2.4 一元二次方程的实际应用-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 类型 1　 变化率问题 1. 某旅游景点 2024 年 1 ~ 5 月份接待游客人数 如图所示. 设从 2 月份到 4 月份,游客每月的 平均增长率为 x,根据题意可得方程 (　 　 ) A. 25(1+x) 2 = 64 B. 25(1+x2)= 64 C. 64(1-x) 2 = 25 D. 64(1-x2)= 25 第 1 题图 第 3 题图 2. [2024 牡丹江]一种药品原价每盒 48 元,经过两 次降价后每盒 27 元,两次降价的百分率相同, 则每次降价的百分率为 (　 　 ) A. 20% B. 22% C. 25% D. 28% 类型 2　 面积问题 3. [2024 青岛 13 题 3 分]如图,某小区要在长为 16 m,宽为 12 m 的矩形空地上建造一个花坛, 使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面 积为空地面积的一半,则小路宽为　 2　 m. 4. 易错 ∙∙ [人教九上 P2 问题 1 改编]某纸箱厂用一块 边长为 60 cm 的正方形纸片制作成一个没有 盖的长方体水果盒. 可先在纸片的四个角上剪 去四个相同的小正方形(边缘损耗忽略不计) (如图①),然后把四边折合起来(如图②),若 做成的盒子的底面积为 900 cm2 时,则剪去的 小正方形的边长为　 15　 cm. 图① 　 　 图② 第 4 题图 类型 3　 每每问题 5. [2024 烟台莱州市期末]某花圃用花盆培育某种 花苗,经过试验发现,每盆花的盈利与每盆株 数构成一定的关系. 每盆植入 3 株时,平均单 株盈利 5 元;以同样的栽培条件,若每盆每增 加 1 株,平均单株盈利就减少 0. 5 元,要使每 盆的盈利为 20 元,需要每盆增加几株花苗? 设每盆增加 x 株花苗,则可列方程　 (x+3)(5- 0. 5x)= 20　 . 6. [2024 滨州模拟]某品牌画册每本成本为 40 元, 当售价为 60 元时,平均每天的销售量为 100 本. 为了吸引消费者,商家决定采取降价措施. 经试销统计发现,如果画册售价每降低 1 元 时,那么平均每天就能多售出 10 本. 设这种画 册每本降价 x 元. (1)平均每天的销售量为 　 (100+10x) 　 本 (用含 x 的代数式表示); (2)商家想要使这种画册的销售利润平均每 天达到 2 240 元,且要求每本售价不低于 55 元,求每本画册应降价多少元? 解:(2)由题意可得(60-40-x)(100+10x)= 2 240, 整理得 x2-10x+24=0,解得 x1 =4,x2 =6, 当 x=4 时,60-4=56(元), 当 x=6 时,60-6=54(元), ∵要求每本售价不低于 55 元,∴ x=4 符合题意. 故每本画册应降价 4 元. 类型 4　 其他问题 7. [2024 德州齐河县月考]某班学生毕业时,每个 同学都要给其他同学写一份留言纪念,全班同 学共写了 1 980 份留言,如果该班有 x 名学生, 根据题意,下列方程正确的是 (　 　 ) A. x(x-1)= 1 980 B. x(x+1)= 1 980 C. x(x-1) 2 = 1 980 D. x(x+1) 2 = 1 980 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 分层作业本·山东数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 8. 数学文化 [2022 泰安 10 题改编]我国古代著作 《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百 一十钱,遣人去买几株椽. 每株脚钱三文足,无 钱准与一株椽. ” 其大意为:现请人代买一批 椽,这批椽的价钱为 6 210 文. 如果每株椽的 运费是 3 文,那么少买一株椽后,剩下的椽的 运费恰好等于一株椽的价钱,试问 6 210 文能 买多少株椽? 设这批椽的数量为 x 株,则可列 方程为　 3(x-1)x=6 210　 . 9. [人教九上 P22 第 4 题改编]学校“自然之美”研 究小组在野外考察时发现了一种植物的生长 规律,即植物的 1 个主干上长出 x 个支干,每 个支干又长出 x 个小分支,现在一个主干上有 主干、支干、小分支数量之和为 73,根据题意, 下列方程正确的是 (　 　 ) A. 1+(1+x) 2 = 73 B. 1+x2 = 73 C. 1+x+x2 = 73 D. x+(1+x) 2 = 73 10. [人教九上 P19 探究 1 改编]有一人患了流感, 经过两轮传染后,共有 121 人患了流感,设每 轮传染中平均每人传染了 x 人,则下列结论 错误的是 (　 　 ) A. 1 轮后有(x+1)人患了流感 B. 第 2 轮又增加 x(x+1)人患流感 C. 依题意可得方程(x+1) 2 = 121 D. 不考虑其他因素经过三轮一共会有 1 210 人感染 11. [2024 菏泽巨野县二模改编]某市从 2022 年起 连续投入资金用于“建设美丽城市,改造老 旧小区”,让小区“旧貌”换“新颜” . 已知每年 投入资金的增长率相同,其中 2022 年投入资 金 1 000 万元,2024 年投入资金 1 440 万元. (1)求该市改造小区投入资金的年平均增 长率; (2)2024 年小区改造的平均费用为每个 80 万元,2025 年为提高小区品质,每个小区 改造费用计划增加 20%. 如果投入资金 年增长率保持不变,求该市 2025 年最多 可以改造多少个小区? 解:(1)设该市改造小区投入资金的年平均增长率 为 x, 依题意得 1 000(1+x) 2 =1 440, 解得 x1 =0. 2=20%,x2 =-2. 2(不符合题意,舍去), 答:该市改造小区投入资金的年平均增长率为 20%; (2)设该市在 2025 年可以改造 y 个小区, 依题意得 80×(1+20%)y≤1 440×(1+20%), 解得 y≤18, 又∵ y 为正整数,∴ y 的最大值为 18. 答:该市在 2025 年最多可以改造 18 个小区. 12. [2023 东营 23 题 8 分·鲁教九上 P98 第 2 题改 编]如图,老李想用长为 70 m 的栅栏,再借助 房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊 圈 ABCD,并在边 BC 上留一个 2 m 宽的门 (建在 EF 处,另用其他材料) . (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围 成一个面积为 640 m2 的羊圈? (2)羊圈的面积能达到 650 m2 吗? 如果能, 请你给出设计方案;如果不能,请说明 理由. 第 12 题图 解: ( 1) 设矩形 ABCD 的边 AB=x m,则边 BC=70-2x+2= (72-2x)m. 根据题意,得 x(72-2x)= 640, 化简,得 x2-36x+320=0,解得 x1 =16,x2 =20, 当 x=16 时,72-2x=72-32=40; 当 x=20 时,72-2x=72-40=32. 答:当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m, 宽为 20 m 时,能围成一个面积为 640 m2 的羊圈; (2)不能, 理由:由题意,得 x(72-2x)= 650, 化简,得 x2-36x+325=0, ∵Δ=(-36) 2-4×325=-4<0, ∴该一元二次方程没有实数根, ∴羊圈的面积不能达到 650 m2 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 一元二次方程的实际应用加练扫描 P11 二维码一 键免费下载. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 2,∴ 方程的另一个解为 x= 2. 变式 2 021　 【解析】把 x= 3 代入方程 ax2 -bx = 6 得 9a- 3b= 6,即 3a-b = 2,则 2 025- 6a+ 2b = 2 025- 2(3a-b) = 2 025-4 = 2 021. 7. A　 8. 1 4 　 变式 8-1 k<2 且 k≠1　 变式 8-2 x2 +2x-1 = 0(答 案不唯一)　 变式 8-3 A 9. C　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +3x-p = 0 的两根 为 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = -3,x1x2 = -p,∵ 1 x1 + 1 x2 = 3,∴ x1 +x2 x1x2 = 3,即 -3 -p = 3,解得 p= 1. 变式 9-1 6　 【解析】∵ 一元二次方程 2x2 -4x-1 = 0 的两 根为 m,n,∴ 2m2 -4m= 1,m+n = 2,mn = - 1 2 ,∴ 3m2 -4m+ n2 = 2m2 -4m+m2 +n2 = 1+(m+n) 2 -2mn = 1+22 -2×( - 1 2 ) = 6. 变式 9-2 B　 【解析】设原来的方程为 ax2 +bx+c= 0(a≠ 0),由题意知,- b a = 6+ 1 = 7, c a = - 2×( - 5) = 10,∴ b = -7a,c= 10a,∴ 原来的方程为 ax2 -7ax+10a= 0,即 x2 -7x+ 10 = 0. 10. 3　 【解析】∵ y2 -x = 0,∴ y2 = x≥0,∵ x2 - 3y2 +x- 3 = 0, ∴ x2 -3x+x-3 = 0,即 x2 -2x-3 = 0,解得 x1 = 3,x2 = -1(舍 去),∴ x 的值为 3. 11. 4 或 1　 【解析】∵ x2 -5x+6 = 0,∴ (x-2) ( x-3)= 0,解得 x1 = 2,x2 = 3 或 x1 = 3,x2 = 2. 当 x1 = 2,x2 = 3 时,x1 ※x2 = 2 ×3-2 = 4;当 x1 = 3,x2 = 2 时,x1 ※x2 = 3-2 = 1,∴ x1 ※x2 = 4 或 1. 12. 1　 【解析】∵ x1 ,x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 -2(m+ 1)x+m2 +2 = 0 的两个实数根,∴ x1 +x2 = 2(m+1),x1x2 = m2 +2,∵ (x1 +1)(x2 +1) = 8,∴ x1x2 +x1 +x2 +1 = 8,∴ m2 + 2+2(m+1) +1 = 8,解得 m= 1 或 m= -3,∵ Δ= 4(m+1) 2 - 4(m2 +2)= 8m-4≥0,解得 m≥ 1 2 ,∴ m= 1. 13. x= -2 或 x= 1 2 　 【解析】在方程 a(2x+m+1) 2 +b = 0 中, 令 2x+1 = t,则方程 a(2x+m+1) 2 +b= 0 可化为 a( t+m) 2 + b= 0,∵ 关于 x 的方程 a(x+m) 2 +b= 0 的解是 x = -3 或 x = 2,∴ t1 = -3,t2 = 2,∴ 2x+1 = -3 或 2x+1 = 2,解得 x1 = -2,x2 = 1 2 ,∴ 方程 a(2x+m+1) 2 +b = 0 的解是 x = -2 或 x= 1 2 . 14. B　 【解析】方程( x-1) ( x+2) = p 可整理为 x2 +x-2-p = 0,∴ Δ= 12 -4×1×( -2-p)= 1+8+4p= 4p+9. 当 p = 0 时,Δ = 4p+9 = 9>0,∴ 方程有两个不相等的实数根,故选项 A 不符合题意;当 p>0 时,Δ = 4p+9>0,∴ 方程有两个不相 等的实数根,故选项 B 符合题意;当 p<0 时,Δ 的正负无 法确定,∴ 无法判断该方程实数根的情况,故选项 C 不 符合题意;∵ 方程的根的情况和 p 的值有关,故选项 D 不符合题意. 15. (1)证明:x2 -(m+2)x+m-1 = 0, ∵ a= 1,b= -(m+2),c=m-1, ∴ Δ= b2 -4ac = [ -(m+2)] 2 -4×1×(m-1) = m2 +4m+ 4- 4m+4 =m2 +8. ∵ m2 ≥0,∴ Δ>0, ∴ 无论 m 取何值,方程都有两个不相等的实数根; (2)解:∵ 方程 x2 -(m+ 2) x+m- 1 = 0 的两个实数根为 x1 ,x2 , ∴ x1 +x2 =m+2,x1x2 =m-1. ∵ x21 +x22 -x1x2 = 9,即(x1 +x2 ) 2 -3x1x2 = 9, ∴ (m+2) 2 -3(m-1)= 9, 整理得 m2 +m-2 = 0,解得 m1 = -2,m2 = 1, ∴ m 的值为-2 或 1. 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 1. A　 2. C　 3. 2 4. 15　 【解析】设剪去的小正方形的边长为 a cm,则( 60- 2a) 2 = 900,解得 a= 45 或 a= 15,当 a = 45 时,2a = 90>60, 不符合题意,舍去,∴ 小正方形的边长为 15 cm. 5. (x+3)(5-0. 5x)= 20 6. 解:(1)(100+10x); (2)由题意可得(60-40-x)(100+10x)= 2 240, 整理得 x2 -10x+24 = 0,解得 x1 = 4,x2 = 6, 当 x= 4 时,60-4 = 56(元), 当 x= 6 时,60-6 = 54(元), ∵ 要求每本售价不低于 55 元,∴ x= 4 符合题意. 故每本画册应降价 4 元. 7. A　 8. 3(x-1)x= 6 210　 9. C　 10. D 11. 解:(1)设该市改造小区投入资金的年平均增长率为 x, 依题意得 1 000(1+x) 2 = 1 440, 解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不符合题意,舍去), 答:该市改造小区投入资金的年平均增长率为 20%; (2)设该市在 2025 年可以改造 y 个小区, 依题意得 80×(1+20%)y≤1 440×(1+20%), 解得 y≤18, 又∵ y 为正整数,∴ y 的最大值为 18. 答:该市在 2025 年最多可以改造 18 个小区. 12. 解:(1)设矩形 ABCD 的边 AB = x m,则边 BC = 70-2x+2 = (72-2x)m. 根据题意,得 x(72-2x)= 640, 化简,得 x2 -36x+320 = 0,解得 x1 = 16,x2 = 20, 当 x= 16 时,72-2x= 72-32 = 40; 当 x= 20 时,72-2x= 72-40 = 32. 答:当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m,宽为 20 m 时,能围成一个面积为 640 m2 的羊圈; (2)不能, 理由:由题意,得 x(72-2x)= 650, 化简,得 x2 -36x+325 = 0, ∵ Δ= ( -36) 2 -4×325 = -4<0, ∴ 该一元二次方程没有实数根, ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m2 . 命题点 5　 分式方程及其应用 1. A　 2. B　 3. - 1 5 　 变式 5 6 4. 解:方程两边乘 x(x-2),得 x= 3(x-2), 解得 x= 3. 检验:当 x= 3 时,x(x-2)≠0, ∴ x= 3 是原分式方程的解. 5. 解:方程两边乘(x+1)(x-1),得 2+x(x+1)= (x+1)(x-1), 解得 x= -3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5