3.11 二次函数图象与性质的应用&3.12 二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·山东数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 11　 二次函数图象与性质的应用 (统考卷 23(3)题) 要点归纳 要点 1 二次函数 y=ax2 +bx+c 与一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 的关系【2022 年版课标 新增内容】 本质:求 ax2 +bx+c= 0 的根即求对应 y 􀪍 =ax2 +bx+c = 0􀪍 时 x 的值[数∙ ]→[形∙ ]二次函数图象 与 x·轴交点∙∙∙ 的横坐标 抛物线①与 x 轴有两个交点⇔方程 ax2 +bx+c= 0 有①　 两个不相等　 的实数根,根为交点横坐标⇔b2 -4ac>0(统考卷 23(3)题) 抛物线②与 x 轴有一个交点⇔方程 ax2 +bx+c = 0 有②　 两个相等　 的实数根,根为交点的横坐标⇔b2 -4ac= 0 抛物线③与 x 轴无交点⇔方程 ax2 +bx+ c= 0③　 无　 实数根⇔b2 - 4ac<0 拓展方程 ax2 +bx+c = t( a>0)的根可看作抛物线 y = ax2 +bx+c 和直线 y= t 交点的横坐标. t>y顶点,如抛物线①,方程 ax2 +bx+c= t 有两个不相等的实数根; t= y顶点,如抛物线②,方程 ax2 +bx+c= t 有两个相等的实数根; t<y顶点,如抛物线③,方程 ax2 +bx+c= t 没有实数根. ▶▶温馨提示:更多二次函数与一元二次方程关系问题见《专项培优练》P72 要点 2 二次函数 y=ax2 +bx+c 与一次函数 y=mx+n 图象的交点 联立 y=ax2 +bx+c, y=mx+n,{ 消去 y,得到关于 x 的方程 ax 2 +(b-m)x+c-n= 0,再根据 Δ 与 0 的大小 关系进行判断. 要点 3 二次函数与不等式的关系(以 a>0 为例) 如图,抛物线 y=ax2 +bx+c 与直线 y =mx+n 交于 A(x1,y1 ),B(x2,y2 )两 点,则不等式 ax2 +bx+c>mx+n 的解集为④　 x<x1 或 x>x2 　 ;不等式 ax2 +bx+c<mx+n 的解集为⑤　 x1<x<x2 　 . 　 　 第 1 题图 第 2 题图 随堂练习 1. 如图是二次函数 y=ax2 +bx+c 的部分图象. (1)方程 ax2 +bx+c= 0 的解是　 x1 =-1,x2 =3　 ; (2)方程 ax2 +bx+c= 2 的解是　 x1 =0,x2 =2　 ; (3)已知 t<2,则方程 ax2 +bx+c= t 的解有　 2　 个; (4)不等式 ax2 +bx+c>0 的解集是　 -1<x<3　 ; (5)不等式 ax2 +bx+c<2 的解集是　 x<0 或 x>2　 . 2. 如图,已知抛物线 y=ax2 +c 与直线 y= kx+m 交于 A( -3,y1 ),B(1,y2 )两点,则关于 x 的不 等式 ax2 +c≥kx+m 的解集是　 -3≤x≤1　 . 温馨提示:请完成《分层作业本》P49~ 50 习题 45 基础夯实练·山东数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 12　 二次函数的实际应用 要点归纳 类型 1 利润最值问题 例 1　 [人教九上 P50 探究 2]某商品现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件. 市场调查 反映:如调整价格,每涨价 1 元,每星期要少卖出 10 件;每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件. 已知商品的进价为每件 40 元,如何定价才能使利润最大? 思维点拨 所用关系式:利润=销售数量×(售价-成本) . 分情况讨论:涨价(或降价)时,利润 y 元关于涨价(或降价)x 元的函数解析式,根据确定函 数最值的方法求出 y 的最大值及取得最大值时 x 的值. 情况一: 设每件涨价 x 元时的利润为 y 元,则涨价后的售价为(60+x)元,每星期少卖 10x 件,实际卖 出①　 (300-10x) 　 　 　 件;每件的利润为②　 (20+x) 　 　 　 元,因此每星期的利润 y = ③　 (300-10x)(20+x) 　 ,化成一般式为 y= ④　 -10x2+100x+6 000　 ,其中 x 的取值范围 为⑤　 0≤x≤30　 . 由二次函数性质可知:当 x= ⑥　 5　 时,y 取得最大值,即定价为⑦　 65　 元时,利润最大,最 大利润为⑧　 6 250　 元. 情况二: 设每件降价 x 元时的利润为 y 元,则降价后的售价为(60-x)元,每星期多卖 20x 件,实际卖 出⑨　 (300+20x) 　 　 　 件;每件的利润为􀃊􀁉􀁒　 (20-x) 　 　 　 　 元,因此每星期的利润 y = 􀃊􀁉􀁓　 (300+20x)(20-x) 　 ,化成一般式为 y= 􀃊􀁉􀁔　 -20x2+100x+6 000　 ,其中 x 的取值范围 为􀃊􀁉􀁕　 0≤x≤20　 . 由二次函数性质可知:􀃊􀁉􀁖　 当 x=2. 5 时,y 取得最大值,即定价为 57. 5 元时,利润最大,最大 利润为 6 125 元　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 比较:􀃊􀁉􀁗　 6 250>6 125,∴当定价为 65元时,即涨价 5元时利润最大,最大利润为 6 250元　 . 类型 2 面积问题 例 2 题图 例 2　 某农场拟建一间矩形饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙 足够长),并在如图所示位置留 2 m 宽的门,已知计划中的建 筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为 50 m. 设饲养室长 为 x m,占地面积为 y m2,则 y 关于 x 的函数解析式是 (　 　 ) A. y= -x2 +50x　 　 B. y= - 1 2 x2 +24x　 　 C. y= - 1 2 x2 +25x　 　 D. y= - 1 2 x2 +26x 思维点拨 关系式:矩形面积 S=长×宽,矩形周长= 2(长+宽) . (1)如图位置留 2 m 宽的门:矩形长用的建筑材料为􀃊􀁉􀁘　 (x-2) 　 m; 55 基础夯实练·山东数学 第 三 章 　 函 　 数 (2)建筑材料可建围墙(不包括门)总长度为 50 m:矩形的宽为􀃊􀁉􀁙　 　 　 　 　 m. 【答案】􀃊􀁉􀁚　 D　 类型 3 (类)抛物线型问题 例 3　 [人教九上 P36 例 4 改编]多解法 ∙∙∙ 　 某景点的“喷水巨龙”口中 C 处的水流呈抛物线形,该 水流喷出的高度 y( m)与水平距离 x( m)之间的关系如图所示,D 为该水流的最高点, DA⊥OB,垂足为 A. 已知 OC=OB= 8 m,OA= 2 m,求该水流距水平面的最大高度 AD. 例 3 题图 思维点拨 由 OA= 2 m 可知,该抛物线对称轴为直线 x= 2. 解法一:该抛物线顶点横坐标为 2,可设顶点式 y=a(x-2) 2 +k(a≠0) . 解法二:由 OC= 8,可知 c= 8,可设一般式 y=ax2 +bx+8(a≠0) . 【自主作答】解:解法一:根据题意,设抛物线的解析式为 y=a(x-2) 2+k(a≠0), 将点 C(0,8),B(8,0)代入,得 4a+k=8, 36a+k=0,{ 解得 a=- 1 4 , k=9, ì î í ïï ïï ∴抛物线的解析式为 y=- 1 4 (x-2) 2+9, ∵- 1 4 <0,∴当 x=2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD=9 m. 答:该水流距水平面的最大高度 AD 为 9 m. 解法二:根据题意,设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+8(a≠0),将点 B(8,0)代入, 结合- b 2a =2,得 - b 2a =2, 64a+8b+8=0, ì î í ïï ïï 解得 a=- 1 4 , b=1, ì î í ïï ïï ∴抛物线的解析式为 y=- 1 4 x2+x+8=- 1 4 (x-2) 2+9.其余同理. 答:该水流距水平面的最大高度 AD 为 9 m. 温馨提示:请完成《分层作业本》P51~ 54 习题 65 4. 解:解法一:∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, ∴ - b 4 = 2,解得 b= -8, 又∵ 抛物线经过点(1,0), ∴ 2-8+c= 0,解得 c= 6, ∴ 抛物线的解析式为 y= 2x2 -8x+6. 解法二:∵ 抛物线 y = 2x2 +bx+c 的对称轴为直线 x = 2,且 与 x 轴交于点(1,0), ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0), ∴ 抛物线的解析式为 y= 2(x-1)(x-3)= 2x2 -8x+6. 5. y= x2 -1　 6. y= 2x2 -4x+1,y= -2x2 -4x-1 命题点 11　 二次函数图象与性质的应用 要点归纳 ①两个不相等　 ②两个相等　 ③无　 ④x<x1 或 x>x2 ⑤x1 <x<x2 随堂练习 1. (1)x1 = -1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2; (4) -1<x<3;(5)x<0 或 x>2 2. -3≤x≤1 命题点 12　 二次函数的实际应用 要点归纳 ①(300-10x)　 ②(20+x)　 ③(300-10x)(20+x)　 ④-10x2 +100x+6 000　 ⑤0≤x≤30　 ⑥5　 ⑦65　 ⑧6 250　 ⑨(300+20x)　 􀃊􀁉􀁒(20-x)　 􀃊􀁉􀁓(300+20x)(20-x)　 􀃊􀁉􀁔-20x2 +100x+6 000　 􀃊􀁉􀁕0≤x≤20　 􀃊􀁉􀁖当 x = 2. 5 时,y 取得 最大值,即定价为 57. 5 元时,利润最大,最大利润为 6 125 元 􀃊􀁉􀁗∵ 6 250>6 125,∴ 当定价为 65 元,即涨价 5 元时,利润最 大,最大利润为 6 250 元　 􀃊􀁉􀁘( x-2) 　 􀃊􀁉􀁙 1 2 [50-( x-2)] 　 􀃊􀁉􀁚D 【自主作答】解:解法一:根据题意,设抛物线的解析式为 y = a(x-2) 2 +k(a≠0),将 C(0,8),B(8,0)代入,得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的解析式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, ∵ - 1 4 <0, ∴ 当 x= 2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD= 9 m. 答:该水流距水平面的最大高度 AD 为 9 m. 解法二:根据题意,设抛物线的解析式为 y=ax2 +bx+8(a≠0), 将 B(8,0)代入,结合- b 2a = 2,得 - b 2a = 2, 64a+8b+8 = 0, { 解得 a= - 1 4 , b= 1, { ∴ 抛物线的解析式为 y= - 1 4 x2 +x+8 = - 1 4 (x-2) 2 +9. 其余同理. 答:该水流距水平面的最大高度 AD 为 9 m. 大单元串讲练一　 函数的增减性与最值 1. 增大;减小;减小;增大;增大;减小;增大;减小 2. (1) -x(答案不唯一);(2) 1 x (答案不唯一); (3)x2(答案不唯一) 3. (1) <;(2) >;(3) > 4. (1) <;(2) <;(3) <;(4) < 变式 解:当 k<0 时,反比例函数 y = k x 的图象位于第二、 四象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大. 当 y1 <y2 时,分为以下三种情况: ①当 0<y1 <y2 时,x2 >x1 , ②当 y1 <y2 <0 时,x2 >x1 , ③当 y1 <0<y2 时,x2 <x1 . 5. (1)①>;②<;③ = ; (2)①>;②<; (3)①<;②<;> 6. 解:(1)3,1; (2)∵ 抛物线 y= x2 -2x-3 的对称轴为直线 x= 1, ∴ 当 x= 1 时,y= 1-2-3 = -4 是最小值,当 x= -3 时,y= 9+ 6-3 = 12 是最大值. 7. (1) -12,3; (2)①0 或 6;②-2 或 8;③2≤a≤4 大单元串讲练二　 函数图象的平移与对称 1. 解:(1)画图如解图: 第 1 题解图 (2)y= -x-1. 2. 解:(1)画图如解图; 第 2 题解图 (2)y= x2 -1;(3)y= 3x2 -6x+3. 3. 解:(1)画图如解图①和解图②; 图① 图② 第 3 题解图 (2)y= x-1,y= x+1,y= -x-1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 321