0 3 8 … 则关于 x 的不等式 ax2 +( b-k) x+c>b 的解集 是 (　 　 ) A. 2<x<5　 　 　 　 　 B. 1<x<4 C. x<1 或 x>4 D. 不能确定 考向 2　 交点问题(统考卷 23(3)题) 3. 若二次函数 y= x2 +bx+c 的图象过(3,1)和(2, -3)两点,则该函数图象与 x 轴有 　 2 　 个 交点. 变式 3-1 [2024 青岛城阳区期末]直线 y = ax-6 与 抛物线 y= x2 -4x+3 只有一个交点,则 a 的值 为　 　 　 　 . 变式 3-2 [2024 济宁 14 题 3 分]将抛物线 y = x2 - 6x+12 向下平移 k 个单位长度. 若平移后得到 的抛物线与 x 轴有公共点,则 k 的取值范围 是　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 94 分层作业本·山东数学 　 第 三 章 函 　 数 4. 如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1), (3,1),(3,3),(1,3) . 若抛物线 y = ax2 的图 象与正方形的边有公共点,则实数 a 的取值范 第 4 题图 围是 (　 　 ) A. 1 9 ≤a≤3　 　 B. 1 9 ≤a≤1 C. 1 3 ≤a≤3　 　 D. 1 3 ≤a≤1 5. 名师原创 分类讨论 ∙∙∙∙ 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,线段 AB 的两个端点的坐标分别为(3, 2),(3,0),若抛物线 y=ax2 -2ax+1 与线段 AB 只有一个公共点,则 a 的取值范围是 (　 　 ) 第 5 题图 A. a≤- 1 3 或 0<a≤ 1 3 B. a≤- 1 3 或 a≥ 1 3 C. - 1 3 ≤a<0 或 a≥ 1 3 D. - 1 3 ≤a<0 或 0<a≤ 1 3 6. 名师原创 将抛物线 y = (x+1) 2 位于直线 y = 4 上方的部分向下翻折,得到如图的新图象,若 直线 y= x+m 与新图象有四个交点,则 m 的取 第 6 题图 值范围是 (　 　 ) A. 5 4 <m<5 　 　 B. 3 4 <m<3 C. 4 5 <m<4 　 　 D. 3 4 <m<5 7. 新定义 [2023 菏泽 8 题 3 分]若一个点的纵坐标 是横坐标的 3 倍,则称这个点为“三倍点”, 如:A(1,3),B( -2,-6),C(0,0)等都是“三倍 点” . 在- 3 < x< 1 的范围内,若二次函数 y = -x2 -x+c 的图象上至少存在一个“三倍点”,则 c 的取值范围是 (　 　 ) A. - 1 4 ≤c<1 B. -4≤c<-3 C. - 1 4 ≤c<6 D. -4≤c<5 8. [2024 雅安]已知一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 有 两实根 x1 = -1,x2 = 3,且 abc>0,则下列结论中 正确的有 (　 　 ) ①2a+b= 0;②抛物线 y=ax2 +bx+c 的顶点坐标 为(1,4c 3 );③a<0;④若 m(am+b) <4a+2b,则 0<m<1. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9. 名师原创 已知抛物线 y=ax2 -2ax-3a(a>0)与 x 轴交于 A,B 两点,点 A 在点 B 的左侧. (1)求抛物线的对称轴和点 A,B 的坐标; (2)当-2≤x≤0 时,y 的最小值为-3,求抛物 线的解析式; (3)已知点 C(3,2),D( -2,4a+2),且抛物线 与线段 CD 只有一个公共点,请求出 a 的 取值范围. 解:(1)∵ y=ax2-2ax-3a=a(x-1) 2-4a, ∴抛物线的对称轴为直线 x=1, 令 y=0,即 ax2-2ax-3a=0,解得 x=3 或 x=-1, ∵抛物线与 x 轴交于 A,B 两点,且点 A 在点 B 的左 侧,∴A(-1,0),B(3,0); (2)∵ a>0,∴抛物线开口向上, 又∵抛物线的对称轴为直线 x=1, ∴当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大, ∴当-2≤x≤0 时,y 的最小值为-3a, ∴-3a=-3,解得 a=1, ∴抛物线的解析式为 y=x2-2x-3; (3)∵点 A(-1,0),B(3,0)在抛物线上,C(3,2),D (-2,4a+2), ∴点 C 在点 B 的上方,且点 D 在点 A 左侧, ∵抛物线与线段 CD 只有一个公共点, ∴点 D 在抛物线上或在抛物线下方, ∴当 x=-2 时,y=4a+4a-3a≥4a+2,解得 a≥2, ∴当抛物线与线段 CD 只有一个公共点时,a 的取值 范围为 a≥2. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 1.二次函数图象与性质的应用、二次函数与几何图 形综合题见《专项培优练》P69 ~ 94; 2.二次函数图象与性质的应用加练、二次函数与几何 图形综合题加练扫描 P25 二维码一键免费下载. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 05 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 解法二:由题意可得 y=a(x-1)(x-5), ∵ y=a(x-1)(x-5)= ax2 -6ax+5a,y=ax2 +bx+5, ∴ 5a= 5,解得 a= 1, ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 -6x+5. 7. 解:在直线 y= -x+4 中,当 x= 0 时,y= 4,当 y = 0 时,x = 4, ∴ B(4,0),C(0,4), 设抛物线的解析式为 y=a(x- 3 2 ) 2 +k, 把 B(4,0),C(0,4)代入,得 a(4- 3 2 ) 2 +k= 0, a(0- 3 2 ) 2 +k= 4, ì î í ï ï ïï 解得 a= -1, k= 25 4 ,{ ∴ 抛物线的解析式为 y= -(x- 3 2 ) 2 + 25 4 = -x2 +3x+4. 8. 解:∵ 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象经过(0,-3),( -b,c) 两点, ∴ c= -3,ab2 -b2 +c= c,∴ (a-1)b2 = 0, ∵ ab>0,∴ a≠0,b≠0,∴ a-1 = 0,∴ a= 1, ∴ 该二次函数的解析式为 y= x2 +bx-3 = (x+ b 2 ) 2 - b2 +12 4 , ∵ a= 1>0,∴ 当 x= - b 2 时,函数最小值为- b2 +12 4 , ∵ 该二次函数的最小值为-4, ∴ - b2 +12 4 = -4,解得 b= ±2, ∵ ab>0,a= 1>0,∴ b= 2, ∴ 该二次函数的解析式为 y= x2 +2x-3. 9. (1,2) 变式 9-1 2　 【解析】抛物线 y=ax2 +bx+3 向下平移 5 个 单位长度后得到抛物线 y=ax2 +bx-2,把点( -2,4)代入得 4 =a×( -2) 2 -2b-2,∴ 2a-b = 3,∴ 6a-3b-7 = 3(2a-b) -7 = 3×3-7 = 2. 变式 9-2 <　 【解析】∵ y = x2 -2x+1 = ( x-1) 2 ,∴ 二次函 数 y= x2 - 2x+ 1 的图象向左平移两个单位得到抛物线 C 的函数表达式为 y= (x-1+2) 2 ,即 y= (x+1) 2 ,∴ 抛物线 C 开口向上,对称轴为直线 x = - 1,∴ 当 x>- 1 时,y 随 x 的 增大而增大,∵ 点 P( 2,y1 ),Q( 3,y2 ) 在抛物线 C 上,且 -1<2<3,∴ y1 <y2 . 变式 9-3 D　 【解析】解法一:∵ 点 P(m,n)在抛物线 y= ax2(a≠0)上,∴ n=am2 . 把 x=m 代入 y=a(x+1) 2 得 a(m +1) 2 ≠n+1,故点(m,n+1)不在抛物线 y=a(x+1) 2 上,故 A 选项不合题意;把 x = m+ 1 代入 y = a( x+ 1) 2 得 a(m+ 2) 2 ≠n,故点(m+1,n)不在抛物线 y = a( x+ 1) 2 上,故 B 选项不合题意;把 x=m 代入 y=a(x+1) 2 得 a(m+1) 2 ≠n -1,故点(m,n-1)不在抛物线 y = a( x+1) 2 上,故 C 选项 不合题意;把 x=m-1 代入 y = a( x+1) 2 得 a(m-1+1) 2 = am2 =n,故点(m-1,n)在抛物线 y = a( x+1) 2 上,故 D 选 项符合题意. 解法二:∵ 将抛物线 y = ax2 向左平移 1 个单位长度得到 抛物线 y=a(x+1) 2 ,∴ 抛物线 y = ax2 上的点 P(m,n)向 左平移 1 个单位后在抛物线 y = a(x+1) 2 上,∴ 点(m-1, n)在抛物线 y=a(x+1) 2 上,故选 D. 10. - 3 5 　 【解析】将 A(0,m),B(1,-m),D(3,-m)代入 y = ax2 + bx + c( a≠ 0),得 c=m, a+b+c= -m, 9a+3b+c= -m, { 解得 a= 2 3 m, b= - 8 3 m, c=m, ì î í ï ïï ï ï ∴ y= 2 3 mx2 - 8 3 mx+m,把 C(2,n)代入 y = 2 3 mx2 - 8 3 mx +m,得 n= 2 3 m× 22 - 8 3 m× 2+m = - 5 3 m,∴ m n = m - 5 3 m = - 3 5 . 11. B　 【解析】根据题意可知直线 x =m 为抛物线 C 的对称 轴,∴ - 1-m -2 =m,解得 m = 1 3 ,∴ 抛物线 C 的表达式为 y = -x2 + 2 3 x-1 = -(x- 1 3 ) 2 - 8 9 ,∵ 抛物线 C 与抛物线 C′ 关于原点 O 对称,∴ 设抛物线 C′的表达式为 y = ( x-h) 2 +k,又∵ 抛物线 C 的顶点坐标为( 1 3 ,- 8 9 ),∴ 根据其对 称性可知,抛物线 C′的顶点坐标为( - 1 3 , 8 9 ),∴ 抛物 线 C′的表达式为 y= (x+ 1 3 ) 2 + 8 9 = x2 + 2 3 x+1. 12. 2　 【解析】∵ 变换后所得图象的解析式为 y = a( x+2) 2 + (a-2) 2 ,∴ 变换后抛物线的顶点坐标为 ( -2,(a-2) 2 ), ∴ 原函数图象的解析式为 y = a( x- 2) 2 +(a- 2) 2 = ax2 - 4ax+a2 +4,∴ b= -4a,c=a2 +4,∴ b+c=a2 -4a+4 = (a-2) 2 ≥0,∴ b+c 取最小值时,a= 2. 命题点 11　 二次函数图象与性质的应用 1. A 变式 1-1 B　 【解析】关于 x 的方程 x2 +2x-3-m= 0 的解 为抛物线 y= x2 +2x-3 与直线 y=m 的交点的横坐标,关于 x 的方程 x2 +2x-3-n = 0 的解为抛物线 y = x2 +2x-3 与直 线 y= n 的交点的横坐标,如解图,由图可知,x1 < x3 < x4 <x2 . 变式 1-1 题解图 变式 1-2 x1 = -3,x2 = 2 变式 1-3 A　 【解析】设抛物线 y= -x2 +bx+c 与 x 轴的两 交点分别为(x1 ,0)和(x2 ,0),且 x1 <1,x2 >1,∴ x1 -1<0,x2 -1>0,∴ (x1 -1)(x2 -1) < 0,∴ x1x2 -( x1 +x2 ) + 1< 0,∵ 抛 物线 y= -x2 +bx+c 与 x 轴的两交点分别为( x1 ,0)和( x2 , 0),∴ 一元二次方程-x2 +bx+c= 0 的两个根为 x1 ,x2 ,由根 与系数的关系得 x1x2 = -c,x1 +x2 = b,∴ -c-b+1<0,∴ b+c> 1,故选项 A 正确;由 x1 <1,x2 >1 无法得出该抛物线的对 称轴以及 b 的值,故选项 B 错误;∵ 抛物线 y = -x2 +bx+c 与 x 轴有两个交点,∴ 关于 x 的方程-x2 +bx+c = 0 有两个 不相等的实数根,∴ b2 +4c>0,故选项 C 错误;无法判断 c 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 的正负,故选项 D 错误. 2. -2<x<0　 【解析】不等式 ax2 +bx+c>2 的解集可看作抛物 线 y=ax2 +bx+c 在直线 y= 2 上方的部分,∵ 点(0,2)关于 抛物线的对称轴直线 x = -1 对称的点为( -2,2),∴ x 的 取值范围为-2<x<0. 变式 2-1 0<x<2　 变式 2-2 C　 【解析】如解图,一次函数 y1 = kx+b( k≠0) 和二次函数 y2 =ax2 +bx+c(a≠0)的图象相交于点(1,0), (4,3),当 x<1 或 x>4 时,y1 <y2 ,即 kx+b<ax2 +bx+c,∴ 关 于 x 的不等式 ax2 +(b-k)x+c>b 的解集为 x<1 或 x>4. 变式 2-2 题解图 3. 2 变式 3-1 2 或-10　 【解析】令 x2 -4x+3 = ax-6,整理得 x2 -(4+a)x+9 = 0,∵ 直线 y = ax-6 与抛物线 y = x2 -4x+3 只有一个交点,∴ Δ= [ -(4+a)] 2 -4×1×9 = 0,解得 a1 = 2, a2 = -10. 变式 3-2 k≥3　 【解析】将抛物线 y = x2 -6x+12 向下平 移 k 个单位长度得到的抛物线的解析式为 y= x2 -6x+12- k,∵ 平移后得到的抛物线与 x 轴有公共点,∴ x2 -6x+12- k= 0 有实数根,即 Δ = ( - 6) 2 - 4× 1×( 12-k) ≥0,解得 k ≥3. 4. A 5. D　 【解析】当 a<0 且抛物线 y = ax2 -2ax+1 过点 B(3,0) 时,9a-6a+1 = 0,解得 a= - 1 3 ,∴ 当抛物线 y = ax2 -2ax+1 与线段 AB 只有一个公共点时,- 1 3 ≤a<0;当 a>0 且抛物 线 y=ax2 -2ax+1 过点 A(3,2)时,9a-6a+1 = 2,解得 a = 1 3 ,∴ 当抛物线 y= ax2 -2ax+1 与线段 AB 只有一个公共 点时,0<a≤ 1 3 . 综上所述,a 的取值范围是- 1 3 ≤a<0 或 0<a≤ 1 3 . 6. B　 【解析】在 y= (x+1) 2 中,令 y= 4,则 4 = ( x+1) 2 ,解得 x= -3 或 x = 1. 如解图,易知当直线 y = x+m 位于 l1 和 l2 之间时,它与新图象有四个交点. ①∵ 直线 l1 过点( 1, 4),∴ 4 = 1+m,解得 m = 3;②∵ 直线 l2 与抛物线 y = ( x+ 1) 2 只有一个交点,∴ 方程 x+m= (x+1) 2 ,即 x2 +x+1-m= 0 有两个相等的实数根,∴ Δ = 12 -4(1-m) = 0,解得 m = 3 4 . 由①②可知,若直线 y= x+m 与新图象有四个交点,则 m 的取值范围是 3 4 <m<3. 第 6 题解图 7. D　 【解析】由题意得,三倍点所在的直线为 y = 3x,在-3< x<1 的范围内,二次函数 y = -x2 -x+c 的图象上至少存在 一个“三倍点”,即在-3<x<1 的范围内,二次函数 y = -x2 -x+c 和 y= 3x 至少有一个交点,令 3x = -x2 -x+c,整理,得 x2 +4x-c= 0,则 Δ= 16+4c≥0,解得 c≥-4,把 x= -3 代入 y = -x2 -x+c 得 y= -6+c,代入 y = 3x 得 y = -9,∴ -9>-6+c, 解得 c<-3;把 x= 1 代入 y= -x2 -x+c 得 y = -2+c,代入 y = 3x 得 y= 3,∴ 3>-2+c,解得 c<5,综上所述,c 的取值范围 为-4≤c<5. 8. B　 【解析】∵ 一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 有两实根 x1 = -1,x2 = 3,∴ 抛物线 y=ax2 +bx+c 与 x 轴的两个交点分别 为( -1,0)和(3,0),∴ a-b+c= 0,① 9a+3b+c= 0,②{ ②-①得 8a+4b = 0,∴ 2a+b= 0,故①正确;∴ b= -2a,∴ 抛物线 y= ax2 +bx+c 的对称轴是直线 x= - b 2a = - -2a 2a = 1,∴ 抛物线 y = ax2 +bx+ c 的顶点为(1,a+b+c),又∵ b = -2a,a-b+c = 0,∴ 3a+c = 0,即 a= - c 3 ,∴ b= -2a= 2 3 c,∴ a+b+c= 4 3 c,∴ 顶点坐标 为(1, 4 3 c),故②正确;∵ a = - c 3 ,∴ c = - 3a,∵ b = - 2a, abc>0,∴ abc= a·( -2a) ·( -3a) = 6a3 > 0,∴ a> 0,故③ 错误;∵ m(am+b) <4a+2b,∴ am2 +bm+c<4a+2b+c,∴ 对 于函数 y=ax2 +bx+c,x=m 时的函数值小于 x= 2 时的函数 值,∵ a>0,抛物线的对称轴是直线 x= 1,∴ 抛物线上的点 离对称轴越近函数值越小,∴ | m-1 | <2-1. ∴ -1<m-1< 1,∴ 0<m<2,故④错误. 综上所述,正确的有 2 个. 9. 解:(1)∵ y=ax2 -2ax-3a=a(x-1) 2 -4a, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 1, 令 y= 0,即 ax2 -2ax-3a= 0, 解得 x= 3 或 x= -1, ∵ 抛物线与 x 轴交于 A,B 两点,且点 A 在点 B 的左侧, ∴ A( -1,0),B(3,0); (2)∵ a>0,∴ 抛物线开口向上, 又∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 1, ∴ 当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>1 时,y 随 x 的增 大而增大, ∴ 当-2≤x≤0 时,y 的最小值为-3a, ∴ -3a= -3,解得 a= 1, ∴ 抛物线的解析式为 y= x2 -2x-3; (3)∵ 点 A( -1,0),B(3,0)在抛物线上,C(3,2),D( -2, 4a+2), ∴ 点 C 在点 B 的上方,且点 D 在点 A 左侧, ∵ 抛物线与线段 CD 只有一个公共点, ∴ 点 D 在抛物线上或在抛物线下方, ∴ 当 x= -2 时,y= 4a+4a-3a≥4a+2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 解得 a≥2, ∴ 当抛物线与线段 CD 只有一个公共点时,a 的取值范围 为 a≥2. 命题点 12　 二次函数的实际应用 1. B 2. 解:( 1) 设这段时间内 y 与 x 之间的函数解析式为 y = kx+b, ∵ 函数图象过点(100,300),(120,200), ∴ 100k+b= 300, 120k+b= 200,{ 解得 k= -5, b= 800,{ ∴ 这段时间内 y 与 x 之间的函数解析式为 y= -5x+800; (2)由题意得 x≥100, -5x+800≥220,{ 解得 100≤x≤116, 设商场获得的利润为 W 元,则 W = ( x-80) ( -5x+800) = -5x2 +1 200x-64 000 = -5(x-120) 2 +8 000, ∵ -5<0,∴ 当 x<120 时,W 随 x 的增大而增大, 又∵ 100≤x≤116,∴ 当 x= 116 时,利润最大,最大利润为 -5×(116-120) 2 +8 000 = 7 920. 答:当销售单价为 116 元时,商场获得利润最大,最大利 润是 7 920 元. 3. 解:(1)由题意得 y= (200-x)(60+4× x 10 ) = -0. 4x2 +20x+ 12 000 = -0. 4(x-25) 2 +12 250, ∵ 每辆轮椅的利润不低于 180 元, ∴ 200-x≥180,∴ x≤20. ∵ -0. 4<0,∴ 当 x≤20 时,y 随 x 的增大而增大, ∴ 当 x= 20 时,利润最大,最大利润为- 0. 4( 20 - 25) 2 + 12 250 = 12 240(元) . 答:y 与 x 的函数关系式为 y = -0. 4x2 +20x+12 000;每辆 轮椅降价 20 元时,每天的销售利润最大,最大利润为 12 240 元; (2)由题意得 12 160 = -0. 4(x-25) 2 +12 250, 解得 x1 = 40(不合题意,舍去),x2 = 10, ∴ 售出轮椅的辆数为 60+4× 10 10 = 64(辆) . 答:这天售出了 64 辆轮椅. 4. 解:(1)设猪肉粽每盒的进价为 a 元,则豆沙粽每盒的进 价为(a-20)元, 根据题意得 5 000 a = 3 000 a-20 ,解得 a= 50, 经检验,a= 50 是分式方程的解,且符合题意, ∴ a-20 = 30, 答:猪肉粽每盒的进价为 50 元,豆沙粽每盒的进价为 30 元; (2)根据题意得,当猪肉粽每盒售价 x 元(52≤x≤70)时, 每天可售[180-10(x-52)]盒, ∴ y= (x-50)[180-10(x-52)] = -10x2 +1 200x-35 000 = -10(x-60) 2 +1 000, ∵ -10<0,且 52≤x≤70, ∴ 当 x= 60 时,y 取最大值,最大值为 1 000 元, 答:y 关于 x 的函数表达式为 y = - 10x2 + 1 200x- 35 000 (52≤x≤70),且 y 的最大值为 1 000 元. 5. 解:(1)y= -10x+700(40≤x≤60), 5x-200(60<x≤70);{ 【解法提示】设线段 AB 的表达式为 y = kx+b(40≤x≤60, k≠0),将点(40,300),(60,100)代入,得 40k+b= 300, 60k+b= 100,{ 解 得 k= -10, b= 700,{ ∴ 线段 AB 的表达式为 y= -10x+700(40≤x≤ 60);设线段 BC 的表达式为 y=mx+n(60<x≤70,m≠0), 将点( 60, 100), ( 70, 150) 代入, 得 60m+n= 100, 70m+n= 150,{ 解得 m= 5, n= -200,{ ∴ 线段 BC 的表达式为 y = 5x - 200 ( 60 < x≤ 70),∴ y 与 x 的函数关系式为y= -10x+700(40≤x≤60), 5x-200(60<x≤70).{ (2)设获得的利润为 w 元, ①当 40≤x≤60 时,w = ( x- 30) ( - 10x+ 700) = -10(x- 50) 2 +4 000, ∵ -10<0, ∴ 当 x= 50 时,w 有最大值,最大值为 4 000; ②当 60<x≤70 时,w=(x-30)(5x-200)-150(x-60)= 5( x -50) 2 +2 500, ∵ 5>0, ∴ 当 60<x≤70 时,w 随 x 的增大而增大, ∴ 当 x= 70 时,w 有最大值,最大值为 5×(70-50) 2 +2 500 = 4 500. ∵ 4 500>4 000, ∴ 当售价为 70 元 /件时,商家所获利润最大,最大利润为 4 500 元. 6. 450　 【解析】设垂直于墙的矩形的边长为 x 米,则平行于 墙的矩形的边长为(60- 2x) 米,又∵ 墙长为 40 米,∴ 0< 60-2x≤40,∴ 10≤x<30,菜园的面积为 x(60-2x)= -2( x -15) 2 +450,∵ -2<0,∴ 当 x= 15 时,可围成的菜园的最大 面积是 450,即垂直于墙的矩形的边长为 15 米时,可围成 的菜园的最大面积是 450 平方米. 变式 2　 【解析】设修改后的花园面积为 S m2 ,则 S = (20-x)(16+x)= -(x-2) 2 +324,∵ -1<0,∴ 当 x = 2 时,S 取得最大值,最大值为 324 m2 . 7. 解:(1)设垂直于墙的边为 x 米,围成的矩形花园的面积 为 S 平方米,则平行于墙的边为(120-3x)米, 由题意得 S = x( 120 - 3x) = - 3x2 + 120x = - 3 ( x - 20) 2 + 1 200, ∵ -3<0, ∴ 当 x= 20 时,S 取最大值 1 200, ∴ 120-3x= 120-3×20 = 60, ∴ 当垂直于墙的边为 20 米,平行于墙的边为 60 米时,花 园面积最大,最大面积为 1 200 平方米; (2)设购买牡丹 m 株,则购买芍药(2 400-m)株, ∵ 学校计划购买费用不超过 5 万元, ∴ 25m+15(2 400-m)≤50 000, 解得 m≤1 400, ∴ 最多可以购买 1 400 株牡丹. 拓展设问 　 解:设垂直于墙的边为 a 米,围成的花园面 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02