2.5 分式方程及其应用-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 5　 分式方程及其应用 (统考卷 6 题;统考样卷 13 题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 考向 1　 分式方程的解法(统考样卷 13 题) 1. [2024 济宁 8 题 3 分] 解分式方程 1 - 1 3x-1 = - 5 2-6x 时,去分母变形正确的是 (　 　 ) A. 2-6x+2 = -5 B. 6x-2-2 = -5 C. 2-6x-1 = 5 D. 6x-2+1 = 5 2. [2023 济宁泗水县期末]解分式方程 2 x-1 = 2x 3x-3 - 1 的过程如下: 解:去分母,得 6 = 2x-(3x-3),① 去括号,得 6 = 2x-3x-3,② 移项、合并同类项,得 x= -9,③ 因为 x= -9 时,各分母均不为 0, 所以,原分式方程的解是 x= -9. ④ 以上步骤中,最开始出错的一步是 (　 　 ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. [2022 济南 16 题改编]代数式 3 x+2 与代数式 2 x-1 的值互为相反数,则 x= 　 　 　 . 变式 新定义 [2024 聊城阳谷县一模]对于非零实 数 a,b,规定 a⊕b = 1 a - 1 b . 若(2x-1) ⊕2 = 1, 则 x 的值为　 　 　 . 4. [2024 山东统考样卷改编]解分式方程: 1 x-2 = 3 x . 解:方程两边乘 x(x-2),得 x=3(x-2), 解得 x=3. 检验:当 x=3 时,x(x-2)≠0, ∴ x=3 是原分式方程的解. 5. [2024 陕西]解方程: 2 x2 -1 + x x-1 = 1. 解:方程两边乘(x+1) (x-1),得 2+x(x+1)= (x+ 1)(x-1), 解得 x=-3, 检验:当 x=-3 时,(x+1)(x-1)≠0, ∴ x=-3 是原分式方程的解. 6. 解分式方程: 4 x2 -2x + x 2-x = -1. 解:方程两边乘 x(x-2),得 4-x2 =-x2+2x, 解得 x=2, 检验:当 x=2 时,2-x=0,x2-2x=0, ∴ x=2 是原分式方程的增根, ∴原分式方程无解. 考向 2　 分式方程解的应用 7. [2023 淄博 5 题 4 分]已知 x= 1 是方程 m 2-x - 1 x-2 = 3 的解,那么实数 m 的值为 (　 　 ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 变式 7-1 [2023 日照 10 题 3 分]若关于 x 的方程 x x-1 -2 = 3m 2x-2 的解为正数,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A. m>- 2 3 　 　 　 　 　 　 B. m< 4 3 C. m>- 2 3 且 m≠0 D. m< 4 3 且 m≠ 2 3 变式 7-2 易错 ∙∙ [2024 龙东地区改编]已知关于 x 的 分式方程 kx x-3 -2 = 3 3-x ,若方程有增根,则 k 的 值为　 　 　 ;若方程无解,则 k 的值为　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 分层作业本·山东数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 考向 3　 分式方程的实际应用(统考卷 6 题) 类型 1　 工程、工作量问题 8. 课标新增—理解方程解的意义 某水果研究所研 究发现:改良后每棵苹果树的平均产量比改 良前多 20 kg,总产量同为 3 000 kg,改良后苹 果树的棵数比改良前苹果树的棵数少 5. 若符 合题意的方程为 3 000 x-20 = 3 000 x +5,则 x 表示的 意义是 (　 　 ) A. 改良前每棵苹果树的平均产量 B. 改良后每棵苹果树的平均产量 C. 改良前产 3 000 kg 苹果树的棵数 D. 改良后产 3 000 kg 苹果树的棵数 9. [2024 山东统考卷 6 题 3 分]为提高生产效率,某 工厂将生产线进行升级改造. 改造后比改造􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 前每天多生产 100 件,改造后生产 600 件的时􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 间与改造前生产 400 件的时间相同,则改造后􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 每天生产的产品件数为􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 (　 　 ) A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 变式 将波浪线“ 　 　􀪍􀪍”上的文字改为:改造后比 改造前每天多生产 50%,同样生产 1 200 件产 品,改造后用的时间比改造前少 2 天. 若设改 造前每天生产的产品件数为 x,则下列方程正 确的是 (　 　 ) A. 1 200 x - 1 200 (1-50%)x = 2 B. 1 200 (1-50%)x -1 200 x = 2 C. 1 200 (1+50%)x -1 200 x = 2 D. 1 200 x - 1 200 (1+50%)x = 2 10. [2024 泰安 22 题 10 分]随着快递行业的快速发 展,全国各地的农产品有了更广阔的销售空 间,某农产品加工企业有甲、乙两个组共 35 名工人. 甲组每天加工 3 000 件农产品,乙组 每天加工 2 700 件农产品,已知乙组每人每 天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平 均加工农产品数量的 1. 2 倍,求甲、乙两组各 有多少名工人? 解:设甲组有 x 名工人,则乙组有(35-x)名工人, 根据题意得 2 700 35-x =3 000 x ×1. 2,解得 x=20, 经检验,x=20 是所列方程的解,且符合题意, ∴35-x=35-20=15. 答:甲组有 20 名工人,乙组有 15 名工人. 类型 2　 行程问题 11. [2024 绥化·鲁教八上 P43 例 4 改编]一艘货轮 在静水中的航速为 40 km / h,它以该航速沿 江顺流航行 120 km 所用时间,与以该航速沿 江逆流航行 80 km 所用时间相等,则江水的 流速为 (　 　 ) A. 5 km / h B. 6 km / h C. 7 km / h D. 8 km / h 12. [人教八上 P153 例 4 改编]某次列车平均提速 v 千米 /时,列车提速前行驶s 千米,相同的时 间,提速后比提速前多行驶 50 千米,根据以 上信息,下列四位同学列方程正确的是 (　 　 ) ①若设提速后这次列车的平均速度为 x 千 米 /时,则甲列的方程为 s x = s+50 x-v ,乙列的 方程为 s x-v = s+50 x ; ②若设提速前这次列车的平均速度为 y 千 米 /时,则丙列的方程为 s y+v = s+50 y ,丁列的 方程为 s y = s+50 y+v . A. 甲、丙 B. 甲、丁 C. 乙、丙 D. 乙、丁 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02 分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 13. [2023 威海 18 题 6 分]某校组织学生去郭永怀 纪念馆进行研学活动. 纪念馆距学校 72 千 米,一部分学生乘坐大型客车先行,出发 12 分钟后,另一部分学生乘坐小型客车前往,结 果同时到达. 已知小型客车的速度是大型客 车速度的 1. 2 倍,求大型客车的速度. 解:设大型客车的速度为 x km / h,则小型客车的速 度为 1. 2x km / h, 12 分钟= 1 5 小时. 根据题意得 72 x - 72 1. 2x = 1 5 ,解得 x=60. 经检验,x=60 是原分式方程的解,且符合题意. 答:大型客车的速度是 60 km / h. 类型 3　 购买、销售问题 14. [2024 临沂兰山区一模]为推进垃圾分类,推动 绿色发展. 某化工厂要购进甲、乙两种型号机 器人用来进行垃圾分类. 用 360 万元购买甲 型机器人和用 480 万元购买乙型机器人的台 数相同,两种型号机器人的单价和为 140 万 元. 设甲型机器人每台 x 万元,根据题意,所 列方程正确的是 (　 　 ) A. 360 x = 480 140-x B. 360 140-x = 480 x C. 360 x +480 x = 140 D. 360 x -140 = 480 x 15. [2023 东营 5 题 3 分]为扎实推进“五育”并举 工作,加强劳动教育,东营市某中学针对七年 级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程. 课程 开设后学校花费 6 000 元购进第一批面粉, 用完后学校又花费 9 600 元购进了第二批面 粉,第二批面粉的采购量是第一批采购量的 1. 5 倍,但每千克面粉价格提高了 0. 4 元. 设 第一批面粉采购量为 x 千克,依题意所列方 程正确的是 (　 　 ) A. 9 600 1. 5x -6 000 x = 0. 4 B. 9 600 x -6 000 1. 5x = 0. 4 C. 6 000 1. 5x -9 600 x = 0. 4 D. 6 000 x -9 600 1. 5x = 0. 4 16. [2024 青岛崂山区一模改编]某水果店搞促销活 动,对某种水果打 8 折出售,若用 60 元钱买 这种水果,可以比打折前多买 3 斤. 设该种水 果打折前的价格为 x 元 /斤,根据题意可列方 程为　 　 　 　 　 　 　 　 . 17. [2023 泰安 22 题 10 分]为进行某项数学综合与 实践活动,小明到一个批发兼零售的商店购 买所需工具. 该商店规定一次性购买该工具 达到一定数量后可以按批发价付款,否则按 零售价付款. 小明如果给学校九年级学生每 人购买一个,只能按零售价付款,需用 3 600 元;如果多购买 60 个,则可以按批发价付款, 同样需用 3 600 元,若按批发价购买 60 个与 按零售价购买 50 个所付款相同,求这个学校 九年级学生有多少人. 解:设这个学校九年级学生有 x 人, 根据题意得 3 600 x ×50= 3 600 x+60 ×60,解得 x=300, 经检验,x=300 是所列方程的解,且符合题意. 答:这个学校九年级学生有 300 人. 类型 4　 其他问题 18. [人教九上 P20 探究 3 改编]《千里江山图》是宋 代王希孟的作品,如图,它的局部画面装裱前 是一个长为 2. 4 米,宽为 1. 4 米的矩形,装裱 后,整幅图画宽与长的比是 8 ∶ 13,且四周边 衬的宽度相等,则边衬的宽度应是多少米? 设边衬的宽度为 x 米,根据题意可列方程为 (　 　 ) 第 18 题图 A. 1. 4-x 2. 4-x = 8 13 B. 1. 4+x 2. 4+x = 8 13 C. 1. 4-2x 2. 4-2x = 8 13 D. 1. 4+2x 2. 4+2x = 8 13 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12 分层作业本·山东数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 19. 学科融合 [2022 临沂 11 题改编]将 5 kg 浓度为 98%的酒精,稀释为 75%的酒精. 设需要加水 x kg,根据题意可列方程为　 　 　 　 　 　 . 20. [2024 威海 17 题 6 分]某公司为节能环保,安 装了一批 A 型节能灯,一年用电 16 000 千瓦 时. 后购进一批相同数量的 B 型节能灯,一 年用电 9 600 千瓦时. 一盏 A 型节能灯每年 的用电量比一盏 B 型节能灯每年用电量的 2 倍少 32 千瓦时. 求一盏 A 型节能灯每年的 用电量. 解:设一盏 B 型节能灯每年的用电量为 x 千瓦时, 则一盏 A 型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦 时, 根据题意得 16 000 2x-32 = 9 600 x ,解得 x=96, 经检验,x=96 是所列方程的解,且符合题意, ∴2x-32=2×96-32=160(千瓦时) . 答:一盏 A 型节能灯每年的用电量为 160 千瓦时. 21. 易错 ∙∙ [2024 牡丹江]若分式方程 x x-1 = 3- mx 1-x 的 解为正整数,则整数 m 的值为　 -1　 . 22. 分类讨论 ∙∙∙∙ [2024 德州陵城区期末]小明同学在解 分式方程 2x x-2 + 3-m 2-x = 1 去分母时,方程左边 乘最简公分母,方程右边的 1 没有乘任何整 式,若此时求得方程的解为 x = 3,则 m 的值 为　 -2 或-4　 . 23. 创新考法 如图,y1 和 y2 分别表示某大货车 和某小货车行驶路程 y(千米)与所需时间 t(小时)的关系,已知小货车每小时行驶的路 程比大货车每小时行驶的路程多 25 千米,设 小货车每小时行驶 x 千米,则可列方程为 (　 　 ) 第 23 题图 A. 500 x+25 = 375 x B. 500 x = 375 x-25 C. 500 x = 375 x+25 D. 500 x-25 = 375 x 24. [2024 重庆 B 卷]某工程队承接了老旧小区改 造工程中 1 000 平方米的外墙粉刷任务,选 派甲、乙两人分别用 A,B 两种外墙漆各完成 总粉刷任务的一半. 据测算需要 A,B 两种外 墙漆各 300 千克, 购买外墙漆总费用为 15 000 元,已知 A 种外墙漆每千克的价格比 B 种外墙漆每千克的价格多 2 元. (1)求 A,B 两种外墙漆每千克的价格各是多 少元; (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时 粉刷外墙面积的 4 5 ,乙完成粉刷任务所 需时间比甲完成粉刷任务所需时间多 5 小时. 问甲每小时粉刷外墙的面积是多 少平方米? 解:(1)设 A 种外墙漆每千克的价格是 x 元,B 种 外墙漆每千克的价格是 y 元, 根据题意得 300x+300y=15 000, x-y=2,{ 解得 x=26, y=24.{ 答:A 种外墙漆每千克的价格是 26 元,B 种外墙漆 每千克的价格是 24 元; (2)设甲每小时粉刷外墙的面积是 m 平方米,则乙 每小时粉刷外墙的面积是 4 5 m 平方米, 根据题意得 500 4 5 m -500 m =5,解得 m=25, 经检验,m=25 是所列方程的解,且符合题意. 答:甲每小时粉刷外墙的面积是 25 平方米. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 解分式方程加练、分式方程含参问题加练、分式方 程的实际应用加练扫描 P11 二维码一键免费下载. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 2,∴ 方程的另一个解为 x= 2. 变式 2 021　 【解析】把 x= 3 代入方程 ax2 -bx = 6 得 9a- 3b= 6,即 3a-b = 2,则 2 025- 6a+ 2b = 2 025- 2(3a-b) = 2 025-4 = 2 021. 7. A　 8. 1 4 　 变式 8-1 k<2 且 k≠1　 变式 8-2 x2 +2x-1 = 0(答 案不唯一)　 变式 8-3 A 9. C　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +3x-p = 0 的两根 为 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = -3,x1x2 = -p,∵ 1 x1 + 1 x2 = 3,∴ x1 +x2 x1x2 = 3,即 -3 -p = 3,解得 p= 1. 变式 9-1 6　 【解析】∵ 一元二次方程 2x2 -4x-1 = 0 的两 根为 m,n,∴ 2m2 -4m= 1,m+n = 2,mn = - 1 2 ,∴ 3m2 -4m+ n2 = 2m2 -4m+m2 +n2 = 1+(m+n) 2 -2mn = 1+22 -2×( - 1 2 ) = 6. 变式 9-2 B　 【解析】设原来的方程为 ax2 +bx+c= 0(a≠ 0),由题意知,- b a = 6+ 1 = 7, c a = - 2×( - 5) = 10,∴ b = -7a,c= 10a,∴ 原来的方程为 ax2 -7ax+10a= 0,即 x2 -7x+ 10 = 0. 10. 3　 【解析】∵ y2 -x = 0,∴ y2 = x≥0,∵ x2 - 3y2 +x- 3 = 0, ∴ x2 -3x+x-3 = 0,即 x2 -2x-3 = 0,解得 x1 = 3,x2 = -1(舍 去),∴ x 的值为 3. 11. 4 或 1　 【解析】∵ x2 -5x+6 = 0,∴ (x-2) ( x-3)= 0,解得 x1 = 2,x2 = 3 或 x1 = 3,x2 = 2. 当 x1 = 2,x2 = 3 时,x1 ※x2 = 2 ×3-2 = 4;当 x1 = 3,x2 = 2 时,x1 ※x2 = 3-2 = 1,∴ x1 ※x2 = 4 或 1. 12. 1　 【解析】∵ x1 ,x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 -2(m+ 1)x+m2 +2 = 0 的两个实数根,∴ x1 +x2 = 2(m+1),x1x2 = m2 +2,∵ (x1 +1)(x2 +1) = 8,∴ x1x2 +x1 +x2 +1 = 8,∴ m2 + 2+2(m+1) +1 = 8,解得 m= 1 或 m= -3,∵ Δ= 4(m+1) 2 - 4(m2 +2)= 8m-4≥0,解得 m≥ 1 2 ,∴ m= 1. 13. x= -2 或 x= 1 2 　 【解析】在方程 a(2x+m+1) 2 +b = 0 中, 令 2x+1 = t,则方程 a(2x+m+1) 2 +b= 0 可化为 a( t+m) 2 + b= 0,∵ 关于 x 的方程 a(x+m) 2 +b= 0 的解是 x = -3 或 x = 2,∴ t1 = -3,t2 = 2,∴ 2x+1 = -3 或 2x+1 = 2,解得 x1 = -2,x2 = 1 2 ,∴ 方程 a(2x+m+1) 2 +b = 0 的解是 x = -2 或 x= 1 2 . 14. B　 【解析】方程( x-1) ( x+2) = p 可整理为 x2 +x-2-p = 0,∴ Δ= 12 -4×1×( -2-p)= 1+8+4p= 4p+9. 当 p = 0 时,Δ = 4p+9 = 9>0,∴ 方程有两个不相等的实数根,故选项 A 不符合题意;当 p>0 时,Δ = 4p+9>0,∴ 方程有两个不相 等的实数根,故选项 B 符合题意;当 p<0 时,Δ 的正负无 法确定,∴ 无法判断该方程实数根的情况,故选项 C 不 符合题意;∵ 方程的根的情况和 p 的值有关,故选项 D 不符合题意. 15. (1)证明:x2 -(m+2)x+m-1 = 0, ∵ a= 1,b= -(m+2),c=m-1, ∴ Δ= b2 -4ac = [ -(m+2)] 2 -4×1×(m-1) = m2 +4m+ 4- 4m+4 =m2 +8. ∵ m2 ≥0,∴ Δ>0, ∴ 无论 m 取何值,方程都有两个不相等的实数根; (2)解:∵ 方程 x2 -(m+ 2) x+m- 1 = 0 的两个实数根为 x1 ,x2 , ∴ x1 +x2 =m+2,x1x2 =m-1. ∵ x21 +x22 -x1x2 = 9,即(x1 +x2 ) 2 -3x1x2 = 9, ∴ (m+2) 2 -3(m-1)= 9, 整理得 m2 +m-2 = 0,解得 m1 = -2,m2 = 1, ∴ m 的值为-2 或 1. 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 1. A　 2. C　 3. 2 4. 15　 【解析】设剪去的小正方形的边长为 a cm,则( 60- 2a) 2 = 900,解得 a= 45 或 a= 15,当 a = 45 时,2a = 90>60, 不符合题意,舍去,∴ 小正方形的边长为 15 cm. 5. (x+3)(5-0. 5x)= 20 6. 解:(1)(100+10x); (2)由题意可得(60-40-x)(100+10x)= 2 240, 整理得 x2 -10x+24 = 0,解得 x1 = 4,x2 = 6, 当 x= 4 时,60-4 = 56(元), 当 x= 6 时,60-6 = 54(元), ∵ 要求每本售价不低于 55 元,∴ x= 4 符合题意. 故每本画册应降价 4 元. 7. A　 8. 3(x-1)x= 6 210　 9. C　 10. D 11. 解:(1)设该市改造小区投入资金的年平均增长率为 x, 依题意得 1 000(1+x) 2 = 1 440, 解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不符合题意,舍去), 答:该市改造小区投入资金的年平均增长率为 20%; (2)设该市在 2025 年可以改造 y 个小区, 依题意得 80×(1+20%)y≤1 440×(1+20%), 解得 y≤18, 又∵ y 为正整数,∴ y 的最大值为 18. 答:该市在 2025 年最多可以改造 18 个小区. 12. 解:(1)设矩形 ABCD 的边 AB = x m,则边 BC = 70-2x+2 = (72-2x)m. 根据题意,得 x(72-2x)= 640, 化简,得 x2 -36x+320 = 0,解得 x1 = 16,x2 = 20, 当 x= 16 时,72-2x= 72-32 = 40; 当 x= 20 时,72-2x= 72-40 = 32. 答:当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m,宽为 20 m 时,能围成一个面积为 640 m2 的羊圈; (2)不能, 理由:由题意,得 x(72-2x)= 650, 化简,得 x2 -36x+325 = 0, ∵ Δ= ( -36) 2 -4×325 = -4<0, ∴ 该一元二次方程没有实数根, ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m2 . 命题点 5　 分式方程及其应用 1. A　 2. B　 3. - 1 5 　 变式 5 6 4. 解:方程两边乘 x(x-2),得 x= 3(x-2), 解得 x= 3. 检验:当 x= 3 时,x(x-2)≠0, ∴ x= 3 是原分式方程的解. 5. 解:方程两边乘(x+1)(x-1),得 2+x(x+1)= (x+1)(x-1), 解得 x= -3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 检验:当 x= -3 时,(x+1)(x-1)≠0, ∴ x= -3 是原分式方程的解. 6. 解:方程两边乘 x(x-2),得 4-x2 = -x2 +2x, 解得 x= 2, 检验:当 x= 2 时,2-x= 0,x2 -2x= 0, ∴ x= 2 是原分式方程的增根; ∴ 原分式方程无解. 7. B 变式 7-1 D　 【解析】 x x-1 - 2 = 3m 2x-2 ,方程两边乘 2( x- 1),得 2x- 4 ( x- 1) = 3m,整理得- 2x+ 4 = 3m,解得 x = 4-3m 2 ,∵ 分式方程的解为正数,∴ 4- 3m> 0 且 4-3m 2 ≠1, ∴ m< 4 3 且 m≠ 2 3 . 变式 7-2 -1;-1 或 2　 【解析】 kx x-3 -2 = 3 3-x ,方程两边乘 (x-3),得 kx-2(x-3)= -3,(k-2)x= -9,解得 x = -9 k-2 . 若 关于 x 的分式方程 kx x-3 -2 = 3 3-x 有增根,则 -9 k-2 = 3,解得 k = -1. 若关于 x 的分式方程 kx x-3 -2 = 3 3-x 无解,则 -9 k-2 = 3 或 k-2 = 0,解得 k= -1 或 k= 2. 8. B 9. B　 【解析】设改造后每天生产的产品件数为 x,则改造前 每天生产的产品件数为 ( x - 100), 根据题意得 600 x = 400 x-100 ,解得 x = 300,经检验,x = 300 是分式方程的解,且 符合题意,∴ 改造后每天生产的产品件数为 300. 变式 D 10. 解:设甲组有 x 名工人,则乙组有(35-x)名工人, 根据题意得 2 700 35-x = 3 000 x ×1. 2,解得 x= 20, 经检验,x= 20 是所列方程的解,且符合题意, ∴ 35-x= 35-20 = 15. 答:甲组有 20 名工人,乙组有 15 名工人. 11. D　 【解析】设江水的流速为 x km / h,则沿江顺流航行的 速度为 ( 40 + x ) km / h, 沿 江 逆 流 航 行 的 速 度 为 (40-x) km / h,根据题意得 120 40+x = 80 40-x ,解得 x = 8,经检 验,x= 8 是所列方程的解,且符合题意,∴ 江水的流速为 8 km / h. 12. D 13. 解:设大型客车的速度为 x km / h,则小型客车的速度为 1. 2x km / h, 12 分钟= 1 5 小时. 根据题意得 72 x - 72 1. 2x = 1 5 ,解得 x= 60. 经检验,x= 60 是原分式方程的解,且符合题意. 答:大型客车的速度是 60 km / h. 14. A　 15. A　 16. 60 x = 60 0. 8x -3 17. 解:设这个学校九年级学生有 x 人, 根据题意得 3 600 x ×50 = 3 600 x+60 ×60,解得 x= 300, 经检验,x= 300 是所列方程的解,且符合题意. 答:这个学校九年级学生有 300 人. 18. D　 19. 0. 98×5 5+x = 0. 75 20. 解:设一盏 B 型节能灯每年的用电量为 x 千瓦时,则一 盏 A 型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦时, 根据题意得 16 000 2x-32 = 9 600 x ,解得 x= 96, 经检验,x= 96 是所列方程的解,且符合题意, ∴ 2x-32 = 2×96-32 = 160(千瓦时) . 答:一盏 A 型节能灯每年的用电量为 160 千瓦时. 21. -1　 【解析】 x x-1 = 3- mx 1-x ,化简得 x x-1 = 3+ mx x-1 ,方程两边 乘 x-1 得 x= 3( x-1) +mx,移项、合并同类项得(2+m) x = 3,解得 x= 3 2+m ,∵ 分式方程的解是正整数,∴ 3 2+m 为 正整数,即 2+m= 1 或 2+m= 3,解得 m= -1 或 m= 1,当 m = 1 时,分式方程无意义,∴ 整数 m 的值为-1. 22. -2 或-4　 【解析】按小明同学的解法,分两种情况:①方 程两边同乘(x-2),得 2x-3+m= 1,把 x = 3 代入得 6-3+ m= 1,解得 m= -2;②方程两边同乘(2-x),得-2x+3-m = 1,把 x= 3 代入得-6+ 3-m = 1,解得 m = - 4,∴ m 的值 为-2 或-4. 23. B 24. 解:(1)设 A 种外墙漆每千克的价格是 x 元,B 种外墙漆 每千克的价格是 y 元, 根据题意得 300x+300y= 15 000, x-y= 2,{ 解得 x= 26, y= 24.{ 答:A 种外墙漆每千克的价格是 26 元,B 种外墙漆每千 克的价格是 24 元; (2)设甲每小时粉刷外墙的面积是 m 平方米,则乙每小 时粉刷外墙的面积是 4 5 m 平方米, 根据题意得 500 4 5 m -500 m = 5,解得 m= 25, 经检验,m= 25 是所列方程的解,且符合题意. 答:甲每小时粉刷外墙的面积是 25 平方米. 命题点 6　 一元一次不等式(组)及其应用 1. A　 2. A　 变式 2x>2 7 (答案不唯一) 　 3. x≥3 4. -1(答案不唯一)　 【解析】∵ x+2≥1①, 2x-1<5②,{ 由①得 x≥-1, 由②得 x<3,∴ 不等式组的解集为-1≤x<3,∴ 不等式组 的一个整数解可以为-1. 变式 4-1 C 变式 4-2 m<1　 【解析】由题意可得 2m-1<m<4-m,即 2m-1<m, m<4-m,{ 解得 m<1,∴ m 的取值范围是 m<1. 5. 解:去分母,得 2(5-2x) <1-x, 去括号,得 10-4x<1-x, 移项、合并同类项,得-3x<-9, 解得 x>3, 该不等式的解集在数轴上表示如解图所示. 第 5 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6