3.9 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·山东数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 9　 二次函数的图象与性质 (统考卷 23(1)(2)题;统考样卷 15 题) 要点归纳 要点 1 二次函数的图象与性质(图象⇔抛物线) 概念 形如 y=ax2 +bx+c(a,b,c 为常数且 a≠0􀪍􀪍)的函数叫作 x 的二次函数 三种解析式 一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点式 y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 大 致 图 象 a>0 开口向上 a<0 开口向下 对称轴 (统考样卷 15 题) 直线 x= ①　 　 　 　 直线 x= ②　 h　 直线 x= ③　 　 　 　 顶点坐标 ④　 　 　 　 　 　 　 ⑤　 (h,k) 　 — 最 值 a>0 x= - b 2a 时, y 有最小值⑥　 　 　 　 x=h 时, y 有最小值⑦　 k　 x= x1 +x2 2 时, y 有最⑧　 小　 值 a<0 x= - b 2a 时, y 有最大值⑨　 　 　 　 x=h 时, y 有最大值􀃊􀁉􀁒　 k　 x= x1 +x2 2 时, y 有最 􀃊􀁉􀁓　 大　 值 增 减 性 a>0 在对称轴左侧时, y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁔　 减小　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁕　 增大　 a<0 在对称轴左侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁖　 增大　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁗　 减小　 注:特别地,若已知二次函数的解析式为 y=ax2 +bx,则二次函数图象必过原点 ∙∙∙∙ ;反之,若已 知二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象过原点,则必有 c= 0. 74 基础夯实练·山东数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 2 对称轴的理解与应用 (1)求对称轴(统考卷 23(1)题) 例 1　 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)过(0,4)和(-6,4)两点,则此抛物线的对称轴为(􀃊􀁉􀁘　 C　 ) A. 直线 x=4　 　 　 　 B. 直线 x=0　 　 　 　 C. 直线 x=-3　 　 　 　 D. 直线 x=-6 图 1 方法指导 如图 1,若抛物线上两点的纵坐标相等,横坐标不相等 (x1≠x2),则对称轴为直线 x= x1+x2 2 . (2)判断函数类型:给出几组自变量 x 与函数值 y 的对应值,若有下表的特征,则该函数为 二次函数; 【获取信息】由表可得,该二次函数的图象性质: ①开口􀃊􀁉􀁙　 向上　 ,对称轴为直线􀃊􀁉􀁚　 x=1　 ,顶点坐标为􀃊􀁉􀁛　 (1,-9) 　 ; ②当 x≤1 时,y 随 x 的增大而 􀃊􀁊􀁒　 减小　 ,当 x≥1 时,y 随 x 的增大而􀃊􀁊􀁓　 增大　 ;函 数有最􀃊􀁊􀁔　 小　 值,为􀃊􀁊􀁕　 -9　 ; ③该二次函数的图象与 x 轴的交点有􀃊􀁊􀁖　 2　 个,坐标为􀃊􀁊􀁗　 (-2,0),(4,0) 　 ,与 y 轴的交点坐标为􀃊􀁊􀁘　 (0,-8) 　 . (3)利用对称轴求点坐标 例 2　 已知抛物线 y= x2 -4x+m 2 与 x 轴的一个交点的坐标为(1,0), 则此抛物线与 x 轴的 另一个交点的坐标为􀃊􀁊􀁙　 (3,0) 　 . 变式 如图,抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)的对称轴为直线 l,抛物线与直线 y= t 交于点 A(3, t),根据图象可知抛物线的对称轴为􀃊􀁊􀁚　 直线 x= 1　 ,点 A 关于对称轴对称的点 B 的 坐标为􀃊􀁊􀁛　 (-1,t) 　 . 变式题图 方法指导 ①已知对称轴为直线 x=a,与 x 轴的一个交点为(b,0),则与 x 轴的另一个交 点坐标为􀃊􀁋􀁒　 (2a-b,0) 　 ;②若已知抛物线上任意一点的坐标为 M(m,n),对称轴为 直线 x=a,则点 M 关于对称轴对称的点的坐标为􀃊􀁋􀁓　 (2a-m,n) 　 . 84 基础夯实练·山东数学 第 三 章 　 函 　 数 (4)利用对称轴比较函数值大小 例 3　 多解法 ∙∙∙ 　 若二次函数 y=a(x-3) 2 +c(a>0)的图象过 A( -1,y1 ),B(2,y2 ),C(5,y3 ), 则 y1,y2,y3 的大小关系是 (􀃊􀁋􀁔　 B　 ) A. y1 >y2 >y3 　 　 　 B. y1 >y3 >y2 　 　 　 C. y2 >y1 >y3 　 　 　 D. y3 >y1 >y2 方法指导解法一:异侧转化为同侧. 需求出点关于对称轴对称的点的横坐标,然后利用 同侧的增减性比较,如图 2,3. 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 解法二:距离法. 先定开口方向,再算“距离”,开口向上,距离对称轴越远的值越大,开 口向下,距离对称轴越远的值越小. 如图 4,因为抛物线开口向上,点 A,C,B 到抛物线对 称轴直线 x= t 的距离的大小关系为 | xB-t | > | xC-t | > | xA-t | (用含 t 的代数式分别表示距 离),所以 yA,yB ,yC 的大小关系是􀃊􀁋􀁕　 yB 　 > 􀃊􀁋􀁖　 yC 　 >􀃊􀁋􀁗　 yA 　 . (5)利用对称轴求自变量取值范围内函数最值(涉及分类讨论)(统考卷 23(2)题) 例 4　 已知二次函数 y= - 1 2 (x+1) 2 +3,当 1≤x≤4 时,该二次函数的最大值为􀃊􀁋􀁘　 1　 . 变式 已知二次函数 y= -(x-h) 2(h 为常数),当自变量 x 的值满足 2≤x≤5 时,与其对应 的函数值 y 的最大值为-1,则 h 的值为 (　 　 ) A. 3 或 6 B. 1 或 6 C. 1 或 3 D. 4 或 6 思维点拨 如图 5,通过对称轴在所给区间左侧、内部、右侧三种情况分类讨论,求出符合 条件的 h 的值. 图 5 ①当 h<2 时,有􀃊􀁋􀁙　 -(2-h) 2 =-1　 ,解得􀃊􀁋􀁚　 h=1　 ; ②当 2≤h≤5 时,y= -(x-h) 2 的最大值为􀃊􀁋􀁛　 0　 ,不符合题意; ③当 h>5 时,有􀃊􀁌􀁒　 -(5-h) 2 =-1　 ,解得􀃊􀁌􀁓　 h=6　 . 【答案】􀃊􀁌􀁔　 B　 ▶▶温馨提示:更多二次函数区间最值问题见《专项培优练》P69~ 71 94 基础夯实练·山东数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 3 二次函数图象与 a,b,c 的关系 a 决定抛物线的开口方向, | a | 决定 开口大小 a>0,抛物线开口向上; a<0,抛物线开口向下 a,b 决定抛物线对称轴的位置(对称 轴为直线x= - b 2a ) b= 0,对称轴为􀃊􀁌􀁕　 y 轴　 ; b a >0,对称轴在 y 轴􀃊􀁌􀁖　 左　 侧; b a <0,对称轴在 y 轴􀃊􀁌􀁗　 右　 侧 c 决定抛物线与 y 轴交点的位置 c= 0,抛物线过原点; c>0,抛物线与 y 轴交于正半轴; c<0,抛物线与 y 轴交于负半轴 b2- 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数 b2 -4ac= 0 时,与 x 轴有唯一的交点(顶点); b2 -4ac>0 时,与 x 轴有􀃊􀁌􀁘　 两个　 交点; b2 -4ac<0 时,与 x 轴没有交点 特殊 关系 (1)先把含 a,b,c 的项移到等式(或不等式)的一边; (2)看到 2a+b,比较- b 2a 和 1 的大小;看到 2a-b,比较- b 2a 与-1 的大小; (3)看到 a+b+c,令 x= 1,看 y 的值;看到 a-b+c,令 x= -1,看 y 的值; (4)看到 4a+2b+c,令 x= 2,看 y 的值;看到 4a-2b+c,令 x= -2,看 y 的值 随堂练习 1. [鲁教九上 P89 第 1 题改编]根据表格填空: 解析式 顶点式: y= -2(x-1) 2 +4 交点式: y= 2(x-1)(x-3) 一般式: y= x2 +2x-4 由解析 式直接 得到的 信息 ①顶点坐标为　 (1,4)　 ; ②对称轴为直线　 x=1　 ; ③有最　 大　 值为　 4　 ①与 x 轴交点坐标为 　 (1,0)和(3,0) 　 ; ②对称轴为直线　 x=2　 ①与 y 轴交点坐标为　 　 　 ; ②对称轴为直线　 x=-1 　 最值 x= 　 1 　 时, y最大 = 　 4 　 x= 　 2 　 时, y最小 = 　 -2　 x= 　 -1 　 时, y最小 = 　 -5　 与坐标 轴交点 坐标 与 x 轴交点坐标为　 ( 2+ 1,0)和(- 2 +1,0) 　 ;与 y 轴交点坐标为　 (0,2)　 与 y 轴交点坐标为 　 与 x 轴交点坐标为 　(- 5 -1,0)和( 5 -1,0)　 05 基础夯实练·山东数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 画出示 意图 2. 按要求将二次函数的解析式转化为其他形式: (1)二次函数 y= 2x2 -4x+1 化为顶点式为　 y=2(x-1) 2-1　 ; (2)二次函数 y= -(x-2) 2 +3 化为一般式为　 y=-x2+4x-1　 ; (3)二次函数 y= (x+1)(x-3)化为一般式为　 y=x2-2x-3　 . 3. 已知二次函数 y=ax2 +bx+c a≠0( ) 图象的对称轴为直线 x = -1,与 x 轴的一个交点 A 的坐 标为(1,0),其图象如图所示,下列结论中正确的是　 ①③④⑦⑨　 (填序号) . 第 3 题图 ①b2 -4ac>0;　 　 ②abc>0;　 　 　 ③a-b+c<0; ④ a+b= -c;　 　 ⑤ 2a+b= 0;　 　 ⑥ 4a-2b+c>0; ⑦一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的两个根是 x1 = -3,x2 = 1; ⑧当 y>0 时,-3<x<1; ⑨当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大; ⑩若点 D( - 9 2 ,y1),E( 3 2 ,y2)是函数图象上的两点,则 y1 <y2 . 温馨提示:请完成《分层作业本》P45~ 46 习题 15 y= ->,一、三：减小a<c<b:y=±，原点：2,3,2,3 G4c-i⑦k8小g如-E 0k大2减小 4a 3增大增大5减小0C向上Bx=】9(1. -9)减小④增大②小8-92雪(-2,0). (4,0)少(0，-8)2(3,0)8直线x=19(-1,1) (2a-b.0)(2a-m,n)B Bys yc y 3G17-(2-h)2=-1h=13900-(5-h)2=-1 6541321 123456 组h=62B3y轴左5右G两个 随堂练习 1(1,4):x=1:大.4：1,4：(2+1,0)和(-2+1,0)：(0.2) 6 <,二、四：增大：bcc<ay=±x,原点 2.(1)m≠1：(2)m<1:(3)-1:(4)在；(5)y>1或y<0,x<-2 命题点7反比例函数解析式的确定及 k的几何意义 要点归纳 ①w2g③1④21011⑦11国1 (1,0)和(3,0)x=2:2,-2:(0,6) 随堂练习 （①y=g:22(34:(42 6 人 3 命题点8反比例函数的应用 要点归纳 ①D【自主作答】解：解法一：以CD为公共底边，S。a= 2 1 S+m=CDx 解法二：如解图，过点A作D的垂线交BD延长线于点E, (0,-4):w=-1:-1,-5:(-5-1,0)和(5-1,0) 解图 2(1)y=2(x-1)2-1 2y=3x+33=6 (2)y=-x2+4x-1 (3y=x2-2x-3 3.①3③④19 命题点10 二次函数解析式的确定 及图象的变换 要点归纳 ①不变②不变③相反④不变⑤相反 随堂练习 1编省子 抛物线的解析式为y=x+2x+3. 2. 解：设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+4(a0). 例2题解图 将(1,2)代入，得2=a(1-2)2+4,解得a=-2, ④>1或-2<0⑤0<x≤1或x≤-2⑥7 抛物线的解析式为y=-2(x-2)+4. 3.解：二次函数的图象经过点(-3,0)，(1,0)， 命题点9二次函数的图象与性质 “.设二次函数的解析式为y=a(x+3)(x-1). 要点归纳 把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3,解得a=-1, ①品a的÷会s4 ÷该二次函数的解析式为y=-(x+3)(x1), 2a 2 即y=-x2-2x+3. 122