3.9 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 ∴ k= 6, ∴ 反比例函数的表达式为 y= 6 x ; 第 16 题解图 (2)将正比例函数图象向下平移 n 个单位后得到的直线 BC 的解析式为 y= x-n. 如解图,过点 B 作 BM⊥y 轴于 M,过点 C 作 CN⊥y 轴于 N, ∴ BM∥CN,∴ △MBE∽△NCE, ∴ BM CN =BE CE = 3 2 , 设 B(3m, 6 3m ),则 C( -2m, 6 -2m ), ∵ 点 B,C 在直线 y= x-n 上, ∴ 3m-n= 6 3m , -2m-n= 6 -2m , ì î í ï ï ïï 解得 m= 1, n= 1{ (m = - 1 不合题意,已舍 去), ∴ 直线 BC 的解析式为 y= x-1, ∴ E(0,-1),D(1,0),B(3,2),C( -2,-3),∴ F(3,0), ∵ 直线 BC 与 BG 关于直线 BF 成轴对称, ∴ G(5,0), ∴ GD= 4,∴ S△BCG =S△BDG+S△CDG = 1 2 ×4×2+ 1 2 ×4×3 = 10. 17. 解:(1)20; (2)从图象看,点 C(20,90), 设双曲线的表达式为 y= m x (m≠0), 将点 C 的坐标代入双曲线的表达式得 m = 20 × 90 = 1 800, ∴ 双曲线的表达式为 y= 1 800 x , 当 x= 40 时,y= 1 800 x = 45,∴ D(40,45); 从图象看,点 A 和点 D 的纵坐标相同,则点 A(0,45), 当 0≤x<10 时,设 y 与 x 的函数表达式为 y= kx+45, 将 B(10,90)代入上式得 90 = 10k+45,解得 k= 4. 5, ∴ 当 0≤x<10 时,y 与 x 的函数表达式为 y= 4. 5x+45; (3)可以,理由:当 y = 60 且 0≤x<10 时,4. 5x+ 45 = 60, 解得 x= 10 3 ; 当 y= 60 且 20≤x≤45 时, 1 800 x = 60,解得 x= 30, ∵ 30- 10 3 >25,∴ 在 10 3 分钟到 30 分钟之间安排 25 分钟 即可. 命题点 9　 二次函数的图象与性质 1. 解:(1)顶点坐标为( -1,0),与 y 轴交于点(0,1),对称轴 为直线 x= -1,当 x= -1 时,y 有最小值 0,当 x<-1 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>-1 时,y 随 x 的增大而增大. (2)顶点坐标为( -2,-1),对称轴为直线 x = -2,当 x = -2 时,y 有最大值-1,当 x<-2 时,y 随 x 的增大而增大,当x> -2 时,y 随 x 的增大而减小. (3)顶点坐标为( - 2,- 1),与 x 轴交于点( - 1,0),( - 3, 0),对称轴为直线 x = -2,当 x = -2 时,y 有最小值-1,当 x<-2 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>-2 时,y 随 x 的增大 而增大. (4)顶点坐标为(2,4),对称轴为直线 x = 2,当 x = 2 时,y 有最大值 4,当 x<2 时,y 随 x 的增大而增大,当 x>2 时,y 随 x 的增大而减小. 2. 解:画图如解图. 第 2 题解图 3. 解:画图如解图(不唯一) . 第 3 题解图 4. (1) -1,-2;(2)(0,-2),-2;(3)①>;② = ;③<;④>;⑤< 5. C　 【解析】∵ 直线 l 为二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图 象的对称轴,∴ 对称轴为直线 x= - b 2a >0,当 a<0 时,则 b> 0,当 a>0 时,则 b<0,∴ a,b 异号. 变式 13　 【解析】抛物线 y = ax2 +bx+c(a≠0) 过点( 1, 0),∴ a+b+c = 0①,∵ 对称轴为直线 x = -1,∴ - b 2a = - 1, ∴ b= 2a②,把②代入①求得 c = - 3a,∴ b2 +c2 a2 = 4a 2 +9a2 a2 = 13. 6. A 变式 C　 【解析】∵ 3a+b> 0,∴ 2a+a+b> 0,∵ a+b< 0, ∴ 2a>0,∴ a>0,∴ 抛物线开口向上,∵ -3a<b<-a,∴ 1 2 < - b 2a < 3 2 ,∵ 点( - 3,m), ( 2,n), ( 4, t) 在该抛物线上, ∴ m,n,t 的大小关系为 n<t<m. 7. (1) - 3 2 ,大, 25 4 ;(2)6,-6;(3) 25 4 ,4 变式 C　 【解析】∵ y= x2 -2x = (x-1) 2 -1,∴ 抛物线的对 称轴为直线 x= 1,且顶点坐标为(1,-1) . ∵ 1-( -1) = 3- 1,∴ x= -1 和 x= 3 时的函数值相等. ∵ -1≤x≤t-1,当 x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 = -1 时,函数取得最大值,∴ t-1≤3,又∵ 当 x = 1 时,函 数取得最小值,∴ t-1≥1,∴ 1≤t-1≤3,解得 2≤t≤4. 8. D 9. C　 【解析】∵ 函数图象开口向上,与 y 轴交于正半轴,与 x 轴没有交点,∴ a>0,c>0,b2 -4ac<0,∵ 对称轴为 x = - b 2a = -1,∴ b= 2a>0,∴ 2a-b= 0,∴ M(c,2a-b)在 x 轴正半轴 上,当 x= -1 时,a-b+c>0,则 N(b2 -4ac,a-b+c)在第二象 限,∴ 过点 M(c,2a-b)和点 N( b2 -4ac,a-b+c)的直线一 定不经过第三象限. 第 10 题解图 10. C　 【解析】解法一:∵ 抛物线顶点坐标为( - 1,-2),∴ 可设抛物线为 y=a(x+1) 2 -2 =ax2 +2ax+a-2. 又抛物线为 y = ax2 +bx+c,∴ b = 2a,c=a-2. ∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上 方,∴ c=a-2>0. ∴ a>2>0,故 A、B 选项均不 正确;∵ 抛物线的顶点坐标为( -1,-2),∴ 当 x = -1 时, y=a-b+c = - 2,故 C 选项正确;∵ b = 2a,c = a- 2,∴ b2 - 4ac= 4a2 -4a(a-2)= 8a>0,故 D 选项不正确. 解法二:根据题意画出函数 y=ax2 +bx+c 的图象,如解图 所示,∵ 抛物线开口向上,与 y 轴的交点位于 x 轴上方, ∴ a>0,c>0,故 A、B 选项均不正确;∵ 抛物线与 x 轴有 两个交点,∴ Δ= b2 -4ac>0,故 D 选项不正确;∵ 抛物线 y =ax2 +bx+c 的顶点为( -1,-2),∴ a-b+c= -2,故 C 选项 正确. 11. n< 4 3 或 n> 4　 【解析】∵ 抛物线交 x 轴于点 A( 1,0), C(5,0),∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 3. 解法一:∵ 抛物线开口向上,且 f1 <f2 ,∴ 点 P 离对称轴更 近,∴ | n+3-3 | < | 2n-1-3 | ,∴ (n+3-3) 2 -(2n-1-3) 2 < 0,∴ (3n-4) ( -n+4) <0;∴ 3n-4<0, -n+4>0{ 或 3n-4>0, -n+4<0,{ 解得 n< 4 3 或 n>4. 解法二:∵ f1 <f2 ,∴ 点 Q 到对称轴的距离大于点 P 到对 称轴的距离,当点 Q 和点 P 都在对称轴左侧(含点 P 为 抛物线顶点这种情况)时, 2n-1<n+3, n+3≤3,{ 解得 n≤0;当点 Q 和点 P 都在对称轴右侧时, 2n-1>n+3, n+3>3,{ 解得 n>4;当 点 Q 在 对 称 轴 左 侧, 点 P 在 对 称 轴 右 侧 时, 2n-1<3, n+3>3, 3-(2n-1) >n+3-3, { 解得 0<n< 43 ; 当点 P 在对称轴左 侧,点 Q 在对称轴右侧时, 2n-1>3, n+3<3, 2n-1-3>3-(n+3), { 无解. 综 上所述,n 的取值范围是 n< 4 3 或 n>4. 12. B　 【解析】∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 1,∴ - b 2a = 1, ∴ b= -2a,∴ 2a+b = 0,故①正确;∵ 抛物线 y = ax2 +bx+c 的对称轴为直线 x= 1,与 x 轴的一个交点在 2 和 3 之间, ∴ 与 x 轴的另一个交点在-1 和 0 之间,∴ 方程 ax2 +bx+c = 0 一定有一个根在-1 和 0 之间,故②错误;由题图可 知抛物线 y=ax2 +bx+c 与直线 y= 3 2 有两个交点,∴ 方程 ax2 +bx+c- 3 2 = 0 一定有两个不相等的实数根,故③正 确;∵ 抛物线与 x 轴的另一个交点在-1 和 0 之间,∴ a- b+c<0,∵ 二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标是 2,∴ c = 2,∴ a-b+2<0,∴ b-a>2,故④错误. 综上所述,正确结 论的个数为 2. 13. 2　 【解析】由定义的新运算可得二次函数 y= (x+1)Φ(x -2)= 2(x+1) 2 -3(x+1)(x-2) -(x-2) 2 = -2x2 +11x+4 = -2(x- 11 4 ) 2 + 153 8 ,∴ 二次函数图象的顶点为( 11 4 , 153 8 ), ∵ 二次函数 y= (x+1) Φ( x-2)在-4≤x≤a 内有最大值 18,18< 153 8 ,∴ a< 11 4 ,∵ 在 y = - 2x2 + 11x+ 4 中,当 y = 18 时,x= 7 2 或 2,2< 11 4 < 7 2 ,∴ a= 2. 变式 D　 【解析】∵ y= x2 -2mx+m2 +1 = (x-m) 2 +1,∴ 当 x=m 时,y 的最小值为 1. 当 m<-3 时,在-3≤x≤-1 中, y 随 x 的增大而增大,∴ 9+6m+m2 +1 = 5,解得 m1 = - 5, m2 = - 1(舍去);当- 3≤m≤- 1 时,y 的最小值为 1,舍 去;当 m>-1 时,在-3≤x≤-1 中,y 随 x 的增大而减小, ∴ 1+2m+m2 +1 = 5,解得 m1 = -3(舍去),m2 = 1,∴ m 的 值为-5 或 1. 命题点 10　 二次函数解析式的确定 及图象的变换 1. y= -(x-1) 2 +3(答案不唯一) 2. 解:将点 D(1,-1)代入抛物线的表达式得-1 =a+ 4 3 -4, 解得 a= 5 3 ,则抛物线 C 的表达式为 y= 5 3 x2 + 4 3 x-4. 3. 解:∵ 抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)与 y 轴交于点 C(0,4), ∴ c= 4, ∵ 抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A( -2,0),B(8, 0)两点, ∴ 4a-2b+4 = 0, 64a+8b+4 = 0,{ 解得 a= - 1 4 , b= 3 2 , ì î í ï ï ïï ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 x2 + 3 2 x+4. 4. 解:∵ 抛物线 y= -x2 +bx+c 与 y 轴交于点 C(0,4),∴ c= 4, ∵ 对称轴为直线 x= - 3 2 ,∴ - b -2 = - 3 2 ,解得 b= -3, ∴ 抛物线的表达式为 y= -x2 -3x+4. 5. 解:设抛物线的函数表达式为 y=ax(x-10), ∵ 当 t= 2 时,BC= 4,∴ 点 C 的坐标为(2,-4), 将点 C 的坐标代入表达式得 2a(2-10)= -4,解得a= 1 4 , ∴ 抛物线的函数表达式为 y= 1 4 x2 - 5 2 x. 6. 解:∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 3,AB= 4, ∴ A(1,0),B(5,0) . 解法一:将 A(1,0),B(5,0)代入 y=ax2 +bx+5,得 a+b+5 = 0, 25a+5b+5 = 0,{ 解得 a= 1, b= -6,{ ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 -6x+5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 三 章 函 　 数 命题点 9　 二次函数的图象与性质 (统考卷 23(1)(2)题;统考样卷 15 题) 　 能力点通关 能力点 1 　 根据二次函数解析式写出基本 信息 1. 请写出下列二次函数的顶点、对称轴、最值等 信息,看谁写得多. (1)y= x2 +2x+1;(2)y= -2(x+2) 2 -1; (3)y= (x+1)(x+3);(4)y= -x2 +4x. 详解见本册 P. 能力点 2　 根据已知条件画草图 2. 已知二次函数 y=ax2 +bx+c 中 x,y 的几组对应 值如表所示,请在下面的直角坐标系中,描点 并画出这个二次函数的图象. x -1 0 1 2 3 … y -3 0 1 0 m … 第 2 题图 　 第 3 题图 3. 已知二次函数 y = ax2 +bx+c 具有以下性质,请 结合性质,在如图所示的直角坐标系中画出 该二次函数的大致图象 ∙∙∙∙ . 性质 1:图象与 y 轴交于点(0,2); 性质 2:有最小值,最小值是-1. 能力点 3　 根据二次函数图象写出基本信息 4. 已知二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象如图所示, 请结合图象,完成下列问题. (1)对称轴是直线 x=　 -1　 ,c 的值为　 -2　 ; (2)与 y 轴的交点坐标是　 (0,-2) 　 ,当 x = -2 时,y= 　 -2　 ; (3)用“ >”“ <”或“ = ”填空. ①a　 >　 0;②2a-b　 =　 0;③4ac-b2 　 <　 0;④a+b+c　 >　 0;⑤a-b+c　 <　 -2. 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 　 考向 1　 二次函数的基本性质(统考卷 23(1) (2)题;统考样卷 15 题) 5. [2023 株洲]如图所示,直线 l 为二次函数 y = ax2 +bx+c(a≠0)的图象的对称轴,则下列说法 正确的是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. b 恒大于 0 B. a,b 同号 C. a,b 异号 D. 以上说法都不对 变式 [2024 山东统考样卷]在平面直角坐标系中, 抛物线 y = ax2 +bx+c(a≠0)过点(1,0),其对 称轴为直线 x= -1,则 b 2 +c2 a2 的值为　 13　 . 6. [2024 广东省卷]若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都 在二次函数 y= x2 的图象上,则 (　 　 ) A. y3 >y2 >y1 B. y2 >y1 >y3 C. y1 >y3 >y2 D. y3 >y1 >y2 变式 [2023 日照 11 题 3 分]在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = ax2 +bx(a≠0)满足 3a+b>0, a+b<0,{ 已 知点( -3,m),(2,n),(4,t)在该抛物线上,则 m,n,t 的大小关系为 (　 　 ) A. t<n<m B. m<t<n C. n<t<m D. n<m<t 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54 分层作业本·山东数学 　 第 三 章 函 　 数 7. 一题多设问 [2023 泰安 15 题改编]已知二次函数 y= -x2 -3x+4. (1)在 x = 　 　 　 时,y 有最 　 大 　 值,最值 为　 　 　 ; (2)当-1≤x≤2 时,y 的最大值为　 6　 ,最小 值为　 -6　 ; (3)当-3≤x≤0 时,y 的最大值为　 　 　 ,最 小值为　 4　 . 变式 [2024 乐山]已知二次函数 y = x2 -2x( -1≤ x≤t-1),当 x= -1 时,函数取得最大值;当 x = 1 时,函数取得最小值,则 t 的取值范围是 (　 　 ) A. 0<t≤2 B. 0<t≤4 C. 2≤t≤4 D. t≥2 8. [2024 陕西]已知一个二次函数 y = ax2 +bx+c 的 自变量 x 与函数 y 的几组对应值如下表: x … -4 -2 0 3 5 … y … -24 -8 0 -3 -15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 (　 　 ) A. 图象的开口向上 B. 当 x>0 时,y 的值随 x 值的增大而减小 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 x= 1 考向 2　 二次函数图象与 a,b,c 的关系 9. [2024 青岛 9 题 3 分]二次函数 y = ax2 +bx+c 的 图象如图所示,对称轴是直线 x = - 1,则过点 M(c,2a-b)和点 N(b2 -4ac,a-b+c)的直线一 定不经过 (　 　 ) 第 9 题图 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 多解法 ∙∙∙ [2024 湖北省卷]已知抛物线 y = ax2 + bx+c( a,b, c 为常数,a≠0) 的顶点坐标为 ( -1,-2),与 y 轴的交点在 x 轴上方,下列结 论正确的是 (　 　 ) A. a<0 B. c<0 C. a-b+c= -2 D. b2 -4ac= 0 11. 多解法 ∙∙∙ [2023 威海 24 题改编]如图,在平面直角 坐标系中,抛物线交 x 轴于点 A(1,0),C(5, 0),若点 P(n+3,f1),Q(2n-1,f2 )在该抛物线 上,f1< f2,则 n 的取值范围是　 　 　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 第 12 题图 12. [2024 泰安 11 题 4 分]如图所示是二次函数 y= ax2 +bx+c(a≠0)的部分图象,该函数图象的 对称轴是直线 x = 1,图象与 y 轴交点的纵坐 标是 2. 则下列结论:①2a+b = 0;②方程 ax2 + bx+c= 0 一定有一个根在-2 和-1 之间;③方 程 ax2 +bx+c- 3 2 = 0 一定有两个不相等的实 数根;④b-a<2. 其中,正确结论的个数为 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13. 名师原创 新定义 对于代数式 A,B,我们定义 一种新运算:AΦB = 2A2 - 3AB-B2 . 若二次函 数 y= (x+1) Φ( x-2)在-4≤x≤a 内有最大 值 18,则 a 的值为　 2　 . 变式 [2024 济南章丘区期末]已知二次函数 y = x2 - 2mx+m2 +1(m 为常数),当自变量 x 的值满足 -3≤x≤-1 时,与其对应的函数值 y 的最小值 为 5,则 m 的值为 (　 　 ) A. 1 或-3 B. -3 或-5 C. 1 或-1 D. 1 或-5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 64