2.1 一次方程(组)及其解法-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第二章　 方程(组)与不等式(组) (统考卷 4 道,12 分;统考样卷 3 道,15 分) 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 考向 1　 等式的基本性质 1. 学科融合 [2022 滨州 2 题 3 分]在物理学中,导 体中的电流 I 跟导体两端的电压 U、导体的电 阻 R 之间有以下关系:I= U R ,去分母得 IR =U, 那么其变形的依据是 (　 　 ) A. 等式的性质 1 B. 等式的性质 2 C. 分式的基本性质 D. 不等式的性质 2 2. 学科融合 [2024 贵州·人教七上 P81 素材改编]小 红学习了等式的性质后,在甲、乙两台天平的 左右两边分别放入“■” “ ●” “ ▲”三种物体, 如图所示,天平都保持平衡. 若设“■”与“●” 的质量分别为 x,y,则下列关系式正确的是 (　 　 ) 第 2 题图 A. x= y B. x= 2y C. x= 4y D. x= 5y 考向 2　 一次方程(组)及其解法 3. 易错 ∙∙ [2024 东营月考]若关于 x,y 的方程 7x |m | + (m-1)y= 6 是二元一次方程,则 m 的值为 (　 　 ) A. -1 B. -1 或 1 C. 1 D. 2 4. 下列变形中,正确的是 (　 　 ) A. 方程 x+2 3 + 2x-1 4 = 1 去分母,得 4( x+ 2) + 3(2x-1)= 1 B. 方程 5 2 (2-4x)= 3 去括号,得 5-10x= 3 C. 方程 6x - 4 = x + 4 移项、 合并同类项, 得 5x= 0 D. 方程 2 9 x= 9 2 两边同时除以 2 9 ,得 x= 1 5. [ 2024 滨 州 邹 平 市 期 末 ] 以 下 解 方 程 组 m-n= 2①, 2m+n= 7②{ 的步骤正确的是 (　 　 ) A. 代入法消去 m,由①得 m=n+2 B. 代入法消去 n,由②得 n= 2m-7 C. 加减法消去 n,①+②得 m= 5 D. 加减法消去 m,①×2-②得-3n= 3 6. [2022 潍坊 13 题 3 分]方程组 2x+3y= 13, 3x-2y= 0{ 的解 为　 　 　 　 . 7. 经典好题 已知二元一次方程 3x+y = 15,用含 y 的式子表示 x 为　 　 　 　 ,方程的正整数解共 有　 4　 个. 8. [2024 滨州 18(1)题 4 分]解方程: 2x-1 3 = x+1 2 . 解:去分母,得 2(2x-1)= 3(x+1), 去括号,得 4x-2=3x+3, 移项,得 4x-3x=3+2, 合并同类项,得 x=5. 9. [2024 苏州]解方程组: 2x+y= 7, 2x-3y= 3.{ 解: 2x+y=7①, 2x-3y=3②,{ ①-②得 4y=4,解得 y=1, 将 y=1 代入①得 2x+1=7,解得 x=3, ∴原方程组的解为 x=3, y=1.{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 分层作业本·山东数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 10. [2022 淄博 18 题 8 分]解方程组: x-2y= 3, 1 2 x+ 3 4 y= 13 4 . ì î í ï ï ïï 解:整理方程组得 x-2y=3①, 2x+3y=13②,{ ①×2-②得-7y=-7,解得 y=1, 把 y=1 代入①得 x-2=3,解得 x=5, ∴原方程组的解为 x=5, y=1.{ 考向 3　 一次方程(组)解的应用 11. [2023 永州改编]若关于 x 的一元一次方程 ax-b= 3 的解是 x= 2,则 4a-2b+1 的值是 (　 　 ) A. 7 B. 8 C. -7 D. -8 变式 [2024 济南钢城区期末]某方程 x-■ 3 = x+3,其 中一个数字被污渍盖住了,已知该方程的解为 x= -7,那么■处的数字应该是　 5　 . 12. [2024 泰安东平县期末]若关于 x,y 的二元一次 方程 ax+by-2 = 0 的两组解分别是 x= 5, y= 3{ 和 x= -1, y= -3,{ 则 a,b 的值是 (　 　 ) A. a= 1,b= 0 B. a= 1,b= -1 C. a= -1,b= 1 D. a= 1,b= 2 13. 多 解 法 ∙ ∙ ∙ [ 2024 聊 城 经 开 区 期 末 ] 已 知 4x-y= 1, -x+4y= 4,{ 则(x+y)(x-y)的值等于　 -1　 . 14. [2024 菏泽巨野县期中]数学活动课上,小云和 小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组 的问题: 已 知 关 于 x, y 的 二 元 一 次 方 程 组 3x+4y= 3①, x+2y= 2-3m②{ 的解满足 2x+ 3y = 1③,求 m 的值. 第 14 题图 (1)按照小云的方法,x 的值为　 5　 ,y 的值 为　 -3　 ; (2)请按照小辉的思路求出 m 的值. 解:①+②,得 4x+6y=5-3m,即 2(2x+3y)= 5-3m, ∴2x+3y=5 -3m 2 , ∵2x+3y=1,∴5 -3m 2 =1,解得 m=1. 15. 新定义 分类讨论 ∙∙∙∙ [2023 枣庄 19 题改编]对于任 意实 数 a, b, 定 义 一 种 新 运 算: a ※ b = a-b(a≥2b), a+b-6(a<2b) .{ 例如:3※1 = 3-1 = 2,5※4 = 5+4-6 = 3. 若(3x+2) ※(x-1) = 5,则 x 的值 为　 1　 . 16. [ 2022 聊城 6 题 3 分] 关于 x, y 的方程组 2x-y= 2k-3, x-2y= k{ 的解中 x 与 y 的和不小于 5,则 k 的取值范围为 (　 　 ) A. k≥8 B. k>8 C. k≤8 D. k<8 变式 [2024 聊城东昌府区期中]关于 x,y 的两个方 程组 ax-2by= 2, 2x-y= 7{ 和 3ax-5by= 9, 3x-y= 11{ 有相同的解, 则 a b 的值是　 　 　 . 17. [2024 济宁嘉祥县期末]已知关于 x 的方程 x- 2-ax 6 = x 3 -2 有非负整数解,则整数 a 的所有 可能的取值的和为 (　 　 ) A. -23 B. 23 C. -34 D. 34 18. 创新考法 [2024 淄博淄川区期末改编]已知关于 x 的一元一次方程 x 2 024 +5 = 2 025x+m 的解 是 x = 2 020,那么关于 y 的一元一次方程 5-y 2 024 -5 = 2 025(5-y) -m 的解是 (　 　 ) A. 2 022 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 一次方程(组)含参问题加练扫描 P11 二维码一键 免费下载. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 x x-1 · 1 1-x = x x-1 ·( - 1 x-1 ) = - x (x-1) 2 , M N = M÷N = x x-1 ÷ 1 1-x = x x-1 ÷( - 1 x-1 )= - x x-1 ·(x-1)= -x,∴ A 选项的计算 正确,B,C,D 选项的计算错误. 6. (1) -x-2;(2)2m-2n;(3) 1 x+y ;(4) 1 x-1 7. (1)15;(2)2;(3)1　 【解析】(1)原式= a2 -4a+4 a · a2 a-2 = (a-2) 2 a · a2 a-2 =a2 -2a,∵ a2 -2a-15 = 0,∴ a2 -2a = 15,∴ 原式= 15;(2)∵ 2 a + 1 b = 1(a+b≠0),∴ 2b+a ab = 1,∴ a+2b =ab,∴ a+ab a+b = a +a+2b a+b = 2(a +b) a+b = 2;(3) ∵ ab = 1,∴ 原 式= ab a2 +ab + ab b2 +ab = b a+b + a a+b = a +b a+b = 1. 8. 解:上述解题过程从第①步开始出现错误, 正确的解题过程如下: 　 a2 a-1 -a-1 = a 2 a-1 -(a+1) = a 2 -(a2 -1) a-1 = a 2 -a2 +1 a-1 = 1 a-1 . 9. 解:原式= (a-2) 2 a-1 ÷a 2 -1-3 a-1 = (a -2) 2 a-1 · a-1 (a+2)(a-2) = a -2 a+2 . 10. 解:原式= a+2 a+3 ÷ a +2 (a+3)(a-3) = a +2 a+3 · (a+3)(a-3) a+2 =a-3, 当 a= 1 时,原式= 1-3 = -2. 11. 解:原式= ( m2 +3m m2 -9 -7m -4 m2 -9 )· m+3 4-2m = (m -2) 2 (m+3)(m-3) · m+3 -2(m-2) = m -2 6-2m , 根据计算器计算可得 m= ± 32 -5 = ± 4 = ±2, ∵ 4-2m≠0,∴ m≠2,∴ m= -2, 当 m= -2 时,原式= -2-2 6+4 = - 2 5 . 12. D　 【解析】由表格可得,当 x= -4 时,分式无意义,则 2× ( -4) -m= 0,解得 m = - 8,故 A 选项正确,不符合题意; 当 x= 4 时,分式的值为 0,则 4+n= 0,解得 n= -4,故 B 选 项正确,不符合题意;当 x = a 时,分式的值为 0. 1,则 a-4 2a+8 = 0. 1,解得 a= 6,经检验,a= 6 是分式方程的解,故 C 选项正确,不符合题意;当 x = 16 时,分式的值为 b,则 b= 16-4 32+8 = 0. 3,故 D 选项错误,符合题意. 13. 解:(1)P0 = a0 (a-b)(a-c) + b 0 (b-c)(b-a) + c 0 (c-a)(c-b) = 1 (a-b)(a-c) + 1 (b-c)(b-a) + 1 (c-a)(c-b) ; (2)P1 = a (a-b)(a-c) - b (b-c)(a-b) + c (a-c)(b-c) = a(b -c) -b(a-c) +c(a-b) (a-b)(b-c)(a-c) = ab -ac-ab+bc+ac-bc (a-b)(b-c)(a-c) = 0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 1. B　 2. C 3. A　 【解析】∵ 关于 x,y 的方程 7x |m | +(m-1) y = 6 是二元 一次方程,∴ |m | = 1 且 m-1≠0,解得 m= -1. 4. B　 5. A　 6. x= 2, y= 3{ 7. x= 5- y 3 ,4　 【解析】∵ 3x+y = 15,∴ x = 5- y 3 . 又∵ x,y 均 为正整数,∴ x= 4, y= 3{ 或 x= 3, y= 6{ 或 x= 2, y= 9{ 或 x= 1, y= 12{ ,∴ 二元 一次方程 3x+y= 15 的正整数解共有 4 个. 8. 解:去分母,得 2(2x-1)= 3(x+1), 去括号,得 4x-2 = 3x+3, 移项,得 4x-3x= 3+2, 合并同类项,得 x= 5. 9. 解: 2x+y= 7①, 2x-3y= 3②,{ ①-②得 4y= 4,解得 y= 1, 将 y= 1 代入①得 2x+1 = 7,解得 x= 3, ∴ 原方程组的解为 x= 3, y= 1.{ 10. 解:整理方程组得 x-2y= 3①, 2x+3y= 13②,{ ①×2-②得-7y= -7, 解得 y= 1, 把 y= 1 代入①得 x-2 = 3, 解得 x= 5, ∴ 原方程组的解为 x= 5, y= 1.{ 11. A　 【解析】∵ x = 2 是方程 ax-b = 3 的解,∴ 2a-b = 3, ∴ 4a-2b= 6,∴ 4a-2b+1 = 7. 变式 5　 【解析】设■处的数字为 a,则 x-a 3 = x+3,x-a = 3(x+3),x-a= 3x+9,x-3x = 9+a,-2x = 9+a,∵ 方程的解 为 x= -7,∴ -2×( -7) = 9+a,解得 a = 5,即■处的数字 为 5. 12. B　 【解析】根据题意,把二元一次方程 ax+by-2 = 0 的两 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 组解代入得 5a+3b-2 = 0①, -a-3b-2 = 0②,{ ①+②得,a = 1,把 a = 1 代 入②得,b= -1. 13. -1　 【解析】解法一: 4x-y= 1①, -x+4y= 4②,{ ①+②得 3x+ 3y = 5, 则 x+ y = 5 3 , ① - ② 得 5x - 5y = - 3, 则 x - y = - 3 5 , ∴ (x+y)(x-y)= 5 3 ×( - 3 5 )= -1. 解法二: 4x-y= 1①, -x+4y= 4②,{ ①× 4+②得 15x = 8,解得 x = 8 15 , 将 x= 8 15 代入①得 y = 17 15 ,∴ x+y = 5 3 ,x-y = - 3 5 ,∴ ( x+ y)(x-y)= 5 3 ×( - 3 5 )= -1. 14. 解:(1)5,-3; (2)①+②得 4x+6y= 5-3m,即 2(2x+3y)= 5-3m, ∴ 2x+3y= 5-3m 2 , ∵ 2x+3y= 1, ∴ 5-3m 2 = 1,解得 m= 1. 15. 1　 【解析】由题意,当 3x+2≥2(x-1),即 x≥-4 时,(3x +2)※(x-1)= 5 可化为 3x+2-( x-1) = 5,解得 x = 1;当 3x+2<2(x-1),即 x<-4 时,(3x+2) ※(x-1)= 5 可化为 3x+2+x-1-6 = 5,解得 x= 2. 5,∵ 2. 5>-4,∴ x = 2. 5 不符 合题意,应舍去. 综上,x 的值为 1. 16. A　 【解析】 2x-y= 2k-3①, x-2y= k②,{ ①-②,得 x+y= k-3,根据题 意得 k-3≥5,解得 k≥8. 变式 2 3 　 【解析】由题意得 2x-y= 7①, 3x-y= 11②,{ ②-①得 x = 4,把 x = 4 代入 ① 得 8 - y = 7, 解得 y = 1, ∴ 方程组 2x-y= 7, 3x-y= 11{ 的 解 为 x= 4, y= 1,{ 把 x= 4, y= 1{ 代 入 方 程 组 ax-2by= 2, 3ax-5by= 9{ 中可得 4a-2b= 2, 12a-5b= 9,{ 解得 a= 2, b= 3,{ ∴ a b = 2 3 . 17. C　 【解析】x- 2-ax 6 = x 3 -2,6x-(2-ax) = 2x-12,6x-2+ ax= 2x-12,(4+a)x= -10,解得 x = - 10 4+a ,∵ - 10 4+a 是非负 整数,∴ a= -5 或-6 或-9 或-14,整数 a 的所有可能的 取值的和为-5-6-9-14 = -34. 18. D　 【解析】由 5-y 2 024 - 5 = 2 025( 5-y) -m 得 y-5 2 024 + 5 = 2 025(y-5) +m. ∵ 关于 x 的一元一次方程 x 2 024 + 5 = 2 025x+m 的解是 x= 2 020,∴ y-5 = 2 020,∴ y= 2 025. 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 1. D　 2. C 3. 解:设甲种书的单价是 x 元,乙种书的单价是 y 元, 根据题意得 2x+y= 100, 3x+2y= 175,{ 解得 x= 25, y= 50.{ 答:甲种书的单价是 25 元,乙种书的单价是 50 元. 变式 2x= y, 3x+2y= 175{ 4. B　 【解析】设张老师买平板电脑的预算是 x 元,则原售价 为(x+1 500)元,现售价为 0. 7(x+1 500)元,根据题意得 x-0. 7(x+1 500)= 750,解得 x= 6 000,即张老师买平板电 脑的预算是 6 000 元. 变式 4-1 80　 【解析】设这件玩具的进价为 x 元,115× 80% = 15%x+x,解得 x= 80,故这件玩具的进价为 80 元. 变式 4-2 B　 【解析】设这件玩具的进价为 a 元,打了 x 折,依题意有 a(1+50%) × x 10 -a = 20%a,解得 x = 8,则这 件玩具销售时打的折扣是 8 折. 5. x 4 +3 -x 2 = 1 6. 10　 【解析】设甲工程队整治河道 x 天,则乙工程队整治 河道(25-x)天,根据题意得 8x+12(25-x)= 260,解得 x = 10,∴ 甲工程队整治河道 10 天. 7. D　 【解析】设快马追上慢马的天数是 x,根据题意得 240x = 150(x+12),解得 x= 20,∴ 快马追上慢马的天数是 20. 8. (1)1. 5;(2)2　 【解析】(1)设 x 小时后两车相距 660 千 米,根据题意,得 72x+ 408 + 96x = 660,解得 x = 1. 5,答: 1. 5 小时后两车相距 660 千米;(2)设快车开出后 y 小时 两车相遇,根据题意,得 72+72y+96y= 408,解得 y= 2,答: 快车开出2 小时后两车相遇. 9. C　 10. 14　 【解析】由题意可得,右上角的数字为( 20+ 5+x) - (21+x)= 4,最中间的数字为(20+5+x) -(20+4) = x+1, 21+(x+1) +y= x+5+20, x+(x+1)= 20+y,{ 解得 x= 11, y= 3,{ ∴ x+y= 14. 11. C　 【解析】设可以装 x 个大箱,y 个小箱,根据题意得 4x+3y = 32, ∴ x = 8 - 3 4 y, 又 ∵ x, y 均 为 自 然 数, ∴ x= 8, y= 0{ 或 x= 5, y= 4{ 或 x= 2, y= 8,{ ∴ x+y = 8 或 9 或 10,∴ 所装 的箱数最多为 10 箱. 12. C　 【解析】设每天减少 x 尺布,∵ 第一天织了五尺布,最 后一天仅织了一尺布,30 天完工,∴ 列方程得 5- 29x = 1,解得 x= 4 29 ,∴ 5+5- 4 29 +5- 8 29 +…+1 = 5× 29+ 1- 4 29 × (1+28) ×28 2 = 90(尺) . 命题点 3　 一元二次方程及其解法 1. 3　 2. D　 3. B 4. 解:x2 -4x= 0, ∴ x(x-4)= 0, ∴ x= 0 或 x-4 = 0, ∴ x1 = 0,x2 = 4. 5. 解:甲、乙的解法都不正确, 解法一:将 x(x-1)= 3(x-1)整理得 x2 -4x+3 = 0, ∵ a= 1,b= -4,c= 3,∴ Δ= b2 -4ac= 4>0, ∴ 方程有两个不相等的实数根, ∴ x= 4± 4 2 = 2±1,∴ x1 = 3,x2 = 1. 解法二:将 x(x-1)= 3(x-1)整理得 x2 -4x= -3, 配方得(x-2) 2 = 1, ∴ x-2 = ±1,∴ x1 = 3,x2 = 1. 6. 2,x= 2　 【解析】解法一:将 x = 1 代入一元二次方程 x2 - 3x+a= 0 得,1-3+a= 0,解得 a= 2,∴ 一元二次方程为 x2 - 3x+2 = 0,解得 x1 = 1,x2 = 2,∴ 方程的另一个解为 x= 2. 解法二:设一元二次方程 x2 -3x+a= 0 的另一个解为 x = t, 则根据根与系数的关系得 t+1 = 3,t·1 = a,解得 t = 2,a = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4