1.5 分式及其运算-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 一 章 数 与 式 命题点 5　 分式及其运算 (统考卷 17(2)题;统考样卷 7 题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 考向 1　 分式的概念及性质 1. [2022 怀化改编]代数式 2 5 x, 1 π , 2 x2 +4 ,x2 - 2 3 , 4 4x , x+1 x+2 ,a 2 -ab a2 -b2 中,分式有 　 4 　 个,最简分式有 　 2　 个. 2. [2023 济宁 4 题 3 分]若代数式 x x-2 有意义,则实 数 x 的取值范围是 (　 　 ) A. x≠2 B. x≥0 C. x≥2 D. x≥0 且 x≠2 变式 易错 ∙∙ [2024 烟台 11 题 3 分]若代数式 3 x-1 在 实数范围内有意义,则 x 的取值范围为　 x>1　 . 3. [2024 济南 11 题 4 分]若分式 x-1 2x 的值为 0,则实 数 x 的值为　 1　 . 变式 开放性 [2024 吉林]当分式 1 x+1 的值为正数 时,写出一个满足条件的 x 的值为 　 . 4. 下列变形中,错误的是 (　 　 ) A. ac bc = a b B. -a-b a+b = -1 C. a b =a+2a b+2b D. 2-x x+1 = x-2 1+x 变式 [2024 济南高新区期中]如果分式 xy 2x-3y 中的 x,y 都扩大为原来的 2 倍,那么分式的值 (　 　 ) A. 扩大为原来的 2 倍 B. 扩大为原来的 4 倍 C. 不变 D. 不能确定 考向 2　 分式的运算(统考卷 17(2)题;统考样卷 7 题) 5. [2024 山东统考样卷·青岛八上 P94 第 9 题改编] 已知 M= x x-1 ,N= 1 1-x ,则 (　 　 ) A. M+N= 1 B. M-N= 1 C. M·N= 1 D. M N = 1 6. 计算组合练: (1)[2024 威海 14 题 3 分] 4 x-2 + x 2 2-x =　 -x-2　 ; (2) [ 2022 济 南 8 题 改 编 ] m2 -n2 m · 2m m+n = 　 2m-2n　 ; (3)[2024 青海改编]( 1 y - 1 x )÷( x y - y x )= 　 　 　 ; (4) [ 2023 潍坊 15 ( 1) 题改编] ( 2 x - 1 x-1 ) ÷ x2 -4x+4 x2 -2x = 　 　 　 . 7. 组合练 (1)[2022 菏泽 13 题 3 分]若 a2 -2a-15 = 0,则代数式(a-4a -4 a )· a 2 a-2 的值是　 15　 ; (2)[2024 雅安改编]已知 2 a + 1 b = 1(a+b≠0), 则 a+ab a+b = 　 2　 ; (3)[2024 内江]已知实数 a,b 满足 ab = 1,则 1 a2 +1 + 1 b2 +1 = 　 1　 . 8. [2023 临沂 17(2)题 6 分]下面是某同学计算 a2 a-1 -a-1 的解题过程: 解: a 2 a-1 -a-1 = a 2 a-1 -(a-1) 2 a-1 ①…………………………… =a 2 -(a-1) 2 a-1 ②……………………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 分层作业本·山东数学 　 第 一 章 数 与 式 =a 2 -a2 +a-1 a-1 ③……………………………… =a-1 a-1 = 1. ④………………………………… 上述解题过程从第几步开始出现错误? 请写 出正确的解题过程. 解:上述解题过程从第①步开始出现错误, 正确的解题过程如下: a2 a-1 -a-1 = a 2 a-1 -( a +1) = a 2-(a2-1) a-1 = a 2-a2+1 a-1 = 1 a-1 . 9. [2024 东营 19(2)题 4 分]计算: a2 -4a+4 a-1 ÷(a+1- 3 a-1 ) . 解:原式=(a -2) 2 a-1 ÷a 2-1-3 a-1 =(a-2) 2 a-1 · a -1 (a+2)(a-2) =a-2 a+2 . 10. [2024 山东统考卷 17(2)题 5 分]先化简,再求 值:(1- 1 a+3 ) ÷ a +2 a2 -9 ,其中 a= 1. 解:原式=a +2 a+3 ÷ a+2 (a+3)(a-3) = a+2 a+3 ·(a +3)(a-3) a+2 =a-3, 当 a=1 时,原式=1-3=-2. 11. 易错 ∙∙ [2024 烟台 17 题 6 分]利用课本上的计算 器 进 行 计 算, 按 键 顺 序 如 下: ,若 m 是其显示结果的平方 根,先化简:( m m-3 +7m-4 9-m2 ) ÷4 -2m m+3 ,再求值. 解:原式=(m 2+3m m2-9 -7m-4 m2-9 )· m +3 4-2m = (m-2) 2 (m+3)(m-3) · m +3 -2(m-2) = m-2 6-2m , 根据计算器计算可得 m=± 32-5 =± 4 =±2, ∵4-2m≠0,∴m≠2,∴m=-2, 当 m=-2 时,原式= -2-2 6+4 =- 2 5 . 12. 创新考法 [ 2024 青岛李沧区期末] 已知分式 x+n 2x-m (m,n 为常数)满足表格中的信息,则下 列结论中错误的是 (　 　 ) x 的取值 -4 4 a 16 分式的值 无意义 0 0. 1 b A. m= -8 B. n= -4 C. a= 6 D. b= 0. 2 13. 数学文化 [2024 滨州 19 题 7 分·人教八上 P147 第 15(2)题改编]欧拉是历史上享誉全球的最 伟大的数学家之一,他不仅在高等数学各个 领域作出杰出贡献,也在初等数学中留下了 不凡的足迹. 设 a,b,c 为两两不同的数,称 Pn = an (a-b)(a-c) + b n (b-c)(b-a) + c n (c-a)(c-b) (n= 0,1,2,3)为欧拉分式. (1)写出 P0 对应的表达式; (2)化简 P1 对应的表达式. 解: ( 1 ) P0 = a0 (a-b)(a-c) + b 0 (b-c)(b-a) + c0 (c-a)(c-b) = 1 (a-b)(a-c) + 1 (b-c)(b-a) + 1 (c-a)(c-b) ; (2)P1 = a (a-b)(a-c) - b (b-c)(a-b) + c (a-c)(b-c) =a(b-c)-b(a-c)+c(a-b) (a-b)(b-c)(a-c) =ab-ac-ab+bc+ac-bc (a-b)(b-c)(a-c) =0. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 1.分式化简与求值加练扫描 P1 二维码一键免费下载; 2.思想方法、新定义运算、结论正误判断题见《专项 培优练》P1 ~ 5、P42 ~ 49; 3.第一章诊断卷 数与式、1 ~ 17 题题组限时练(8 套)、18 ~ 21 题题组限时练(7 套)见《抢分练小 卷》P1 ~ 2、P25 ~ 54. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 = 0. 9. 解:原式= 2 3 +4-2 3 +3 = 7. 10. 解:原式= -2+ 1 4 -3+1 = - 15 4 . 11. 解:原式= 3-1+4+ 3 -2× 3 2 = 3-1+4+ 3 - 3 = 6. 12. 解:原式= 3 ×1-1-( 3 -1) +( -1) 2 025 - 9 = 3 -1- 3 +1-1-3 = -4. 13. ①③　 14. +,1 15. 4 3 　 【解析】∵ a　 b c　 d = ad-bc,∴ 5 　 sin60° 2　 15 = 5 × 15 -2sin60° = 5 3 -2× 3 2 = 5 3 - 3 = 4 3 . 16. 0(答案不唯一)　 【解析】由题意,填写如下,1+0+( -1) = 0,2+0+( -2)= 0,满足题意,则填入中间位置的小正方 形内的数可以是 0. 第 16 题解图 17. A　 【解析】根据题意得 6÷ 3- 2 = 2- 2 ,∵ 2- 2 < 1, ∴ 输出的数为(2- 2 ) ×(2+ 2 )= 2. 18. 解:原式= -4-1+6+27 3 × 3 3 -4× 1 4 +1 = 28 1-1+1 = 28. 命题点 4　 整式与因式分解 1. C　 2. 30n　 3. a-16 5 　 4. 2　 5. ±4 5 　 【解析】∵ m+n= 10,mn = 5,∴ (m-n) 2 = (m+n) 2 - 4mn= 102 -4×5 = 80,∴ m-n= ±4 5 . 变式 D　 【解析】∵ a+b = 3,ab = 1,∴ a3b+ 2a2b2 +ab3 = ab(a2 +2ab+b2 )= ab(a+b) 2 = 1×32 = 9. 6. D 7. (2,1)　 【解析】点(1,4)经过 1 次运算后得到点为(1×3+ 1,4÷2),即为(4,2),经过 2 次运算后得到点为(4÷2,2÷ 2),即为(2,1),经过 3 次运算后得到点为( 2 ÷ 2,1 × 3 + 1),即为(1,4),…,发现规律:点(1,4)经过 3 次运算后 还是(1,4),∵ 2 024÷3 = 674……2,∴ 点(1,4)经过2 024 次运算后得到点(2,1) . 8. (n-1)(n+1) +1 9. 12　 【解析】由所给图形可知,第 1 个“小屋子” 中图形 “”的个数为 1 = 1,“●”的个数为 4 = 1×2+2;第 2 个“小 屋子”中图形“”的个数为 3 = 1+2,“ ●”的个数为 6 = 2 ×2+2;第 3 个“小屋子”中图形“”的个数为 6 = 1+2+3, “●”的个数为 8 = 3× 2+ 2;第 4 个“小屋子”中图形“” 的个数为 10 = 1+2+3+4,“ ●”的个数为 10 = 4×2+2;…, 所以第 n 个“小屋子”中图形“”的个数为 1+2+3+…+n = n(n +1) 2 ,“ ●” 的个数为 2n + 2. 由题意知, n(n+1) 2 = 3(2n+2),解得 n1 = -1,n2 = 12,又∵ n 为正整数,∴ n= 12, 即第 12 个“小屋子”中图形“”个数是图形“ ●”个数的 3 倍. 10. 3　 变式 ① 11. a3a 　 变式 D　 12. D　 13. D　 14. D 15. >　 【解析】M-N=a2 -a-(a-2)= a2 -2a+2 = (a-1) 2 +1, ∵ (a-1) 2 ≥0,∴ (a-1) 2 +1≥1,∴ M-N>0. 16. 解:原式= (xy-4x2 ) +(4x2 -y2 ) = xy-4x2 +4x2 -y2 = xy-y2 , 当 x= 1 2 ,y= 2 时,原式= 1 2 ×2-22 = 1-4 = -3. 17. 解:原式=a2 -4a+4+a2 +3a-a-3 = 2a2 -2a+1, ∵ a2 -a-3 = 0,∴ a2 -a= 3, 当 a2 -a= 3 时,原式= 2(a2 -a) +1 = 2×3+1 = 6+1 = 7. 18. D 19. (1)xy(x+2);(2)(m+4)(m-4);(3)2(x-1) 2 ; (4)2a(a-2b)(a+2b);(5)(x+3) 2 20. B　 【解析】 ( 2k+ 3) 2 - 4k2 = 4k2 + 12k+ 9 - 4k2 = 12k+ 9 = 3(4k+3),∵ k 为任意整数,∴ (2k+3) 2 -4k2 的值总能被 3 整除. 21. h+an 22. (1+ 3 3 ) 2 024 　 【解析】在 y= 3 x- 3中,当 y= 0 时,x = 1, ∴ 点 A1 的坐标为(1,0) . ∵ 四边形 A1B1C1O 是正方形, ∴ A1B1 =OC1 =OA1 = 1,∴ B1(1,1),点 B1 的横坐标为 1; 在 y= 3 x- 3中,当 y= 1 时,x= 1+ 3 3 ,∴ 点 A2 的坐标为 (1+ 3 3 ,1),∵ 四边形 A2B2C2C1 是正方形,∴ A2B2 =C2C1 =A2C1 = 1+ 3 3 ,∴ B2(1+ 3 3 ,2+ 3 3 ),点 B2 的横坐标为 1 + 3 3 ;在 y= 3 x- 3 中,当 y = 2+ 3 3 时,x = 2 3 ×( 3 +2), ∴ A3( 2 3 ×( 3 +2),2+ 3 3 ),∵ 四边形 A3B3C3C2 是正方 形,∴ A3B3 =C3C2 = A3C2 = 2 3 ×( 3 +2),∴ 点 B3 的横坐 标为 2 3 ×( 3 +2) = (1+ 3 3 ) 2 ;…,以此类推,点 Bn 的横 坐标为(1+ 3 3 ) n-1 ,∴ 点 B2 025 的横坐标是(1+ 3 3 ) 2 024 . 命题点 5　 分式及其运算 1. 4,2　 2. D　 变式 x>1　 3. 1　 变式 0(答案不唯一) 4. D　 变式 A 5. A　 【解析】∵ M= x x-1 ,N= 1 1-x ,∴ M+N = x x-1 + 1 1-x = x x-1 - 1 x-1 = x -1 x-1 = 1,M-N = x x-1 - 1 1-x = x x-1 + 1 x-1 = x +1 x-1 ,M·N = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 x x-1 · 1 1-x = x x-1 ·( - 1 x-1 ) = - x (x-1) 2 , M N = M÷N = x x-1 ÷ 1 1-x = x x-1 ÷( - 1 x-1 )= - x x-1 ·(x-1)= -x,∴ A 选项的计算 正确,B,C,D 选项的计算错误. 6. (1) -x-2;(2)2m-2n;(3) 1 x+y ;(4) 1 x-1 7. (1)15;(2)2;(3)1　 【解析】(1)原式= a2 -4a+4 a · a2 a-2 = (a-2) 2 a · a2 a-2 =a2 -2a,∵ a2 -2a-15 = 0,∴ a2 -2a = 15,∴ 原式= 15;(2)∵ 2 a + 1 b = 1(a+b≠0),∴ 2b+a ab = 1,∴ a+2b =ab,∴ a+ab a+b = a +a+2b a+b = 2(a +b) a+b = 2;(3) ∵ ab = 1,∴ 原 式= ab a2 +ab + ab b2 +ab = b a+b + a a+b = a +b a+b = 1. 8. 解:上述解题过程从第①步开始出现错误, 正确的解题过程如下: 　 a2 a-1 -a-1 = a 2 a-1 -(a+1) = a 2 -(a2 -1) a-1 = a 2 -a2 +1 a-1 = 1 a-1 . 9. 解:原式= (a-2) 2 a-1 ÷a 2 -1-3 a-1 = (a -2) 2 a-1 · a-1 (a+2)(a-2) = a -2 a+2 . 10. 解:原式= a+2 a+3 ÷ a +2 (a+3)(a-3) = a +2 a+3 · (a+3)(a-3) a+2 =a-3, 当 a= 1 时,原式= 1-3 = -2. 11. 解:原式= ( m2 +3m m2 -9 -7m -4 m2 -9 )· m+3 4-2m = (m -2) 2 (m+3)(m-3) · m+3 -2(m-2) = m -2 6-2m , 根据计算器计算可得 m= ± 32 -5 = ± 4 = ±2, ∵ 4-2m≠0,∴ m≠2,∴ m= -2, 当 m= -2 时,原式= -2-2 6+4 = - 2 5 . 12. D　 【解析】由表格可得,当 x= -4 时,分式无意义,则 2× ( -4) -m= 0,解得 m = - 8,故 A 选项正确,不符合题意; 当 x= 4 时,分式的值为 0,则 4+n= 0,解得 n= -4,故 B 选 项正确,不符合题意;当 x = a 时,分式的值为 0. 1,则 a-4 2a+8 = 0. 1,解得 a= 6,经检验,a= 6 是分式方程的解,故 C 选项正确,不符合题意;当 x = 16 时,分式的值为 b,则 b= 16-4 32+8 = 0. 3,故 D 选项错误,符合题意. 13. 解:(1)P0 = a0 (a-b)(a-c) + b 0 (b-c)(b-a) + c 0 (c-a)(c-b) = 1 (a-b)(a-c) + 1 (b-c)(b-a) + 1 (c-a)(c-b) ; (2)P1 = a (a-b)(a-c) - b (b-c)(a-b) + c (a-c)(b-c) = a(b -c) -b(a-c) +c(a-b) (a-b)(b-c)(a-c) = ab -ac-ab+bc+ac-bc (a-b)(b-c)(a-c) = 0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 1. B　 2. C 3. A　 【解析】∵ 关于 x,y 的方程 7x |m | +(m-1) y = 6 是二元 一次方程,∴ |m | = 1 且 m-1≠0,解得 m= -1. 4. B　 5. A　 6. x= 2, y= 3{ 7. x= 5- y 3 ,4　 【解析】∵ 3x+y = 15,∴ x = 5- y 3 . 又∵ x,y 均 为正整数,∴ x= 4, y= 3{ 或 x= 3, y= 6{ 或 x= 2, y= 9{ 或 x= 1, y= 12{ ,∴ 二元 一次方程 3x+y= 15 的正整数解共有 4 个. 8. 解:去分母,得 2(2x-1)= 3(x+1), 去括号,得 4x-2 = 3x+3, 移项,得 4x-3x= 3+2, 合并同类项,得 x= 5. 9. 解: 2x+y= 7①, 2x-3y= 3②,{ ①-②得 4y= 4,解得 y= 1, 将 y= 1 代入①得 2x+1 = 7,解得 x= 3, ∴ 原方程组的解为 x= 3, y= 1.{ 10. 解:整理方程组得 x-2y= 3①, 2x+3y= 13②,{ ①×2-②得-7y= -7, 解得 y= 1, 把 y= 1 代入①得 x-2 = 3, 解得 x= 5, ∴ 原方程组的解为 x= 5, y= 1.{ 11. A　 【解析】∵ x = 2 是方程 ax-b = 3 的解,∴ 2a-b = 3, ∴ 4a-2b= 6,∴ 4a-2b+1 = 7. 变式 5　 【解析】设■处的数字为 a,则 x-a 3 = x+3,x-a = 3(x+3),x-a= 3x+9,x-3x = 9+a,-2x = 9+a,∵ 方程的解 为 x= -7,∴ -2×( -7) = 9+a,解得 a = 5,即■处的数字 为 5. 12. B　 【解析】根据题意,把二元一次方程 ax+by-2 = 0 的两 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3